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2022年辽宁省抚顺市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）（2022•抚顺）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．﹣ C．5 D．
2．（3分）（2022•抚顺）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视
图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•抚顺）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6 B．a2•a4＝a6 C．a2+a4＝a6 D．a2÷a4＝a6
4．（3分）（2022•抚顺）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
第1页（共35页）5．（3分）（2022•抚顺）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如
下表所示：
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
所售30双女鞋尺码的众数是（ ）
A．25cm B．24cm C．23.5cm D．23cm
6．（3分）（2022•抚顺）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
7．（3分）（2022•抚顺）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如
图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（ ）
A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
8．（3分）（2022•抚顺）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b 与y＝k x+b 的图
1 1 2 2
象分别为直线l 和直线l ，下列结论正确的是（ ）
1 2
A．k •k ＜0 B．k +k ＜0 C．b ﹣b ＜0 D．b •b ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
9．（3分）（2022•抚顺）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余
绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子
第2页（共35页）还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木
长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2022•抚顺）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直
线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y ）
1
与（ ，y ）是抛物线上的两个点，则y ＜y ；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x ＝﹣3，x ＝
2 1 2 1 2
1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共8小题，共小题3分，共24分）
11．（3分）（2022•抚顺）2022年北京冬奥会全冰面速滑馆的冰面面积约为12000平方米，为
亚洲最大，将数据12000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2022•抚顺）分解因式：ax2﹣a＝ ．
13．（3分）（2022•抚顺）反比例函数y＝ 的图象经过点A（1，3），则k的值是 ．
14．（3分）（2022•抚顺）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数 89 134 179 226 271 451 904
m
0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
合格率
第3页（共35页）在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） ．
15．（3分）（2022•抚顺）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB
平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是
．
16．（3分）（2022•抚顺）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径
作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于 AD长为半径作弧，两弧相交于点
E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是 ．
17．（3分）（2022•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边
AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D
和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 ．
18．（3分）（2022•抚顺）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD
上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是
．
第4页（共35页）三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2022•抚顺）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a＝4．
20．（12分）（2022•抚顺）根据防疫需求，某市向全体市民发出“防疫有我”的志愿者招募令，
并设置了5个岗位：A．防疫宣传；B．协助核酸采样；C．物资配送；D．环境消杀；E．心理服
务，众多热心人士积极报名，但每个报名者只能从中选择一个岗位．光明社区统计了本社
区志愿者的报名情况，并将统计结果绘制成如下统计图表．
光明社区志愿者报名情况统计表
岗位 频数（人） 频率
A 60 0.15
B a 0.25
C 160 0.40
D 60 0.15
E 20 c
合计 b 1.00
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）b＝ ，c＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）光明社区约有4000人，请你估计该市市区60万人口中有多少人报名当志愿者？
（4）光明社区从报名“心理服务”岗位的20人中筛选出4名志愿者，这4人中有2人是
一级心理咨询师，2人是二级心理咨询师，现从4人中随机选取2人负责心理服务热线，请
用列表或画树状图的方法求所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率．
第5页（共35页）四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2022•抚顺）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割
机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小
麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时
间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少
于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
22．（12分）（2022•抚顺）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．
一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方
向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192， ≈1.414）
五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2022•抚顺）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单
价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单
价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
第6页（共35页）六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2022•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ODEF的顶点O，D在斜边AB
上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为▱半径的 O恰好经过点D和点
E． ⊙
（1）求证：BC与 O相切；
⊙
（2）若sin∠BAC＝ ，CE＝6，求OF的长．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）（2022•抚顺）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至
AD（AD不与AC重合），旋转角记为 ，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接
EC． α
（1）如图①，当 ＝20°时，∠AEB的度数是 ；
（2）如图②，当α0°＜ ＜90°时，求证：BD+2CE＝ AE；
α
（3）当0°＜ ＜180°，AE＝2CE时，请直接写出 的值．
α
第7页（共35页）八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2022•抚顺）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交
于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD
绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且 ＝ 时，求点D的坐标；
（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
第8页（共35页）2022年辽宁省抚顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．（3分）（2022•抚顺）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．﹣ C．5 D．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查的是相反数的概念，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（3分）（2022•抚顺）如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视
图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．（3分）（2022•抚顺）下列运算正确的是（ ）
A．（a2）4＝a6 B．a2•a4＝a6 C．a2+a4＝a6 D．a2÷a4＝a6
【分析】根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项，同底数幂的除法法则
第9页（共35页）解答即可．
【解答】解：A．（a2）4＝a8，故A选项错误；
B．a2•a4＝a6，故B选项正确；
C．a2+a4≠a6，故C选项错误；
D．a2÷a4＝a﹣2＝ ，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，熟练
掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）（2022•抚顺）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
5．（3分）（2022•抚顺）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如
下表所示：
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
第10页（共35页）销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
所售30双女鞋尺码的众数是（ ）
A．25cm B．24cm C．23.5cm D．23cm
【分析】根据众数的意义解答即可．
【解答】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，23.5出现的次数最多，
∴众数是23.5cm．
故选：C．
【点评】本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键．
6．（3分）（2022•抚顺）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A．x2+x﹣2＝0 B．x2﹣2x＝0 C．x2+x+5＝0 D．x2﹣2x+1＝0
【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的
实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程⇔没有实数根判断即可．
【解答】解：A、Δ＝1⇔ 2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则该方程有两个⇔不相等的实数根，故本选项不
符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、Δ＝12﹣4×1×5＝﹣19＜0，则该方程无实数根，故本选项符合题意；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了根的判别式与方程解的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2
﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
7．（3分）（2022•抚顺）甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，将每次命中的环数绘制成如
图所示统计图．根据统计图得出的结论正确的是（ ）
A．甲的射击成绩比乙的射击成绩更稳定
B．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
第11页（共35页）C．甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
【分析】分别根据方差、众数、平均数和中位数的定义解答即可．
【解答】解：由图可得，甲射击10次的成绩分别为5，6，6，7，5，6，6，6，7，6；乙射击10次的
成绩分别为9，5，3，6，9，10，4，7，8，9．
甲的成绩起伏比乙的成绩起伏小，故A正确，符合题意；
甲的众数是6，乙的众数是9，故B错误，不符合题意；
甲 的 平 均 数 为 × （ 5+6+6+7+5+6+6+6+7+6 ） ＝ 6 ， 乙 的 平 均 数 为 ×
（9+5+3+6+9+10+4+7+8+9）＝7，故C错误，不符合题意；
甲的中位数是6，乙的中位数是7.5，故D错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查数据的收集与整理，熟练掌握方差、众数、平均数和中位数的意义是解题
关键．
8．（3分）（2022•抚顺）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b 与y＝k x+b 的图
1 1 2 2
象分别为直线l 和直线l ，下列结论正确的是（ ）
1 2
A．k •k ＜0 B．k +k ＜0 C．b ﹣b ＜0 D．b •b ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据一次函数y＝k x+b 与y＝k x+b 的图象位置，可得k ＞0，b ＞0，k ＞0，b ＜0，
1 1 2 2 1 1 2 2
然后逐一判断即可解答．
【解答】解：∵一次函数y＝k x+b 的图象过一、二、三象限，
1 1
∴k ＞0，b ＞0，
1 1
∵一次函数y＝k x+b 的图象过一、三、四象限，
2 2
∴k ＞0，b ＜0，
2 2
∴A、k •k ＞0，故A不符合题意；
1 2
B、k +k ＞0，故B不符合题意；
1 2
第12页（共35页）C、b ﹣b ＞0，故C不符合题意；
1 2
D、b •b ＜0，故D符合题意；
1 2
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的位置与系数的关系是解题
的关键．
9．（3分）（2022•抚顺）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余
绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子
还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木
长y尺，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1
尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴ x+1＝y．
∴所列方程组为 ．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
10．（3分）（2022•抚顺）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直
线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y ）
1
与（ ，y ）是抛物线上的两个点，则y ＜y ；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x ＝﹣3，x ＝
2 1 2 1 2
1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
第13页（共35页）A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性
质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y ）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y ），
1 1
∵a＜0，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵ ＞0＞﹣1，
第14页（共35页）∴y ＞y ．
1 2
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a + ，
∵a＜0，
∴当x＝﹣ 时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的
性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信
息与已知条件求得a，b的关系式是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，共小题3分，共24分）
11．（3分）（2022•抚顺）2022年北京冬奥会全冰面速滑馆的冰面面积约为12000平方米，为
亚洲最大，将数据12000用科学记数法表示为 1.2×1 0 4 ．
第15页（共35页）【分析】科学记数法就是用幂的方式来表示，写成a×10n的形式，其中n＝位数﹣1．
【解答】解：12000用科学记数法表示为1.2×104．
故答案为：1.2×104．
【点评】本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数
时要注意其指数是正指数、还是负指数．
12．（3分）（2022•抚顺）分解因式：ax2﹣a＝ a （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：ax2﹣a，
＝a（x2﹣1），
＝a（x+1）（x﹣1）．
【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，分解因式要彻底，直
到不能再分解为止．
13．（3分）（2022•抚顺）反比例函数y＝ 的图象经过点A（1，3），则k的值是 3 ．
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是
解答本题的关键．
14．（3分）（2022•抚顺）质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：
抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000
合格产品数 89 134 179 226 271 451 904
m
0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
合格率
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数） 0. 9 ．
【分析】根据表格中的数据和四舍五入法，可以得到在这批产品中任取一件，恰好是合格
产品的概率．
【解答】解：由表格中的数据可得，
在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是0.9，
第16页（共35页）故答案为：0.9．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．
15．（3分）（2022•抚顺）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB
平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是
（ 1 ， 2 ） ．
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（3，2）的对应点C的坐标为（﹣1，2），
∴平移规律为向左平移4个单位，
∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移
减；纵坐标上移加，下移减．
16．（3分）（2022•抚顺）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径
作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于 AD长为半径作弧，两弧相交于点
E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是 18 ° ．
【分析】由尺规作图可得CF⊥AB，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可．
【解答】解：由作图可得，AF⊥AB，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠B＝36°，
又∵AB＝AC，∠B＝54°，
∴∠ACB＝∠B＝54°，
∴∠ACF＝54°﹣36°＝18°，
故答案为：18°．
【点评】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角
形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提．
第17页（共35页）17．（3分）（2022•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，点P为斜边
AB上的一个动点（点P不与点A、B重合），过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D
和点E，连接DE，PC交于点Q，连接AQ，当△APQ为直角三角形时，AP的长是 3 或 2
．
【分析】由已知求出AB＝4，AC＝2 ，再分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况进行讨
论，即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
当∠APQ＝90°时，如图1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴AP＝3，
第18页（共35页）当∠AQP＝90°时，如图2，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形DPEC是矩形，
∴CQ＝QP，
∵∠AQP＝90°，
∴AQ垂直平分CP，
∴AP＝AC＝2 ，
综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2 ，
故答案为：3或2 ．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含30度角的直角
三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与
性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
18．（3分）（2022•抚顺）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD
上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是
5 ﹣ 5 ．
【分析】由翻折知BF＝BA＝10，得点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，可知当点
G、F、B三点共线时，GF最小，再利用面积法可得AE的长．
【解答】解：∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，
∴BF＝BA＝10，
∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，
第19页（共35页）∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，
连接EG，设AE＝x，
由勾股定理得，BG＝5 ，
∵S梯形ABGD ＝S△EDG +S△ABE +S△EBG ，
∴ （5+10）×10＝ + + ，
解得x＝5 ﹣5，
∴AE＝5 ﹣5，
故答案为：5 ﹣5．
【点评】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点G、F、B三点共
线时，GF最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）（2022•抚顺）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a＝4．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝[ + ]•
＝ •
＝ ，
当a＝4时，原式＝ ＝2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（12分）（2022•抚顺）根据防疫需求，某市向全体市民发出“防疫有我”的志愿者招募令，
并设置了5个岗位：A．防疫宣传；B．协助核酸采样；C．物资配送；D．环境消杀；E．心理服
务，众多热心人士积极报名，但每个报名者只能从中选择一个岗位．光明社区统计了本社
第20页（共35页）区志愿者的报名情况，并将统计结果绘制成如下统计图表．
光明社区志愿者报名情况统计表
岗位 频数（人） 频率
A 60 0.15
B a 0.25
C 160 0.40
D 60 0.15
E 20 c
合计 b 1.00
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）b＝ 40 0 ，c＝ 0.0 5 ；
（2）补全条形统计图；
（3）光明社区约有4000人，请你估计该市市区60万人口中有多少人报名当志愿者？
（4）光明社区从报名“心理服务”岗位的20人中筛选出4名志愿者，这4人中有2人是
一级心理咨询师，2人是二级心理咨询师，现从4人中随机选取2人负责心理服务热线，请
用列表或画树状图的方法求所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率．
【分析】（1）根据A岗位的频数和频率，可以计算出统计的志愿者总人数，然后再计算出c
的值即可；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出a的值，从而可以将条形统计
图补充完整；
（3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该市市区60万人口中有多少人报名当志愿
者；
第21页（共35页）（4）根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）统计的志愿者总人数为：60÷0.15＝400，
∴b＝400，
c＝20÷400＝0.05，
故答案为：400，0.05；
（2）a＝400×0.25＝100，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）60× ＝6（万人），
答：估计该市市区60万人口中有6万人报名当志愿者；
（4）设一级心理咨询师用A表示，二级心理咨询师用B表示，
树状图如下所示：
由上可得，一共有12种可能性，其中所选2人恰好都是一级心理咨询师有2种可能性，
∴所选2人恰好都是一级心理咨询师的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数分布表、条形统计图，解答本题的关键是明确题
意，利用数形结合的思想解答．
第22页（共35页）四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）（2022•抚顺）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割
机进行小麦收割作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小
麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时
间相同．
（1）一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
（2）该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少
于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？
【分析】（1）设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天收
割小麦（x+2）公顷，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合一台A型收割机收割15公
顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同，即可得出关于x的分
式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排m台A型收割机，则安排（12﹣m）台B型收割机，根据要确保每天完成不少于
50公顷的小麦收割任务，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可
得出结论．
【解答】解：（1）设一台B型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台A型收割机平均每天
收割小麦（x+2）公顷，
依题意得： ＝ ，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝3+2＝5．
答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷．
（2）设安排m台A型收割机，则安排（12﹣m）台B型收割机，
依题意得：5m+3（12﹣m）≥50，
解得：m≥7．
答：至少要安排7台A型收割机．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）（2022•抚顺）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．
一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方
第23页（共35页）向．求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192， ≈1.414）
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，根据题意得：∠BAC＝50°，∠BCA＝45°，然后在
Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD，BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三
角函数的定义求出CD的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意得：
∠BAC＝25°+25°＝50°，∠BCA＝70°﹣25°＝45°，
在Rt△ABD中，AB＝100海里，
∴AD＝AB•cos50°≈100×0.643＝64.3（海里），
BD＝AB•sin50°≈100×0.766＝76.6（海里），
在Rt△BDC中，CD＝ ＝76.6（海里），
∴AC＝AD+CD＝64.3+76.6≈141（海里），
∴此时货轮与A港口的距离约为141海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形
第24页（共35页）添加适当的辅助线是解题的关键．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）（2022•抚顺）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单
价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单
价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析
式；
（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值
范围求出函数最值．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知： ，
解得： ，
故y与x的函数关系式为y＝﹣20x+500；
（2）∵y＝﹣20x+500，
∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）
＝﹣20x2+760x﹣6500
＝﹣20（x﹣19）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当x＜19时，w随x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴当x＝18时，w有最大值，最大值为700，
∴售价定为18元/件时，每天最大利润为700元．
第25页（共35页）【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）（2022•抚顺）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ODEF的顶点O，D在斜边AB
上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为▱半径的 O恰好经过点D和点
E． ⊙
（1）求证：BC与 O相切；
⊙
（2）若sin∠BAC＝ ，CE＝6，求OF的长．
【分析】（1）连接OE，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形AOEF是平行四边形，
则OE∥AC，从而得出∠OEB＝90°，从而证明结论；
（2）过点F作FH⊥OA于点H，根据sin∠CFE＝sin∠CAB＝ ，可得EF的长，由OA＝
OE，得 AOEF是菱形，则AF＝AO＝EF＝10，从而得出FH和AH的长，进而求出OF的
长． ▱
【解答】（1）证明：连接OE，
∵四边形ODEF是平行四边形，
∴EF∥OD，EF＝OD，
∵OA＝OD，
∴EF∥OA，EF＝OA，
∴四边形AOEF是平行四边形，
第26页（共35页）∴OE∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是 O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）解⊙：过点F作FH⊥OA于点H，
∵四边形AOEF是平行四边形，
∴EF∥OA，
∴∠CFE＝∠CAB，
∴sin∠CFE＝sin∠CAB＝ ，
在Rt△CEF中，∠ACB＝90°，
∵CE＝6，sin∠CFE＝ ，
∴EF＝ ，
∵四边形AOEF是平行四边形，且OA＝OE，
∴ AOEF是菱形，
∴▱AF＝AO＝EF＝10，
在Rt△AFH中，∠AHF＝90°，
∵AF＝10，sin∠CAB＝ ，
∴FH＝AF ，
第27页（共35页）∵AH2＝AF2﹣FH2，
∴AH＝ ，
∴OH＝AO﹣AH＝10﹣8＝2，
在Rt△OFH中，∠FHO＝90°，
∵OF2＝OH2+FH2，
∴OF＝ ，
∴OF＝2 ．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾
股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）（2022•抚顺）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，线段AB绕点A逆时针旋转至
AD（AD不与AC重合），旋转角记为 ，∠DAC的平分线AE与射线BD相交于点E，连接
EC． α
（1）如图①，当 ＝20°时，∠AEB的度数是 45 ° ；
（2）如图②，当α0°＜ ＜90°时，求证：BD+2CE＝ AE；
α
（3）当0°＜ ＜180°，AE＝2CE时，请直接写出 的值．
α
【分析】（1）由旋转的性质得出∠BAD＝20°，AB＝AD，求出∠DAE＝ ∠DAC＝35°，由三
角形外角的性质可求出答案；
（2）延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，证明△ADE≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质
可得出∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，证明△ABF≌△ACE（SAS），由全等三
第28页（共35页）角形的性质可得出AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）解：∵线段AB绕点A逆时针旋转 至AD， ＝20°，
∴∠BAD＝20°，AB＝AD， α α
∴∠ADB＝∠ABD＝ ×（180°﹣20°）＝80°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝70°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝ ∠DAC＝35°，
∴∠AEB＝∠ADB﹣∠DAE＝80°﹣35°＝45°，
故答案为：45°；
（2）证明：延长DB到F，使BF＝CE，连接AF，
∵AB＝AC，AD＝AB，
∴AD＝AC，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SAS），
∴∠DEA＝∠CEA，∠ADE＝∠ACE，DE＝CE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠ACE+∠ABD＝180°，
第29页（共35页）∵∠BAC＝90°，
∴∠BEC＝360°﹣（∠ACE+∠ABD）﹣∠BAC＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∵∠DEA＝∠CEA，
∴∠DEA＝∠CEA＝ 90°＝45°，
∵∠ABF+∠ABD＝180°，∠ACE+∠ABD＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠AFB＝∠AEC＝45°，
∴∠FAE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△AFE中，∠FAE＝90°，
∵cos∠AEF＝ ，
∴EF＝ ，
∵EF＝BF+BD+DE＝CE+BD+CE＝BD+2CE，
∴BD+2CE＝ AE；
（3）解：如图3，当0°＜ ＜90°时，
α
由（2）可知BD+2CE＝ AE，CE＝DE，
∵AE＝2CE，
∴BD+2DE＝2 DE，
∴ ＝2 ；
如图4，当90°＜ ＜180°时，
α
第30页（共35页）在BD上截取BF＝DE，连接AF，方法同（2）可证△ADE≌△ACE（SAS），
∴DE＝CE，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴∠EAF＝∠FAC+∠CAE＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF＝ AE，
∴BD＝BF+DE+EF＝2DE+ AE，
∵AE＝2CE＝2DE，
∴BD＝2DE+2 DE，
∴ +2．
综上所述， 的值为2 +2或2 ﹣2．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质、等
腰直角三角形的性质、旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的
关键．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）（2022•抚顺）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交
于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD
绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限且 ＝ 时，求点D的坐标；
第31页（共35页）（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
【分析】（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，即可求解；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），由
DH∥OC，可得 ＝ ＝ ，求出D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交
于点M，证明△MDF≌△NOD（AAS），可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为（ ，
2）或（ ，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL
交于点K，证明△KDF≌△LFO（AAS），得到D点纵坐标为4，求得D（0，4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
第32页（共35页）∴y＝x+4，
设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴ ＝ ＝ ，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）设F（t，t+4），
当∠FDO＝45°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D点纵坐标为2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝ 或x＝ ，
∴D点坐标为（ ，2）或（ ，2）；
当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
第33页（共35页）∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D点纵坐标为4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
综上所述：D点坐标为（ ，2）或（ ，2）或（0，4）或（﹣3，4）．
第34页（共35页）【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等
的判定及性质，灵活应用平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
第35页（共35页）
