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2022年辽宁省盘锦市中考数学试卷
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1．（3分）（2022•盘锦）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．（3分）（2022•盘锦）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．
“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成
的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是
（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022•盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2m+2n＝2m+n B．3﹣2＝﹣9
C．（2x）3＝8x3 D．10b6÷2b2＝5b3
4．（3分）（2022•盘锦）今年4月，盘锦港举行31400吨外贸进口散装氧化铝“潘神”轮接卸
剪彩仪式，数据31400用科学记数法表示为（ ）
A．0.314×105 B．3.14×104 C．31.4×103 D．314×102
5．（3分）（2022•盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C．过任意三点可以画一个圆
D．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形
6．（3分）（2022•盘锦）以下问题，不适合采用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
第1页（共36页）C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
7．（3分）（2022•盘锦）一位经销商计划进一批“运动鞋”，他到一所学校对初二的100名男
生的鞋号进行了调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（3分）（2022•盘锦）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共
做140个零件，若设甲每天做x个零件，所列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝140 D． ﹣140＝
9．（3分）（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标
分别是（2，2 ），（﹣1，﹣ ），点D在第一象限，则点D的坐标是（ ）
A．（6，2 ） B．（8，2 ） C．（6， ） D．（8， ）
10．（3分）（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接
DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设
BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
第2页（共36页）C． D．
二、填空题（本题包括8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2022•盘锦）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
12．（3分）（2022•盘锦）写出一个比 大且比 小的整数 ．
13．（3分）（2022•盘锦）关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣ ＝0有两个相等的实数根，则m
＝ ．
14．（3分）（2022•盘锦）从不等式组 所有整数解中任取一个数，它是偶数的
概率是 ．
15．（3分）（2022•盘锦）小云和小天练习射击，一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．
根据图中的信息，小云和小天两人中成绩较稳定的是 ．
16．（3分）（2022•盘锦）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝3．按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直
线MN．若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是 ．
17．（3分）（2022•盘锦）如图，四边形OABC是平行四边形，AB＝1，以点O为圆心，OC长为
半径的 O与AB相切于点B，与AO相交于点D．则图中阴影部分的面积为 ．
⊙ 第3页（共36页）18．（3分）（2022•盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，
E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对
角线上时，则折痕EF的长是 ．
三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）
19．（8分）（2022•盘锦）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中a＝sin45°+2，b＝
tan45°．
20．（14分）（2022•盘锦）为更好的开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程
度，某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试．并将测试结果分为A优秀，B良好，C合
格，D不合格．将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回
答下列问题：
（1）本次调查了 名学生；
（2）补全条形统计图（并标注频数）；
（3）扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为 度；
（4）该校共有800名学生，请你估计“良好”以上的学生有 名；
（5）在测试成绩为“优秀”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，
学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表法或画树状图法，求出被
选中的两人恰好是一男一女的概率．
第4页（共36页）四、解答题（本题10分）
21．（10分）（2022•盘锦）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，
反比例函数y＝ 的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）坐标平面内有一点D，若以A，O，B，D为顶点的四边形是菱形，请直接写出D的坐标．
五、解答题（第22题10分，第23题12分，共22分）
22．（10分）（2022•盘锦）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达
东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的
图书馆C处．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；
（2）若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内
能否到达公共汽车站？
第5页（共36页）23．（12分）（2022•盘锦）如图，△ABC内接于 O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交 O于点
D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延⊙长线交于点E． ⊙
（1）求证：CE与 O相切；
（2）若AD＝4，∠⊙D＝60°，求线段AB，BC的长．
六、解答题（本题14分）
24．（14分）（2022•盘锦）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，
建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售
量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
x（天） 1 2 3 … x
每天的销售量（千克） 10 12 14 …
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成
本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
（1）将表格中的最后一列补充完整；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
第6页（共36页）七、解答题（本题14分）
25．（14分）（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝
90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将
Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为 （0°≤ ≤360°）．
（1）如图1，当 ＝0°时，DG与PG的关α 系为 α ；
（2）如图2，当α＝90°时
①求证：△AGD≌α △FGM；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2022•盘锦）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点（A在B
的左侧），与y轴交于点C（0，9），点D在y轴正半轴上，OD＝4，点P是线段OB上的一点，
过点B作BE⊥DP，BE交DP的延长线于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若 ＝ ，求点P的坐标；
（3）点F为第一象限抛物线上一点，在（2）的条件下，当∠FPD＝∠DPO时，求点F的坐
第7页（共36页）标．
第8页（共36页）2022年辽宁省盘锦市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1．（3分）（2022•盘锦）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）（2022•盘锦）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．
“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成
的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得到的视图，进而得出答案．
【解答】解：该几何体的俯视图是：
．
故选：A．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形
是解决本题的关键．
第9页（共36页）3．（3分）（2022•盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2m+2n＝2m+n B．3﹣2＝﹣9
C．（2x）3＝8x3 D．10b6÷2b2＝5b3
【分析】A、根据合并同类项法则计算判断即可；
B、根据负整数指数幂计算判断即可；
C、根据积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可；
D、根据单项式的除法运算法则计算判断即可．
【解答】解：A、2m与2n不是同类项，不能合并，不合题意；
B、原式＝ ，不合题意；
C、原式＝8x3，符合题意；
D、原式＝5b4，不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查的是合并同类项法则、负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方运算、单项式
的除法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
4．（3分）（2022•盘锦）今年4月，盘锦港举行31400吨外贸进口散装氧化铝“潘神”轮接卸
剪彩仪式，数据31400用科学记数法表示为（ ）
A．0.314×105 B．3.14×104 C．31.4×103 D．314×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：31400用科学记数法表示为31400＝3.14×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2022•盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
B．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
C．过任意三点可以画一个圆
D．对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定判断A，D选项；根据三角形的内心是三角形三个角的平分线的交
第10页（共36页）点判断B选项；根据确定圆的条件判断C选项．
【解答】解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B选项，三角形的内心到三角形三个边的距离相等，故该选项不符合题意；
C选项，不在同一直线上的三点确定一个圆，故该选项不符合题意；
D选项，对角线互相平分且有一个角是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定，确定圆的条件，三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内
心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．
6．（3分）（2022•盘锦）以下问题，不适合采用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具
体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择
普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间
都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，应当全面调查，故本选项不合题意；
B、旅客上飞机前的安检，应当采用全面调查，故本选项不合题意；
C、学校招聘教师，对应聘人员面试，应当全面调查，故本选项不合题意；
D、了解全省七年级学生的视力情况，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选
项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、
物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
7．（3分）（2022•盘锦）一位经销商计划进一批“运动鞋”，他到一所学校对初二的100名男
生的鞋号进行了调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，故应注意众数的大小．
【解答】解：根据题意可得：经销商最感兴趣的是这组鞋号中那个尺码最多，即这组数据的
众数．
第11页（共36页）故选：C．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
8．（3分）（2022•盘锦）甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共
做140个零件，若设甲每天做x个零件，所列方程正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝140 D． ﹣140＝
【分析】先根据题意得出乙每天做（140﹣x）个，再分别表示出甲做360个零件与乙做480
个零件所用的时间，根据等量关系即可列出方程．
【解答】解：设甲每天做x个零件，
∵两人每天共做140个零件，
∴乙每天做（140﹣x）个，
∴甲做360个零件所用的时间为 ，乙做480个零件所用的时间为 个，
∵甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，
∴ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分别表示出甲做360个零件与乙做480
个零件所用的时间．
9．（3分）（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标
分别是（2，2 ），（﹣1，﹣ ），点D在第一象限，则点D的坐标是（ ）
A．（6，2 ） B．（8，2 ） C．（6， ） D．（8， ）
【分析】由A，B两点的坐标可得AB的长，即AD的长，进而可得点D的横坐标，点D的纵
坐标则与点A的纵坐标相等，可得点D的坐标．
【解答】解：∵A，B两点的坐标分别是（2，2 ），（﹣1，﹣ ），
第12页（共36页）∴AB＝ ＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴点D的横坐标为2+6＝8，
观察图形可知，点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为2 ，
故点D的坐标是（8，2 ）．
故选：B．
【点评】本题主要考查菱形的性质，坐标与图形的性质，关键是能够熟练求解坐标与图形
的结合问题．
10．（3分）（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接
DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设
BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】方法一：根据P点在C点右侧时，BP越大，则四边形BFEP的面积越大，即可以得
出只有D选项符合要求；
方法二：分两种情况分别求出y与x的关系式，根据x的取值判断函数图象即可．
【解答】解：方法一：由题意知，当P点在C点右侧时，BP越大，则则四边形BFEP的面积
越大，
第13页（共36页）故D选项符合题意；
方法二：如下图，当P点在BC之间时，作EH⊥BC于H，
∵∠DPE＝90°，
∴∠DPC+∠EPH＝90°，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∴∠EPH＝∠PDC，
在△EPH和△PDC中，
，
∴△EPH≌△PDC（AAS），
∵BP＝x，AB＝BC＝2，
∴PC＝EH＝2﹣x，
∴四边形BPEF的面积y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，
同理可得当P点在C点右侧时，EH＝PC＝x﹣2，
∴四边形BPEF的面积y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，
综上所述，当0＜x＜2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x＞2时，函数图象为开
口方向向上的抛物线，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本题包括8小题，每小题3分，共24分）
第14页（共36页）11．（3分）（2022•盘锦）分解因式：2x2﹣4x+2＝ 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝
a2±2ab+b2．
【解答】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要
进行二次分解因式．
12．（3分）（2022•盘锦）写出一个比 大且比 小的整数 3 （答案不唯一） ．
【分析】先对 和 进行估算，再根据题意即可得出答案．
【解答】解：∵ ＜2＜3＜4＜ ，
∴写出一个比 大且比 小的整数如3（答案不唯一）；
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，估算出 ＜2＜3＜4＜ 是解题的关键．
13．（3分）（2022•盘锦）关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣ ＝0有两个相等的实数根，则m
＝ ﹣ 1 ．
【分析】由方程mx2﹣mx﹣ ＝0有两个相等的实数根可得Δ＝0，即可得出关于m的一元
二次方程，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣mx﹣ ＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴b2﹣4ac＝0，
即m2﹣4×m×（﹣ ）＝0，
解得：m＝0或m＝﹣1，
当m＝0时，
原方程不是一元二次方程，不符合题意，故舍去，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
第15页（共36页）的根与Δ＝b2﹣4ac之间的关系．
14．（3分）（2022•盘锦）从不等式组 所有整数解中任取一个数，它是偶数的
概率是 ．
【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【解答】解： ，
由①得：x≤6，
由②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：1＜x≤6，
∴整数解有：2，3，4，5，6；
∴它是偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求
情况数与总情况数之比．
15．（3分）（2022•盘锦）小云和小天练习射击，一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图所示．
根据图中的信息，小云和小天两人中成绩较稳定的是 小天 ．
【分析】观察图象可得：小天的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小天的成绩较为稳
定．
【解答】解：从图中看出：小天的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定．
故答案为：小天．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这
第16页（共36页）组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
16．（3分）（2022•盘锦）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝3．按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直
线MN．若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是 4 ．
【分析】如图，设MN交CD于点T．利用勾股定理求出AT，可得结论．
【解答】解：如图，设MN交CD于点T．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∵AT垂直平分线段CD，
∴CT＝TD＝1，AD＝AC＝3，
∴AT＝ ＝ ＝2 ，
∴S平行四边形ABCD ＝CD•AT＝2×2 ＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（3分）（2022•盘锦）如图，四边形OABC是平行四边形，AB＝1，以点O为圆心，OC长为
半径的 O与AB相切于点B，与AO相交于点D．则图中阴影部分的面积为 ．
⊙
第17页（共36页）【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBA＝90°，根据平行四边形的性质可得AB＝OC
＝OB＝1，从而可得∠AOB＝45°，然后利用阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣扇形DOB
的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接OB，
∵AB与 O相切于点B，
∴∠OBA⊙＝90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AB＝OB＝1，
∴∠AOB＝∠OAB＝45°，
∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣扇形DOB的面积
＝ AB•OB﹣
＝ ×1×1﹣
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性
质，以及平行四边形的性质是解题的关键．
18．（3分）（2022•盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，
第18页（共36页）E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对
角线上时，则折痕EF的长是 或 ．
【分析】分两种情况，分别画出图形：当G在AC上时，连接DG交EF于M，证明∠AGD＝
90°，从而EF∥AC，得EF是△ADC的中位线，可得EF＝ ；当G在BD上，设BD交EF
于N，证明△ABD∽△DEF，可得 ＝ ，EF＝ ．
【解答】解：当G在AC上时，连接DG交EF于M，如图：
∵E是AD中点，
∴AE＝DE，
∵将△DEF沿EF折叠，
∴DE＝GE，∠DME＝∠GME＝90°，
∴AE＝DE＝GE，
∴∠EAG＝∠EGA，∠EDG＝∠EGD，
∵∠EAG+∠EGA+∠EDG+∠EGD＝180°，
∴2∠EGA+2∠EGD＝180°，
∴∠EGA+∠EGD＝90°，即∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠DME，
∴EF∥AC，
第19页（共36页）∵E是AD中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝ AC，
∵AC＝ ＝ ＝ ＝5，
∴EF＝ ；
当G在BD上，设BD交EF于N，如图：
∵将△DEF沿EF折叠，
∴∠DNF＝90°，
∴∠DFN＝90°﹣∠FDN＝∠ADB，
∵∠EDF＝90°＝∠BAD，
∴△ABD∽△DEF，
∴ ＝ ，
∵BD＝AC＝5，DE＝ AD＝2，
∴ ＝ ，
∴EF＝ ，
综上所述，折痕EF的长是 或 ．
【点评】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线等
知识，解题的关键是掌握翻折的性质．
三、解答题（第19题8分，第20题14分，共22分）
第20页（共36页）19．（8分）（2022•盘锦）先化简，再求值：1﹣ ÷ ，其中a＝sin45°+2，b＝
tan45°．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a、b的值化简，最后代
入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝1﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝ ．
∵a＝sin45°+2＝ +2，b＝tan45°＝1，
∴原式＝ ＝﹣ ．
【点评】本题考查实数的运算以及分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运
算、乘除运算法则、特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型．
20．（14分）（2022•盘锦）为更好的开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程
度，某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试．并将测试结果分为A优秀，B良好，C合
格，D不合格．将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回
答下列问题：
（1）本次调查了 5 0 名学生；
（2）补全条形统计图（并标注频数）；
（3）扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为 7 2 度；
（4）该校共有800名学生，请你估计“良好”以上的学生有 40 0 名；
（5）在测试成绩为“优秀”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，
学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表法或画树状图法，求出被
选中的两人恰好是一男一女的概率．
第21页（共36页）【分析】（1）由优秀的人数除以所占百分比即可；
（2）求出C合格的人数，补全条形统计图即可；
（3）由360°乘以“B良好”所占的比例即可；
（4）由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可；
（5）画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生人数为：15÷30%＝50（名），
故答案为：50；
（2）C合格的人数为：50﹣15﹣10﹣5＝20（名），
补全条形统计图如下：
（3）扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为：360°× ＝72°，
故答案为：72；
（4）该校共有800名学生，估计“良好”以上的学生有：800× ＝400（名），
故答案为：400；
（5）画树状图如下：
第22页（共36页）共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，
∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（本题10分）
21．（10分）（2022•盘锦）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，
反比例函数y＝ 的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）坐标平面内有一点D，若以A，O，B，D为顶点的四边形是菱形，请直接写出D的坐标．
【分析】（1）过点B作BE⊥x轴于点E，根据等边三角形的性质可得出点B的坐标，代入解
析式可得出反比例函数的解析式；
（2）由题意可知△ABO是等边三角形，根据菱形的性质可知，需要分三种情况：当OA为
对角线，当OB为对角线，当AB为对角线，利用平行四边形的性质可直接得出点D的坐标．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，如图，
第23页（共36页）∵△ABO是等边三角形，A（2，0），
∴OA＝OB＝AB＝2，∠BOA＝∠BAO＝60°，
∴BE＝AE＝1，BE＝ ，
∴B（1， ），
∵反比例函数y＝ 的图象经过点B（1， ）．
∴k＝ ．
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
（2）若以A，O，B，D为顶点的四边形是菱形，需要分三种情况：
①当OA为对角线，有x +x ＝x +x ，y +y ＝y +y ，
O A B D O A B D
∵O（0，0），A（2，0），B（1， ），
∴0+2＝1+x ，0+0＝ +y ，
D D
∴x ＝1，y ＝﹣ ．
D D
∴D（1，﹣ ）．
②当OB为对角线，有x +x ＝x +x ，y +y ＝y +y ，
O B A D B O D A
∵O（0，0），A（2，0），B（1， ），
∴0+1＝2+x ， +0＝0+y ，
D D
∴x ＝﹣1，y ＝ ．
D D
∴D（﹣1， ）．
③当AB为对角线，有x +x ＝x +x ，y +y ＝y +y ，
A B O D A B O D
∵O（0，0），A（2，0），B（1， ），
∴2+1＝0+x ，0+ ＝0+y ，
D D
∴x ＝3，y ＝ ．
D D
∴D（3， ）．
综上，若以A，O，B，D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为（1，﹣ ）或（﹣1， ）或
第24页（共36页）（3， ）．
【点评】本题属于反比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，菱形的性质与判
定，分类讨论思想等知识，解题关键是进行正确的分类讨论，并根据平行四边形的性质得
出方程．
五、解答题（第22题10分，第23题12分，共22分）
22．（10分）（2022•盘锦）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达
东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的
图书馆C处．（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
（1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；
（2）若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内
能否到达公共汽车站？
【分析】（1）过点A作AD⊥C于点D，根据B位于A的北偏东30°方向和AB＝2000米可
得AD的长度；
（2）根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵B位于A的北偏东30°方向，AB＝2000米，
第25页（共36页）∴∠B＝30°，AD＝ AB＝1000（米），
答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米；
（2）Rt△ADC中，
∵∠DAC＝45°，AD＝1000米，
∴AC＝ ＝1000 ≈1414（米），
∵1414＜15×100，
∴小欢15分钟内能到达公共汽车站．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，将解直角三角形的相关知识与
实际生活有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
23．（12分）（2022•盘锦）如图，△ABC内接于 O，∠ABC＝45°，连接AO并延长交 O于点
D，连接BD，过点C作CE∥AD与BA的延⊙长线交于点E． ⊙
（1）求证：CE与 O相切；
（2）若AD＝4，∠⊙D＝60°，求线段AB，BC的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得∠AOC＝90°，再根据AD∥EC，可得∠OCE＝
90°，从而证明结论；
（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD＝90°，又AD＝4，∠D
＝60°，即得AB＝ BD＝2 ，根据∠ABC＝45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF＝BF
＝ AB＝ ，又△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，得AC＝2 ，故CF＝
第26页（共36页）＝ ，从而BC＝BF+CF＝ + ．
【解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∵AD∥EC，
∴∠AOC+∠OCE＝180°，
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴CE是 O的切线；
（2）解⊙：过点A作AF⊥BC于F，如图：
∵AD是圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
第27页（共36页）∵AD＝4，∠D＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝ AD＝2，
∴AB＝ BD＝2 ；
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF＝ AB＝ ×2 ＝ ，
∵△AOC是等腰直角三角形，OA＝OC＝2，
∴AC＝2 ，
∴CF＝ ＝ ＝ ，
∴BC＝BF+CF＝ + ．
答：线段AB的长为2 ，线段BC的长为 + ．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等
知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
六、解答题（本题14分）
24．（14分）（2022•盘锦）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，
建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售
量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
x（天） 1 2 3 … x
每天的销售量（千克） 10 12 14 … 2 x + 8
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成
本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
（1）将表格中的最后一列补充完整；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
第28页（共36页）【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一
次函数关系式，根据关系式填表即可；
（2）根据图象写出分段函数即可；
（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设每天的销量为z，
∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，
∴z＝sx+t，
∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，
∴ ，
解得 ，
即z＝2x+8，
故答案为：2x+8；
（2）由函数图象知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图象过（10，14），（20，9），
设y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+19（0＜x≤20），
当20＜x≤30时，y＝9，
∴y关于x的函数关系式为y＝ ；
（3）由题意知，当0＜x≤20时，
第29页（共36页）w＝（2x+8）（﹣ x+19）＝﹣x2+34x+152＝﹣（x﹣17）2+1041，
∴此时当x＝17时，w有最大值为1041，
当20＜x≤30时，
w＝（2x+8）×9＝18x+72，
∴此时当x＝30时，w有最大值为612，
综上所述，销售草莓的第17天时，当天的利润最大，最大利润是1041元．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函
数的图象和性质及二次函数的应用是解题的关键．
七、解答题（本题14分）
25．（14分）（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝
90°，点E在BC上，点F在CD上，P为EF中点，连接AF，G为AF中点，连接PG，DG，将
Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为 （0°≤ ≤360°）．
（1）如图1，当 ＝0°时，DG与PG的关α 系为 α DG ＝ PG ；
（2）如图2，当α＝90°时
①求证：△AGD≌α △FGM；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）先判断出△ABE≌△ADF，得出AE＝AF，再用直角三角形斜边的中线等于斜
边的一半和三角形中位线定理，即可得出结论；
（2）①先判断出∠DAG＝∠MFG，再判断出AG＝FG，即可得出结论；
②由①知，△AGD≌△FGM，得出DG＝MG，AD＝FM＝BC，进而得出CM＝CF，由（1）
知，DE＝CF，得出CM＝DE，进而判断出△ADE≌△DCM，得出AE＝DM，最后同①的方
法即可得出结论．
第30页（共36页）【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝AD＝CD，
∵△ECF为等腰直角三角形，
∴CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∵点G是AF的中点，
∴DG＝ AF，
∴DG＝ AE，
∵P为EF中点，G为AF中点，
∴PG是△AEF的中位线，
∴PG＝ AE，
∴DG＝PG，
故答案为：DG＝PG；
（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAG＝∠MFG，
∵点G是AF的中点，
∴AG＝FG，
在△AGD和△FGM中，
，
∴△AGD≌△FGM（ASA）；
解：②（1）中的结论DG＝PG成立，
证明：由①知，△AGD≌△FGM，
∴DG＝MG，AD＝FM＝BC，
第31页（共36页）∴BM＝CF＝ BC，
∴CM＝CF，
由（1）知，DE＝CF，
∴CM＝DE，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠DCM＝90°，
∴△ADE≌△DCM（SAS），
∴AE＝DM，
∵点G是DM的中点，
∴MG＝ DM＝ AE，
∵P为EF中点，G为AF中点，
∴PG是△AEF的中位线，
∴PG＝ AE，
∴DG＝PG．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰
直角三角形的性质，三角形的中位线定理，判断出AE＝DM是解（2）②的关键．
八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2022•盘锦）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点（A在B
的左侧），与y轴交于点C（0，9），点D在y轴正半轴上，OD＝4，点P是线段OB上的一点，
过点B作BE⊥DP，BE交DP的延长线于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若 ＝ ，求点P的坐标；
（3）点F为第一象限抛物线上一点，在（2）的条件下，当∠FPD＝∠DPO时，求点F的坐
标．
第32页（共36页）【分析】（1）将A（﹣3，0），C（0，9）代入抛物线y＝﹣ x2+bx+c，建立方程组，求解即可；
（2）易证△DPO∽△BPE，所以 ＝ ＝ ＝ ，设OP＝（t 0＜t＜6），所以BP
＝6﹣t，由相似比可得，BE2＝ ，PE2＝ ，在Rt△BPE中，利用勾股定理建立方程可
求出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）如过点D作DG⊥PF于点G，过点G作GN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥GN交NG
的延长线于点M，易证△DPO≌△DPG（AAS），所以OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，由一线三
等角可得△MDG∽△NGP，所以DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，设PN＝m，则MG＝
2m，所以GN＝4﹣2m，DM＝8﹣4m，由平行四边形的性质可得8﹣4m＝2+m，解得m＝ ，
可得G（ ， ），由待定系数法可求得直线PF的解析式为：y＝ x﹣ ．联立直线PF的
解析式和抛物线的解析式可得出点F的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），C（0，9）代入抛物线y＝﹣ x2+bx+c，
∴ ，
第33页（共36页）解得 ．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+ x+9．
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣ x2+ x+9，
∴B（6，0）．
∵BE⊥DP，
∴∠E＝∠DOP＝90°，
∵∠DPO＝∠BPE，
∴△DPO∽△BPE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设OP＝t（0＜t＜6），
∴BP＝6﹣t，
∴BE2＝ ，PE2＝ ，
在Rt△BPE中，由勾股定理可得，BE2+PE2＝PB2，
∴ + ＝（6﹣t）2，解得t＝58（舍）或t＝2，
∴P（2，0）；
（3）如图，过点D作DG⊥PF于点G，过点G作GN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥GN交
NG的延长线于点M，
第34页（共36页）∴∠DOP＝∠DGP＝90°，
∵∠FPD＝∠DPO，DP＝DP，
∴△DPO≌△DPG（AAS），
∴OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，
∵GN⊥x轴，DM⊥GN，
∴∠M＝∠GNP＝90°，
∵∠DGM+∠MDG＝∠DGM+∠PGN＝90°，
∴∠MDG＝∠PGN，
∴△MDG∽△NGP，
∴DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，
设PN＝m，则MG＝2m，
∴GN＝4﹣2m，
∴DM＝8﹣4m，
∴8﹣4m＝2+m，解得m＝ ，
∴ON＝2+ ＝ ，GN＝4﹣2× ＝ ，
∴G（ ， ），
设直线PF的解析式为：y＝kx+b′，
∴ ，
第35页（共36页）解得 ，
∴直线PF的解析式为：y＝ x﹣ ．
令 x﹣ ＝﹣ x2+ x+9，解得x＝5或x＝﹣ （舍），
∴F（5，4）．
【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与
判定，全等三角形的性质与判定，二次函数上点的坐标特征等知识，第（2）问关键是利用
相似三角形的面积比等于相似比的平方表达出BE2和PE2；第（3）问关键是构造相似三角
形，建立方程．
第36页（共36页）
