文档内容
2022年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正
确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）如图，数轴上点E对应的实数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
2．（4分）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）剪纸是我国具有独特艺未风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．
下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．（4分）永州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长
29.33%，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆．将数 7791000用科学记数法表示为
（ ）
A．7791×103 B．77.91×105 C．7.791×106 D．0.7791×107
5．（4分）下列各式正确的是（ ）
A． ＝2 B．20＝0 C．3a﹣2a＝1 D．2﹣（﹣2）＝4
6．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay＝a（x+y）+1 B．3a+3b＝3（a+b）
第1页（共27页）C．a2+4a+4＝（a+4）2 D．a2+b＝a（a+b）
7．（4分）我市江华县有“神州摇都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用
的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长
鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座
随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC
的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
10．（4分）学枝组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生
队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参
观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校．设师生队伍离学校的距离为y米，
离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（ ）
第2页（共27页）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分）若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝ ．
12．（4分）请写出一个比 大且比10小的无理数： ．
13．（4分）“闪电足球队”参加市中小学生足球比赛，在五场小组赛中，该足球队的进球数
分别为：2，0，1，2，3，则此组数据的众数是 ．
14．（4分）解分式方程 ﹣ ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
15．（4分）已知一次函数y＝x+1的图象经过点（m，2），则m＝ ．
16．（4分）如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 度．
⊙ ⊙
17．（4分）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点．若线段OA绕
原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为 ．
第3页（共27页）18．（4分）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理
的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一
个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
19．（8分）解关于x的不等式组： ．
20．（8分）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ）其中x＝ +1．
21．（8分）“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择
性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课
程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完
整统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程 人数
A：剪纸
B：陶艺 20
C：厨艺 a
D：刺绣 20
第4页（共27页）E：养殖
请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）扇形统计图中m＝ ．
（2）所抽取样本的样本容量是 ，频数统计表中a＝ ．
（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．
22．（10分）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在
滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；
第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代
数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
23．（10分）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠ ．（两直线平行，内错角相等）．
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝ ∠ADB，∠DBF＝ ∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥ ．（ ）（填推理的依据）
第5页（共27页）又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
24．（10分）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动
喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了
用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为
铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．
满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案
比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据： ≈1.4，
≈1.7）
25．（12分）如图，已知AB，CE是 O的直径，BM是 O的切线，点D在EA的延长线上，
AC，OD交于点F，∠MBC＝∠⊙ACD． ⊙
（1）求证：∠MBC＝∠BAC；
（2）求证：AE＝AD；
（3）若△OFC的面积S ＝4，求四边形AOCD的面积S．
1
第6页（共27页）26．（12分）已知关于x的函数y＝ax2+bx+c．
（1）若a＝1，函数的图象经过点（1，﹣4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值；
（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数
a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x＝0对应图象上的点在x轴上方，即c＞0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置
来进一步限制抛物线的位置：即需﹣ ＜0．
综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数y＝ax2﹣2x+3的图象在直线x＝1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范
围．
第7页（共27页）2022年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正
确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）如图，数轴上点E对应的实数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】观察数轴即可得出答案．
【解答】解：数轴上点E对应的实数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上的点与实数一一对应是解题的关键．
2．（4分）下列多边形具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
3．（4分）剪纸是我国具有独特艺未风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．
下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（ ）
第8页（共27页）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：①、是中心对称图形，故本选项符合题意；
②、是中心对称图形，故本选项符合题意；
③、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
④、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后
两部分重合．
4．（4分）永州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏7791000头，同比增长
29.33%，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆．将数 7791000用科学记数法表示为
（ ）
A．7791×103 B．77.91×105 C．7.791×106 D．0.7791×107
【分析】将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数即可．
【解答】解：7791000＝7.791×106．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是
解题的关键．
5．（4分）下列各式正确的是（ ）
A． ＝2 B．20＝0 C．3a﹣2a＝1 D．2﹣（﹣2）＝4
【分析】根据二次根式的性质与化简判断A选项；根据零指数幂判断B选项；根据合并同
类项判断C选项；根据有理数的减法判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝1，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝2+2＝4，故该选项符合题意；
第9页（共27页）故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，零指数幂，合并同类项，有理数的减法，掌握
减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
6．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay＝a（x+y）+1 B．3a+3b＝3（a+b）
C．a2+4a+4＝（a+4）2 D．a2+b＝a（a+b）
【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．
【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；
B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；
C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；
D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握a2+2ab+b2＝（a+b）2是解题的关键．
7．（4分）我市江华县有“神州摇都”的美称，每逢“盘王节”会表演长鼓舞，长鼓舞中使用
的“长鼓”内腔挖空，两端相通，两端鼓口为圆形，中间鼓腰较为细小．如图为类似“长
鼓”的几何体，其俯视图的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题目描述，判断几何体的俯视图即可．
【解答】解：根据长鼓舞中使用的“长鼓”内腔挖空，两端相通，可知俯视图中空，两端鼓
口为圆形可知俯视图是圆形；
故选：B．
【点评】本题主要考查几何体的三视图中的俯视图，解本题的关键在于需学生具备一定的
空间想象能力．
第10页（共27页）8．（4分）李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座
随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】一共有“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，第一场安排的是三场之中
的一场，因此可求出概率．
【解答】解：一共有3种可能出现的结果，其中第一场是“心理”的只有1种，
所以若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为 ，
故选：C．
【点评】本题考查概率公式，理解概率的定义是解决问题的关键．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC
的长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半
即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，
∴AC＝2BD＝4，
∵∠C＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝ AC＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三
角形的性质是解题的关键．
10．（4分）学枝组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动．师生
队伍从学校出发，匀速行走30分钟到达烈士陵园，用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参
观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行45分钟返校．设师生队伍离学校的距离为y米，
第11页（共27页）离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据已知，结合各选项y与x的关系图象即可得到答案．
【解答】解：根据已知0≤x≤30时，y随x的增大而增大，
当30＜x≤90时，y是一个定值，
当90＜x≤135时，y随x的增大而减小，
∴能大致反映y与x关系的是A，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分）若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝ 6 ．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可得出答案．
【解答】解：∵3xmy与﹣2x6y是同类项，
∴m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相
同是解题的关键．
12．（4分）请写出一个比 大且比10小的无理数： （答案不唯一） ．
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵4＜5＜7＜9，
∴2＜ ＜ ＜3，
∴比 大且比10小的无理数是 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数
第12页（共27页）是解题的关键．
13．（4分）“闪电足球队”参加市中小学生足球比赛，在五场小组赛中，该足球队的进球数
分别为：2，0，1，2，3，则此组数据的众数是 2 ．
【分析】根据众数的概念求解即可．
【解答】解：此组数据2出现2次，次数最多，所以众数是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了众数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以
不止一个．
14．（4分）解分式方程 ﹣ ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 x（ x + 1 ） ．
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
【点评】本题考查了解分式方程，最简共分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因
式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键．
15．（4分）已知一次函数y＝x+1的图象经过点（m，2），则m＝ 1 ．
【分析】由一次函数y＝x+1的图象经过点（m，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得
出2＝m+1，解之即可求出m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1的图象经过点（m，2），
∴2＝m+1，
∴m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函
数关系式y＝kx+b是解题的关键．
16．（4分）如图，AB是 O的直径，点C、D在 O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 12 0 度．
⊙ ⊙
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
第13页（共27页）角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠ADC是 所对的圆周角，
∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
17．（4分）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点．若线段OA绕
原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为 （ 2 ，﹣ 2 ） ．
【分析】根据旋转的性质找到旋转后的A点的对应点的位置，即可求解．
【解答】解：线段OA绕原点O顺时针旋转90°如图所示，则A'（2，﹣2），
则旋转后A点坐标变为：（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
【点评】本题主要考查旋转中的坐标变化，先画出旋转后的图形是解题的关键．
18．（4分）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理
的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一
第14页（共27页）个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝ 3 ．
【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH＝
BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．
【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，
根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，
则AE＝x﹣1，
在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，
∴（x﹣1）2+x2＝52，
解得：x ＝4，x ＝﹣3（舍去），
1 2
∴x﹣1＝3，
故答案为：3．
【点评】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题
意，利用方程思想解题是关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
19．（8分）解关于x的不等式组： ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞4，
则不等式组的解集为x＞4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
第15页（共27页）“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ）其中x＝ +1．
【分析】根据分式的加减法法则先计算括号里面，将多项式因式分解，将除法转化为乘法，
约分，然后代入求值即可．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝x﹣1，
当x＝ +1时，
原式＝ +1﹣1
＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
21．（8分）“风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择
性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课
程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完
整统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表
技能课程 人数
A：剪纸
B：陶艺 20
C：厨艺 a
D：刺绣 20
E：养殖
请根据上述统计数据解决下列问题：
（1）扇形统计图中m＝ 2 0 ．
（2）所抽取样本的样本容量是 20 0 ，频数统计表中a＝ 5 0 ．
（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．
第16页（共27页）【分析】（1）1减去其他组的百分比可得E组的百分比，即可求解；
（2）利用B的频数及其百分比可得所抽取样本的样本容量，样本容量乘以C的百分比，即
可得a的值；
（3）样本估计总体，样本中，有意向选择E“养殖”的占20%，因此估计总体2000人的20
是有意向选择“养殖”技能课程的人数．
【解答】解：（1）m%＝1﹣35%﹣10%﹣25%﹣10%＝20%，
∴m＝20，
故答案为：20；
（2）所抽取样本的样本容量是20÷10%＝200，
a＝200×25%＝50，
故答案为：200，50；
（3）2000×20＝400（人），
答：估计全校有意向选择“养殖”技能课程的有400人．
【点评】本题考查扇形统计图、统计表的意义和制作方法，明确统计图、表中的数量关系是
正确计算的前提．
22．（10分）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在
滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；
第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代
数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
第17页（共27页）【分析】（1）根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）求出从滑雪道A端滑到B端的路程，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：24（x+2）＝20（x+3），
解得：x＝3，
答：x的值为3；
（2）从滑雪道A端滑到B端的路程为：24×（3+2）＝120（米），
∵小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，
∴v＝ ．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题
的关键．
23．（10分）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，BF平分∠DBC，交CD于点F．
（1）请用尺规作∠ADB的角平分线DE，交AB于点E（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图形猜想四边形DEBF为平行四边形．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠ DBC ．（两直线平行，内错角相等）．
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝ ∠ADB，∠DBF＝ ∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥ BF ．（ 内错角相等，两直线平行 ）（填推理的依据）
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ）（填推理
的依据）．
第18页（共27页）【分析】（1）根据作已知角的角平分线步骤作图即可；
（2）根据平行线的性质及判定分别填空即可．
【解答】解：（1）作图如下：
DE即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠ADB＝∠DBC．（两直线平行，内错角相等）．
又∵DE平分∠ADB，BF平分∠DBC，
∴∠EDB＝ ∠ADB，∠DBF＝ ∠DBC．
∴∠EDB＝∠DBF．
∴DE∥BF．（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据），
又∵四边形ABCD是平行四边形．
∴BE∥DF．
∴四边形DEBF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）（填推理的依
据）．
故答案为：DBC，BF，内错角相等，两直线平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查基本的尺规作图及平行四边形性质与判定，解题的关键是掌握用尺规作
已知角的角平分线，能熟练应用平行线的判定与性质．
24．（10分）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动
喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了
用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为
铺设的水管）．
方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管；
方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管．
（1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；
第19页（共27页）（2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．
满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案
比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据： ≈1.4，
≈1.7）
【分析】（1）分别算出两种方案中铺设水管的总长度，再比较即可得答案；
（2）过E作EG⊥AB于G，过F作FH⊥CD于H，由AE＝BE，GE⊥AB，可得AG＝BG＝
AB＝25米＝DH＝CH，∠AEG＝∠BEG＝ ∠AEB＝60°＝∠DFH＝∠CFH＝60°，在
Rt△AEG中，GE＝ ＝ （米），AE＝ ＝ （米），故EF＝GH
﹣GE﹣FH＝（50﹣ ）米，从而可得方案中铺设水管的总长度为50 +50≈135
（米），即知小明的方案中铺设水管的总长度最短．
【解答】解：（1）方案一：铺设水管的总长度为50×3＝150（米），
方案二：铺设水管的总长度为2 ＝100 ≈140（米），
∵140＜150，
∴方案二铺设水管的总长度更短；
（2）小明的方案中铺设水管的总长度最短，理由如下：
如图：
第20页（共27页）∵AE＝BE，GE⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝25米，∠AEG＝∠BEG＝ ∠AEB＝60°，
同理DH＝CH＝25米，∠DFH＝∠CFH＝60°，
在Rt△AEG中，
GE＝ ＝ （米），AE＝ ＝ （米），
同理FH＝ 米，BE＝CF＝DF＝AE＝ 米
∴EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50﹣ ）米，
∴方案中铺设水管的总长度为 ×4+50﹣ ＝50 +50≈135（米），
∵135＜140＜150，
∴小明的方案中铺设水管的总长度最短．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形
三边的关系．
25．（12分）如图，已知AB，CE是 O的直径，BM是 O的切线，点D在EA的延长线上，
AC，OD交于点F，∠MBC＝∠⊙ACD． ⊙
（1）求证：∠MBC＝∠BAC；
（2）求证：AE＝AD；
（3）若△OFC的面积S ＝4，求四边形AOCD的面积S．
1
第21页（共27页）【分析】（1）由切线的性质证出∠ABC+∠MBC＝90°，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，则
可得出结论；
（2）证明△AEC≌△ADC（ASA），由全等三角形的性质得出结论；
（3）证出 ，证明△AOF∽△CDF ，由相似三角形的性质得出
，求出S△AOF ＝2，S△ADF ＝S△OCF ＝4，S△CDF ＝8，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BM是 O的切线，
∴AB⊥BM， ⊙
∴∠ABC+∠MBC＝90°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠MBC＝∠BAC；
（2）证明：∵AO＝OC，
∴∠BAC＝∠ACE，
∵∠MBC＝∠ACD，∠MBC＝∠BAC，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵CE是 O的直径，
∴∠EAC⊙＝∠DAC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AEC≌△ADC（ASA），
∴AE＝AD；
第22页（共27页）（3）解：∵∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥DC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵AO∥DC，
∴△AOF∽△CDF，
∴ ，
∵△OFC的面积S ＝4，
1
∴S△AOF ＝2，S△ADF ＝S△OCF ＝4，S△CDF ＝8，
∴S四边形AOCD ＝S△AOF +S△ADF +S△CDF +S△COF ＝2+4+8+4＝18．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质及圆周角定理
是解题的关键．
26．（12分）已知关于x的函数y＝ax2+bx+c．
（1）若a＝1，函数的图象经过点（1，﹣4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值；
（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数
a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x＝0对应图象上的点在x轴上方，即c＞0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置
来进一步限制抛物线的位置：即需﹣ ＜0．
综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：
第23页（共27页）请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数y＝ax2﹣2x+3的图象在直线x＝1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范
围．
【分析】（1）根据题意得得方程组，解方程组求得y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，根据二次函数的
性质健康得到结论；
（2）根据函数的图象与x轴有交点，得到Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m+1）≥0，解不等式即
可得到结论；
（3）根据题意得到y＝ax2﹣2x+3的图象如解不等式组即可得到结论．’
【解答】解：（1）根据题意得 ，
解得 ，
∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴该函数的表达式为y＝x2﹣2x+1或y＝（x﹣1）2，
当x＝1时，y的最小值为0；
（2）根据题意得y＝x2﹣2x+m+1，
∵函数的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m+1）≥0，
解得：m≤0；
（3）根据题意得到y＝ax2﹣2x+3的图象如图所示，
如图1，
第24页（共27页），即 ，
∴a的值不存在；
如图2，
，即 ，
∴a的取值范围为﹣1＜a≤0，
如图3，
第25页（共27页），即 ，
∴a的值不存在；
如图4，
，即
∴a的值不存在；
如图5，
第26页（共27页），即 ，
∴a的值为 ；
如图6，
当a＝0时，函数解析式为y＝﹣2x+3，函数与x轴的交点为（1.5，0），
∴a＝0成立；
综上所述，a的取值范围为﹣1＜a≤0或a＝ ．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，解不等式组，分类讨
论是解题的关键．
第27页（共27页）
