文档内容
2022年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符
合要求的一项）
1．（3分）（2022•岳阳）8的相反数是（ ）
A． B．8 C． D．﹣8
2．（3分）（2022•岳阳）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这
个立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
3．（3分）（2022•岳阳）下列运算结果正确的是（ ）
A．a+2a＝3a B．a5÷a＝a5 C．a2•a3＝a6 D．（a4）3＝a7
4．（3分）（2022•岳阳）某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量
（单位：袋）分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是（
）
A．105，108 B．105，105 C．108，105 D．108，108
5．（3分）（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．（3分）（2022•岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
第1页（共25页）D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
7．（3分）（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿
入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，
每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
8．（3分）（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x ，y ）是该
p p
函数图象上一点，当0≤x ≤4时，y ≤﹣3，则m的取值范围是（ ）
p p
A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）（2022•岳阳）要使 有意义，则x的取值范围是 ．
10．（4分）（2022•岳阳）2022年5月14日，编号为B﹣001J的C919大飞机首飞成功．数据显
示，C919大飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为
．
11．（4分）（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝
．
12．（4分）（2022•岳阳）分式方程 ＝2的解为x＝ ．
13．（4分）（2022•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则
实数m的取值范围是 ．
14．（4分）（2022•岳阳）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优
质特色作业共分为四类：A（节日文化篇），B（安全防疫篇），C（劳动实践篇），D（冬奥运动
篇）．下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业有 份．
第2页（共25页）15．（4分）（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心
广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P
的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道
AB的距离约为 米（结果保留整数，参考数据： ≈1.732）．
16．（4分）（2022•岳阳）如图，在 O中，AB为直径，AB＝8，BD为弦，过点A的切线与BD的
延长线交于点C，E为线段BD⊙上一点（不与点B重合），且OE＝DE．
（1）若∠B＝35°，则 的长为 （结果保留 ）；
π
（2）若AC＝6，则 ＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（6分）（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（ ﹣ ）0．
18．（6分）（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）π（a﹣1）+1的值．
19．（8分）（2022•岳阳）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，
DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②D▱E＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作
第3页（共25页）为已知条件，使 ABCD为菱形．
（1）你添加的条▱件是 （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
▱
20．（8分）（2022•岳阳）守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳
“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，
它们除此之外完全相同．
（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是
“麋鹿”的概率为 ；
（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随
机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天
鹅”的概率．
21．（8分）（2022•岳阳）如图，反比例函数y＝ （k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象
交于点A（﹣1，2）和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式 ＜mx的解集．
第4页（共25页）22．（8分）（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民
健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需
140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B
种跳绳多少根？
23．（10分）（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论： ＝ ，直线
AD与直线CE的位置关系是 ；
（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，
连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转 （19°＜ ＜60°），连接AD、
EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值．α
α
第5页（共25页）24．（10分）（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F ：y＝x2+bx+c经过点A
1
（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线F 的解析式；
1
（2）如图2，作抛物线F ，使它与抛物线F 关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F
2 1 2
的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线F 向上平移2个单位，得到抛物线F ，抛物线F 与抛物线F
2 3 1 3
相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F 和抛物线F 上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重
1 3
合），试求四边形CMDN面积的最大值．
第6页（共25页）2022年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符
合要求的一项）
1．（3分）（2022•岳阳）8的相反数是（ ）
A． B．8 C． D．﹣8
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【解答】解：8的相反数是﹣8，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是
0．
2．（3分）（2022•岳阳）某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这
个立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
【解答】解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握n棱柱的底面是n边形是解题的关键．
3．（3分）（2022•岳阳）下列运算结果正确的是（ ）
A．a+2a＝3a B．a5÷a＝a5 C．a2•a3＝a6 D．（a4）3＝a7
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据同底数幂的
乘法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
第7页（共25页）【解答】解：A选项，原式＝3a，故该选项符合题意；
B选项，原式＝a4，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a5，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝a12，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握（am）n＝
amn是解题的关键．
4．（3分）（2022•岳阳）某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量
（单位：袋）分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是（
）
A．105，108 B．105，105 C．108，105 D．108，108
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为103，105，105，105，108，108，110，
这组数据出现次数最多的是105，
所以众数为105，
最中间的数据是105，
所以中位数是105，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组
数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置
的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是
这组数据的中位数．
5．（3分）（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
第8页（共25页）【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
则∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余
是解题的关键．
6．（3分）（2022•岳阳）下列命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【分析】根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判
断C，根据全等三角形的判定定理判断D．
【解答】解：A．对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项A符合题意；
B．菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对
角线互相垂直是一个假命题，故选项B不符合题意；
C．三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三
角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项C不符合题意；
D．三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的
内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．
7．（3分）（2022•岳阳）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿
入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，
第9页（共25页）每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？
在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
【分析】设城中有x户人家，利用鹿的数量＝城中人均户数+ ×城中人均户数，即可得出关
于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设城中有x户人家，
依题意得：x+ x＝100，
解得：x＝75，
∴城中有75户人家．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
8．（3分）（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（x ，y ）是该
p p
函数图象上一点，当0≤x ≤4时，y ≤﹣3，则m的取值范围是（ ）
p p
A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m＞0或m＜
0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，
∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），
∵点P（x ，y ）是该函数图象上一点，当0≤x ≤4时，y ≤﹣3，
p p p p
∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，
此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，
解得m≥1；
②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，
当0≤x≤4时，y随x增大而减小，
则当0≤x ≤4时，y ≤﹣3恒成立；
p p
综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
第10页（共25页）二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．（4分）（2022•岳阳）要使 有意义，则x的取值范围是 x ≥ 1 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
10．（4分）（2022•岳阳）2022年5月14日，编号为B﹣001J的C919大飞机首飞成功．数据显
示，C919 大飞机的单价约为 653000000 元，数据 653000000 用科学记数法表示为
6.53×10 8 ．
【分析】利用科学记数法的定义解决．
【解答】解：653000000＝6.53×108．
故答案为：6.53×108．
【点评】考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
11．（4分）（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝ 3
．
【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵BC＝6，
∴CD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
12．（4分）（2022•岳阳）分式方程 ＝2的解为x＝ 2 ．
【分析】去分母，移项、合并同类项，再求所求的根进行检验即可求解．
第11页（共25页）【解答】解： ＝2，
3x＝2x+2，
x＝2，
经检验x＝2是方程的解，
故答案为：2．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解
题的关键．
13．（4分）（2022•岳阳）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则
实数m的取值范围是 m ＜ 1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×m＞0，然后解不等式求出m的取值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×1×m＞0，
解得m＜1，
所以实数m的取值范围是m＜1．
故答案为：m＜1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．
14．（4分）（2022•岳阳）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优
质特色作业共分为四类：A（节日文化篇），B（安全防疫篇），C（劳动实践篇），D（冬奥运动
篇）．下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业有 2 0 份．
【分析】由条形统计图可得A，C，D类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得C
类作业份数占总份数的30%，可得总份数为100份，减去A，C，D类作业的份数即可求解．
【解答】解：∵C类作业有30份，且C类作业份数占总份数的30%，
第12页（共25页）∴总份数为：30÷30%＝100（份），
∵A，D类作业分别有25份，25份，
∴B类作业的份数为：100﹣25﹣30﹣25＝20（份），
故答案为：20．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是能够根据统计图提取所需信息．
15．（4分）（2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心
广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P
的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道
AB的距离约为 8 7 米（结果保留整数，参考数据： ≈1.732）．
【分析】过点P作PC⊥AB，垂足为P，设PC＝x米，然后分别在Rt△APC和Rt△CBP中，
利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，再根据AB＝200米，列出关于x的方程，进行
计算即可解答．
【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为P，
设PC＝x米，
在Rt△APC中，∠APC＝30°，
∴AC＝PC•tan30°＝ x（米），
在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，
∴BC＝CP•tan60°＝ x（米），
∵AB＝200米，
∴AC+BC＝200，
∴ x+ x＝200，
∴x＝50 ≈87，
∴PC＝87米，
∴点P到赛道AB的距离约为87米，
第13页（共25页）故答案为：87．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形
添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（4分）（2022•岳阳）如图，在 O中，AB为直径，AB＝8，BD为弦，过点A的切线与BD的
延长线交于点C，E为线段BD⊙上一点（不与点B重合），且OE＝DE．
（1）若∠B＝35°，则 的长为 （结果保留 ）；
π
（2）若AC＝6，则 ＝ ．
【分析】（1）利用弧长公式求解；
（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠ABD＝70°，
∴ 的长＝ ＝ ，
故答案为： ．
（2）连接AD．
∵AC是切线，AB是直径，
第14页（共25页）∴AB⊥AC，
∴BC＝ ＝ ＝10，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥CB，
∴ •AB•AC＝ •AB•AD，
∴AD＝ ，
∴BD＝ ＝ ＝ ，
∵OB＝OD，EO＝ED，
∴∠EDO＝∠EOD＝∠B，
∴△DOE∽△DBO，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ，
∴BE＝BD﹣DE＝ ﹣ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻
找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（6分）（2022•岳阳）计算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（ ﹣ ）0．
第15页（共25页） π【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（ ﹣ ）0
＝3﹣2×1+1﹣1 π
＝3﹣2+1﹣1
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，
准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（6分）（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
【解答】解：a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1
＝a2﹣4a+a2﹣1+1
＝2a2﹣4a
＝2（a2﹣2a），
∵a2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．
【点评】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．
19．（8分）（2022•岳阳）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，
DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②D▱E＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作
为已知条件，使 ABCD为菱形．
（1）你添加的条▱件是 ① （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
▱
【分析】（1）添加合适的条件即可；
（2）证△ADE≌△CDF（AAS），得AD＝CD，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）解：添加的条件是∠1＝∠2，
第16页（共25页）故答案为：①；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴ ABCD为菱形．
【点▱评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟
练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
20．（8分）（2022•岳阳）守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳
“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，
它们除此之外完全相同．
（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是
“麋鹿”的概率为 ；
（2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随
机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天
鹅”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找
到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为 ，
第17页（共25页）故答案为： ；
（2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，
列表如下：
① ② ③
① （②，①）（③，①）
② （①，②） （③，②）
③ （①，③）（②，③）
由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有
2种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
21．（8分）（2022•岳阳）如图，反比例函数y＝ （k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象
交于点A（﹣1，2）和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式 ＜mx的解集．
【分析】（1）把点A（﹣1，2）代入y＝ （k≠0）可得k的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
第18页（共25页）（3）根据图象得出不等式 ＜mx的解集即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，2）代入y＝ （k≠0）得：2＝ ，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ；
（2）∵反比例函数y＝ （k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图象交于点A（﹣1，2）和点
B，
∴B（1，﹣2），
∵点C是点A关于y轴的对称点，
∴C（1，2），
∴CD＝2，
∴S△ABC ＝ ＝4．
（3）根据图象得：不等式 ＜mx的解集为x＜﹣1或0＜x＜1．
【点评】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反
比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
22．（8分）（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民
健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需
140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B
种跳绳多少根？
【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．由题意：若购买3根A种
跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．列出
二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，由题意：总费用不超过1780元，列
第19页（共25页）出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．
根据题意得： ，
解得： ，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（46﹣a）根，
由题意得：30（46﹣a）+50a≤1780，
解得：a≤20，
答：至多可以购买B种跳绳20根．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等
式．
23．（10分）（2022•岳阳）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∠BAC＝∠BDE＝30°，BC＝3，BE＝2．
（1）特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论： ＝ ，直线
AD与直线CE的位置关系是 垂直 ；
（2）探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，
连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转 （19°＜ ＜60°），连接AD、
EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan（60°﹣α）的值．α
α
第20页（共25页）【分析】（1）解直角三角形求出EC，AD，可得结论；
（2）结论不变，证明△ABD∽△CBE，推出 ＝ ＝ ，∠ADB＝∠BEC，可得结论；
（3）如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点K．
求出BJ，JK，可得结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，∠A＝30°，
∴AB＝ BC＝3 ，
在Rt△BDE中，∠BDE＝30°，BE＝2，
∴BD＝ BE＝2 ，
∴EC＝1，AD＝ ，
∴ ＝ ，此时AD⊥EC，
故答案为： ，垂直；
（2）结论成立．
理由：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵AB＝ BC，BD＝ BE，
∴ ＝ ，
∴△ABD∽△CBE，
∴ ＝ ＝ ，∠ADB＝∠BEC，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∴∠CDB+∠BEC＝180°，
∴∠DBE+∠DCE＝180°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∴AD⊥EC；
（3）如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点K．
第21页（共25页）∵∠AJB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABJ＝60°，
∴∠KBJ＝60°﹣ ．
∵AB＝3 ， α
∴BJ＝ AB＝ ，AJ＝ BJ＝ ，
当DF＝BE时，四边形BEFD是矩形，
∴∠ADB＝90°，AD＝ ＝ ＝ ，
设KT＝m，则AT＝ m，AK＝2m，
∵∠KTB＝∠ADB＝90°，
∴tan ＝ ＝ ，
α
∴ ＝ ，
∴BT＝ m，
∴ m+ m＝3 ，
∴m＝ ，
∴AK＝2m＝ ，
∴KJ＝AJ﹣AK＝ ﹣ ＝ ，
第22页（共25页）∴tan（60°﹣ ）＝ ＝ ．
α
【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（10分）（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F ：y＝x2+bx+c经过点A
1
（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线F 的解析式；
1
（2）如图2，作抛物线F ，使它与抛物线F 关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F
2 1 2
的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线F 向上平移2个单位，得到抛物线F ，抛物线F 与抛物线F
2 3 1 3
相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F 和抛物线F 上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重
1 3
合），试求四边形CMDN面积的最大值．
【分析】（1）将点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）利用对称性求出函数F 顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），即可求函数F
1 2
的解析式；
（3）①通过联立方程组 ，求出C点和D点坐标即可；
②求出直线CD的解析式，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点
E，设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+3），则F（m，2m+2），N（n，2n+1），可求MF＝﹣
m2+4，NE＝﹣n2+2，由S四边形CMDN ＝S△CDN +S△CDM ＝2（MF+NE），分别求出MF的最大值
第23页（共25页）4，NE的最大值2，即可求解．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），
∴抛物线F 的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
2
∴y＝﹣x2+2x+3；
（3）由题意可得，抛物线F 的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，
3
①联立方程组 ，
解得x＝2或x＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；
②设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝2x+1，
过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，
设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+3），
则F（m，2m+1），N（n，2n+1），
∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，
NE＝﹣n2+2n+3﹣2n﹣1＝﹣n2+2，
∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，
∴当m＝0时，MF有最大值4，
当n＝0时，NE有最大值2，
第24页（共25页）∵S四边形CMDN ＝S△CDN +S△CDM ＝ ×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为12．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和
对称的性质是解题的关键．
第25页（共25页）
