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期末解答题压轴题—坐标系中几何模型
（考题猜想，5 种必考题型）
题型一：三垂直模型（共7题）
1．（2024春•仓山区校级月考）在平面直角坐标系中，点 ，点 均在坐标轴上，点 是 轴
负半轴上的一动点，连接 ， ．
（1）若 的面积为16，在线段 上存在点 ；
①如图1，填空： 的面积为 ，点 的坐标为 ；
②如图2，点 在 轴负半轴上，连接 ， ，若 ，求点 的坐标；
（2）如图3，若 ，在第四象限内有一动点 ，连接 ， ， ，且 ．求证：
．2．（2023秋•武昌区期末）如图，在△ 中， ， ，点 在第一象限，点
在 轴的负半轴上， 交 轴于 ， 交 轴于 ， ，点 在 轴上，且在点 的
上方．
（1）如图1，求证： 平分 ；
（2）如图2，连接 ，求证： ；
（3）直接写出点 的坐标 （用含 的式子表示）．3．（2023秋•东莞市校级期末）【积累经验】
（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图 1， 于点 ， 于点 ，
点 在线段 上，连接 ， ， ，且 ．求证： ， ．萌萌发现
只需证明△ △ 即可；
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，在 中， ， ，已知点 的坐标为 ，点
的坐标为 ，求点 的坐标；
【拓展提升】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 为 轴正半轴上一动点，分别以 ，
为边在第一，第二象限中分别作等腰直角 ，等腰直角 ， ，连接
交 轴于点 ，当点 在 轴上移动时， 的长度是否发生改变？若不变，求出 的值；若变化，求
的取值范围．4．（2023秋•东莞市期末）综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别是 轴、 轴上的两个动点，以 为直角边作等腰直角三角
形 ， 交 轴于点 ，斜边 交 轴于点 ．
问题解决：
（1）如图①， ，点 的坐标为 ，求点 的坐标．
变式探索：
（2）如图②，若将 沿着 折叠，点 恰好落在 轴的点 处，求证：点 是 的中点．
拓展与应用：
（3）如图③，点 在 轴负半轴上且 ，分别以 ， 为直角边在第二、一象限作等腰直角三角
形 和 ，且 ，连接 交 轴于点 ．当点 在 轴的正半轴上运动时，
的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出 的长度．5．（2023秋•赤壁市期末）如图1，在平面直角坐标系中，在 轴上有两点 、 ，在 轴负半轴上有一
点 ， ， ，以 为顶点作等腰直角 ，点 在第三象限， ，
．
（1）填空： 点的坐标为： ； 点的纵坐标为： ；
（2）如图2，连接 ， ，求 的度数；
（3）如图3，过点 作 于点 ，交 于点 ，点 在 上且 ，连接 ．
①求证： ；
②直接写出线段 、 、 之间的数量关系为： ．6．（2023秋•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是 轴正半轴上一点，点 是 轴正
半轴上一点，且 ， 是多项式 中一次项的系数．
（1）直接写出 ， 两点的坐标： ， ， ， ．
（2）如图1，点 为线段 上一点（点 不与 、 重合）且满足： ，连 ，点 为 轴上
一点（点 在点 的右边），若 ，求证： ．
（3）如图2，过点 作 于点 ，以 为边在 轴左侧作等边 ，连接 交 于点 ，
请探究线段 、 、 三者之间的数量关系并证明你的结论．7．（2023秋•海南期末）在平面直角坐标系中，点 ， 分别是 轴、 轴上的动点，连接 作等腰直
角三角形 且 ．
（1）当点 在 轴负半轴上时，
①如图1，若 ，则 度；
②如图2， 交 轴于点 ， 轴与 交于点 ，若 ，求证： 平分 ；
（2）如图3，当点 在 轴正半轴上且 时，若 ，取点 ，连接 ， 交 轴于点
．当点 运动时， 的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．题型二：截长补短模型（共3题）
1．（2024秋•凉州区校级期中）如图，点 ， ，满足 ．
（1）直接写出 的面积为 ．
（2）如图1，点 在线段 上（不与 、 重合）移动， ，且 ，求 的度
数．
（3）如图2， ，点 是 轴上一动点（点 在点 的左边且不与点 重合），在 轴正半轴上取一
点 ，连接 ， ， ，使 ，试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并给出证明．2．（2022秋•江岸区期末）如图1所示，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， 垂直 轴
于点 ， 轴于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 ， 交于点 ，若 ，求点 的坐标；
（3）如图 3，点 是第一象限内一动点，点 是 轴正半轴上一动点，连接 ， ，始终保持
且 ，连接 ， 为线段 中点，连接 和 ，求证： 的大小为定值．3．（2022秋•嘉禾县期末）如图1，点 、 在 轴正半轴上，点 、 分别在 轴上， 平分
与 轴交于 点， ．
（1）求证： ；
（2）如图2，点 的坐标为 ，点 为 上一点，且 ，求 的长；
（3）在（1）中，过 作 于 点，点 为 上一动点，点 为 上一动点，（如图 ，当
在 上移动，点 在 上移动时，始终满足 ，试判断 、 、 这
三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．题型三：手拉手旋转模型（共5题）
1．（2023春•九龙坡区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 在 轴正半轴上，点 在
轴负半轴上， ，点 是 轴上的一动点（点 不与 、 重合）， ，
，连接 ．
（1）如图1，直接写出点 ， 的坐标；
（2）如图2，当点 在边 上时，求证：① ，② ；
（3）当 时，求点 的坐标．2．（2023秋•朝天区期末）已知点 在 轴正半轴上，以 为边作等边 ， ，其中 是方程
的解．
（1）点 的坐标为 ；
（2）如图1，点 在 轴正半轴上，以 为边在第一象限内作等边 ，连 并延长交 轴于点 ，
求 的度数；
（3）如图2，点 为 轴正半轴上一动点，点 在点 的右边，连接 ，以 为边在第一象限内作等
边 ，连 并延长交 轴于点 ，当点 运动时， 的值是否发生变化？若不变，求其值；
若变化，求出其变化的范围．3．（2022 秋•霞山区校级期末）已知， ，点 在边 上，点 是边 上一动点，
．以线段 为边在 上方作等边 ，连接 、 ，再以线段 为边作等边
（点 、 在 的同侧），作 于点 ．
（1）如图1， ．①依题意补全图形；②求 的度数；
（2）如图2，当点 在射线 上运动时，用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．4．（2023秋•丹江口市期末）如图①，平面直角坐标系 中，已知 ， ，且 ， 满足
．
（1）填空： ， ， ；
（2）如图②， 是 轴正半轴上的一个动点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 至 ，问点
是否在某条直线上运动？若是，请求出这条直线；若不是，请说明理由；
（3）如图③，当点 与点 关于 轴对称时，在直线 上的一点 满足 ，请判断线段 与
的数量关系，并说明理由．5．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知，在平面直角坐标系中， ， 为 轴上两点，且 ， 满
足： ，点 ， ， 为线段 上一动点．
（1）则 ， ；
（2）如图1，若点 在 的垂直平分线上，作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，求证：
轴；
（3）如图2，作点 关于 的对称点 ，连接 ，取 中点 ．连接 ， ，判断 与
的数量关系，并说明理由．题型四：夹半角与三垂直、手拉手（共2题）
1．（2024秋•肇庆期中）如图：已知 、 ，且 、 满足 ．
（1）如图1，求△ 的面积；
（2）如图2，点 在线段 上（不与 、 重合）移动， ，且 ，猜想线段 、
、 之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，若 为 轴上异于原点 和点 的一个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 至
，直线 交 轴于点 ，当 点在 轴上移动时，线段 和线段 中，请判断哪条线段长为定值，
并求出该定值．2．（2023秋•荔湾区期末）如图，点 ， ，且 ， 满足 ．
（1）如图1，求 的面积；
（2）如图2，点 在线段 上（不与 、 重合）移动， ，且 ，猜想线段 、
、 之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点 为 轴正半轴上异于原点 和点 的一个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转
至 ，直线 交 轴于点 ，当点 在 轴正半轴上移动时，线段 和线段 中哪一条线段长为定
值，并求出该定值．题型五：对角互补与婆罗摩笈多模型（共2题）
1．（2024秋•海珠区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△ 的顶点 ， 分别在 轴和 轴上，
且 ， ．
（1）如图1，若点 的坐标 ，点 的坐标 ，求点 的坐标；
（2）过点 作 ，交 轴于点 ， 是 边上一点，过 作 交射线 于点 ．
①如图2，若点 与点 重合．求证： ；
②如图 3，过点 作线段 且 ，取 的中点 ， 交 于点 ，设 ，
，求 的长（用含 ， 的式子表示）．2．（2023秋•青山区期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 分别在 轴和 轴上，且
， ．
（1）如图1，若点 的坐标 ，点 的坐标 ，求点 的坐标；
（2）过点 作 ，交 轴于点 ， 是 边上一点，过 作 交射线 于点 ．
①如图2，若点 与点 重合．求证： ；
②如图 3，过点 作线段 且 ，取 的中点 ， 交 于点 ，设 ，
，直接写出 的面积（用含 ， 的式子表示）．
