文档内容
2022年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）．
1．（4分）（2022•怀化）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
2．（4分）（2022•怀化）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（4分）（2022•怀化）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其
中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至 10909米．其中数据10909用科学记数法表
示为（ ）
A．10.909×102 B．1.0909×103
C．0.10909×104 D．1.0909×104
4．（4分）（2022•怀化）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
5．（4分）（2022•怀化）下列计算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4
C． ＝2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
6．（4分）（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
7．（4分）（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
8．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则
平移的距离是（ ）
第1页（共23页）A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）（2022•怀化）从下列一组数﹣2，，﹣ ，﹣0.12，0，﹣ 中随机抽取一个数，这个
π
数是负数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝ （a＞1）的图象于
A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD ＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）（2022•怀化）计算 ﹣ ＝ ．
12．（4分）（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝ ．
13．（4分）（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ ．
14．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE ＝2，则
S△ABC ＝ ．
第2页（共23页）15．（4分）（2022•怀化）如图，AB与 O相切于点C，AO＝3， O的半径为2，则AC的长为
． ⊙ ⊙
16．（4分）（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）（2022•怀化）计算：（3.14﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1﹣ ．
π
18．（8分）（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
19．（10分）（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径
为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向
第3页（共23页）上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直
的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：
≈1.73， ≈1.41）
20．（10分）（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在 O上， ＝ ．
求证：（1）AC＝BD； ⊙
（2）△ABE∽△DCE．
21．（12分）（2022•怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点
知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进
行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
满意程度 频数（人） 频率
非常满意 50 0.5
满意 30 0.3
一般 a c
不满意 b 0.05
合计 100 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
第4页（共23页）（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角 的度数；
（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两α条合理建议．
22．（12分）（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至
点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
23．（12分）（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：
件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比
每双雨鞋贵5元．
（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，
并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，
则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部
门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．
第5页（共23页）（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
24．（14分）（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣
1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过
点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、
B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理
由．
第6页（共23页）2022年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的
代号填涂在答题卡的相应位置上）．
1．（4分）（2022•怀化）﹣ 的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（4分）（2022•怀化）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式
叫做分式判断即可．
【解答】解：分式有： ， ， ，
整式有： x， ，x2﹣ ，
分式有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，
那么式 叫做分式是解题的关键，注意 是数字．
π
3．（4分）（2022•怀化）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其
中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至 10909米．其中数据10909用科学记数法表
示为（ ）
第7页（共23页）A．10.909×102 B．1.0909×103
C．0.10909×104 D．1.0909×104
【分析】把比较大的数写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可得出答案．
【解答】解：10909＝1.0909×104，
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是
解题的关键．
4．（4分）（2022•怀化）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的外心是它的三条角平分线的交点
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【分析】根据对顶角的定义，矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质可得出答
案．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、三角形的外心是它的三条边的垂直平分线的交点，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定，三角形的外心，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关定
理以及性质进而判定出命题的正确性．
5．（4分）（2022•怀化）下列计算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．a8÷a2＝a4
C． ＝2 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质、完
全平方公式分别计算，进而得出答案．
【解答】解：A．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意；
B．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
C. ＝2，故此选项符合题意；
第8页（共23页）D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、二次根式的性质、完全
平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（4分）（2022•怀化）下列一元二次方程有实数解的是（ ）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
【分析】根据各方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可求出各方程根的判别式Δ的值，
取Δ≥0的选项即可得出结论．
【解答】解：A．∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，
∴方程2x2﹣x+1＝0没有实数根；
B．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
C．∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根；
D．∵Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，
∴方程x2+2＝0没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当
Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
7．（4分）（2022•怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得：n＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，体现了方程思想，掌握多边形的内角和＝（n﹣
2）•180°是解题的关键．
8．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC沿BC方向平移后的像为△DEF，已知BC＝5，EC＝2，则
平移的距离是（ ）
第9页（共23页）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
【解答】解：点B平移后对应点是点E．
∴线段BE就是平移距离，
∵已知BC＝5，EC＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝5﹣2＝3．
故选：C．
【点评】考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点．
9．（4分）（2022•怀化）从下列一组数﹣2，，﹣ ，﹣0.12，0，﹣ 中随机抽取一个数，这个
π
数是负数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先确定这组数据的负数的个数，然后再利用概率的公式求解即可．
【解答】这组数据共有6个数，其中是负数的有﹣2，﹣ ，﹣0.12，﹣ 这4个，
∴P（随机抽取一个数，这个数是负数） ＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查随机事件概率的求法．
10．（4分）（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝ （a＞1）的图象于
A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD ＝5，则a的值为（ ）
第10页（共23页）A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设点B的坐标为（a， ），然后根据三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：设点B的坐标为（a， ），
∵S△BCD ＝5，且a＞1，
∴ ×a× ＝5，
解得：a＝11，
经检验，a＝11是原分式方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上
点的坐标特征是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）（2022•怀化）计算 ﹣ ＝ 1 ．
【分析】原式利用通分分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（4分）（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝ x 2 （ 1+ x ）（ 1 ﹣ x ） ．
第11页（共23页）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2（1﹣x2）
＝x2（1+x）（1﹣x）．
故答案为：x2（1+x）（1﹣x）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
13．（4分）（2022•怀化）已知点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，则a﹣b＝ 5 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，b）与点B（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2+3＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，
b是解题关键．
14．（4分）（2022•怀化）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE ＝2，则
S△ABC ＝ 8 ．
【分析】由中位线定理可得线段DE与BC的比，即可得出△ADE与△ABC的比，又已知
△ADE的面积，进而即可得出△ABC的面积．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
即 ，
∴S△ABC ＝8．
第12页（共23页）故答案为：8．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关系，
证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
15．（4分）（2022•怀化）如图，AB与 O相切于点C，AO＝3， O的半径为2，则AC的长为
． ⊙ ⊙
【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OC，
∵AB与 O相切于点C，
∴OC⊥A⊙C，
在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝3，
则AC＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题
的关键．
16．（4分）（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 74 4 ．
第13页（共23页）【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2
个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有 个数，再根据偶
数的特征确定第几行第几个数是几．
【解答】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
•••••••
第n行有n个数．
∴前n行共有 个数．
∴前27行共有378个数，
∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2＝744．
故答案为：744．
【点评】本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出
其中的规律，再结合其他已知条件求解．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（8分）（2022•怀化）计算：（3.14﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1﹣ ．
π
【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．
【解答】解：原式＝1+ ﹣1+2﹣2
＝2﹣ ．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，
第14页（共23页）掌握a0＝1（a≠0），a﹣p＝ （a≠0）是解题的关键．
18．（8分）（2022•怀化）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解
集即可．
【解答】解： ，
解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x≤3，
∴原不等式组的解集是2＜x≤3，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是
明确解一元一次不等式的方法．
19．（10分）（2022•怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径
为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向
上．C村在B村的正东方向且两村相距2.4km．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直
的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．（参考数据：
≈1.73， ≈1.41）
第15页（共23页）【分析】过A点作AD⊥BC于D点，根据题意可得BD＝ AD，CD＝AD，由BC＝2400m
可得关于AD的方程，计算可求解AD的长，进而可求解．
【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点，
由题意知：∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝45°，
∴BD＝ AD，CD＝AD，
∵BC＝2.4km＝2400m，
∴ AD+AD＝2400，
解得：AD＝1200（ ﹣1）≈876＞800，
故该公路不能穿过纪念园．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角，构造直角三角形是解题的关键．
20．（10分）（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在 O上， ＝ ．
求证：（1）AC＝BD； ⊙
（2）△ABE∽△DCE．
【分析】（1）根据等式的性质可得： ，再由圆心角，弧，弦的关系可得结论；
（2）根据两角相等可证明两三角形相似．
【解答】证明：（1）∵ ＝ ，
∴ ，
∴AC＝BD；
（2）∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
第16页（共23页）∴△ABE∽△DCE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系．根据已知条件推知
AC＝BD是解题的难点．
21．（12分）（2022•怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点
知名度得到显著提高．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进
行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
满意程度 频数（人） 频率
非常满意 50 0.5
满意 30 0.3
一般 a c
不满意 b 0.05
合计 100 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝ 1 5 ，b＝ 5 ，c＝ 0.1 5 ；
（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角 的度数；
（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两α条合理建议．
【分析】（1）用样本容量乘“不满意”的频率求出b，进而求出a、c的值；
（2）用360°乘“一般”的频率即可；
（3）根据频数分布表的数据提出建议即可．
【解答】解：（1）由题意得，b＝100×0.05＝5，a＝100﹣50﹣30﹣5＝15，c＝1﹣0.5﹣0.3﹣
0.05＝0.15，
故答案为：15；5；0.15；
（2）扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角 的度数为360°×0.15＝54°；
第17页（共23页）
α（3）在调查数据中，还有约20%的游客对服务态度表示“一般”或“不满意”，说明旅游
质量还有待提高．（答案不唯一）．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，中位数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本
题的关键．
22．（12分）（2022•怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至
点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
（1）求证：MP＝NP；
（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质
可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP
（AAS），即可得证；
（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表
示出HP的长．
【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：
在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
第18页（共23页）∵MQ∥BC，
∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM＝QM，
∵AM＝CN，
∴QM＝CN，
在△QMP和△CNP中，
，
∴△QMP≌△CNP（AAS），
∴MP＝NP；
（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH＝HQ，
∵△QMP≌△CNP，
∴QP＝CP，
∴PH＝HQ+QP＝ AC，
∵AB＝a，AB＝AC，
∴PH＝ a．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质
等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．（12分）（2022•怀化）去年防汛期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：
件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比
每双雨鞋贵5元．
（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？
（2）为支持今年防汛工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，
并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，
则每套打九折；若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部
门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式．
（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？
第19页（共23页）【分析】（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，根据购买了一批数量相等的雨衣（单
位：件）和雨鞋（单位：双）列出方程并解答；
（2）根据题意求出a的取值范围，并求出w与a的关系式解答即可；
（3）根据题意列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每件雨衣x元，则每双雨鞋（x﹣5）元，
根据题意，得 ，
解得x＝40，
经检验x＝40是所列方程的根，并符合题意．
所以x﹣5＝35，
答：每件雨衣40元，则每双雨鞋35元；
（2）由题意知，一套雨衣雨鞋的单价为：（40+35）×（1﹣20%）＝60（元），
当购买a套雨衣和雨鞋a≤5时，费用为w＝0.9x60a＝54a；
当购买a套雨衣和雨鞋a＞5时，费用为w＝0.9×60×5+（a﹣5）×60×0.8＝48a+30，
∴W关于a的函数关系式为：w＝ ；
（3）由题意得：48a+30≤320，解得a≤ ，
答：最多可购买6套．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述
语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
24．（14分）（2022•怀化）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣
1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过
点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、
B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理
由．
第20页（共23页）【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出a，c的值，设BC的解析式为y＝
kx+b，把B，C两点坐标代入求出k，b即可；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），证明△PEF是等腰直角三角形，
求出PE的最大值，可得结论；
（3）存在．如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．分两种情形：CB为平行四边形的边，
CB为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，可得y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则 ，
∴ ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）如图一中，连接PC，OP，PB．设P（m，﹣m2+2m+3），
第21页（共23页）∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵PF∥AB，
∴∠PFE＝∠OBC＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE的值最大时，△PEF的周长最大，
∵S△PBC ＝S△POB +S△POC ﹣S△OBC
＝ ×3×（﹣m2+2m+3）+ ×3×m﹣ ×3×3
＝﹣ m2+ m
＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴m＝ 时，△PBC的面积最大，面积的最大值为 ，此时PE的值最大，
∵ ×3 ×PE＝ ，
∴PE＝ ，
∴△PEF的周长的最大值＝ + + ＝ + ，此时P（ ， ）；
第22页（共23页）（3）存在．
理由：如图二中，设M（1，t），G（m，﹣m2+2m+3）．
当BC为平行四边形的边时，则有|1﹣m|＝3，
解得m＝﹣2或4，
∴G（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），
当BC为平行四边形的对角线时， （1+m）＝ （0+3），
∴m＝2，
∴G（2，3），
综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣2，5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形
的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考
问题，属于中考压轴题．
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