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期末重点强化六 二次根式复习学案（解析版）
考点1二次根式有意义的条件
3
1．（2023秋•道里区期末）若❑√2x−3有意义，则实数x的范围是 x≥ ．
2
【思路引领】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2x﹣3≥0，
3
∴x≥ ．
2
3
故答案为：x≥ ．
2
【总结提升】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
2．（2023秋•沈丘县期末）当y为 任意实数 时，式子❑√y2+1在实数范围内有意义．
【思路引领】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0解答即可．
【解答】解：根据题意得：
y2+1≥0，
所以y可以取任意实数．
故答案为：任意实数．
【总结提升】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0是解答本题的
关键．
1
3．（2023秋•道外区 期末）如果y=❑√x−2004+❑√2004−x−1，那么xy＝ ．
2004
【思路引领】根据二次根式的被开方数不小于零的条件求出 x，再代入求出y，最后根据题意进行计算
即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣2004≥0，2004﹣x≥0，
解得x＝2024，
代入y=❑√x−2004+❑√2004−x−1，
则y＝﹣1．
1
故xy＝2004﹣1= ．
20041
故答案为： ．
2004
【总结提升】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数不小于零的条件是解题的关键．
x
4．（2022秋•巴州区期末）如果 有意义，那么x的取值范围是 x ＞﹣ 2 ．
❑√x+2
【思路引领】利用二次根式有意义的条件和分母不为0得到x+2＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得x+2＞0，
解得x＞﹣2．
故答案为x＞﹣2．
【总结提升】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开
方数是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
考点2二次根式的性质
5．（2023秋•九台区期末）已知|a﹣3|+❑√a−4=a，则a＝ 1 3 ．
【思路引领】根据二次根式❑√a（a≥0）可得a﹣4≥0，从而可得a≥4，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
a﹣4≥0，
∴a≥4，
∴|a﹣3|＝a﹣3，
|a﹣3|+❑√a−4=a，
a﹣3+❑√a−4=a，
❑√a−4=3，
a﹣4＝32，
a＝13，
故答案为：13．
【总结提升】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握据二次根式❑√a（a≥0）是解题的关键．
6．（2023秋•绥化期末）若❑√2−x+ y2=0，那么x+y＝ 2 ．
【思路引领】首先根据非负数的性质，可求出x、y的值，进而可求出x+y的值．
【解答】解：∵❑√2−x+y2＝0，
∴2﹣x＝0，y＝0，
∴x＝2，y＝0；
故x+y＝2．
故答案为：2．【总结提升】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次
方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个
结论可以求解这类题目．
7．（2023秋•渌口区期末）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 |c﹣a|+|b﹣c|＝
❑√(b−a) 2−
0 ．
【思路引领】判断出绝对值里面的数的符号，进而去掉绝对值化简即可．
【解答】解：∵c＜b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0．
故答案为：0．
【总结提升】考查绝对值的化简问题；判断出绝对值里面的式子的符号是解决本题的关键；用到的知识
点为：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数．
5
8．已知x、y是实数，❑√3x+4+ y2−6y+9＝0，则x+y＝ ．
3
【思路引领】利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子即可．
【解答】解：∵❑√3x+4+ y2−6y+9＝0，
∴ ，
❑√3x+4+(y−3) 2=0
{3x+4=0)
∴ ，
y−3=0
{ x=− 4 )
解得 3 ，
y=3
4 5
∴x+y=− +3= ．
3 3
5
故答案为：
3
【总结提升】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质先求出
x及y的值再求解．
❑√6 1 ❑√2
9．如果❑√a−3与❑√2−b互为相反数，那么代数式 − 的值是 ．
❑√a ❑√b 2【思路引领】先根据互为相反数的和等于0列式，然后根据非负数的性质列式求出 a、b的值，再代入
代数式根据二次根式的化简进行计算．
【解答】解：根据题意，❑√a−3+❑√2−b=0，
∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，
解得a＝3，b＝2，
❑√6 1 ❑√6 1 ❑√2 ❑√2
∴ − = − =❑√2− = ．
❑√a ❑√b ❑√3 ❑√2 2 2
❑√2
故答案为： ．
2
【总结提升】本题考查了算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一个算式都等于
0列式是解题的关键．
10．（2022秋•青羊区月考）已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b+|❑√c−1−2|=10a+2❑√b−4−22，则
△ABC的形状是 等边三角形 ．
【思路引领】由于 a2+b+|❑√c−1−2|＝10a+2❑√b−4−22，等式可以变形为 a2﹣10a+25+b﹣4﹣2
❑√b−4+1+|❑√c−1−2|＝0，然后根据非负数的和是0，这几个非负数就都是0，就可以求解．
【解答】解：∵a2+b+|❑√c−1−2|＝10a+2❑√b−4−22，
∴a2﹣10a+25+b﹣4﹣2❑√b−4+1+|❑√c−1−2|＝0，
即（a﹣5）2+（❑√b−4−1）2+|❑√c−1−2|＝0，
根据几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，得a＝5，b＝5，c＝5．
故该三角形是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【总结提升】本题主要考查了非负数的性质，难度适中，解题时利用了：几个非负数的和为 0，则这几
个非负数同时为0．注意此题中的变形要充分运用完全平方公式．
考点3 二次根式的化简与计算
11．（2023秋•道里区期末）下列选项中的式子，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√147 C．❑√25a D．❑√a2+1
3
【思路引领】根据最简二次根式的概念判断即可．
√1 ❑√3
【解答】解：A、❑ = ，不是最简二次根式；
3 3
B、❑√147=7❑√3，不是最简二次根式；
C、❑√25a=5❑√a，不是最简二次根式；D、 是最简二次根式；
❑√a2+1
故选：D．
【总结提升】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被
开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
12．（2023秋•沈丘县期末）若√ x+1 ❑√x+1成立，则x的值可以是（ ）
❑ =
2−x ❑√2−x
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【思路引领】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵若√ x+1 ❑√x+1成立，
❑ =
2−x ❑√2−x
{ x+1≥0 )
∴ ，
2−x＞0
解得：﹣1≤x＜2，
故x的值可以是0．
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
13．（2023秋•静安区 期末）当a＜﹣1时， ﹣ a ﹣ 1 ．
❑√(a+1) 2=
【思路引领】根据a＜﹣1，可得a+1＜0，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a＜﹣1，
∴a+1＜0，
∴原式＝﹣a﹣1，
故答案为：﹣a﹣1．
【总结提升】此题考查二次根式的性质与化简，利用了 的性质，注意开方结果是非负数．
❑√a2=|a|
14．（2023秋•沈丘县期末）化简 的结果是（ ）
❑√−a3
A．a❑√a B．﹣a❑√a C．a❑√−a D．﹣a❑√−a
【思路引领】根据二次根式的性质化简解答即可．
【解答】解： ，
❑√−a3=−a❑√−a故选：D．
【总结提升】此题考查二次根式的性质与化简，关键是根据二次根式的性质化简．
15．（2023秋•兴宾区期末）已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a| 的结果为（ ）
+❑√a2
A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1
【思路引领】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：﹣1＜a＜0，
则|1﹣a| 1﹣a﹣a＝1﹣2a．
+❑√a2=
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
√1
16．（2023秋•城关区 期末）化简﹣a❑ 的结果是（ ）
a
A．❑√a B．−❑√a C．−❑√−a D．❑√−a
【思路引领】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
1
【解答】解：∵ ≥0，
a
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
√1
∴﹣a❑ =−❑√a，
a
故选：B．
【总结提升】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
17．（2023秋•静安区 期末）如果 ，那么等式成立的条件是 ﹣ 2 ≤ x ≤ 0 ．
❑√x2 (2+x)=−x⋅❑√2+x
【思路引领】根据 解答即可．
❑√a2=−a(a≤0)
【解答】解：如果 ，
❑√x2 (2+x)=−x⋅❑√2+x
那么x≤0，2+x≥0，
解得﹣2≤x≤0
故答案为：﹣2≤x≤0．【总结提升】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握 的化简以及二次根式有意义的条件是解
❑√a2
题的关键．
18．（2023秋•房山区期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： |a﹣b| |c|
❑√b2− +❑√(c−a) 2−
＝ 0 ．
【思路引领】根据数轴得到a﹣c＞0，c﹣b＜0，根据二次根式的性质化简，合并同类项得到答案．
【解答】解：由数轴可知，c＜b＜0＜a，
则c﹣a＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝﹣b﹣a+b﹣c+a+c＝0，
故答案为：0．
【总结提升】本题考查的是二次根式的化简、数轴的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．
19．（2023秋•金华期中）下列计算中正确的是（ ）
√1 1
A．❑√(−6) 2=−6 B．(−❑√5) 2=25 C．−❑ =− D．❑√9=±3
4 2
【思路引领】利用二次根式的运算法则及性质逐项判断即可．
【解答】解： 6，则A不符合题意；
❑√(−6) 2=
（−❑√5）2＝5，则B不符合题意；
√1 1
−❑ =− ，则C符合题意；
4 2
❑√9=3，则D不符合题意；
故选：C．
【总结提升】本题考查二次根式的运算及性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
20．（2023秋•静安区 期末）下列根式中，与2❑√3是同类二次根式的是（ ）
√3
A．❑√18 B．❑ C．❑√75 D．❑√0.3
2
【思路引领】把四个选项中的二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义进行判断．
【解答】解：A． ❑√18=3❑√2，则❑√18与2❑√3不是同类二次根式，所以A选项不符合题意；
√3 ❑√6 √3
B． ❑ = ，则❑ 与2❑√3不是同类二次根式，所以B选项不符合题意；
2 2 2C． ❑√75=5❑√3，则❑√75与2❑√3是同类二次根式，所以C选项符合题意；
√ 3 ❑√30
D． ❑√0.3=❑ = ，则❑√0.3与2❑√3不是同类二次根式，所以D选项不符合题意．
10 10
故选：C．
【总结提升】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被
开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
21．（2023春•滨州期末）下列各式，与❑√2的乘积为有理数的是（ ）
A．❑√12 B．❑√27 C．❑√8 D．❑√48
【思路引领】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：A．❑√12×❑√2=2❑√6，故此选项不合题意；
B．❑√27×❑√2=3❑√6，故此选项不合题意；
C．❑√8×❑√2=4，故此选项符合题意；
D．❑√48×❑√2=8❑√6，故此选项不合题意．
故选：C．
【总结提升】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
22．（2022春•平桥区 期末）下列各式中，与3−❑√5的积为有理数的是（ ）
A．3−❑√5 B．3+❑√5 C．❑√5 D．−3+❑√5
【思路引领】将无理数化成有理数的方法之一是利用平方差公式，根据这一解题技巧逐一判断各选项即
可求解．
【解答】解：根据（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
（3+❑√5）（3−❑√5）＝32﹣（❑√5）2＝9﹣5＝4，
4为有理数，
故选：B．
【总结提升】本题考查了有理化的基本公式，解题关键在于熟记（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
23．（2023秋•杨浦区期末）计算：❑√2a⋅❑√6a= 2❑√3a ．
【思路引领】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解： ，
❑√2a⋅❑√6a=❑√2a⋅6a=❑√12a2=2❑√3a
故答案为：2❑√3a．
【总结提升】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
24．（2023秋•道外区期末）计算❑√8−❑√50= ﹣ 3❑√2 ．
【思路引领】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：原式＝2❑√2−5❑√2
＝﹣3❑√2．
故答案为：﹣3❑√2．
【总结提升】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，
再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
1
25．（2023秋•河北区 期末）计算： −❑√8+（❑√3+1）0＝ −❑√2 ．
❑√2+1
【思路引领】根据二次根式混合运算的法则计算即可．
1
【解答】解： −❑√8+（❑√3+1）0
❑√2+1
=❑√2−1−2❑√2+1
=−❑√2．
故答案为：−❑√2．
【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的法则是解题的关键．
26．（2023秋•绥化期末）已知x+ y=2❑√3，xy=❑√6，则x2y+xy2的值为 6❑√2 ．
【思路引领】将代数式分解，再代入因式的值即可．
【解答】解：x2y+xy2＝xy（x+y），
∵x+y＝2❑√3，xy=❑√6，
∴原式=❑√6×2❑√3=6❑√2．
故答案为：6❑√2．
【总结提升】本题考查了因式分解的应用，准确分解并代入是解题关键．
√1 √1
27．（2023秋•沈北新区期末）比较下列两个数的大小：5❑ ＜ 6❑ ．（用“＞”或“＜”号填
5 6
空）
【思路引领】根据二次根式比较大小的方法求解即可．
√1 ❑√5 √1 ❑√6
【解答】解：5❑ =5× =❑√5，6❑ =6× =❑√6，
5 5 6 6
∵❑√5＜❑√6，
√1 √1
∴5❑ ＜6❑ ．
5 6
故答案为：＜．
【总结提升】本题主要考查了比较二次根式的大小，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．
28．（2023春•孝南区期中）若❑√13的整数部分为a，小数部分为b，则2a2+b−❑√13的值为 1 5 ．【思路引领】求出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：∵❑√9＜❑√13＜❑√16，
∴3＜❑√13＜4，
∴❑√13的整数部分为：a＝3，小数部分为：b=❑√13−3，
∴2a2+b−❑√13=2×9+❑√13−3−❑√13=15，
故答案为：15．
【总结提升】本题考查了估计无理数的大小，代数式求值等知识点的应用，解题的关键是求出无理数的
取值范围．
29．（2023春•海陵区期末）若 ❑√3a+1 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 2 ．
【思路引领】先根据二次根式有意义求出a的取值范围，再根据a为整数，以及最简二次根式的定义即
可求出a的最小值．
【解答】解：由题意得3a+1≥0，
1
解得a≥− ，
3
∵a为整数，
∴当a＝0时，❑√3a+1=❑√1，不是最简二次根式，舍去；
当a＝1时，❑√3a+1=❑√4，不是最简二次根式，舍去；
当a＝2时，❑√3a+1=❑√7，是最简二次根式；
故答案为：2．
【总结提升】本题考查了最简二次根式的定义，如果一个二次根式符合以下两个条件：①被开方数不
含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，那么这个二次根式就是最简二次根式．
30．（2023春•上杭县期中）已知❑√24n是整数，则正整数n的最小值是 6 ．
【思路引领】先分解质因数，再根据❑√24n为整数和n为正整数得出答案即可．
【解答】解：24＝22×6，
∵❑√24n是整数，
∴正整数n的最小值是6．
故答案为：6．
【总结提升】本题考查了二次根式的定义，能正确根据24分解质因数是解此题的关键．
31．（2022春•五常市期末）若一个长方体的长为2❑√6cm，宽为❑√3cm，高为❑√2cm，则它的体积为 1 2
cm3．
【思路引领】首先根据正方体的体积列出计算式，然后利用二次根式的乘除法法则计算即可求解．【解答】解：依题意得，正方体的体积为：
2❑√6×❑√3×❑√2=12cm3．
故答案为：12．
【总结提升】此题主要考查了二次根式的应用，同时也利用了正方体的体积公式，正确理解二次根式乘
法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
32．（2023秋•朝阳区 期末）计算：
√1
（1）2❑√18−3❑√2−❑ ；
2
（2） ．
(❑√3−1) 2−(❑√2+❑√3)(❑√3−❑√2)
【思路引领】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
❑√2
【解答】解：（1）原式＝6❑√2−3❑√2−
2
5❑√2
= ；
2
（2）原式＝3﹣2❑√3+1﹣（3﹣2）
＝4﹣2❑√3−1
＝3﹣2❑√3．
【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决
问题的关键．
√1
33．（2023秋•沈北新区期末）（1）❑√12÷❑√3−❑ ×❑√12；
2
√1
（2）❑√3+（﹣2❑√3）2﹣（❑√48−❑ ×❑√6）．
2
【思路引领】（1）根据二次根式的除法和乘法法则运算；
（2）先利用二次根式的性质和二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．
√1
【解答】解：（1）原式=❑√12÷3−❑ ×12
2
＝2−❑√6；
√1
（2）原式=❑√3+12﹣（4❑√3−❑ ×6）
2
=❑√3+12﹣4❑√3+❑√3＝12﹣2❑√3．
【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则
是解决问题的关键．
34．（2023秋•沈丘县期末）求下列各式的值：
（1）2 √ 1 1 ；
❑√12−6❑ −
27 2−❑√3
（2）(❑√3−❑√2−1)(❑√3+❑√2+1)．
【思路引领】（1）先分母有理化，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（2）先变形得到原式＝[❑√3−（❑√2+1）][❑√3+（❑√2+1]，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
❑√3
【解答】解：（1）原式＝4❑√3−6× −（2+❑√3）
9
2❑√3
＝4❑√3− −2−❑√3
3
7❑√3
= −2；
3
（2）原式＝[❑√3−（❑√2+1）][❑√3+（❑√2+1]
＝（❑√3）2﹣（❑√2+1）2
＝3﹣（2+2❑√2+1）
＝3﹣3﹣2❑√2
＝﹣2❑√2．
【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则
是解决问题的关键．
35．（2023秋•嘉定区期末）计算： ❑√2+1 √1．
(❑√3−1) 2+(❑√3−❑√2)(❑√2+❑√3)+ −3❑
❑√2−1 2
【思路引领】先算乘方，乘除，再算加减即可．
3❑√2
【解答】解：原式＝3+1﹣2❑√3+3﹣2+（❑√2+1）2−
2
3❑√2
＝5﹣2❑√3+2+1+2❑√2−
2
❑√2
＝8﹣2❑√3+ ．
2
【总结提升】本题考查的是二次根式的混合运算及分母有理化，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
1
36．（2023秋•靖边县期末）我们知道(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=1，因此将 分子、分母同时乘“
❑√3+❑√2
1
❑√3−❑√2“，分母就变成了1，原式可以化简为❑√3−❑√2，所以有 =❑√3−❑√2．
❑√3+❑√2
请仿照上面的方法，解决下列各题．
1 1
（1）化简： = ❑√5− 2 = ❑√6+❑√5 ；
❑√5+2 ❑√6−❑√5
1 1
（2）若x= ，y= ，求（x﹣y）2﹣xy的值；
3+2❑√2 3−2❑√2
1 1 1 1
（3）根据以上规律计算下列式子的值： + + ⋯+ ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2022+❑√2021
【思路引领】（1）利用分母有理化计算；
（2）先利用分母有理化把x、y化简，关键二次根式的减法法则、乘法法则分别求出x﹣y，xy，代入计
算即可；
（3）利用分母有理化、二次根式的加减法法则计算．
1 ❑√5−2
【解答】解：（1） = =❑√5−2，
❑√5+2 (❑√5+2)(❑√5−2)
1 ❑√6+❑√5
= =❑√6+❑√5，
❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)
故答案为：❑√5−2，❑√6+❑√5；
1 3−2❑√2 1
（2）x = = = 3﹣2❑√2，y = = 3+2❑√2，
3+2❑√2 (3+2❑√2)(3−2❑√2) 3−2❑√2
则x﹣y＝（3﹣2❑√2）﹣（3+2❑√2）＝﹣4❑√2，xy＝（3﹣2❑√2）﹣（3+2❑√2）＝9﹣8＝1，
则（x﹣y）2﹣xy＝（﹣4❑√2）2﹣1＝32﹣1＝31；
（3）原式=❑√2−1+❑√3−❑√2+⋯+❑√2021−❑√2020
=❑√2021−1．
【总结提升】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
考点4 二次根式的实际应用
37．（2023秋•郸城县 期末）如图，张大伯家有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为❑√72m，
宽AB为❑√32m，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方
形养鸡场的长为(❑√10+1)m，宽为(❑√10−1)m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）若市场上某种蔬菜8元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产15千克的该种蔬菜．如果
张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？
【思路引领】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长=2×(❑√72+❑√32)
=2×(6❑√2+4❑√2)
=20❑√2(m)，
答：长方形ABCD的周长是20❑√2m；
（2）蔬菜的面积=❑√72×❑√32−(❑√10+1)×(❑√10−1)
＝48﹣（10﹣1）
＝39（m2），
39×8×15＝4680（元），
答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为4680元．
【总结提升】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
38．（2023秋•光明区期末）秦九韶（1208年～1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱
世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于 1247年完成的著
作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦﹣秦九韶公式”．它
a+b+c
的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p= ，S为三角形的面积，那么s
2
=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．
（1）在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝7，请用上面的公式计算△ABC的面积；
（2）如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7，BD⊥AC，垂足为D，求CD的长；
（3）一个三角形的三边长分别为a，b，c，s＝p＝15，a＝10，求bc的值．【思路引领】（1）依据题意，了解海伦﹣秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公
式，计算三角形的面积即可；
1
（2）依据题意，由海伦﹣秦九韶公式求得△ABC的面积，再由△ABC的面积= BD•AC求出BD，然后
2
在Rt△BDC中，利用勾股定理即可求出CD；
（3）依据题意，由海伦﹣秦九韶公式建立关于b，c的方程组进而计算可以得解．
BC+AC+AB 18
【解答】解：（1）由题意，p= = =9，
2 2
∴S=❑√p(p−BC)(p−AC)(p−AB)=❑√9×4×3×2=6❑√6．
AB+AC+BC 24
（2）由题意，p= = =12，
2 2
∴S△ABC =❑√p(p−BC)(p−AC)(p−AB)=❑√12×5×4×3=12❑√5．
1
又S△ABC = BD•AC，AC＝8，
2
2S 2×12❑√5
∴BD= △ABC = =3❑√5．
AC 8
∴在Rt△BDC中，CD 2．
=❑√BC2−BD2=❑√72−(3❑√5) 2=
a+b+c 10+b+c
（3）由题意，p= = =15，s＝p=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)，
2 2
∴b+c＝20，（15﹣b）（15﹣c）＝3．
∴bc＝78．
【总结提升】本题主要考查二次根式的应用，也考察了勾股定理解直角三角形，以及等腰三角形的性质，
解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦﹣秦九韶公式求三角形的面积．
39．（2023•海淀区 开学）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在
长方形木板①上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板A，B．（1）图①截出的正方形木板A的边长为 3❑√2 dm，B的边长为 4❑√2 dm；
（2）图①中阴影部分的面积为 6 dm2；
（3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你
判断能否截出，并说明理由．
【思路引领】（1）由正方形的面积可得边长分别为❑√18dm和❑√32dm，再利用二次根式的性质化简，
即可求解；
（2）先求长方形的长和宽，再用长方形的面积减去两个正方形的面积，即可求解；
（3）先求截出的两个正方形木板的边长，再与长方形木板的长比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：截出的正方形木板A的边长为❑√18=3❑√2（dm），B的边长为❑√32=4
❑√2（dm），
故答案为：3❑√2，4❑√2；
（2）根据题意得：长方形的长为3❑√2+4❑√2=7❑√2（dm），宽为4❑√2dm，
∴阴影部分的面积＝7❑√2×4❑√2−（18+32）＝56﹣50＝6（dm2）．
故答案为：6；
（3）不能截出，理由如下：
∵面积为25dm2的两个正方形木板的边长均为❑√25=5（dm），
5+5＝10=❑√100＞❑√98=7❑√2，
∴不能在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板．
【总结提升】本题考查二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握二次根式的化简和运算，长方形的面积
公式是解题的关键．
