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2022年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2022•常德）在 ， ，﹣ ， ，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
π
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（3分）（2022•常德）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是
中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•常德）计算x4•4x3的结果是（ ）
A．x B．4x C．4x7 D．x11
4．（3分）（2022•常德）下列说法正确的是（ ）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
5．（3分）（2022•常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022•常德）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（
）
A．k＞4 B．k＜4 C．k＜﹣4 D．k＞1
7．（3分）（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺
时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，
BE，FD．则下列结论错误的是（ ）
第1页（共28页）A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE
C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF
8．（3分）（2022•常德）我们发现： ＝3， ＝3， ＝3，…，
＝ 3 ， 一 般 地 ， 对 于 正 整 数 a ， b ， 如 果 满 足
＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一
组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数
对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）
在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2022•乐山）|﹣6|＝ ．
10．（3分）（2022•常德）分解因式，x3﹣9xy2＝ ．
11．（3分）（2022•常德）要使代数式 有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）（2022•常德）方程 + ＝ 的解为 ．
13．（3分）（2022•常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字
是 ．
第2页（共28页）14．（3分）（2022•常德）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得
分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占
10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分．
15．（3分）（2022•常德）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若 BDFE的面
▱
积为2，BD＝ BA，BE＝ BC，则△ABC的面积是 ．
16．（3分）（2022•常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将
其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成
了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的
直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；…；如此下去，若最后得到10张纸片，其中
有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为
．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）（2022•常德）计算：30﹣（ ）﹣2sin30°+ cos45°．
18．（5分）（2022•常德）解不等式组 ．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）（2022•常德）化简：（a﹣1+ ）÷ ．
20．（6分）（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某
第3页（共28页）天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，
到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）（2022•常德）如图，已知正比例函数y ＝x与反比例函数y 的图象交于A（2，2），B
1 2
两点．
（1）求y 的解析式并直接写出y ＜y 时x的取值范围；
2 1 2
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4 ，在此菱形的四条边中任选一条，求其
所在直线的解析式．
22．（7分）（2022•常德）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中
明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3
小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷
调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
第4页（共28页）六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我
国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪
运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧
形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳
台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，
∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，
tan25°≈ 0.47 ， sin36°≈ 0.59 ， cos36°≈ 0.81 ， tan36°≈ 0.73 ）
24．（8分）（2022•常德）如图，已知AB是 O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，
ED∥BC交 O于D，OC∥AD，连接AC⊙交ED于F．
（1）求证：⊙CD是 O的切线；
（2）若AB＝8，AE⊙＝1，求ED，EF的长．
第5页（共28页）七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B
的坐标；
（3）P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
26．（10分）（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E
使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．
第6页（共28页）2022年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2022•常德）在 ， ，﹣ ， ，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
π
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先化简﹣ ＝﹣2，根据无理数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣ ＝﹣2，
无理数有： ， 共2个，
故选：A． π
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无理数常见的三种类型：（1）开不尽
的方根， ， 等；（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两
个3之间依次多一个0）；（3）含有 的绝大部分数，如2 是解题的关键．
2．（3分）（2022•常德）国际数学家大会每π四年举行一届，下面四π届国际数学家大会会标中是
中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：∵将图形绕着一点旋转180°后能和它本身重合的图形是中心对称图形，
∴选项B符合上述特征，
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，数学常识，准确利用中心对称图形的定义是解题
的关键．
第7页（共28页）3．（3分）（2022•常德）计算x4•4x3的结果是（ ）
A．x B．4x C．4x7 D．x11
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算便可．
【解答】解：原式＝4•x4+3
＝4x7，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．
4．（3分）（2022•常德）下列说法正确的是（ ）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
【分析】根据扇形统计图的特点，随机事件的定义，中位数的概念，抽样调查的特点解答即
可．
【解答】解：A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，应采用折线统计图最合适，
不符合题意；
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，不符合题意；
C．一组数据的中位数只有一个，不符合题意；
D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了随机事件，扇形统计图，中位数，全面调查和抽样调查，熟练掌握
相关的概念是解决本题的关键．
5．（3分）（2022•常德）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出两个数的和为偶数的结果，即可求
出概率．
【解答】解：画树状图如图：
第8页（共28页）∴共有20种等可能的结果，
其中两个数的和为偶数的有（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，
3），共8种，
∴这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为 ．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．
6．（3分）（2022•常德）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（
）
A．k＞4 B．k＜4 C．k＜﹣4 D．k＞1
【分析】根据一元二次方程判别式得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，然后求出不等式的解集即
可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，
解得：k＞4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞
0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实
数根．
7．（3分）（2022•常德）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺
时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，
BE，FD．则下列结论错误的是（ ）
第9页（共28页）A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE
C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF
【分析】根据等边三角形的判定定理得到△BCE为等边三角形，根据等边三角形的性质得
到BE＝BC，判断A选项；证明△ABC≌△CFD，根据全等三角形的性质判断B、C选项；解
直角三角形，用CF分别表示出GF、DF，判断D选项．
【解答】解：A、由旋转的性质可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE＝BC，本选项结论正确，不符合题意；
B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点，
∴AB＝ AC＝CF＝BF，
由旋转的性质可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，
∴∠A＝∠ACD，
在△ABC和△CFD中，
，
∴△ABC≌△CFD（SAS），
∴DF＝BC＝BE，
∵DE＝AB＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BF∥DE，BF＝DE，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵△ABC≌△CFD，
∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，
第10页（共28页）∴GF＝ CF，
同理可得，DF＝ CF，
∴DF＝3GF，故本选项结论错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，正
确理解旋转变换的概念是解题的关键．
8．（3分）（2022•常德）我们发现： ＝3， ＝3， ＝3，…，
＝ 3 ， 一 般 地 ， 对 于 正 整 数 a ， b ， 如 果 满 足
＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一
组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数
对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）
在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】将（4，12），（9，91）代入验证即可判断①②；将（a，380）代入公式，建立方程可得
出结论；若（x，y）是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．
【解答】解：将（4，12）代入 ＝4， ＝4， ＝4，…，
∴（4，12）是完美方根数对；故①正确；
将（9，91）代入 ＝10≠9， ＝ ，
∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误；
③∵（a，380）是完美方根数对，
∴将（a，380）代入公式， ＝a， ＝a，
解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；
④若（x，y）是完美方根数对，则 ＝x， ＝x，
整理得y＝x2﹣x，
第11页（共28页）∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；
故选：C．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查算术平方根的性质与定义，理解完美方根的定
义对是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2022•乐山）|﹣6|＝ 6 ．
【分析】根据绝对值的化简，由﹣6＜0，可得|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，即得答案．
【解答】解：﹣6＜0，
则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，
故答案为6．
【点评】本题考查绝对值的化简求值，即|a|＝ ．
10．（3分）（2022•常德）分解因式，x3﹣9xy2＝ x （ x + 3 y ）（ x ﹣ 3 y ） ．
【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．
【解答】解：x3﹣9xy2
＝x（x2﹣9y2）
＝x（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式
是解决问题的关键．
11．（3分）（2022•常德）要使代数式 有意义，则x的取值范围为 x ＞ 4 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣4＞0，
解得：x＞4，
故答案为：x＞4．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母
不为0是解题的关键．
12．（3分）（2022•常德）方程 + ＝ 的解为 x ＝ 4 ．
【分析】方程两边同乘2x（x﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x的值，检验后得到答案．
【解答】解：方程两边同乘2x（x﹣2），得4x﹣8+2＝5x﹣10，
第12页（共28页）解得：x＝4，
检验：当x＝4时，2x（x﹣2）＝16≠0，
∴x＝4是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程
的解；③检验；④得出结论，注意解分式方程时，一定要检验．
13．（3分）（2022•常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字
是 月 ．
【分析】根据图形，可以直接写出“神”字对面的字．
【解答】解：由图可得，
“神”字对面的字是“月”，
故答案为：月．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
14．（3分）（2022•常德）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得
分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占
10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 87. 4 分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：她的最后得分是85×40%+88×40%+92×10%+90×10%＝87.4（分），
故答案为：87.4．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
15．（3分）（2022•常德）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若 BDFE的面
▱
积为2，BD＝ BA，BE＝ BC，则△ABC的面积是 1 2 ．
第13页（共28页）【分析】连接DE，CD，由平行四边形的性质可求S△BDE ＝1，结合BE＝ BC可求解S△BDC
＝4，再利用BD＝ BA可求解△ABC的面积．
【解答】解：连接DE，CD，
∵四边形BEFD为平行四边形， BDFE的面积为2，
▱
∴S△BDE ＝ S
BDFE
＝1，
▱
∵BE＝ BC，
∴S△BDC ＝4S△BDE ＝4，
∵BD＝ BA，
∴S△ABC ＝3S△BDC ＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题
的关键．
16．（3分）（2022•常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将
其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成
了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的
直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；…；如此下去，若最后得到10张纸片，其中
第14页（共28页）有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为
6 ．
【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增
加4，如第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为
2+2×2+1×2＝8＝4+4×1（边），分成两个图形；第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝
4+4×2，分成三个图形；……；当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形；令n＝9即
可得出结论．
【解答】解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边
数增加4，
第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2×2+1×2＝8
＝4+4×1（边），分成两个图形；
第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝4+4×2，分成三个图形；……；
当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形；
∵最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为m，
∴令n＝9，有4+4×9＝5+3×3+5×4+m，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了三角形边角关系，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，
每剪开一次，使得多边形的总边数增加4．也可从内角和角度出发解决．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）（2022•常德）计算：30﹣（ ）﹣2sin30°+ cos45°．
【分析】根据不等于0的实数零指数幂为1、负整数指数幂是整数指数幂的倒数，特殊角的
三角函数值要记住，化简平方根．
【解答】解：30﹣（ ）﹣2sin30°+ cos45°，
＝1﹣4× +2 × ，
＝1﹣2+2，
＝1．
故答案为：1．
第15页（共28页）【点评】考查零指数幂、负整数的指数幂、特殊角的三角函数值，化简平方根，关键要记住
这些特殊角的三角函数值、零指数幂的值．
18．（5分）（2022•常德）解不等式组 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由5x﹣1＞3x﹣4，得：x＞﹣ ，
由﹣ ≤ ﹣x，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣ ＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）（2022•常德）化简：（a﹣1+ ）÷ ．
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（a﹣1+ ）÷
＝[ + ]•
＝ •
＝ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
20．（6分）（2022•常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某
天，他们以平常的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，
到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【分析】设平常的速度是x千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，
求解即可．
第16页（共28页）【解答】解：设平常的速度是x千米/小时，
根据题意，得 ，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的根，
4×60＝240（千米），
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）（2022•常德）如图，已知正比例函数y ＝x与反比例函数y 的图象交于A（2，2），B
1 2
两点．
（1）求y 的解析式并直接写出y ＜y 时x的取值范围；
2 1 2
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4 ，在此菱形的四条边中任选一条，求其
所在直线的解析式．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点B的坐标，（也可以直接
利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．）观察图象即可得出x的取
值范围；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，可证得△AOE是等腰直角三角
形，得出：∠AOE＝45°，OA＝ AE＝2 ，再根据菱形性质可得：AB⊥CD，OC＝OD，利
用勾股定理即可求得D（1，﹣1），再根据对称性可得C（﹣1，1），运用待定系数法即可求
得菱形的边所在直线的解析式．
【解答】解：（1）设反比例函数y ＝ ，把A（2，2）代入，得：2＝ ，
2
第17页（共28页）解得：k＝4，
∴y ＝ ，
2
由 ，解得： ， ，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y ＜y 时，x＜﹣2或0＜x＜2；
1 2
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝ AE＝2 ，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为4 ，
∴AD＝ ，
在Rt△AOD中，OD＝ ＝ ＝ ，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则 ，
解得： ，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
第18页（共28页）同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝ x+ ，BD所在
直线的解析式为y＝ x﹣ ．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数和反比例
函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质等，难度适中，
熟练掌握待定系数法是解题关键．
22．（7分）（2022•常德）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中
明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3
小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷
调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
【分析】（1）根据平均每周劳动时间不少于3小时的学生人数计算即可；
第19页（共28页）（2）计算出木工所占的比例然后估算即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1） ×100%＝21%，
∴本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；
（2）2000×（1﹣40%﹣27%﹣7%﹣10%）＝320（人），
∴若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的有320人；
（3）（答案不唯一，合理即可）
如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增
加劳动课的课时等．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我
国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪
运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧
形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳
台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，
∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，
tan25°≈ 0.47 ， sin36°≈ 0.59 ， cos36°≈ 0.81 ， tan36°≈ 0.73 ）
【分析】过点F作FN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN，分别在Rt△AHF
中，Rt△FEM和Rt△EMG中，解直角三角形即可得出结论．
第20页（共28页）【解答】解：如图，过点F作FN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．
根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），
∵HG∥BC，
∴∠EGM＝∠ECB＝36°，
在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，
∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），
在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，
∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°＝0.73m，
EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°＝0.47（7﹣m），
∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），
∴EM＝0.47（7﹣m）≈2.021（米），
∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．
∴此大跳台最高点A距地面BD的距离是70米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，涉及三角函数值的定义，解一元一次方程，
正确作出辅助线，并得出AB＝AH﹣EM+EN是解题关键．
24．（8分）（2022•常德）如图，已知AB是 O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，
ED∥BC交 O于D，OC∥AD，连接AC⊙交ED于F．
（1）求证：⊙CD是 O的切线；
（2）若AB＝8，AE⊙＝1，求ED，EF的长．
【分析】（1）连接OD，证明△BOC≌△DOC根据全等三角形的性质得到∠ODC＝∠OBC
第21页（共28页）＝90°，根据切线的判定定理得到CD是 O的切线；
（2）过点D作DH⊥BC于H，根据勾股定⊙理求出ED，根据矩形的性质、勾股定理求出BC，
再根据相似三角形的性质求出EF．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠OAD，
∴∠BOC＝∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∵OD为 O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：⊙过点D作DH⊥BC于H，
∵ED∥BC，
∴∠OED＝180°﹣∠ABC＝90°，
则四边形EBHD为矩形，
∴BH＝ED，DH＝BE＝7，
∵AB＝8，AE＝1，
∴OE＝3，
∴ED＝ ＝ ＝ ，
∵CB、CD是 O的切线
∴CB＝CD，⊙
设CB＝CD＝x，则CH＝x﹣ ，
在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即72+（x﹣ ）2＝x2，
解得：x＝4 ，即BC＝4 ，
∵ED∥BC，
第22页（共28页）∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：EF＝ ．
【点评】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌
握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B
的坐标；
（3）P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设B（2，m）（m＞0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛
物线对称轴交于点H，则H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得
出答案；
（3）运用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝﹣x+10，当PA﹣PB的值最大时，A、B、P
在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点P的坐标，利用两点间距离公式可求得AB，
即PA﹣PB的最大值．
第23页（共28页）【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），
设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB ＝15，
∴ ×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴点B的坐标为（2，8）；
（3）设直线AB的解析式为y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+10，
当PA﹣PB的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
∴ ，
解得： ， （舍去），
∴P（﹣2，12），
第24页（共28页）此时，PA﹣PB＝AB＝ ＝3 ．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角
形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键．
26．（10分）（2022•常德）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E
使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．
【分析】（1）连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．证明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝
第25页（共28页）DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGC，推出 ＝ ，可得结论；
（2）过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．证明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，
∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGT，推出 ＝ ，可得结论．
【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∴∠AFB＝∠BAF＝45°，
∴BA＝BF，
∵BE＝CF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FC，AG＝GF，
∴DJ＝JC，
∵GJ⊥CD，
∴GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD，
∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ADG＝∠GCO，
∴∠OEB＝∠OCG，
第26页（共28页）∵∠BOE＝∠GOC，
∴△OBE∽△OGC，
∴ ＝ ，
∵GC＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC；
（2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AFB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAG＝∠BAF，
∴BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△DAG（SAS），
∴∠AEG＝∠ADG，
∵AD∥FT，AG＝GF，
∴DJ＝JT，
∵GJ⊥DT，
∴GD＝GT，
第27页（共28页）∴∠GDT＝∠GTD，
∵∠ADT＝∠BTD＝90°，
∴∠ADG＝∠GTO，
∴∠OEB＝∠OTG，
∵∠BOE＝∠GOT，
∴△OBE∽△OGT，
∴ ＝ ，
∵GC＝GD，BE＝CF，
∴BO•GD＝GO•FC．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判
定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正
确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
第28页（共28页）
