文档内容
2022年山东省青岛市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2022•青岛）我国古代数学家祖冲之推算出 的近似值为 ，它与 的误差小于
π π
0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107
2．（3分）（2022•青岛）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506
件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心
对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•青岛）计算（ ﹣ ）× 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
4．（3分）（2022•青岛）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代
数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
第1页（共35页）A． B．
C． D．
5．（3分）（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点M在 上，则∠CME的度数
为（ ） ⊙
A．30° B．36° C．45° D．60°
6．（3分）（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到
△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
第2页（共35页）A．（2，0） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）
7．（3分）（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若
AB＝2，则OE的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2022•青岛）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且
经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．3a+c＝0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）（2022•青岛）﹣ 的绝对值是 ．
10．（3分）（2022•青岛）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、
内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，
则小明的最终比赛成绩为 分．
11．（3分）（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，
炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时
第3页（共35页）小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为
x米/分，那么x满足的分式方程为 ．
12．（3分）（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上
创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，
用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数
是 °．
13．（3分）（2022•青岛）如图，AB是 O的切线，B为切点，OA与 O交于点C，以点A为圆
心、以OC的长为半径作 ，分别⊙交AB，AC于点E，F．若OC＝⊙2，AB＝4，则图中阴影部
分的面积为 ．
14．（3分）（2022•青岛）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交
AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：
．（填写序号）
①BD＝8
②点E到AC的距离为3
③EM＝
④EM∥AC
第4页（共35页）三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保保留作图痕迹。
15．（4分）（2022•青岛）已知：Rt△ABC，∠B＝90°．
求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．
四、解答题（本大题共10小题，共74分）
16．（8分）（2022•青岛）（1）计算： ÷（1+ ）；
（2）解不等式组：
17．（6分）（2022•青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王
亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航
天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪
都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的
球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个
球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
18．（6分）（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P
（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
第5页（共35页）19．（6分）（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•
绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点
C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点
E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求
观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，
tan68°≈2.48）
20．（6分）（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的
老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．
某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了
200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结
果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别 时长t（单 人数累计 人数
位：h）
第一组 1≤t＜2 正正正正正正 30
第二组 2≤t＜3 正正正正正正正正正正正正 60
第三组 3≤t＜4 正正正正正正正正正正正正正 70
正
第四组 4≤t＜5 正正正正正正正正 40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 组；
第6页（共35页）（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为
，对应的扇形圆心角的度数为 °；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少
人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
21．（6分）（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝
A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC ，S△A'B'C′ 分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC ＝ BC•AD，S△A'B'C′ ＝ B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC ：S△A'B'C′ ＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD ：S△ADC ＝
；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：
3，S△ABC ＝1，则S△BEC ＝ ，S△CDE ＝ ；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：
n，S△ABC ＝a，则S△CDE ＝ ．
第7页（共35页）22．（8分）（2022•青岛）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例
函数y＝﹣ 的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD
＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
23．（8分）（2022•青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF
＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判
断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
第8页（共35页）24．（10分）（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10
千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发
价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种
水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少
箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC
绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运
动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC
于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第9页（共35页）2022年山东省青岛市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）（2022•青岛）我国古代数学家祖冲之推算出 的近似值为 ，它与 的误差小于
π π
0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．3×10﹣7 B．0.3×10﹣6 C．3×10﹣6 D．3×107
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：用科学记数法可以表示0.0000003得：3×10﹣7；
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（3分）（2022•青岛）北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506
件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心
对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
第10页（共35页）B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
3．（3分）（2022•青岛）计算（ ﹣ ）× 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法
即可．
【解答】解：（ ﹣ ）×
＝ ﹣
＝ ﹣
＝3﹣2
＝1，
故选：B．
【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此
题的关键．
4．（3分）（2022•青岛）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代
数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
第11页（共35页）A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：图②“堑堵”从上面看，是一个矩形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5．（3分）（2022•青岛）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点M在 上，则∠CME的度数
为（ ） ⊙
A．30° B．36° C．45° D．60°
【分析】由正六边形的性质得出∠COE＝120°，由圆周角定理求出∠CME＝60°．
【解答】解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
∴∠CME＝ ∠COE＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定
第12页（共35页）理求出∠COM＝120°是解决问题的关键．
6．（3分）（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到
△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣3，﹣1）
【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．
【解答】解：由图中可知，点A（3，﹣2），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（6，﹣
2），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
7．（3分）（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若
AB＝2，则OE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC，然后利用等边三角形的性质可求出OE．
【解答】解；∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，
∴AC＝2 ，
第13页（共35页）∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，
∴AC＝AE＝2 ，AO＝ ，
∴OE＝ × ＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了等边三角形的性质，有一定的综合
性．
8．（3分）（2022•青岛）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且
经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．3a+c＝0
【分析】根据抛物线的开口方向及对称轴位置判断选项A；根据对称轴x＝﹣1及过点（﹣
3，0）求出抛物线与x轴的另一个交点，据此来判断选项B；当x＝1时，二次函数的值y＝
a+b+c，据此判断选项C；根据对称轴得出a，b之间的关系，并代入y＝a+b+c中，据此判断
选项D．
【解答】解：选项A：∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1．
∴b＝2a．
∴b＜0．故选项A错误；
选项B：设抛物线与x轴的另一个交点为（x，0），
则抛物线的对称轴可表示为x＝ （x﹣3），
∴﹣1＝ （x﹣3），解得x＝1，
∴抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（﹣3，0）．
又∵抛物线开口向下，
∴抛物线与y轴交于正半轴．
∴c＞0．故选项B错误．
选项C：∵抛物线过点（1，0）．
∴a+b+c＝0．故选项C错误；
选项D：∵b＝2a，且a+b+c＝0，
第14页（共35页）∴3a+c＝0．故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图像的位置与有关系数的关系
是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）（2022•青岛）﹣ 的绝对值是 ．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据
绝对值定义去掉这个绝对值的符号．绝对值的性质，负数的绝对值是其相反数．
【解答】解：|﹣ |＝ ．
故本题的答案是 ．
【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝
对值是0．
10．（3分）（2022•青岛）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、
内容、效果三项分别是9分、8分、8分．若将三项得分依次按3：4：3的比例确定最终成绩，
则小明的最终比赛成绩为 8. 3 分．
【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．
【解答】解：根据题意得：
＝8.3（分）．
故小明的最终比赛成绩为8.3分．
故答案为：8.3．
【点评】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是
解题的关键．
11．（3分）（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，
炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时
小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为
x米/分，那么x满足的分式方程为 ﹣ ＝ 3 ．
【分析】根据等量关系：原来参加3000米比赛时间﹣经过一段时间训练后参加3000米比
第15页（共35页）赛时间＝3分钟，依此列出方程即可求解．
【解答】解：依题意有： ﹣ ＝3．
故答案为： ﹣ ＝3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中
的等量关系，设出未知数，列出方程．
12．（3分）（2022•青岛）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上
创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，
用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数
是 6 0 °．
【分析】先确定∠BAD的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出
∠ABC的度数．
【解答】解：如图，
∵∠BAD＝∠BAE＝∠DAE，∠BAD+∠BAE+∠DAE＝360°，
∴∠BAD＝∠BAE＝∠DAE＝120°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出∠BAD
第16页（共35页）的度数是解题关键．
13．（3分）（2022•青岛）如图，AB是 O的切线，B为切点，OA与 O交于点C，以点A为圆
心、以OC的长为半径作 ，分别⊙交AB，AC于点E，F．若OC＝⊙2，AB＝4，则图中阴影部
分的面积为 4 ﹣ ．
π
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBA＝90°，从而可得∠BOA+∠A＝90°，根据题
意可得OB＝OC＝AE＝AF＝2，然后利用阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC
的面积+扇形EAF的面积），进行计算即可解答．
【解答】解：连接OB，
∵AB是 O的切线，B为切点，
∴∠OBA⊙＝90°，
∴∠BOA+∠A＝90°，
由题意得：
OB＝OC＝AE＝AF＝2，
∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积）
＝ AB•OB﹣
＝ ×4×2﹣
π
＝4﹣ ，
故答案π为：4﹣ ．
【点评】本题考查π了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的
第17页（共35页）计算是解题的关键．
14．（3分）（2022•青岛）如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交
AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：
①④ ．（填写序号）
①BD＝8
②点E到AC的距离为3
③EM＝
④EM∥AC
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根据角平分线的性质即可判断②，设DM＝
x，则EM＝8﹣x，结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，从而判断③，利用锐角
三角函数可判断④．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝ BC＝8，故①正确；
如图，过点E作EF⊥AB于点F，EH⊥AC于点H，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AE平分∠BAC，
∴EH＝EF，
第18页（共35页）∵BE是∠ABD的角平分线，
∵ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF＝ED，
∴EH＝ED＝4，故②错误；
由折叠性质可得：EM＝MC，DM+MC＝DM+EM＝CD＝8，
设DM＝x，则EM＝8﹣x，
Rt△EDM中，EM2＝DM2+DE2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴EM＝MC＝5，故③错误；
设AE＝a，则AD＝AE+ED＝4+a，BD＝8，
∴AB2＝（4+a）2+82，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴AB＝2a，
∴（4+a）2+82＝（2a）2，
解得：a＝ 或a＝﹣4（舍去），
∴tanC＝ ＝ ，
又∵tan∠EMD＝ ，
∴∠C＝∠EMD，
∴EM∥AC，故④正确，
故答案为：①④．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，掌握相关
性质定理，正确添加辅助线是解题的关键．
第19页（共35页）三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保保留作图痕迹。
15．（4分）（2022•青岛）已知：Rt△ABC，∠B＝90°．
求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB＝PC，∠PBC＝45°．
【分析】作∠ABC的角平分线，作BC的垂直平分线，两条线交于点P即可．
【解答】解：①先作出线段BC的垂直平分线EF；
②再作出∠ABC的角平分线BM，EF与BM的交点为P；
则P即为所求作的点．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题
的关键是掌握角平分线和线段垂直平分线的作法．
四、解答题（本大题共10小题，共74分）
16．（8分）（2022•青岛）（1）计算： ÷（1+ ）；
（2）解不等式组：
【分析】（1）先根据分式的加法法则计算括号里面的，再把除法转化为乘法，约分即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式＝ ÷
＝ •
第20页（共35页）＝ ；
（2） ，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式组的解集为：2＜x≤3．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握分式的混合运算的方法
以及一元一次不等式组的解法是正确解答的关键．
17．（6分）（2022•青岛）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王
亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航
天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪
都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享．游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的
球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个
球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小冰获胜和小雪获胜的概
率，进行比较即可求解．
【解答】解：所有可能的结果如下：
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶
数的有5种结果，
∴P（小冰获胜）＝ ＝ ，P（小雪获胜）＝ ＝ ，
∵P（小冰获胜）＝P（小雪获胜），
∴游戏对双方都公平．
第21页（共35页）【点评】本题考查列表法，游戏公平性，解题的关键是正确列出所有可能的结果．
18．（6分）（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P
（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m ＝1，m ＝﹣3，
1 2
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二
次函数与方程的关系．
19．（6分）（2022•青岛）如图，AB为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•
绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点
C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点
E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求
观光船从C处航行到D处的距离．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，
tan68°≈2.48）
第22页（共35页）【分析】过点C作CF⊥DE于F，根据∠ACB的正切值可得AB＝496m，则可得BE的长，再
根据∠D的正弦可得答案．
【解答】解：过点C作CF⊥DE于F，
由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，
在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，
∵tan∠ACB＝ ，
∴AB＝CB×tan68°＝200×2.48≈496（m），
∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），
∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形FEBC为矩形，
∴CF＝BE＝296m，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，
∵sin∠D＝ ，
第23页（共35页）∴CD＝ ≈462.5（m），
答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解
是解决此类题目的关键．
20．（6分）（2022•青岛）孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”兴趣是最好的
老师．阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐…各种兴趣爱好是打开创新之门的金钥匙．
某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了
200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长，对这项调查结
果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：
学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表
组别 时长t（单 人数累计 人数
位：h）
第一组 1≤t＜2 正正正正正正 30
第二组 2≤t＜3 正正正正正正正正正正正正 60
第三组 3≤t＜4 正正正正正正正正正正正正正 70
正
第四组 4≤t＜5 正正正正正正正正 40
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第 三 组；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为
30% ，对应的扇形圆心角的度数为 10 8 °；
（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于2h，请你估计，该校学生中有多少
人需要增加自主发展兴趣爱好时间？
第24页（共35页）【分析】（1）根据频数分布表可得第三组和第四组的频数，进而补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）用第二组的学生人数除以总人数即可得出第二组的学生人数占调查总人数的百分比，
再用其乘360°即可得出对应的扇形圆心角的度数；
（4）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）补全频数分布直方图如下：
（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：
；
对应的扇形圆心角的度数为：360°×30%＝108°，
故答案为：30%；108；
第25页（共35页）（4）2200× ＝330（人），
答：估计该校学生中有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．
【点评】本题考查中位数、频数分布表以及频数分布直方图，掌握频数统计的方法是解决
问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
21．（6分）（2022•青岛）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、
例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝
A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC ，S△A'B'C′ 分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，
则S△ABC ＝ BC•AD，S△A'B'C′ ＝ B′C′•A′D′，
∵AD＝A′D′
∴S△ABC ：S△A'B'C′ ＝BC：B'C'．
【性质应用】
（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD ：S△ADC ＝ 3 ： 4
；
（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：
3，S△ABC ＝1，则S△BEC ＝ ，S△CDE ＝ ；
（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：
n，S△ABC ＝a，则S△CDE ＝ ．
【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；
第26页（共35页）（2）同（1）的方法即可求出答案；
（3）同（1）的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵BD＝3，DC＝4，
∴S△ABD ：S△ADC ＝BD：DC＝3：4，
故答案为：3：4；
（2）∵BE：AB＝1：2，
∴S△BEC ：S△ABC ＝BE：AB＝1：2，
∵S△ABC ＝1，
∴S△BEC ＝ ；
∵CD：BC＝1：3，
∴S△CDE ：S△BEC ＝CD：BC＝1：3，
∴S△CDE ＝ S△BEC ＝ × ＝ ；
故答案为： ， ；
（3）∵BE：AB＝1：m，
∴S△BEC ：S△ABC ＝BE：AB＝1：m，
∵S△ABC ＝a，
∴S△BEC ＝ S△ABC ＝ ；
∵CD：BC＝1：n，
∴S△CDE ：S△BEC ＝CD：BC＝1：n，
∴S△CDE ＝ S△BEC ＝ • ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是
解本题的关键．
22．（8分）（2022•青岛）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例
第27页（共35页）函数y＝﹣ 的图象在第二象限相交于点A（﹣1，m），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD
＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点E（a，0）满足CE＝CA，求a的值．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，再求得C点坐标，然后利用待定
系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）由勾股定理求出AC的长，再根据CE＝CA且E在x轴上，分类讨论得a的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，m）在反比例函数y＝﹣ 的图象上，
∴﹣m＝﹣2，解得：m＝2，
∴A（﹣1，2），
∵AD⊥x轴，
∴AD＝2，OD＝1，
∴CD＝AD＝2，
∴OC＝CD﹣OD＝1，
∴C（1，0）
把点A（﹣1，2），C（1，0）代入y＝kx+b中，
，
解得 ，
第28页（共35页）∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）在Rt△ADC中，AC＝ ＝2 ，
∴AC＝CE＝2 ，
当点E在点C的左侧时，a＝1﹣2 ，
当点E在点C的右侧时，a＝1+2 ，
∴a的值为1±2 ．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾
股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键．
23．（8分）（2022•青岛）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF
＝FD，∠BAF＝∠DCE＝90°．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连接AE，CF，已知 ① （从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判
断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
条件①：∠ABD＝30°；
条件②：AB＝BC．
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
【分析】（1）由等式的性质得BF＝DE，由平行线的性质得∠ABF＝∠CDE，从而利用AAS
证明△ABF≌△CDE；
（2）若选择①，由（1）可说明AF∥CE，则四边形AECF是平行四边形，由直角三角形斜边
上中线的性质得AE＝ ，利用含30°角的直角三角形的性质得AF＝ ，则AE＝
AF，从而 AECF是菱形；若选择②连接AC交BD于点O，同理可得四边形AECF是平行
四边形，▱利用等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即EF⊥AC，从而证明结论．
【解答】（1）证明：∵BE＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
第29页（共35页）∴BF＝DE，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF是菱形，理由如下：
由（1）得，△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF＝90°，BE＝EF，
∴AE＝ ，
∵∠BAF＝90°，∠ABD＝30°，
∴AF＝ ，
∴AE＝AF，
∴ AECF是菱形；
若▱选择条件②：
四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC交BD于点O，
第30页（共35页）由①得：△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
即EF⊥AC，
∴ AECF是菱形．
故▱答案为：①（答案不唯一）．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定
与性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，熟练掌
握菱形的判定定理是解题的关键．
24．（10分）（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10
千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发
价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种
水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少
箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低
0.2元得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
（2）设李大爷每天所获利润是w元，由总利润＝每千克利润×销量得w＝[12﹣0.5（x﹣1）
﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3（x﹣ ）2+ ，利用二次函数性质可得李大爷每天应购进
第31页（共35页）这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
答：这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式为y＝﹣0.2x+8.4；
（2）设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣ ）2+ ，
∵﹣3＜0，x为正整数，且|6﹣ |＞|7﹣ |，
∴x＝7时，w取最大值，最大值为﹣3×（7﹣ ）2+ ＝140（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的应用，解题的根据是理解题意，列出函数关系式，
能利用二次函数性质解决问题．
25．（10分）（2022•青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC
绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运
动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC
于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当EQ⊥AD时，求t的值；
（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，知AD＝AB＝5，DE＝
BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，证明△AQE∽△AED，有 ＝ ，可得AQ＝
，即得t的值为 ；
第32页（共35页）（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，证明△ABC∽△CAM，有 ＝ ，CM＝
，即得S△ACD ＝ AD•CM＝8，S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝14，由△PBN∽△ABC，可得
PN＝ t，S△BCP ＝ BC•PN＝ t，从而S＝S四边形ABCD ﹣S△BCP ﹣S△APQ ＝ t2﹣ t+14；
（3）过C作CM⊥AD于M，证明△APQ∽△MCD，有 ＝ ，即可解得t＝ ．
【解答】解：（1）如图：
在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝4，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴AD＝AB＝5，DE＝BC＝3，AE＝AC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，
∵EQ⊥AD，
∴∠AQE＝∠AED＝90°，
∵∠EAQ＝∠DAE，
∴△AQE∽△AED，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AQ＝ ，
∴t＝ ＝ ；
答：t的值为 ；
（2）过P作PN⊥BC于N，过C作CM⊥AD于M，如图：
第33页（共35页）∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAM＝90°，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠CAM，
∵∠ACB＝90°＝∠AMC，
∴△ABC∽△CAM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CM＝ ，
∴S△ACD ＝ AD•CM＝ ×5× ＝8，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝ ×3×4+8＝14，
∵∠PBN＝∠ABC，∠PNB＝90°＝∠ACB，
∴△PBN∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PN＝ t，
∴S△BCP ＝ BC•PN＝ ×3× t＝ t，
∴S＝S四边形ABCD ﹣S△BCP ﹣S△APQ
＝14﹣ t﹣ （5﹣t）•t
＝ t2﹣ t+14；
答：S与t之间的函数关系式是S＝ t2﹣ t+14；
第34页（共35页）（3）存在某一时刻t，使PQ∥CD，理由如下：
过C作CM⊥AD于M，如图：
由（2）知CM＝ ，
∴AM＝ ＝ ＝ ，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣ ＝ ，
∵PQ∥CD，
∴∠AQP＝∠MDC，
∵∠PAQ＝∠CMD＝90°，
∴△APQ∽△MCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得t＝ ，
答：存在时刻t＝ ，使PQ∥CD．
【点评】本题考查三角形综合应用，涉及旋转变换，相似三角形的判定与性质，三角形、四
边形面积等，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
第35页（共35页）
