文档内容
2022年湖南省株洲市中考数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）
1．（4分）（2022•株洲）﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（4分）（2022•株洲）在0、 、﹣1、 这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．
3．（4分）（2022•株洲）不等式4x﹣1＜0的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞ D．x＜
4．（4分）（2022•株洲）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的
车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为（ ）
A．63 B．65 C．66 D．69
5．（4分）（2022•株洲）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（ab）2＝ab2 D． ＝a3（a≠0）
6．（4分）（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标
为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣ ，0） C．（ ，0） D．（0，1）
7．（4分）（2022•株洲）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去y可以得
到（ ）
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
8．（4分）（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在 O上，边AB、AC与 O分别交于
点D、E，点F是劣弧 上一点，且与D、E不重合，⊙连接DF、EF，则∠D⊙FE的度数为
（ ）
第1页（共25页）A．115° B．118° C．120° D．125°
9．（4分）（2022•株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作
CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．OB＝ CE B．△ACE是直角三角形
C．BC＝ AE D．BE＝CE
10．（4分）（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图
象可能为（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）（2022•株洲）计算：3+（﹣2）＝ ．
12．（4分）（2022•株洲）因式分解：x2﹣25＝ ．
第2页（共25页）13．（4分）（2022•株洲）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得
每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是 ．
（用最简分数表示）
14．（4分）（2022•株洲）A市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构
统计如下表：
人员 领队 心理医生 专业医生 专业护士
占总人数的百分 4% ★ 56%
此
则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为 ．
15．（4分）（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），
OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度．
16．（4分）（2022•株洲）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴
为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y＝ 的图象经过点C，
则k的值为 ．
17．（4分）（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线
OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝ 度．
18．（4分）（2022•株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方
第3页（共25页）田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一
角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与 O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若
AB的长度为10丈， O的半径为2丈，⊙则BN的长度为 丈．
⊙
三．解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（6分）（2022•株洲）计算：（﹣1）2022+ ﹣2sin30°．
20．（8分）（2022•株洲）先化简，再求值：（1+ ） ，其中x＝4．
21．（8分）（2022•株洲）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交
BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
22．（10分）（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段
AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直
线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝
1：1，BN⊥l于N，且CN＝ 千米．
（1）求∠ACB的度数；
（ 2 ） 求 在 此 过 程 中 该 登 山 运 动 爱 好 者 走 过 的 路 程 ．
第4页（共25页）23．（10分）（2022•株洲）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评
委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如
下：
专业评委 给分（单位：分）
① 88
② 87
③ 94
④ 91
⑤ 90
（专业评委给分统计表）
记“专业评委给分”的平均数为 ．
（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
（2）对于该作品，问 的值是多少？
（3）记“民主测评得分”为 ，“综合得分”为S，若规定：
① ＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；
②S＝0.7 +0.3 ．
求该作品的“综合得分”S的值．
24．（10分）（2022•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y ＝ （x
1
第5页（共25页）＜0）、y ＝ （x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点
2
Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）求点A的横坐标；
（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．
25．（13分）（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在 O上，顶点C在 O外，边AC与
O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知O⊙D∥BC． ⊙
⊙（1）求证：直线BC是 O的切线；
（2）若线段OD与线段⊙AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE＝6，求 O的半径的长度．
⊙
26．（13分）（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A
（x ，0）、B（x ，0），其中x ＜0＜x 、|x |＞|x |，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的
1 2 1 2 1 2
边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE
＝ ．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
第6页（共25页）②若NP＝2BP，令T＝ c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的
关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个
根x 、x 有如下关系：x +x ＝ ，x x ＝ ”．此关系通常被称为“韦达定理”．
1 2 1 2 1 2
第7页（共25页）2022年湖南省株洲市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分）
1．（4分）（2022•株洲）﹣2的绝对值等于（ ）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．据
此解答即可．
【解答】解：﹣2的绝对值等于：|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的
相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（4分）（2022•株洲）在0、 、﹣1、 这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．﹣1 D．
【分析】根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜0＜ ＜ ，
∴最小的数是﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．
3．（4分）（2022•株洲）不等式4x﹣1＜0的解集是（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞ D．x＜
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；
⑤系数化为1解不等式即可．
【解答】解：∵4x﹣1＜0，
∴4x＜1，
第8页（共25页）∴x＜ ．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去
括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1是解题的关键．
4．（4分）（2022•株洲）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的
车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为（ ）
A．63 B．65 C．66 D．69
【分析】根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，
则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数
据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案．
【解答】解：将这组数据由小到大排列为：55，63，65，67，69，
这组数据的中位数是65，
故选：B．
【点评】本题考查了中位数，将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列是解题的关键．
5．（4分）（2022•株洲）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a3）2＝a5
C．（ab）2＝ab2 D． ＝a3（a≠0）
【分析】A．应用同底数幂乘法法则进行求解即可得出答案；
B．应用幂的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C．应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
D．应用同底数幂除法运算法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以A选项运算正确，故A选项符合题意；
B．因为（a3）2＝a2×3＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C．因为（ab）2＝a2b2，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意；
D．因为 ＝a6﹣2＝a4，所以D选项运算不正确，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除
第9页（共25页）法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．
6．（4分）（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标
为（ ）
A．（0，﹣1） B．（﹣ ，0） C．（ ，0） D．（0，1）
【分析】一次函数的图象与y轴的交点的横坐标是0，当x＝0时，y＝1，从而得出答案．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，
∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象与y轴的交点的
横坐标是0是解题的关键．
7．（4分）（2022•株洲）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去y可以得
到（ ）
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
【分析】将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，去括号即可．
【解答】解： ，将①式代入②式，
得x+2（x﹣1）＝7，
∴x+2x﹣2＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键．
8．（4分）（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在 O上，边AB、AC与 O分别交于
点D、E，点F是劣弧 上一点，且与D、E不重合，⊙连接DF、EF，则∠D⊙FE的度数为
（ ）
A．115° B．118° C．120° D．125°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝
第10页（共25页）120°．
【解答】解：EFDA是 O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°，⊙
∵等边△ABC的顶点A在 O上，
∴∠A＝60°， ⊙
∴∠EFD＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关
键．
9．（4分）（2022•株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作
CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．OB＝ CE B．△ACE是直角三角形
C．BC＝ AE D．BE＝CE
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝ ，AC⊥BD，通过证明△AOB∽△ACE，可得∠AOB
＝∠ACE＝90°，OB＝ CE，AB＝ AE，由直角三角形的性质可得BC＝ AE，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝ ，AC⊥BD，
∵CE∥BD，
∴△AOB∽△ACE，
∴∠AOB＝∠ACE＝90°， ＝ ，
∴△ACE是直角三角形，OB＝ CE，AB＝ AE，
第11页（共25页）∴BC＝ AE，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形
的对角线垂直平分是解题的关键．
10．（4分）（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图
象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B
选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
【解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝ ＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝ ＞0，
故C选项符合题意，
第12页（共25页）故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关
键．
二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）（2022•株洲）计算：3+（﹣2）＝ 1 ．
【分析】根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：3+（﹣2）＝+（3﹣2）＝1．
故答案为：1
【点评】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键．
12．（4分）（2022•株洲）因式分解：x2﹣25＝ （ x + 5 ）（ x ﹣ 5 ） ．
【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（x+5）（x﹣5）．
故答案为：（x+5）（x﹣5）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣应用公式法，熟练掌握因式分解﹣应用公式法进行求
解是解决本题的关键．
13．（4分）（2022•株洲）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得
每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是 ．
（用最简分数表示）
【分析】根据能中奖的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解答】解：∵所有可能出现的结果数为6，其中能中奖出现的结果为2，每种结果出现的
可能性相同，
∴P（能中奖）＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式，掌握P（能中奖）＝能中奖的结果数÷所有可能出现的结果
数是解题的关键．
14．（4分）（2022•株洲）A市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构
统计如下表：
人员 领队 心理医生 专业医生 专业护士
第13页（共25页）占总人数的百分 4% ★ 56%
此
则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为 40% ．
【分析】根据各种人员占总人数的百分比之和为1计算即可得出答案．
【解答】解：1﹣4%﹣56%＝40%，
故答案为：40%．
【点评】本题考查了统计表，掌握各种人员占总人数的百分比之和为1是解题的关键．
15．（4分）（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），
OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 1 5 度．
【分析】根据 OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证
Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出
∠ABO的度数．
【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥BC，
∴∠OMB＝∠ONB＝90°，
在Rt△OMB和Rt△ONB中，
，
∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），
∴∠OBM＝∠OBN，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABO＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法
（HL）是解题的关键．
16．（4分）（2022•株洲）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴
为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y＝ 的图象经过点C，
第14页（共25页）则k的值为 3 ．
【分析】设BC交x轴于E，根据x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为
6，可得四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则mn＝3，即可得k＝
3．
【解答】解：设BC交x轴于E，如图：
∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，
∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，
设C（m，n），则OE＝m，CE＝n，
∵矩形DOEC面积是3，
∴mn＝3，
∵C在反比例函数y＝ 的图象上，
∴n＝ ，即k＝mn，
∴k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查反比例函数图象及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的
特征，理解y＝ 中k的几何意义．
17．（4分）（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线
OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝ 4 8 度．
第15页（共25页）【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝ ＝108°，
∵∠EAB是△AEO的外角，
∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，
故答案为：48．
【点评】本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角
性质是解题的关键．
18．（4分）（2022•株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方
田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一
角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．
问题：此图中，正方形一条对角线AB与 O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若
AB的长度为10丈， O的半径为2丈，⊙则BN的长度为 （ 8 ﹣ 2 ） 丈．
⊙
【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，根据正方形的性质得到∠OAC＝45°，求
出OA，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：如图，设正方形的一边与 O的切点为C，连接OC，
则OC⊥AC， ⊙
∵四边形是正方形，AB是对角线，
∴∠OAC＝45°，
∴OA＝ OC＝2 （丈），
第16页（共25页）∴BN＝AB﹣AN＝10﹣2 ﹣2＝（8﹣2 ）丈，
故答案为：（8﹣2 ）．
【点评】本题考查的是切线的性质、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是
解题的关键．
三．解答题（本大题共8小题，共78分）
19．（6分）（2022•株洲）计算：（﹣1）2022+ ﹣2sin30°．
【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝1+3﹣2×
＝1+3﹣1
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握（﹣1）的偶次幂等于1，（﹣1）
的奇次幂等于﹣1是解题的关键．
20．（8分）（2022•株洲）先化简，再求值：（1+ ） ，其中x＝4．
【分析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把x＝4代入计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝（ + ）
＝
＝ ；
把x＝4代入 中，
原式＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解
决本题的关键．
第17页（共25页）21．（8分）（2022•株洲）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交
BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】（1）利用SAS定理证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠DCE，得到AB∥CD，根据两组对边分别平行
的四边形是平行四边形证明结论．
【解答】证明：（1）在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（SAS）；
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的
判定定理是解题的关键．
22．（10分）（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段
AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直
线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝
1：1，BN⊥l于N，且CN＝ 千米．
（1）求∠ACB的度数；
（ 2 ） 求 在 此 过 程 中 该 登 山 运 动 爱 好 者 走 过 的 路 程 ．
第18页（共25页）【分析】（1）根据坡度的概念求出∠BCN＝45°，根据平角的概念计算即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，进而得到答案．
【解答】解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1，
∴CN＝BN，
∴∠BCN＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；
（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，
∴AC＝2AM＝1.2千米，
在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN＝ 千米，
则BC＝ ＝2（千米），
∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米），
答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角
三角函数的定义是解题的关键．
23．（10分）（2022•株洲）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评
委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如
下：
专业评委 给分（单位：分）
① 88
② 87
③ 94
④ 91
⑤ 90
（专业评委给分统计表）
第19页（共25页）记“专业评委给分”的平均数为 ．
（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；
（2）对于该作品，问 的值是多少？
（3）记“民主测评得分”为 ，“综合得分”为S，若规定：
① ＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；
②S＝0.7 +0.3 ．
求该作品的“综合得分”S的值．
【分析】（1）“不赞成”的票数＝总票数﹣赞成的票；
（2）平均数＝总分数÷总人数；
（3）根据 ＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；S＝0.7 +0.3 求出该作
品的“综合得分”S的值．
【解答】解：（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50﹣40＝10（张），
答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张；
（2） ＝（88+87+94+91+90）÷5＝90（分）；
答： 的值是90分；
（3）① ＝40×3+10×（﹣1）＝110（分）；
②∵S＝0.7 +0.3
＝0.7×90+0.3×110
＝96（分）．
答：该作品的“综合得分”S的值为96分．
【点评】本题考查了加权平均数、算术平均数，掌握这两种平均数的应用，其中读懂题意是
解题关键．
24．（10分）（2022•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y ＝ （x
1
＜0）、y ＝ （x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点
2
第20页（共25页）Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2．
（1）求点A的横坐标；
（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．
【分析】（1）把y＝﹣2代入y ＝ （x＜0）即可求得；
1
（2）求得B（2， ），即可得到PC＝OQ＝ ∴AC＝2+ ，BC＝1+2＝3，然后根据S＝S△ABC
﹣S△PQC 即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点A在函数y ＝ （x＜0）的图象上，点A的纵坐标为﹣2，
1
∴﹣2＝ ，解得x＝﹣1，
∴点A的横坐标为﹣1；
（2）∵点B在函数y ＝ （x＞0，k＞0）的图象上，点B的横坐标为2，
2
∴B（2， ），
∴PC＝OQ＝ ，BQ＝2，
∵A（﹣1，﹣2），
∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2+ ，BC＝1+2＝3，
∴S＝S△ABC ﹣S△PQC ＝ AC•BC﹣ PC•CQ＝ ﹣ ×1＝3+ k．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角
形的面积，表示出线段的长度是解题的关键．
25．（13分）（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在 O上，顶点C在 O外，边AC与
第21页（共25页）
⊙ ⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．
⊙（1）求证：直线BC是 O的切线；
（2）若线段OD与线段⊙AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE＝6，求 O的半径的长度．
⊙
【分析】（1）由∠BAC＝45°，得∠BOD＝90°，又OD∥BC，可得OB⊥BC，即得直线BC是
O的切线；
⊙（2）①由∠BOD＝90°，OB＝OD，可得∠BDE＝45°＝∠BAD，即知△ABD∽△DBE；
②由△ABD∽△DBE，得BD2＝AB•BE，又AB•BE＝6，可得BD＝ ，从而OB＝
BD•sin∠BDO＝ ，即 O的半径的长度是 ．
【解答】（1）证明：∵∠⊙BAC＝45°，
∴∠BOD＝2∠BAC＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°，
∴OB⊥BC，
又OB是 O的半径，
∴直线B⊙C是 O的切线；
（2）①证明⊙：由（1）知∠BOD＝90°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴∠BDE＝45°＝∠BAD，
∵∠DBE＝∠ABD，
∴△ABD∽△DBE；
②解：由①知：△ABD∽△DBE，
∴ ＝ ，
第22页（共25页）∴BD2＝AB•BE，
∵AB•BE＝6，
∴BD2＝6，
∴BD＝ ，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴OB＝BD•sin∠BDO＝ × ＝ ，
∴ O的半径的长度是 ．
【点⊙评】本题考查圆的综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形性质及
应用，圆的切线等知识，解题的关键是掌握切线的判定定理及圆的相关性质．
26．（13分）（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A
（x ，0）、B（x ，0），其中x ＜0＜x 、|x |＞|x |，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的
1 2 1 2 1 2
边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE
＝ ．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；
②若NP＝2BP，令T＝ c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的
关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个
根x 、x 有如下关系：x +x ＝ ，x x ＝ ”．此关系通常被称为“韦达定理”．
1 2 1 2 1 2
第23页（共25页）【分析】（1）把x＝1，y＝1代入y＝x2+3x+c，从而求得结果；
（ 2 ） ① 根 据 题 意 ， 表 示 出 AE 和 AB ， 根 据 tan∠ ABE ＝ ＝ ， 得 出
＝ ，从而求得结果；
（3）根据OP∥MN，从而得出 ，从而求得b的值，进而得出a，c的关系式，将其代
入T＝ c，进一步求得结果．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝3时，y＝x2+3x+c，
把x＝1，y＝1代入得，
1＝1+3+c，
∴c＝﹣3；
（2）①由ax2+bx+c＝0得，
x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∴AB＝x ﹣x ＝ ，
2 1
∵抛物线的顶点坐标为：（﹣ ， ），
∴AE＝ ，OM＝ ，
∵∠BAE＝90°，
∴tan∠ABE＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴b2﹣4ac＝9；
②∵b2﹣4ac＝9，
第24页（共25页）∴x ＝ ，
2
∵OP∥MN，
∴ ，
∴ ： ＝2，
∴b＝2，
∴22﹣4ac＝9，
∴c＝﹣ ，
∴T＝ c＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝（ ﹣2）2+4，
∴当 ＝2时，T最小 ＝4，
即a＝ 时，T最小 ＝4．
【点评】本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线
分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线段．
第25页（共25页）
