文档内容
2022年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．（3分）（2022•张家界）﹣2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．
2．（3分）（2022•张家界）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800
000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×1010
3．（3分）（2022•张家界）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022•张家界）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．2a2+3a3＝5a5
C．（2a）2＝4a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
5．（3分）（2022•张家界）把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）（2022•张家界）某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识
第1页（共26页）比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：
甲 乙 丙 丁
平均分 95 93 95 94
方差 3.2 3.2 4.8 5.2
根据表中数据，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝ （k≠0）的
图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝ ，则
△AOB与△BOC的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
9．（3分）（2022•张家界）因式分解：a2﹣25＝ ．
10．（3分）（2022•张家界）从 ，﹣1，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的
概率是 ． π
11．（3分）（2022•张家界）如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝ ．
第2页（共26页）12．（3分）（2022•张家界）已知方程 ＝ ，则x＝ ．
13．（3分）（2022•张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，
用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，
它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形 ABCD的面积是100，小正方形
EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝ ．
14．（3分）（2022•张家界）有一组数据：a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，…，a
1 2 3 n
＝ ．记S ＝a +a +a +…+a ，则S ＝ ．
n 1 2 3 n 12
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的
答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）
15．（5分）（2022•张家界）计算：2cos45°+（ ﹣3.14）0+|1﹣ |+（ ）﹣1．
π
16．（5分）（2022•张家界）先化简（1﹣ ） ，再从1，2，3中选一个适当
的数代入求值．
17．（6分）（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐
标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A O B（不写作法，但要标出顶点
1 1 1
字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90，画出旋转后的△A O B（不写作法，但要标出顶点字
2 2 2
第3页（共26页）母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B 所经过的路径长（结果保留 ）．
2
π
18．（5分）（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到
怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平
均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
19．（6分）（2022•张家界）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中
点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
20．（8分）（2022•张家界）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书
面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
第4页（共26页）频数分布统计表
组别 时间x（分钟） 频数
A 0≤x＜20 6
B 20≤x＜40 14
C 40≤x＜60 m
D 60≤x＜80 n
E 80≤x＜100 4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生
有多少人？
（4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画
树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
21．（6分）（2022•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： ＝ ．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
第5页（共26页）在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴ ＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： ＝ ；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一
片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保
留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
22．（7分）（2022•张家界）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是 的中点，延
长AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝3，BC＝ ，求AD的长．
23．（10分）（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，
0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运
动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随
第6页（共26页）之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛
物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k| ）与抛物线只有一个公共点，且分
别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．
第7页（共26页）2022年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．（3分）（2022•张家界）﹣2022的倒数是（ ）
A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：﹣2022的倒数是：﹣ ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）（2022•张家界）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800
000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（ ）
A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1 800 000 000＝1.8×109，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2022•张家界）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
第8页（共26页）D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
4．（3分）（2022•张家界）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．2a2+3a3＝5a5
C．（2a）2＝4a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式进行
解答即可．
【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意；
B，2a2与3a3不是同类项，因此不能合并，所以选项B不符合题意；
C．（2a）2＝4a2，因此选项C符合题意；
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式，
将每个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键．
5．（3分）（2022•张家界）把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可．
第9页（共26页）【解答】解： ，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等
式组中各不等式的公共解集．
6．（3分）（2022•张家界）某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识
比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：
甲 乙 丙 丁
平均分 95 93 95 94
方差 3.2 3.2 4.8 5.2
根据表中数据，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
【解答】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：A．
【点评】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
7．（3分）（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝ （k≠0）的
图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
第10页（共26页）【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y＝ 位于第
一、三象限；
当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y＝ 位于第二、四象限；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k＞0，图象经过
第一、三象限，k＜0，图象经过第二、四象限是解题的关键．
8．（3分）（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝ ，则
△AOB与△BOC的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【分析】将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD，可得△BOD是等边三角形，
再利用勾股定理的逆定理可得∠COD＝90°，从而解决问题．
【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD，
∴OB＝OD，∠BOD＝60°，CD＝OA＝2，
∴△BOD是等边三角形，
∴OD＝OB＝1，
∵OD2+OC2＝12+（ ）2＝4，CD2＝22＝4，
∴OD2+OC2＝CD2，
∴∠DOC＝90°，
第11页（共26页）∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD ＝S△BOD +S△COD ＝ ×12+ ＝
，
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知
识，利用旋转将△AOB与△BOC的面积之和转化为S△BOC +S△BCD ，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
9．（3分）（2022•张家界）因式分解：a2﹣25＝ （ a ﹣ 5 ）（ a + 5 ） ．
【分析】根据平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a2﹣52＝（a+5）（a﹣5）．
故答案为：（a+5）（a﹣5）．
【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（3分）（2022•张家界）从 ，﹣1，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的
π
概率是 ．
【分析】先应用无理数的定义进行判定，再应用概率公式进行计算即可得出答案．
【解答】解： ， 是无理数，
π
P（恰好是无理数）＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算
是解决本题的关键．
11．（3分）（2022•张家界）如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝ 35 ° ．
【分析】由平行线的性质可得∠DCE＝∠1＝85°，再由对顶角相等得∠ABC＝∠2，∠ACB
＝∠DCE，再由三角形的内角和即可求解．
第12页（共26页）【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1＝85°，
∴∠DCE＝∠1＝85°，
∴∠ACB＝∠DCE＝85°，
∵∠2＝60°，∠ABC＝∠2，
∴∠ABC＝60°，
∴∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的
性质：两直线平行，同位角相等．
12．（3分）（2022•张家界）已知方程 ＝ ，则x＝ ﹣ 3 ．
【分析】应用解分式方程的方法，①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
进行计算即可得出答案．
【解答】解：给分式方程两边同时乘x（x﹣2），
得5x＝3（x﹣2），
移项得5x﹣3x＝﹣6，
合并同类项得2x＝﹣6，
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入x（x﹣2）中，﹣3×（﹣3﹣2）＝15≠0，
所以x＝﹣3是原分式方程的解．
故答案为：x＝﹣3．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方法进行求解是解决本题的关键．
13．（3分）（2022•张家界）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，
用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，
它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形 ABCD的面积是100，小正方形
第13页（共26页）EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝ ．
【分析】根据两个正方形的面积可得AD＝10，DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股
定理得，x2+（x+2）2＝102，解方程可得x的值，从而解决问题．
【解答】解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴AD＝10，
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴DF﹣AF＝2，
设AF＝x，则DF＝x+2，
由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，
解得x＝6或﹣8（负值舍去），
∴AF＝6，DF＝8，
∴tan∠ADF＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程
求出AF的长是解题的关键．
14．（3分）（2022•张家界）有一组数据：a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，…，a
1 2 3 n
＝ ．记S ＝a +a +a +…+a ，则S ＝ ．
n 1 2 3 n 12
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【解答】解：a ＝ ＝ ＝ ×1+ ﹣ × ；
1
第14页（共26页）a ＝ ＝ ＝ × + ﹣ × ；
2
a ＝ ＝ ＝ × + ﹣ × ；
3
…，
a ＝ ＝ × + ﹣ × ，
n
当n＝12时，
原式＝ （1+ + +...+ ）+（ + +...+ ）﹣ ×（ + +...+ ）
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的
答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．）
15．（5分）（2022•张家界）计算：2cos45°+（ ﹣3.14）0+|1﹣ |+（ ）﹣1．
π
【分析】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算
即可．
【解答】解：原式＝
＝ ．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握特殊锐
角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质是正确解答的前提．
16．（5分）（2022•张家界）先化简（1﹣ ） ，再从1，2，3中选一个适当
的数代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定a的值，
代入计算即可．
【解答】解：原式＝
第15页（共26页）＝ × +
＝ +
＝ ；
因为a＝1，2时分式无意义，所以a＝3，
当a＝3时，原式＝ ．
【点评】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是
正确解答的关键．
17．（6分）（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐
标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．
（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A O B（不写作法，但要标出顶点
1 1 1
字母）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90，画出旋转后的△A O B（不写作法，但要标出顶点字
2 2 2
母）；
（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B 所经过的路径长（结果保留 ）．
2
π
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，O，B的对应点A ，O ，B 即可；
1 1 1
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，O，B的对应点A ，O ，B 即可；
2 2 2
（3）利用弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A O B 即为所求；
1 1 1
（2）如图，△A O B 即为所求；
2 2 2
（3）在Rt△AOB中， ，
∴ ．
第16页（共26页）【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变
换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18．（5分）（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到
怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平
均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
【分析】设高铁的平均速度为xkm/h，由运行里程缩短了40千米得：x+40＝3.5（x﹣200），
可解得高铁的平均速度为296km/h．
【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，
由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），
解得：x＝296，
答：高铁的平均速度为296km/h．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
19．（6分）（2022•张家界）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中
点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ODE≌△FCE；
（2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．
第17页（共26页）【分析】（1）根据ASA即可证明△ODE≌△FCE；
（2）由（1）△ODE≌△FCE，可得OE＝FE，证明四边形ODFC为平行四边形，再利用有一
个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE，
又∵CF∥BD
∴∠ODE＝∠FCE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE＝FE，
又∵CE＝DE，
∴四边形ODFC为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC＝90°，
∴四边形ODFC为矩形．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键
是掌握菱形的性质．
20．（8分）（2022•张家界）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书
面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
第18页（共26页）频数分布统计表
组别 时间x（分钟） 频数
A 0≤x＜20 6
B 20≤x＜40 14
C 40≤x＜60 m
D 60≤x＜80 n
E 80≤x＜100 4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布统计表中的m＝ 1 8 ，n＝ 8 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生
有多少人？
（4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画
树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；
（3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的
比例即可；
第19页（共26页）（4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的总人数为：14÷28%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8，
故答案为：18，8；
（2）频数分布直方图补全如下：
（3） （人），
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人；
（4）列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女1）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女1，女2）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽取的两名同学恰好是一男一女的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）（2022•张家界）阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： ＝ ．
第20页（共26页）证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD＝asinB
在Rt△ACD中，CD＝bsinA
∴asinB＝bsinA
∴ ＝
根据上面的材料解决下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： ＝ ；
（2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一
片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保
留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
【分析】（1）根据题目提供的方法进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD＝csinB，
在Rt△ACD中，AD＝bsinC，
∴csinB＝bsinC，
∴ ＝ ；
（2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，
∴∠C＝60°，
在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80× ＝40 （m），
第21页（共26页）又∵ ，
即 ，
∴BC＝90m，
∴ （m2）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的
定义是解决问题的前提．
22．（7分）（2022•张家界）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是 的中点，延
长AD交BC的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝3，BC＝ ，求AD的长．
【分析】（1）连接AC，通过证明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性质分析推理；
（2）通过证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质分析计算．
【解答】（1）证明：连接AC，
第22页（共26页）∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
又∵点C是 的中点
∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB，
又∵AC＝AC
∴△ACE≌△ACB（ASA），
∴CE＝CB，
∴CE＝CD；
（2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3，
∴AE＝AB＝3，
又∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
又∵∠E＝∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴ ，
即： ，
解得：DE＝2，
∴AD＝AE﹣DE＝1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解
相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
23．（10分）（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，
0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
第23页（共26页）（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运
动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随
之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛
物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k| ）与抛物线只有一个公共点，且分
别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．
【分析】（1）二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，
解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；
（2）根据t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．分两
种情形，当△EMN∽△OBC时，得 ，解得t＝ ；当△EMN∽△OCB时，得
，解得t＝ ；
（3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析
式，再根据直线l：y＝kx+m 与抛物线图象只有一个公共点，联立两函数解析
式，可得Δ＝0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题．
【解答】解：（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3，
将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：
第24页（共26页），
解得， ，
∴抛物线的函数表达式为： ，
又∵ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴顶点为D ；
（2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．
①当△EMN∽△OBC时，
∴ ，
解得t＝ ；
②当△EMN∽△OCB时，
∴ ，
解得t＝ ；
综上得，当 或 时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；
（3）∵点 关于点D 的对称点为点G，
∴ ，
∵直线l：y＝kx+m 与抛物线图象只有一个公共点，
∴ 只有一个实数解，
∴Δ＝0，
第25页（共26页）即： ，
解得： ，
利用待定系数法可得直线GA的解析式为： ，直线GB的解析式为： ，
联立 ，结合已知 ，
解得：x ＝ ，
H
同理可得：x ＝ ，
K
则：GH＝ ＝ ，GK＝ ＝ ×
，
∴GH+GK＝ + × ＝ ，
∴GH+GK的值为 ．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判
定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点
H和K的横坐标是解题的关键，属于中考压轴题．
第26页（共26页）
