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jiajiao6767 )
2022-2023 学年上海中学高一（下）期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
𝜋 𝜋
1. 将函数𝑦=sin(2𝑥− )图象上的点𝑃( ,𝑡)向左平移𝑠(𝑠>0)个单位长度得到点𝑃′，若𝑃′位于
3 4
函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象上，则( )
1 𝜋 3 𝜋
A. 𝑡= ，𝑠的最小值为 B. 𝑡= ，𝑠的最小值为
2 6 2 6
1 𝜋 3 𝜋
C. 𝑡= ，𝑠的最小值为 D. 𝑡= ，𝑠的最小值为
2 3 2 3
2. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半
径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数
为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角𝜃的
5𝜋 𝜃
面度数为 ，则cos =( )
12 2
6+ 2 6− 2 3+1 3−1
A. B. C. D.
4 4 4 4
𝜋
3. 将函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(3𝑥+ )的图象向下平移1个单位，得到𝑔(𝑥)的图象，若𝑔(𝑥 1)⋅𝑔(𝑥 2)=9，
4
𝑥
其中𝑥
1
，𝑥 2∈[0,4𝜋]，则 1的最大值为( )
𝑥
2
37
A. 9 B. C. 3 D. 1
5
4. 设函数𝑓(𝑥)=3𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥+1.若实数𝑎、𝑏、𝑐使得𝑎𝑓(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥−𝑐)=1对任意实数𝑥
𝑏𝑐𝑜𝑠𝑐
恒成立，则 的值等于( )
𝑎
1 1
A. − B. C. −1 D. 1
2 2
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 一个扇形的面积为1，周长为4，则它圆心角的弧度数为______．
3
6. 角𝜃的终边经过点𝑃(4,𝑦)，且𝑠𝑖𝑛𝜃=− ，则𝑡𝑎𝑛𝜃=______．
5
7. 若𝑡𝑎𝑛𝜃=−2，则 ______ ．
𝜋 1 𝜋
8. 已知cos( +𝛼)= (0<𝛼< )，则sin(𝜋+𝛼)=______．
3 3 2
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9. 函数𝑦=(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)2的最小正周期是______．
1
10. 在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶的对边分别为𝑎、𝑏、𝑐，其面积𝑆= (𝑎2+𝑐2−𝑏2)，则𝑡𝑎𝑛𝐵=
3
______
2𝜋 𝜋
11. 已知函数 的最小正周期为 ，当𝑥∈[0, ]时，
3 3
函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑚恰有两个不同的零点，则实数𝑚的取值范围是______ ．
𝜋𝜋
12. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥(𝜔>0)在区间[− , ]上的最小值为−2，则𝜔的取值范围是：
34
______ ．
13. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎，𝑏，𝑐分
别是角𝐴，𝐵，𝐶的对边，已知𝑏=2 2，∠𝐴=45°，求边𝑐，显然缺少条件，若他打算补充𝑎的
大小，并使得𝑐只有一解，𝑎的可能取值是 (只需填写一个适合的答案)
11
14. 定义：关于𝑥的两个不等式𝑓(𝑥)<0和𝑔(𝑥)<0的解集分别为(𝑎,𝑏)和( , )，则称这两个不
𝑏𝑎
等式为对偶不等式．如果不等式𝑥2−4 3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃+2<0与不等式2𝑥2+4𝑥𝑠𝑖𝑛2𝜃+1<0为对
偶不等式，且𝜃∈(0,𝜋)，则𝜃= ______ ．
15. 设 ，若不等式 对一切
𝑥∈𝑅恒成立，则实数𝑎的取值范围是______ ．
16. 若不等式 对任意△𝐴𝐵𝐶都成立，则实数𝑘的最小值
为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,−𝜋<𝜑<0)的最小正周期为𝑇，且在 内的图像经
𝜋 2𝜋
过𝐵( ,0)，𝐶( ,0)， 三点，求𝑓(𝑥)=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的表达式．
6 3
18. (本小题8.0分)
2𝑠𝑖𝑛𝐶
在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知𝑡𝑎𝑛𝐴= ，𝑏=1．
1−2𝑐𝑜𝑠𝐶
(1)求𝑎的值；
(2)若𝑐= 7，求△𝐴𝐵𝐶外接圆的面积．
19. (本小题8.0分)
设𝑎为常数，函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥+cos(2𝜋−2𝑥)+1(𝑥∈𝑅)．
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(1)设𝑎= 3，求函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调区间及周期𝑇；
(2)若函数𝑦=𝑓(𝑥)为偶函数，求此函数的值域．
20. (本小题12.0分)
已知 𝐴、𝐵两地相距2𝑅，以𝐴𝐵为直径作一个半圆，在半圆上取一点𝐶，连接𝐴𝐶、𝐵𝐶，在三角
形𝐴𝐵𝐶内种草坪(如图)，𝑀、𝑁分别为弧𝐴𝐶、弧𝐵𝐶的中点，在三角形𝐴𝑀𝐶、三角形𝐵𝑁𝐶上种
花，其余是空地．设花坛的面积为𝑆
1
，草坪的面积为𝑆
2
，取∠𝐴𝐵𝐶=𝜃．
(1)用𝜃及𝑅表示𝑆
1
和𝑆
2
；
𝑆
(2)求 1的最小值．
𝑆
2
21. (本小题12.0分)
对于函数𝑓(𝑥)(𝑥∈𝐷)，若存在非零常数𝑇，使得对任意的𝑥∈𝐷，都有𝑓(𝑥+𝑇)≥𝑓(𝑥)成立，
我们称函数𝑓(𝑥)为“𝑇函数”，若对任意的𝑥∈𝐷，都有𝑓(𝑥+𝑇)>𝑓(𝑥)成立，则称函数𝑓(𝑥)为
“严格𝑇函数”．
(1)求证：𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈𝑅是“𝑇函数”；
𝜋
(2)若函数𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+sin2𝑥是“ 函数”，求𝑘的取值范围；
2
(3)对于定义域为𝑅的函数𝑓(𝑥)，𝑓(0)=0.函数𝑠𝑖𝑛𝑓(𝑥)是奇函数，且对任意的正实数𝑇，
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑓(𝑥)均是“严格𝑇函数”.若𝑓(𝑎)= ， ，求𝑎+𝑏的值．
2
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答案和解析
1.【答案】𝐴
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0)的图象和性质，属于中档题．
𝜋 𝜋 1
将𝑥= 代入𝑦=sin(2𝑥− )得：𝑡= ，进而求出平移后𝑃′的坐标，进而得到𝑠的最小值．
4 3 2
【解答】
𝜋 𝜋 𝜋 1
解：将𝑥= 代入𝑦=sin(2𝑥− )得：𝑡=sin = ，
4 3 6 2
𝜋
将函数𝑦=sin(2𝑥− )图象上的点𝑃向左平移𝑠个单位，
3
𝜋 1
得到𝑃′( −𝑠, )，
4 2
若𝑃′位于函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象上，
𝜋 1
则sin( −2𝑠)=𝑐𝑜𝑠2𝑠= ，
2 2
𝜋
则2𝑠=± +2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
3
𝜋
则𝑠=± +𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
6
𝜋
由𝑠>0得𝑠的最小值为 ，
6
故选：𝐴．
2.【答案】𝐵
1
【解析】解：设角𝜃所在的扇形的半径为𝑟，由扇形的面积公式可得𝑆= |𝜃|⋅𝑟2，
2
1 𝑆 5𝜋
则 |𝜃|= = ，
2 𝑟2 12
𝜃 5𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2 3 2 1 6− 2
可得cos =cos =cos( + )=cos cos −sin sin = × − × = ．
2 12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4
故选：𝐵．
设角𝜃所在的扇形的半径为𝑟，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得𝜃，利用两角和的余弦公式
𝜃
即可求解cos 的值．
2
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本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
3.【答案】𝐴
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的
运算能力和转化能力，属于基础题型．
首先求出函数𝑔(𝑥)的关系式，进一步利用函数的最小值确定𝑥的值，最后求出结果．
【解答】
𝜋
解：将函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(3𝑥+ )的图象向下平移1个单位，
4
𝜋
得到𝑔(𝑥)=)=2𝑠𝑖𝑛(3𝑥+ )−1的图象．
4
𝜋
所以：当𝑥
1
，𝑥 2∈[0,4𝜋]，且𝑔(𝑥)=)=2𝑠𝑖𝑛(3𝑥+ )−1取最小值时，
4
𝑔(𝑥 1)⋅𝑔(𝑥 2)=9，
𝜋 3𝜋 7𝜋 11𝜋 15𝜋 19𝜋 23𝜋
所以：令：3𝑥+ = ， ， ， ， ， 时，
4 2 2 2 2 2 2
5𝜋 13𝜋
解得：𝑥= ， …， ，
12 12
故：当𝑥 2= 5𝜋 ，𝑥 1= 45𝜋 时， 𝑥 1 的最大值为9．
12 12 𝑥
2
故选A．
4.【答案】𝐶
【解析】解：令𝑐=𝜋，则对任意的𝑥∈𝑅，都有
𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−𝜋)=3𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥+1+3𝑠𝑖𝑛(𝑥−𝜋)+2𝑐𝑜𝑠(𝑥−𝜋)+1=2，
1 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑐
于是取𝑎=𝑏= ，𝑐=𝜋，则对任意的𝑥∈𝑅，𝑎𝑓(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥−𝑐)=1，由此得 =−1．
2 𝑎
故选：𝐶．
作为一个选择题，可以令𝑐取特殊值𝜋来求解，找出一个符合𝑎𝑓(𝑥)+𝑏𝑓(𝑥−𝑐)=1对任意实数𝑥恒
𝑏𝑐𝑜𝑠𝑐
成立的𝑎、𝑏、𝑐，代入 可求出所求．
𝑎
本题主要考查了函数恒成立问题，以及赋值法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
5.【答案】2
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【解析】解：∵扇形的面积为1，周长为4，
{1
𝑙𝑟=1
∴ 2 ，𝑙=2，𝑟=1，
2𝑟+𝑙=4
𝑙
∴扇形圆心角的弧度数𝛼= =2．
𝑟
故答案为：2．
由扇形的面积为1，周长为4，能够求出𝑙=2，𝑟=1，由此能求出扇形圆心角的弧度数．
本题考查扇形的面积公式和周长公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3
6.【答案】−
4
3 𝑦
【解析】解：角𝜃的终边经过点𝑃(4,𝑦)，且𝑠𝑖𝑛𝜃=− = ，
5 16+𝑦2
𝑦 3
∴𝑦=−3，则𝑡𝑎𝑛𝜃= =− ，
4 4
3
故答案为：− ．
4
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得𝑡𝑎𝑛𝜃的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
1
7.【答案】
6
【解析】解：
，
，
，
1
故答案为： ．
6
先利用同角三角函数基本关系分别求得𝑠𝑖𝑛2𝜃和𝑐𝑜𝑠2𝜃的值，利用二倍角公式求得cos2𝜃的值，继而
代入原式．
本题主要考查了二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系的应用．过程中的结论可作为常用公
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式用来解决选择填空题．
3−2 2
8.【答案】
6
𝜋
【解析】解：∵0<𝛼< ，
2
𝜋 𝜋5𝜋
∴ +𝛼∈( , )，
3 3 6
𝜋 1
又cos( +𝛼)= ，
3 3
𝜋 2 2
∴sin( +𝛼)= ，
3 3
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
2 2 1 1
∴sin(𝜋+𝛼)=−𝑠𝑖𝑛𝛼=−sin[( +𝛼)− ]=−sin( +𝛼)cos +cos( +𝛼)sin =− × +
3 3 3 3 3 3 3 2 3
3 3−2 2
× = ．
2 6
3−2 2
故答案为： ．
6
𝜋 𝜋 𝜋 𝜋
由已知求出 +𝛼的范围，进一步求得sin( +𝛼)，则由sin(𝜋+𝛼)=−𝑠𝑖𝑛𝛼=−sin[( +𝛼)− ]，展开
3 3 3 3
两角差的正弦得答案．
本题考查三角函数的化简求值，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．
9.【答案】𝜋
【解析】解：函数𝑦=(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)2=1+2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=1+𝑠𝑖𝑛2𝑥，
2𝜋
故它的最小正周期等于 =𝜋，
𝜔
故答案为：𝜋．
2𝜋
利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数𝑦=1+𝑠𝑖𝑛2𝑥，根据最小正周期等于 求出
𝜔
结果．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于
基础题．
4
10.【答案】
3
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1 1
【解析】解：因为𝑆= (𝑎2+𝑐2−𝑏2)，由𝑆= 𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵，𝑎2+𝑐2−𝑏2=2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵，
3 2
1 1
所以： 𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵= ×2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵，
2 3
所以：3𝑠𝑖𝑛𝐵=4𝑐𝑜𝑠𝐵，
4
所以：𝑡𝑎𝑛𝐵= ．
3
4
故答案为： ．
3
由已知利用余弦定理，三角形面积公式可解得3𝑠𝑖𝑛𝐵=4𝑐𝑜𝑠𝐵，即可解得𝑡𝑎𝑛𝐵的值．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力
和转化思想，属于基础题．
11.【答案】(−3,−2]
𝜔𝑥 𝜔𝑥 𝜔𝑥
【解析】解：函数𝑓(𝑥)=2 3sin cos +2𝑐𝑜𝑠2 (𝜔>0)，
2 2 2
𝜋
可得𝑓(𝑥)= 3𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥+𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥+1=2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ )+1，
6
2𝜋
∵𝑓(𝑥)的周期为 ，
3
2𝜋 2𝜋
∴ = ，
𝜔 3
可得：𝜔=3，
𝜋
那么𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(3𝑥+ )+1，
6
𝜋 𝜋 𝜋7𝜋
当𝑥∈[0, ]时，则3𝑥+ ∈[ , ]，
3 6 6 6
函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑚恰有两个不同的零点，等价于𝑓(𝑥)图象与函数𝑦=−𝑚只有两个交点问题，
1
根据正弦函数图象可得：2× +1≤−𝑚<2×1+1，
2
即2≤−𝑚<3，
∴实数𝑚的取值范围是(−3,−2]．
故答案为：(−3,−2]．
2𝜋 𝜋
利用二倍角和辅助角化简，根据周期为 ，可得𝜔的值，当𝑥∈[0, ]时，函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑚恰有
3 3
两个不同的零点，转化为𝑓(𝑥)图象与函数𝑦=−𝑚只有两个交点问题，即可求解．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简确定解析式，零点问题
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转化为交点问题是解决本题的关键．属于中档题．
3
12.【答案】[ ,+∞)
2
𝜋𝜋
【解析】解：由于函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛𝜔𝑥(𝜔>0)在区间[− , ]上的最小值为−2，
34
𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋
∴𝜔⋅(− )≤− ，或𝜔⋅( )≥ ，
3 2 4 2
3 3
求得𝜔≥ ，或𝜔≥6，∴𝜔≥ ，
2 2
3
故答案为：[ ,+∞)．
2
𝜋 𝜋 𝜋 3𝜋
由条件根据正弦函数的图象特征，五点法作图可得𝜔⋅(− )≤− ，或𝜔⋅( )≥ ，分别求得𝜔的范
3 2 4 2
围，再取并集，即得𝜔的取值范围．
本题主要考查正弦函数的图象特征，五点法作图，属于基础题．
13.【答案】𝑎的值满足{2}∪[2 2,+∞)即正确．
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
由正弦定理可得 ，可得𝑎={2}∪[2 2,+∞)，即可确定一个𝑎的可能取
值．
【解答】
𝑎
𝑎 𝑏 2 2
解：由已知及正弦定理 = ，可得 = ，
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵
2
𝑠𝑖𝑛𝐵
2
可得 ，可得：𝑎={2}∪[2 2,+∞)．
可得𝑎的可能取值是2 2．
故答案为：𝑎的值满足{2}∪[2 2,+∞)即正确．
𝜋 5𝜋
14.【答案】 或
3 6
【解析】解：不等式𝑥2−4 3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃+2<0与不等式2𝑥2+4𝑥𝑠𝑖𝑛2𝜃+1<0为对偶不等式，
设不等式𝑥2−4 3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃+2<0的对应方程两个根为𝑎、𝑏，
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1 1
则不等式2𝑥2+4𝑥𝑠𝑖𝑛2𝜃+1<0对应方程两个根为： 、
𝑎 𝑏
1 1 𝑎+𝑏 4 3𝑐𝑜𝑠2𝜃
所以−2𝑠𝑖𝑛2𝜃= + = =
𝑎 𝑏 𝑎𝑏 2
𝜋 5𝜋
即：𝑡𝑎𝑛2𝜃=− 3因为𝜃∈(0,𝜋)，所以𝜃= 或
3 6
𝜋 5𝜋
故答案为： 或
3 6
先设出不等式𝑥2−4 3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃+2<0的对应方程两个根为𝑎、𝑏，推出不等式𝑥2−4 3
𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃+2<0的对应方程两个根为𝑎、𝑏，利用韦达定理，求得关于𝜃的三角方程，根据𝜃的范围
求解即可．
本题是新定义的创新题，考查逻辑思维能力，考查韦达定理等有关知识，是中档题．
15.【答案】(−∞,−2]∪[1,+∞)
【解析】解：令 ，
易知𝑔(𝑥)在𝑅上为奇函数，且单调递增，
又因为
，
即有 恒成立，
设𝑡=𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑡∈[−1,1]，
则有𝑡2+(1−𝑎)𝑡−𝑎2≤0在𝑡∈[−1,1]上恒成立，
又因为 ，
所以 ，解得𝑎≤−2或𝑎≥1，
所以𝑎的取值范围为：(−∞,−2]∪[1,+∞)．
故答案为：(−∞,−2]∪[1,+∞)．
令 ，则有𝑔(𝑥)在𝑅上为奇函数，且单调递增，原不等式等价于
cos2𝑥+(1−𝑎)𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑎2≤0恒成立，设𝑡=𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑡∈[−1,1]，则有𝑡2+(1−𝑎)𝑡−𝑎2≤0在𝑡∈[−1,1]
上恒成立，结合二次函数的性质求解即可．
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本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数根的分布及转化思想，属于中档题．
16.【答案】144
【解析】解： ，
则由正弦定理可得， ，即 ，
由三角形的性质可知，𝑎+𝑏>𝑐，
则 ，
当 时， 取得最大值144，
故 ，即实数𝑘的最小值为144．
故答案为：144．
根据已知条件，结合正弦定理，以及分离参数法可得， ，再结合三角性质的性
质，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查三角函数的求解，考查转化能力，属于中档题．
𝜋 2𝜋
17.【答案】解：当𝐵( ,0)，𝐶( ,0)是一周期内的两个相邻的零点，则 ，∴𝑇=𝜋，
6 3
∴𝜔=2，
𝜋 𝜋
，又−𝜋<𝜑<0，∴𝐴=2，𝜑=− ，所以函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥− )；
3 3
𝜋 2𝜋
当𝐵( ,0)，𝐶( ,0)是一周期内的两个不相邻的零点，则 ，∴𝜔=4，
6 3
2 3 2𝜋 2 3 2𝜋
，又−𝜋<𝜑<0，∴𝐴= ，𝜑=− ，所以函数𝑓(𝑥)= sin(4𝑥− ).
3 3 3 3
【解析】根据𝐵，𝐶是一个周期内的两个相邻的零点，或不相邻两个零点分情况求得𝜔，进而求得𝐴
和𝜑，即可得到函数的解析式．
本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．
2𝑠𝑖𝑛𝐶
18.【答案】解：(1)由已知𝑡𝑎𝑛𝐴= ， ，
1−2𝑐𝑜𝑠𝐶
化为：2𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴，∴2𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴，
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由正弦定理可得：2𝑏=𝑎，𝑏=1．
∴𝑎=2．
1 2𝜋
(2)由余弦定理可得： ，即𝑐𝑜𝑠𝐶=− ，易得𝐶= ，
2 3
21
设△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为𝑅，则 ，解得𝑅= ，
3
7𝜋
所以△𝐴𝐵𝐶的外接圆面积为𝜋𝑅2= ．
3
2𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴 2𝑠𝑖𝑛𝐶
【解析】(1)由已知𝑡𝑎𝑛𝐴= ，可得 = ，化为：2𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴，2𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐴，
1−2𝑐𝑜𝑠𝐶 𝑐𝑜𝑠𝐴 1−2𝑐𝑜𝑠𝐶
再利用正弦定理即可得出．
1 2𝜋
(2)由余弦定理可得：𝑐𝑜𝑠𝐶=− ，易得𝐶= ，设△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为𝑅，利用正弦定理可得𝑅．
2 3
本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为𝑎= 3，所以函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥+cos(2𝜋−2𝑥)+1
𝜋
= 3𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥+1=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+ )+1，
6
𝜋 𝜋 𝜋
令2𝑥+ ∈[2𝑘𝜋− ,2𝑘𝜋+ ],𝑘∈𝑍，
6 2 2
𝜋 𝜋
解得𝑥∈[𝑘𝜋− ,𝑘𝜋+ ],𝑘∈𝑍，
3 6
𝜋 𝜋
所以函数的单调递增区间为[𝑘𝜋− ,𝑘𝜋+ ]，𝑘∈𝑍，
3 6
2𝜋
函数的周期𝑇= =𝜋；
2
(2)因为函数是偶函数，则𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，
即𝑎𝑠𝑖𝑛(−2𝑥)+cos(2𝜋+2𝑥)+1=𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥+cos(2𝜋−2𝑥)+1，
即−𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥=𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥，所以𝑎=0，
所以𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥+1，当𝑥∈𝑅时，𝑐𝑜𝑠2𝑥∈[−1,1]，
所以𝑐𝑜𝑠2𝑥+1∈[0,2]，
故函数𝑓(𝑥)的值域为[0,2]．
【解析】(1)代入𝑎的值，化简函数𝑓(𝑥)的解析式，根据正弦函数的单调性以及求出函数𝑓(𝑥)的单
调递增区间以及周期；
(2)根据偶函数的定义求出𝑎的值，然后化简函数𝑓(𝑥)，再由三角函数的性质即可求出函数的值域．
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本题考查了三角函数的单调性以及频率，考查了三角函数的奇偶性以及值域问题，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为∠𝐴𝐵𝐶=𝜃，则 ， ，
则 ．
设𝐴𝐵的中点为𝑂，连𝑀𝑂、𝑁𝑂，则𝑀𝑂⊥𝐴𝐶，𝑁𝑂⊥𝐵𝐶．
设𝑀𝑂交𝐴𝐶与点𝐸．
则 ．
所以： ；
同理可得三角形𝐵𝑁𝐶的面积为 ，
．
，
令 ，则2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑡2−1．
．
𝑆
∴ 1的最小值为 2−1．
𝑆
2
【解析】(1)先利用𝜃及𝑅表示出𝐴𝐶、𝐵𝐶的长，进而求出𝑆
2
；再设𝐴𝐵的中点为𝑂，连𝑀𝑂、𝑁𝑂，则
𝑀𝑂⊥𝐴𝐶，𝑁𝑂⊥𝐵𝐶，即可求出三角形𝐴𝑀𝐶、三角形𝐵𝑁𝐶的面积，进而求得𝑆
1
；
𝑆 𝑆
(2)先利用(1)的结论求出 1关于𝜃的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出 1的
𝑆 𝑆
2 2
最小值．
本题主要考查三角函数知识与实际生活相结合问题．解决本题的关键在与利用三角形的有关知识
求出𝑆 和𝑆 ．
1 2
21.【答案】(1)证明：取非零常数𝑇=2𝜋，
对任意的𝑥∈𝑅， ，
，即 ，
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∴𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈𝑅是“𝑇函数”；
𝜋
解：(2)∵函数𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+sin2𝑥是“ 函数”，𝐷=𝑅，
2
，
即 ，整理得， ，
，
，即 ，
故 ；
(3)∵对任意𝑥∈𝑅，对任意的正实数𝑇，都有𝑓(𝑥+𝑇)>𝑓(𝑥)，
∴𝑓(𝑥)在𝑅上为增函数，
设𝑔(𝑥)=sin(𝑓(𝑥))，
∵函数sin(𝑓(𝑥))是奇函数，
∴𝑔(𝑥)为𝑅上的奇函数，即𝑔(𝑥)图像关于原点对称，
，
， ，
，
∴𝑎+𝑏=0．
【解析】(1)取𝑇=2𝜋，由题目中的定义，即可证得 ；
(2)由题意得 ，整理得 ，由余弦函数的值域，即可求出𝑘的范围；
(3)由题意得出𝑓(𝑥)在𝑅上为增函数，设𝑔(𝑥)=sin(𝑓(𝑥))，得出𝑔(𝑥)为𝑅上的奇函数，由奇函数的
对称性及𝑔(𝑎)和𝑔(𝑏)的值，即可得出𝑎+𝑏的值．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
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