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期末解答题压轴题一综合、实践与探究
（考题猜想，8 种必考题型）
题型一：设参处理（共4题）
1．（2023秋•遂宁期末）如图，已知 中， ， ，点 为 的中点．如果
点 在线段 上以 的速度由点 向 点运动，同时，点 在线段 上由点 向 点运动．
（1）若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过1秒后， 与 是否全等，请说明理由．
（2）若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使 与全等？
【分析】（1）经过 1 秒后， ， ， ，由已知可得 ， ，
，即据 可证得 ．
（2）可设点 的运动速度为 ，经过 与 全等，则可知 ，
， ，据（1）同理可得当 ， 或 ， 时两三角形
全等，求 的解即可．
【解答】解：（1）结论： 与 全等．
理由：经过1秒后， ， ， ，
中， ，
，
在 和 中，
，
．
（ 2 ） 设 点 的 运 动 速 度 为 ， 经 过 与 全 等 ； 则 可 知 ，
， ，
，，
根据全等三角形的判定定理 可知，有两种情况：①当 ， 时，②当 ，
时，两三角形全等；
①当 且 时， 且 ，解得 ， ， 舍去此情况；
② ， 时， 且 ，解得： ；
故若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为 时，能够使 与
全等．
【点评】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定
方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形
全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
2．（2023秋•恩施市校级月考）如图1， ， 平分 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2， 平分 交 的延长线于点 ，若 ，求 的大小；
（3）如图3，若 是 上一动点， 是 延长线上一点， 交 于点 ，交 于点 ， 平
分 ，交 于点 ，交 于点 ，当点 在线段 上运动时（不与点 重合），求
的值．
【分析】（1）由 ， 平分 ，得 ， ，得出
， ，由直角三角形性质可得 ；
（ 2 ） 由 平 分 ， 可 得 ， 设 ， 由 ， 可 得
，利用三角形内角和定理可得 ，再利用三角形外角性质可得 ；
（ 3 ） 在 中 ， 根 据 角 之 间 的 关 系 ， 得
，再根据角
之 间 的 关 系 得
，即可得出
答案．
【解答】（1）证明：如图1，
，
，即 ，
平分 ，
，
，
，
，即 ，
；
（2）解：如图2，
平分 ，
，
设 ，，
，
，
，
，
；
（3）解：
在 中， ，
又 ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌
握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递．
3．（2021春•南开区期末）已知直线 与 互相垂直，垂足为 ，点 在射线 上运动，点 在射
线 上运动，点 ， 均不与点 重合．
（1）如图1， 平分 ， 平分 ，则 ．
（2）如图2， 平分 交 于点 ， 平分 ， 的反向延长线交 的延长线于点 ．①若 ，则 ．
②在点 ， 的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变，求出 的度数；若变化，请说
明理由．
（3）如图3，已知点 在 的延长线上， 的平分线 ， 的平分线 与 的平分线
所在的直线分别相交于点 ， ．在 中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出
的度数．
【 分 析 】 （ 1 ） 由 角 平 分 线 性 和 三 角 形 内 角 和 定 理 ， 建 立 和
的关系；
（2）①根据已知条件可求出所需要角的度数，然后根据外角定理进行具体计算即可得到；
②由①的思路，设 ，用含 的代数式表示 和 ，然后代入计算即可证明不变．
（3） 的平分线 ， 的平分线 ，得到 ，由一个角是另一角的三倍，分两种
情况讨论：
①当 时， ，结合 的平分线可求得 ，求得 ，得
到 ；
②当 时， ，结合 的平分线可求得 ，求得 ，得
到 ．
【解答】解：（1） 平分 ， 平分 ，
，，
直线 与 互相垂直，垂足为 ，
，
，
故答案为： ．
（2）① 直线 与 互相垂直，垂足为 ，
，
，
，
平分 交 于点 ， 平分 ，
， ，
，
故答案为：45．
②不变， ．
设 ，
平分 交 于点 ， 平分 ，
， ， ，
，
不变， ．
（3） 的平分线 ， 的平分线 ，
，
一个角是另一角的3倍，
分两种情况讨论：
①当 时， ，为 的平分线，
，
，
，
；
②当 时， ，
为 的平分线，
，
，
，
．
等于 或 ．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理及其推论的运用，要求掌握角平分线的性质，渗透由特殊到一般
的思想和用字母表示数的意义及分类讨论思想，属七年级压轴题．
4．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，已知 中， ， ，点 为 的中
点．
（1）如果点 在线段 以 的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由点 向 点运
动．
①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 后， 与 是否全等？说明理由；
②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能够使 与 全等？
（2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，都逆时针沿
三边运动，求经过多长时间点 与点 第一次在 的哪条边上相遇？【分析】（1）①先求得 ， ，然后根据等边对等角求得 ，最后根据
即可证明；
②因为 ，所以 ，又 ，要使 与 全等，只能 ，根据全等得
出 ，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和 的长即可求得 的运动速度；
（2）因为 ，只能是点 追上点 ，即点 比点 多走 的路程，据此列出方程，解这个方
程即可求得．
【解答】解：（1）①因为 （秒 ，
所以 （厘米），
， 为 中点，
（厘米），
又 （厘米），
，
，
，
在 与 中，
，，
②因为 ，
所以 ，
又因为 ，
要使 与 全等，只能 ，即 ，
故 ．
所以点 、 的运动时间： （秒 ，
此时 （厘米 秒），
（2）因为 ，只能是点 追上点 ，即点 比点 多走 的路程
设经过 秒后 与 第一次相遇，依题意得 ，
解得 （秒 ，
此时 运动了 （厘米），
又因为 的周长为56厘米， ，
所以点 、 在 边上相遇，即经过了 秒，点 与点 第一次在 边上相遇．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根
据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
题型二：角平分线与对称型全等（共4题）
1．（2023秋•五莲县期末）（1）观察图形：
如图1， 中， ， ， ， ，垂足分别为 、 ， 与 交于
点 ．
①写出图1中所有的全等三角形 ；
②线段 与线段 的数量关系是 ；（2）问题探究：
如图2， 中， ， ， 平分 ， ，垂足为 ， 与 交于点
．
求证： ．
（3）拓展延伸：
如图3， 中， ， ，点 在 上， ， ，垂足为 ，
与 交于点 ．求证： ．
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理解答；
②根据全等三角形的性质解答；
（2）延长 、 交于点 ，分别证明 、 ，根据全等三角形的性质证明；
（3）作 于点 ，交 的延长线于 ，分别证明 、 ，根据全等
三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）①在 和 中，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，，
故答案为： ， ；
② ，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）证明：延长 、 交于点 ，如图2所示：
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，即 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
；
（3）拓展延伸：证明：作 于点 ，交 的延长线于 ，
， ，
，
，
，
， ，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、掌握全等三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．
2．（2023秋•鄞州区期末）【基础练习】
（1）如图1，在等腰 中， ， ， 平分 交 于点 ， 于点 ，
求 的长．
【类比探究】
（2）如图 2， 是 的角平分线， ， ，点 在 上， ．求证：
．
【拓展延伸】
（3）如图3，点 是等边 外一点，连结 ， ， ，恰好满足 ． 平分 交
于点 ，线段 ， ， 之间有什么关系？请作出猜测并进行证明．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得 ，再由角平分线的性质得 ，然后证，得 ，即可得出结论；
（2）证 ，得 ， ，再证 ，则 ，得
，即可得出结论；
（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证 ，得 ， ，
再证 是等边三角形，得 ，即可得出结论．
【解答】（1）解： 是等腰直角三角形， ， ，
，
平分 ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（2）证明： 为 的角平分线，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，，
，
，
；
（3）解： ，证明如下：
如图3，在 上取点 ，使 ，连接 ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
即 ，
是等边三角形，
，
，
．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三
角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角
形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
3．（2023春•市南区期末）问题解决：
（1）如图1， 中， 为 边上的中线，则 ．
（2）如图2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则 ．
（3）如图3， ， ， 分别为 ， ， 的中点，若 ，则 ．
问题探究：
（1）如图4， ， 是 的中线， ， 交于点 ， 与 相等吗？
解： 中，由问题解决的结论可得， ， ．
．
．
即 ．
（2）如图 5， 中， 是 上的一点， ， 是 的中线，且 ，试求的值．
问题拓展：
如图6， 中， 平分 ， ，则 ．
【分析】问题解决：（1）根据等底等高的三角形面积相等即可得三角形的中线把三角形分成面积相等的
两个三角形；
（2）根据三角形中线的性质，先求得 的面积，再求得 的面积，即可求得 的面积；
（3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用 表示出 、 、 ，
的面积，然后表示出 的面积，再表示出 的面积，即可得解；
问题探究：（2）先求出 ，再结合 即可解答；
问题拓展：延长 交 于 ，由“ ”可证 ，可得 ，由面积关系可求解．
【解答】解：问题解决：（1）如图1， 中，
为 边上的中线，
；
（2）如图2， 为 的中点，
，
为 的中点，
，
为 的中点，
，
，故答案为： ；
（3）如图3，连接 ，
点 、 分别为 、 的中点，
，
，
，
，
是 的中点，
，
．
，
；
故答案为：8；
问题探究：（2）如图5， ，
，
，
，
是 的中线，，
；
问题拓展：
如图6，延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
的面积 ，
故答案为： ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的
两个三角形，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（2024春•宣城期末）如图，在△ 中， 平分 ， 于点 ，点 是 的中点．【探究】
（1）如图1， 的延长线与 边相交于点 ，求证： ；
（2）如图2，线段 、 、 之间满足的数量关系为 ；
【初步运用】
（3）如图 3，△ 中， 平分 ， ，垂足为 ，过 作 交 于点 ，
， ，则 ；
【灵活运用】
（4）如图4，△ 中， ， ，点 在 上， ， ，垂足
为 ， 与 交于点 ，判断线段 、 之间满足的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）利用 证明△ △ ，根据全等三角形的性质得出 ， ，再根据
三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题；
（2）先证明 ，根据等腰三角形的三线合一，推出 ，根据三角形的中位线定理即可解决
问题；
（3）证明 为△ 的中位线，得出 ，求出 ，则可得出答案；
（4）作 于点 ，交 的延长线于 ，分别证明△ △ 、△ △ ，根据
全等三角形的性质证明即可．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
于点 ，
，
在△ 和△ 中，，
△ △ ，
， ，
，
；
（2）延长 交 的延长线于 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
为 的中点，
，
点 为 的中点，
是△ 的中位线，
，
故答案为： ；
（3）延长 交 的延长线于 ，平分 ， ，
△ 为等腰三角形，点 为 的中点，
，
为△ 的中位线，
，
， ， ，
，
，
故答案为：2.5；
（4）作 于点 ，交 的延长线于 ，
， ，
，
，
，
， ，
又 ，
，
在△ 和△ 中，△ △ ，
， ，
， ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质、掌握全等三角形
的判定定理和性质定理是解题的关键．
题型三：夹半角与截长补短（共8题）
1．（2023 秋•禹城市期末）（初步探索）（ 1）如图 1：在四边形 中， ，
， 、 分别是 、 上的点，且 ，探究图中 、 、
之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ．连接 ，先证明
，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ；
（灵活运用）（2）如图2，若在四边形 中， ， ， 、 分别是 、
上的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【分析】（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，可判定 ，进而得出
， ， 再 判 定 ， 可 得 出
，据此得出结论；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，先判定 ，进而得出 ，
，再判定 ，可得出 ．
【解答】解：（1） ．理由：
如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
，且 ， ，
，
．
故答案为： ；（2）如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ．
， ，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，
根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
2．（2022秋•卧龙区校级期末）【问题背景】
如图1：在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的
点，且 ，试探究图中线段 、 、 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，可得出结论，他的结论应是 ．
【探索延伸】如图2，若在四边形 中， ， ， 、 分别是 ， 上的点，
且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如 图 3 ， 四 边 形 是 边 长 为 5 的 正 方 形 ， ， 直 接 写 出 的 周 长．
【分析】（1）延长 到点 ．使 ．连接 ，即可证明 ，可得 ，再证
明 ，可得 ，即可解题；
（2）延长 到点 ．使 ．连接 ，即可证明 ，可得 ，再证明
，可得 ，即可解题；
（3）延长 ，截取 ，连接 ，根据 定理可得出 ，故可得出 ，
，再由 ， 可得出 ，故 ，
由 定 理 可 得 ， 故 ， 故 的 周 长
，由此可得出结论．
【解答】（1）解：如图1，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
；
故答案为： ．
（2）解：结论 仍然成立；
理由：如图2，延长 到点 ．使 ．连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，延长 到点 ，截取 ，连接 ，
在 与 中，，
，
， ．
， ，
，
．
在 与 中，
，
，
，
的周长 ．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
3．（2023春•安宁区校级期末）探索与发现——“半角”模型
问题背景
（1）如图1，在四边形 中， ， ， ， ， 分别是 ，
上的点，且 ，探究图中线段 ， ， 之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法
是，延长 到点 ．使 ．连接 ，先证明 ，再证明 ，可得出结
论，则线段 ， ， 之间的数量关系是 ；
探索发现
（2）如图2，若在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
拓展延伸
（3）在四边形 中， ， ， ， 分别是直线 ， 上的两个动点，且
请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
【 分 析 】 （ 1 ） 证 明 ， 得 ， ， ， 再 证
，得 ，即可得出结论；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，即可证明 ，可得 ，再证明，可得 ，即可得出 ；
（3）如图 3，作辅助线，构建 ，同理证明 和 ．可得新的结论：
．
【解答】解：（1）结论： ，理由如下：
，
，
， ，
，
， ， ，
， ，
，
，
即 ，
，
又 ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）（1）中的结论 仍然成立．
理由是：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ．
， ，
，
在 与 中，
，
．， ，
．
．
又 ，
．
．
．
；
（3）由（2）可得结论 ，
当 在 的延长线上时， ．
证明：在 上截取 ，使 ，连接 ．
， ，
．
在 与 中，
，
．
， ．
．
．
，
．
，
，
．
同理可得： ，
，．
同理，当 在 的延长线上时， ．
即线段 ， ， 之间的数量关系是 或 或 ．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解
题的关键．
4．（2024 春•高州市期末）在四边形 中， ， ， 分别是 ， 上的点，并且
，试探究图中 ， ， 之间的数量关系．
【初步探索】
（1）如图1， 小王同学探究的方法是：延长 到点 ，使 ．连接 ，先证
明 ，再证明 ，由此可得出结论 ；
【灵活运用】
（2）如图2，若 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由；
【延伸拓展】
（3）如图 3，若 ，点 在 的延长线上，点 在 的延长线上，仍然满足
，请写出 与 的数量关系，并给出证明过程．【分析】（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，而 ，
，可根据“ “证明 ，得 ， ，再根据“
”证明 ，得 ，即可证明 ，于是得到问题的答案；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，可证明
进而证明 ，得 ， ，再证明 ，得 ，即
可证明 ；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，再证明 ，
而 ， 可 证 明 ， 得 ， ， 再 证 明 ， 得
，而 ，则 ，
所以 ．
【解答】解：（1）如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中，，
，
，
，
，
故答案为： ．
（2）成立，
理由：如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
．
（3） ，证明：如图3，延长 到点 ，使 ，连接 ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
．【点评】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正
确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．（2022春•霞山区校级期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的
两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱
化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质．
（1）问题背景：
如图1，在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 、 上的
点，且 ．探究图中线段 ， ， 之间的数量关系；
（2）探索延伸：
如图 2，若在四边形 中， ， ． 、 分别是 、 上的点，且
，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东
的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60海里 小时的速度
前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以80海里 小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇
分别到达 、 处，且两舰艇与指挥中心 之间的夹角 ，试求此时两舰艇之间的距离；（4）能力提高：
如图，等腰直角三角形 中， ， ，点 、 在边 上，且 ，若
， ，试求出 的长．
【分析】（1）如图1，延长 到点 ．使 ．连接 ，证明 ，根据全等三角形
的性质得到 ，证明 ，得 ，证明结论；
（2）如图2，延长 到点 ．使 ．连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得
到 ，证明 ，得 ，证明结论；
（3）如图 3，连接 ，延长 、 相交于点 ，根据题意得到 ， ，
，根据图2的结论计算；
（4）如图 4，作 ，使 ，连接 ， ，先证明 ，再证明
，再运用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）如图1， ，
理由如下：在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
；
（2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即 ．
理由：延长 到点 ．使 ．连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接 ，延长 、 相交于点 ，
， ，
，
， ，
符合探索延伸中的条件，结论 成立，
即 （海里）．
此时两舰艇之间的距离为210海里．
（4）能力提高
如图4，作 ，使 ，连接 ， ，
是等腰直角三角形， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
．【点评】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三
角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（2022秋•沙洋县校级期末）（1）问题背景：
如图1：在四边形 中， ， ， ， 、 分别是 ， 上的
点且
，探究图中线段 、 、 之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长 到点 ．使 ．连接 ，先证明 ，再证明
，可得出结论，他的结论应是 ；（2）探索延伸：如图2，若在四边形 中， ， ． ， 分别是 ， 上
的点，且 ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥
中心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海
里 小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东 的方向以60海里 小时的速度前进，2小时后，指挥中心观
测到甲、乙两地分别到达 、 处，且两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】（1）延长 到点 ．使 ．连接 ，即可证明 ，可得 ，再证
明 ，可得 ，即可解题；
（2）延长 到点 ．使 ．连接 ，即可证明 ，可得 ，再证明
，可得 ，即可解题；
（3）连接 ，延长 、 相交于点 ，然后与（2）同理可证．
【解答】解：（1） ，证明如下：
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
；
故答案为 ．
（2）结论 仍然成立；
理由：延长 到点 ．使 ．连接 ，如图2，
在 和 中， ，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
；
（3）如图3，连接 ，延长 、 相交于点 ，
， ，
，
又 ， ，
符合探索延伸中的条件，
结论 成立，
即 （海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 是
解题的关键．
7．（2023秋•晋安区期末）如图1，在四边形 中， ， ， ，
、 分别是 、 上的点， ，试探究图1中线段 、 、 之间的数量关系．
如 图 2 ， 在 四 边 形 中 ， ， ， 、 分 别 是 、 上 的 点 ，
，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【分析】（1）延长 到点 ．使 ．连接 ，即可证明 ，可得 ，再证
明 ，可得 ，即可解题；
（2）延长 到点 ．使 ．连接 ，即可证明 ，可得 ，再证明
，可得 ，即可解题；
【解答】解：（1） ，理由如下：
如图1中，延长 到点 ．使 ．连接 ．
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
故答案为 ．（2）结论： 仍然成立；
理由：延长 到点 ．使 ．连接 ，如图2，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
是解题的关键．
8．（2022秋•迎江区校级期末）（1）如图1，在四边形 中， ， ，点 、
分别在边 、 上，且 ，探究图中 、 、 之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
，可得出结论，他的结论是 ．
（2）如图 2，在四边形 中， ， ，点 、 分别在边 、 上，且
，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形 中， ， ，若点 在 的延长线上，点 在
的延长线上，仍然满足 ，请直接写出 与 的数量关系为
．
【分析】（1）延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 和 即可得出
结论．
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 和 即可得出结论．
（3）在 延长线上取一点 ，使得 ，连接 ，证明 和 ，在通
过角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）结论： ．
理由：如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ，证明 和 即可得出结论．
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ，
， ，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，
；
（3） ．
证明：如图3，在 延长线上取一点 ，使得 ，连接 ，， ，
，
又 ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决
问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
题型四：一线两等角与构造全等（共3题）
方法:一线两角等，直接给出两边相等时，可构造一线三等角型全等;没有直接给出两边相等时，可截长得
等腰三角形构造补角型全等，也可构造手拉手型全等
1．（2023秋•安州区期末）如图，已知 ，点 是 上一点， ．
（1）如图1，若 ， ，求证：
① ；
② ．
（2）如图2，请直接写出 与 之间满足什么数量关系时，总有 成立．
【分析】（1）①根据 ，得到 ， ，证明即可；
②在 上截取 ，连接 ，证明 即可得到 ；
（2）在 上截取 ，连接 ，证明 即可得到．
【解答】（1）证明：① ，
，
；
②在 上截取 ，连接 ，如图1，，
，
，
，
，即： ，
由①知： ，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：当 时，总有 成立．理由如下：
如图2，在 上截取 ，连接 ，
在 上截取 ，
，
，
， ， ，
，，
，
当 时， ，
，
．
【点评】本题考查了直角三角形的特征，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的证明是解题的
关键．
2．（2022秋•汉南区校级期中）如图，已知 ，点 是 上一点， ．
（1）如图1，若 ， ，求证：① ，② ；
（2）如图2，若 ， ，求 的度数；
（3）如图3，请直接写出 与 之间满足什么数量关系时，总有 成立．
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平角的定义可得结论；
②如图1，作辅助线，构建等腰直角三角形，利用 证明 ，可得结论；
（2）方法一：如图2，同理作辅助线，证明 ，得 ；
方法二：如图2，延长 到点 使 ，连接 ，证明 ，得 ，
，再根据已知证明 ，可得结论；
（3）同理作辅助线，证明 ，根据三角形的外角和三角形内角和定理可得结论．
【解答】（1）证明：① ，
，
，
；②在 上截取 ，连接 ，（或在 上截取 ，连接
，
，
，
，
，即： ，
由①知： ，
，
；
（2）方法一：如图2，在 上截取 ，连接 （在 上截取 ，连接 ，
，
即： ，
，
， （已证）， ，
，
；
方法二：如图3，延长 到点 使 ，连接 ，， ，
，
， ，
，
，
，
；
（3）当 时，总有 成立；
理由是：如图3，在 上截取 ，连接 ，则 ，
设 ，
中， ，
，
，
同理得 ，
，
．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中作辅助线证明 是解题的关键．
3．（2024秋•大连月考）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在 △ 中， ， 且 ，
点 在 的延长线上，连接 ， ．求证： ．
①如图2，小明同学从 这个条件出发，给出如下解题思路：过 作 交 的延长线
于点 ，则 ，△ 是等腰直角三角形， ，再证明两个三角形全等，转化等量线段．
②如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段 上截取 ，则△ 是等
腰直角三角形，得到 ，将线段 ， 之间的数量关系转化为线段 与 之间的数量关
系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟
转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答．如图4，在 △ 中， ，延长 至点 ，使 ，射线 ，点 在线段 上，
点 在射线 上，连接 ， ， 且 ，求证： ．
【类比分析】
（3）如图5，在 △ 中， ，延长 至点 、使 ，射线 ，点 在线段
的延长线上，点 在射线 上，连接 ， ， 且 ，若 ， ，求△
的面积．
【分析】（1）①过 作 ，交 的延长线于 ，结合 ，可得△ 是等腰直角三
角形，推出 ，证明△ △ 可得 ， ，最后根据线段的和差即可证明；
②在 上截取 ，连接 ，可得△ 为等腰直角三角形，推出 ，证明△
△ 可得 ，最后根据线段的和差即可证明；
（2）过 作 于 ，则 ，证明△ △ 可得 ，再证明△
△ 可得 ，最后根据线段的和差即可证明；
（3）过 作 于 ，则 ，证明△ △ ，得到 ，再证明△
△ ，可得 ， ，进而得到 ，即可求解．
【解答】（1）选择小明的解题思路：
①证明：如图2，过 作 ，交 的延长线于 ，，
，
，
△ 是等腰直角三角形，
．
，
，
．
，
，
．
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
．
，
．
，
，
；
选择小涛的解题思路；
②证明：如图3，在 上截取 ，连接 ，， ，
△ 为等腰直角三角形，
，
．
，
．
又 ，
，
．
又 ，
．
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
．
，
，
；
（2）证明：如图4，过 作 于 ，则 ，，
，
，
又 ，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
，
，
又 ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
，；
（3）解：如图5，过 作 于 ，则 ，
，
，
，
又 ，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
在△ 和△ 中，，
△ △ ，
， ，
，
，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加
恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
题型五:一边一角等构造全等（共3题）
1．（2020秋•红谷滩区校级期末）已知 ， ， ．
（1）如图1， ，则 ．（用 表示）
（2）如图2，点 ， 分别为 、 上的点， 交 于点 ，连接 ，若 ，
求 的值．
（3）如图3， 为 边上的高， 的平分线 交 于 ，过 作 于 ， 与
交于点 ，连接 ．若 ， ，请直接用含有 ， 的代数式表示 的面积为 ．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得 ，由三角形的内角和定理可求
解；
（2）如图 2，在 上取 ，连接 ，推出 ，根据全等三角形的性质得到
， ，证得 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到 ，即可
求解；
（3）由“ ”可证 ，可得 ，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1） ， ，
，
， ，
，
，
故答案为： ；
（2）如图2，在 上取 ，连接 ，
，
，
，
，
在 与 中，，
，
， ，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
；
（3）如图3中，
， ，
，
，，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
的面积 ，
故答案为： ．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的
面积的计算，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（2023秋•五华区期末）数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完
成相关的计算和证明．
【探究一】如图1，在 中， ，沿过点 的直线折叠这个三角形，使点 落在 边上的
点 处，折痕为 ．同学们发现，若 ， ，借助 ，可以计算出 的面积．请你完成填空： ；
【探究二】在“图1”的基础上，过点 作 的平分线交 于点 ，连接 ，如图2．同学们发现，
沿直线 折叠这个三角形， 与 重合，即 是 的角平分线．请你证明： 平分
；
【探究三】在“图2”的基础上，过点 作 于点 ，如图3．同学们通过测量发现， 与
的积是 与 的积的一半．请你证明： ．
【分析】【探究一】根据已知条件可得 ，从而可以计算得解；
【探究二】过点 分别作 、 、 边的垂线，垂足分别为点 、 、 ，利用全等性质，通过等
量代换即可得到 ，通过角平分线性质即可得证；
【探究三】过点 分别作 、 边的垂线，垂足分别为点 、 ，连接 ，通过条件可证得
，然后将 整理化简，最后等量代
换即可得证．
【解答】【探究一】解：由题可知， ， ， ，
，
故答案为：24；
【探究二】证明：如图，过点 分别作 、 、 边的垂线垂足分别为点 、 、 ，由题可知， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
则 平分 ；
【探究三】证明：如图，过点 分别作 、 边的垂线，垂足分别为点 、 ，连接 ，
由（2）可知， ，
， ， ，
， ， ，四边形 是正方形，
， ， ， ， ，
，，
即 ，
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采
用等量代换的方法是解题关键．
3．（2021秋•亭湖区期末）如图1，在 中， ， ， 是 的角平分线，
于 ．
（1）发现：如图1，连接 ，则 的形状是 ， ；
（2）探索：如图2，点 为线段 上一个动点，当点 在 之间运动时，连接 ，作 ，
交射线 于 ，连接 ，即 是等边三角形；
思路：在线段 上截取点 ，使 ，得等边 ，由 ， ，
，易证 ，得 ，即 是等边三角形．试判断线段 、
、 之间的关系，并说明理由；
（3）类比：如图3，当点 在 之间运动时连接 ，作 ， 交射线 于 ，连接 ．
①试判断 的形状，并说明理由；
②若 ，设 ， ，请直接写出 与 之间的函数关系式．【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得 是等边三角形，根据角平分线的定义以
及直角三角形的两锐角互余可得 ；
（2）在线段 上截取点 ，使 ，得等边 ，由 ， ，
，易证 ，得 ， ，即 是等边三角形．由
即可得出答案；
（3）①在 的延长线上取点 ，使 ，证 ，得 即可得出答案；
②由①得 ，可得 ，由 ， ， 即可得出答案．
【解答】解：（1）在 中， ， ，
， ．
平分 ，
．
．
于点 ．
．
．
，
是等边三角形；
， ，
．
故答案为：等边三角形，60；
（2）结论： ．
理由：在线段 上截取点 ，使 ，， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
．
， ，
于点 ．
，
，
，
， ，
，
是等边三角形．
， ， ， ，
；（3）① 是等边三角形．
理由如下：在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ，
， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
．
， ，
于点 ．
，
，
，
，
，
是等边三角形；② ，理由如下：
由①得 ，
，
， ， ，
，
， ， ，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形
斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，根据已知做出正确辅助线是解题关键．
题型六：倍长与分类讨论、手拉手（共4题）
1．（2023秋•江岸区期末）以线段 、 为底按顺时针方向在平面内构造等腰△ 与等腰△ ，
， ， ， ，且 ．
（1）如图1，当点 、 、 三点共线时，求证： ；
（2）如图 2，当点 、 、 三点不共线时，连接 ，点 为 中点，连接 、 ，求证：
；
（3）如图3，当点 在线段 上运动时（点 与 、 不重合），请直接写出 与 的数量
关系 （直接填写答案）
【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论；（2）延长 至 ，使 ，连 ，证明△ △ ，由全等三角形的性质得出
， ，证明△ △ ，由全等三角形的性质得出 ，则可得出
结论；
（3）分两种情况，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
【解答】（1）证明：在△ 中， ，
，
， ，
，
同理可得： ，
， ，
，
；
（2）证明：延长 至 ，使 ，连 ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，， ，
又 ，
，
由（1）知 ， ，
设 ， ， ， ，
，
， ，
由（1）知 ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
又 ，
；
（3）解：取 的中点 ，连接 ，由（2）知 ，
，
，
，
设 ， ， ，
①当点 在 上方，如图，，
，
，
即 ；
②如图，当点 在 下方，
，
．
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，
等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2022秋•黄陂区校级期末）点 为等边三角形 所在平面内一点，且 ．
（1）如图1，点 在 外部，若 ， ，则 的长为 ；
（2） 点在 内部，连接 ．
①如图2，若 ，求证 ；
②如图3， 为 边中点，连接 ，求证： ．【分析】（1）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，点 的对应点为 ，首先证明点 在线段
上，再证明 是等边三角形，从而得出答案；
（2）①将 绕 逆时针旋转 ，得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，首先证明 是等
边三角形，从而得出 ， ，再利用含 角的直角三角形的性质，可得答案；
②延长 到点 ，使 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，点 的对应点
为点 ，连接 ，同理得 是等边三角形，再利用 证明 ，得 ，
，再证明 ，得 ，从而解决问题．
【解答】（1）解： 是等边三角形，
， ，
，
，
将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，点 的对应点为 ，
则 ， ， ， ， ，
，
点 在线段 上，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：10；（2）证明：① ，
，
将 绕 逆时针旋转 ，得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，
则 ， ， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，点 的
对应点为点 ，连接 ，
同理可知， 是等边三角形，
，
是 的中点，，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
， ，，
，
．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与
性质，含 角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
3．（2024秋•渝北区校级期中）将两个等腰直角△ 与△ 如图放置， ， ，
．
（1）如图1，若点 、 、 三点共线时，交线段 于点 ，点 是线段 上的点，满足 ，
，求 的度数；
（2）当△ 绕着点 顺时针旋转至如图2时，分别连接 ， ，若点 是线段 的中点，连接
，求证： ；
（3）当△ 绕着点 顺时针旋转至如图 3时，分别连接 ， ，若点 是线段 的中点，
， ， ，四边形 面积为460时，直接写出点 到 的距离．
【分析】（1）由 ， ， ，得 ，由
， 得 ， 则 ， 所 以
；
（2）延长 到点 ，使 ，连接 ，可证明△ △ ，得 ， ，
所以 ， ，可证明 ，进而证明△ △ ，得 ，因为
，所以 ；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ，则 ，而 ，所以 ，
可证明 ，则 ，作 交 的延长线于点 ，可求得 ， ， ，进而建立方程，求得 ，即可求解．
【 解 答 】 （ 1 ） 解 ： 将 两 个 等 腰 直 角 △ 与 △ 如 图 放 置 ， ， ，
，
，
点 、 、 三点共线，
，
， ，
，
，
，
的度数是 ；
（2）证明：如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ，
点 是线段 的中点，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
， ，
，，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
；
（3）解：点 到 的距离是 ；理由如下：
点 是线段 的中点， ， ， ，四边形 面积为460，如图3，延长 到
点 ，使 ，连接 ，
则 ，
点 是线段 的中点，
，
，
，
，
由（2）得△ △ ，，
作 交 的延长线于点 ，
，
，
，
解得： ，
点 到 的距离是 ．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三
角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地
作出辅助线是解题的关键．
4．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知，点 为等边三角形 所在平面内一点，且 ．
（1）如图（1）， ，求证： ；
（2）如图（2），点 在 内部，且 ，求证： ；
（3）如图（3），点 在 内部， 为 上一点，连接 ，若 ，求证：
．
【分析】（1）证明 即可；
（2）将 绕 逆时针旋 ，得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，首先证明 是等边三
角形，从而得出 ， ，再利用含 角的直角三角形的性质，可得答案；
（3）将 绕 逆时针旋 ，得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，同理得 是等边三角
形，过点 作 平行于 ，交 的延长线于点 ，再利用 证明 ，得 ，再证明 ，从而解决问题．
【解答】【详解】（1） 是等边三角形，
，
，
，
， ，
，
，
；
（2） ，
，
将 绕 逆时针旋转 ，得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，
则 ， ， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（3）将 绕 逆时针旋 ，得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，
同理可知， 是等边三角形，，
，
，
，
又 ，
，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 ，
， ，
又 ， ，
，
由旋转得， ， ，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含 角的
直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．题型七：斜十字架与手拉手、8字模型（共2题）
1．（2023秋•东西湖区期末）在等边 中， 、 两点分别在边 、 上， ， 、
相交于点 ．
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，延长 至点 ，连接 ， ， ，求 的值；
（3）如图3，连接 ，若 ， ，则 ．
【分析】（1）由等边三角形的性质得 ， ，而 ，即可根据“ ”
证明 ，得 ，可推导出 ；
（2）在 上截取 ，连接 ，则 是等边三角形，可证明 ，得 ，
，可推导出 ，则 ，所以 ，而
可求得 ， ，则 ；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 、 ，则 是等边三角形， ，
， ，所以 ， ，则 ，因为 ，
所以 ，则 ，于是得 ，则 ，作
于点 ，则 ，可求得 ，则 ，即可求
得 ，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1） 是等边三角形，
， ，在 和 中，
，
，
，
，
的度数是 ．
（2）如图2，在 上截取 ，连接 ，则 是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
的值是 ．
（3）如图3，延长 到点 ，使 ，连接 、 ，则 是等边三角形，
由（2）得 ， ， ，， ，
，
， ，
，
，
，
，
作 于点 ，则 ，
，
，
，
故答案为：28．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直
角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，
正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
2．（2023秋•武昌区期末）如图，点 是等边△ 的边 上一点， ，点 在 上，，点 在 的延长线上，连接 ， ．
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图1，求证： ；
（3）如图 2， ， 分别是 ， 上两个动点，满足 ，当 最小时，直接写出
的大小为 （用含 的式子表示）．
【分析】（1）可推出 ， ，进而得出结果；
（2）在 上截取 ，可证得△ △ ，从而 ， ，进而证明△
△ ，从而 ，进一步得出结论；
（3）作 ，截取 ，连接 ， ， 交 于 ，在 上截取 ，
连 接 ， 交 于 ， 可 证 得 △ △ ， ， 从 而 得 出
，从而当 在 处， 在 处时， 最小，进一步得出结果．
【解答】解：（1） △ 是等边三角形，
，
，
， ，
；
（2）证明：如图1，
在 上截取 ，
，，
，
△ 是等边三角形，
， ，
△ △ ，
， ，
，
，
，
△ △ ，
，
；
（3）解：如图2，
作 ，截取 ，连接 ， ， 交 于 ，在 上截取 ，
，△ 是等边三角形，
， ，
，
△ △ ，
， ，
，
当 在 处， 在 处时， 最小，
此时 ．
故答案为： ．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅
助线，构造全等三角形．
题型八：一线三等角、倍长与手拉手（共2题）
1．（2021秋•江汉区期末）如图，在等边 中， ， 分别为 ， 边上的点， ，
．
（1）如图1，若点 在 边上，求证： ；
（2）如图2，连 ．若 ，求证： ；
（3）如图 3， 是 的中点，点 在 内， ，点 ， 分别在 ， 上，
，若 ，直接写出 的度数（用含有 的式子表示）．
【分析】（1）连接 ，根据“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”可判断 是等边三角形，
则 ， 又 是 等 边 三 角 形 ， 根 据 三 角 形 内 角 和 可 得 出 ， ， 所 以
，则 ；
（2）过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于 ，交 于点 ，连
接 ，则 和 是等边三角形， ，所以 ，因为 ，
，所以四边形 是平行四边形，则 ，易得 为等边三角形，由 可得
平分 ，则 ，所以 ， ， ，所以 ，即
；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ，作 ，且使 ，连接
， ，先得到 ，再得到 和 ，所以，所以 ，则 ，所以
．
【解答】（1）证明：如图，连接 ，
， ，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
， ，
，
；
（2）证明：如图，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于 ，交
于点 ，连接 ，
，
，
和 是等边三角形，， ，
是等边三角形，
由（1）中结论可知， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
为等边三角形， ，
，
平分 ，
是等边三角形，
，
，
， ，
，即 ；
（3）解：如图，延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ，作 ，且使
，连接 ， ，
， ，
，
， ， ，，
， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
， ， ，
，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，，
又 ，
，
，
．
【点评】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角
形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键．
2．（2023秋•金乡县期末）如图所示，在 中， ，点 是线段 延长线上一点，且
．点 是线段 上一点，连接 ，以 为斜边作等腰 ．连接 ，且 ．
（1）若 ， ，则 6 0 ；
（2）过 点作 ，垂足为 ．
①填空： △ ；
②求证： ；
（3）如图2，若点 是线段 延长线上一点，其他条件不变，请写出线段 ， ， 之间的数量关
系，并简要说明理由．
【分析】（1）先由 、 得到 ，然后由 得到 ，
再结合 得到 ，最后由 得到 ；
（2）①先由 得到 ，然后由 得到 ，从而得
到 ，再结合 、 得证 ；
② 先 由 和 得 到 ， 再 结 合 、
得证 ，进而得到 ，最后由 得到 ，最后
得证 ；
（ 3 ） 过 点 作 ， 交 的 延 长 线 于 点 ， 则 ， 先 由 ， 得 到，然后由 是以 为斜边的等腰直角三角形得到 ， ，从
而得证 ，因此有 ，再由 得到 ，然后证明
，最后得到 ．
【解答】（1）解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为，60．
（2）①解： ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
故答案为： ．
②证明： ， ，
，
， ，
，
，
，
，．
（3）解： ，理由如下，
如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 ，
，
，
是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解题的关
键是熟练掌握一线三等角模型证明三角形全等．
