文档内容
2022年湖南省衡阳市中考数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．（3分）（2022•衡阳）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
2．（3分）（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的
是（ ）
A． 可回收物 B． 其他垃圾
C． 有害垃圾 D． 厨余垃圾
4．（3分）（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至
2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为
a×109的形式，则a的值是（ ）
第1页（共34页）A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．339
5．（3分）（2022•衡阳）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a7 D．a3÷a2＝a
6．（3分）（2022•衡阳）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄
灯的概率是
7．（3分）（2022•衡阳）如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
8．（3分）（2022•衡阳）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》
精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、
除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，
39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，35
9．（3分）（2022•衡阳）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
第2页（共34页）10．（3分）（2022•衡阳）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
11．（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高
度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m
的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到 0.01m．参考数据：
≈1.414， ≈1.732， ≈2.236）（ ）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
12．（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分
∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
A． B．
第3页（共34页）C． D．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．（3分）（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝ ．
14．（3分）（2022•衡阳）计算： ＝ ．
15．（3分）（2022•衡阳）计算： + ＝ ．
16．（3分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径
作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，
则△ACD的周长为 ．
17．（3分）（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，
假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 cm．（结果保留 ）
π
18．（3分）（2022•衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联
“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．
第4页（共34页）某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝
10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度
约为 m．（结果精确到0.1m．参考数据： ≈1.732）
三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题
12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）（2022•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
20．（6分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：
AD＝AE．
21．（8分）（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学
核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解
学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完
整的统计图：
第5页（共34页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明
人数）；
（2）图②中扇形C的圆心角度数为 度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数
是多少；
（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的
方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．
22．（8分）（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年
北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在
某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩
偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售
时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的
1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利
润是多少元？
第6页（共34页）23．（8分）（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A
（3，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形
OCNM是平行四边形，求点M的坐标．
24．（8分）（2022•衡阳）如图，AB为 O的直径，过圆上一点D作 O的切线CD交BA的延
长线于点C，过点O作OE∥AD交⊙CD于点E，连接BE． ⊙
（1）直线BE与 O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，⊙CD＝4，求DE的长．
25．（10分）（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于
x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y
轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
第7页（共34页）（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是
否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
26．（12分）（2022•衡阳）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿
线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作
PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的
面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．
（1）当点M与点B重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．
第8页（共34页）2022年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．（3分）（2022•衡阳）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．
【解答】解：|﹣2|＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本
题的关键．
2．（3分）（2022•衡阳）石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．
【解答】解：从正面看，可得如下图形，
故选：A．
第9页（共34页）【点评】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
3．（3分）（2022•衡阳）下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的
是（ ）
A． 可回收物 B． 其他垃圾
C． 有害垃圾 D． 厨余垃圾
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
4．（3分）（2022•衡阳）为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至
2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次．数据339000万用科学记数法可表示为
a×109的形式，则a的值是（ ）
A．0.339 B．3.39 C．33.9 D．339
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：339000万＝3390000000＝3.39×109，
∴a＝3.39，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
第10页（共34页）1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）（2022•衡阳）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a7 D．a3÷a2＝a
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据幂的乘方判
断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．
【解答】解：A选项，a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a7，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝a12，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝a，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握（am）n＝
amn是解题的关键．
6．（3分）（2022•衡阳）下列说法正确的是（ ）
A．“任意画一个三角形，其内角和为180°”是必然事件
B．调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C．抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D．十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄
灯的概率是
【分析】根据三角形内角和定理判断A选项；根据普查与抽样调查判断B选项；根据抽样
调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确判断C选项；根据三种信号灯持续的时间一
般不相等判断D选项．
【解答】解：A选项，三角形内角和为180°，故该选项符合题意；
B选项，全国中学生人数众多，适合抽样调查的方式，故该选项不符合题意；
C选项，抽样调查的样本容量越大，对总体的估计就越准确，故该选项不符合题意；
D选项，三种信号灯持续的时间一般不相等，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，随机事件，
掌握三种信号灯持续的时间一般不相等是解题的关键．
7．（3分）（2022•衡阳）如果二次根式 有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
第11页（共34页）【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可得出a的取值范围．
【解答】解：由题意得：a﹣1≥0，
∴a≥1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握二
次根式有意义的条件：被开方数为非负数．
8．（3分）（2022•衡阳）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》
精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、
除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，
39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．38，39 B．35，38 C．42，39 D．42，35
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大（或从大
到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出
答案．
【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，39，42，42，
众数为42，中位数为39，
故选：C．
【点评】本题考查了众数，中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数
据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的
数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这
组数据的中位数是解题的关键．
9．（3分）（2022•衡阳）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
第12页（共34页）C．
D．
【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．
【解答】解： ，
解①得x≥﹣1，
解②得x＜3．
则表示为：
故选：A．
【点评】本题考查了不等式组的解法以及用数轴表示不等式的解集，要注意“两定”：一
是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，
若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：
“小于向左，大于向右”．
10．（3分）（2022•衡阳）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可．
【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题，不符合题意；
有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题，符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．
第13页（共34页）11．（3分）（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高
度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m
的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到 0.01m．参考数据：
≈1.414， ≈1.732， ≈2.236）（ ）
A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m
【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下
部与全部的高度比列方程可解得答案．
【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴ ＝ ，
解得x＝ ﹣1或x＝﹣ ﹣1（舍去），
经检验，x＝ ﹣1是原方程的解，
∴x＝ ﹣1≈1.24，
故选：B．
【点评】本题考查黄金分割及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二
次方程解决问题．
12．（3分）（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分
∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
第14页（共34页）A． B．
C． D．
【分析】先证明CD＝AD＝y，过D点作DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三
角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
【解答】解：过D点作DE⊥AC于点E．
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，即△ACD为等腰三角形，
则DE垂直平分AC，
∴AE＝CE＝ AC＝3，∠AED＝90°，
∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABC∽△AED，
∴ ，
∴ ，
第15页（共34页）∴y＝ ，
∵在△ABC中，AB＜AC，
∴x＜6，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与
性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明△ABC∽△AED是解本题的关键．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．（3分）（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝ （ x + 1 ） 2 ．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2，
故答案为：（x+1）2．
【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题
的关键．
14．（3分）（2022•衡阳）计算： ＝ 4 ．
【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝4．
故答案为：4
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）（2022•衡阳）计算： + ＝ 2 ．
【分析】根据同分母分式的加法计算即可．
【解答】解： +
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的加减法，解答本题的关键是明确分式加法的计算法则．
16．（3分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径
第16页（共34页）作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD．若AC＝8，BC＝15，
则△ACD的周长为 2 3 ．
【分析】根据作图过程可得MN是线段BC的垂直平分线，得AD＝BD，进而可得△ACD的
周长．
【解答】解：根据作图过程可知：
MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝8+15＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线
段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
17．（3分）（2022•衡阳）如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，
假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 4 cm．（结果保留 ）
π π
【分析】根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为120°的弧长即可．
【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长，
即 ＝4 ，
π
故答案为：4 ．
【点评】本题π考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．
第17页（共34页）18．（3分）（2022•衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联
“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．
某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE＝
10m，∠BDG＝30°，∠BFG＝60°．已知测角仪DA的高度为1.5m，则大雁雕塑BC的高度
约为 10. 2 m．（结果精确到0.1m．参考数据： ≈1.732）
【分析】首先证明BF＝DF＝10，在Rt△BFG中，根据三角函数定义求出BG即可解决问题．
【解答】解：∵∠BFG＝60°，∠BDG＝30°，
∴∠DBF＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DBF＝∠BDF，
∴DF＝BF＝AE＝10，
Rt△BFG中，sin∠BFG＝ ，
∴ ＝ ，
∴BG＝5 ＝5×1.732≈8.66，
∴BC＝BG+CG＝8.66+1.5≈10.2（m）．
答：大雁雕塑BC的高度约为10.2m．
故答案为：10.2．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记
锐角三角函数的定义是解题的关键．
三．解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题
12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）（2022•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a＝1，b＝﹣2代入
第18页（共34页）计算即可．
【解答】解：（a+b）（a﹣b）+b（2a+b）
＝a2﹣b2+2ab+b2
＝a2+2ab，
将a＝1，b＝﹣2代入上式得：
原式＝12+2×1×（﹣2）
＝1﹣4
＝﹣3．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
20．（6分）（2022•衡阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，且BD＝CE．求证：
AD＝AE．
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD＝AE．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判
定方法是解题的关键．
21．（8分）（2022•衡阳）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学
核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解
学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完
第19页（共34页）整的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是 12 0 人，补全统计图①（要求在条形图上方注明
人数）；
（2）图②中扇形C的圆心角度数为 9 0 度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数
是多少；
（4）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的
方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．
【分析】（1）从两个统计图中可得样本中选择“B．七巧板”的有36人，占调查人数的
30%，根据频率＝ 即可求出答案，进而补全条形统计图；
（2）求出扇形C所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出样本中参与“A．测量”所占的百分比，进而估计总体中“A．测量”的百分比，求
出相应人数即可；
（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）调查学生总数为36÷30%＝120（人），
选择“E．数学园地设计”的有120﹣30﹣30﹣36﹣6＝18（人），
故答案为：120，补全统计图如下：
第20页（共34页）（2）360°× ＝90°，
故答案为：90；
（3）1200× ＝300（人），
答：参加成果展示活动的1200名学生中，最喜爱“测量”项目的学生大约有300人；
（4）在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项，所有可能出现的结果如下：
共有20种可能出现的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的有2种，
所以恰好选中B，E这两项活动的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，列表法或树状图法求简单随机事件的概率，理
解条形统计图、扇形统计图中数量之间的关系以及列举出所有可能出现的结果是正确解
答的前提．
22．（8分）（2022•衡阳）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分别是2022年
北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在
某网店选中两种玩偶．决定从该网店进货并销售．第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩
偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售
时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．
第21页（共34页）（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的
1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利
润是多少元？
【分析】（1）根据用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，购进1个冰墩墩
玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式，然后根据网店规定冰墩墩玩偶进
货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，可以求得购买冰墩墩数量的取值范围，再
根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．
【解答】解：（1）设冰墩墩的进价为x元/个，雪容融的进阶为y元/个，
由题意可得： ，
解得 ，
答：冰墩墩的进价为72元/个，雪容融的进阶为64元/个；
（2）设冰墩墩购进a个，则雪容融购进（40﹣a）个，利润为w元，
由题意可得：w＝28a+20（40﹣a）＝8a+800，
∴w随a的增大而增大，
∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍，
∴a≤1.5（40﹣a），
解得a≤24，
∴当a＝24时，w取得最大值，此时w＝992，40﹣a＝16，
答：冰墩墩购进24个，雪容融购进16个时才能获得最大利润，最大利润是992元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，
列出相应的方程组，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
23．（8分）（2022•衡阳）如图，反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A
第22页（共34页）（3，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形
OCNM是平行四边形，求点M的坐标．
【分析】（1）把A（3，1）代入y＝ 可得m＝3，即得反比例函数关系式为y＝ ，从而B（﹣
1，﹣3），将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b即可得一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）在y＝x﹣2中得C（0，﹣2），设M（m， ），N（n，n﹣2），而O（0，0），分三种情况：①
以CO、MN为对角线时，CO、MN的中点重合， ，可得M（ ， ）或（﹣
，﹣ ）；②以CM、ON为对角线，同理可得M（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）；③以
CN、OM为对角线，同理可得M（2+ ， ﹣2）或（2﹣ ，﹣ ﹣2）．
【解答】解：（1）把A（3，1）代入y＝ 得：
1＝ ，
∴m＝3，
∴反比例函数关系式为y＝ ；
把B（﹣1，n）代入y＝ 得：
第23页（共34页）n＝ ＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
将A（3，1），B（﹣1，﹣3）代入y＝kx+b得：
，
解得 ，
∴一次函数的关系式为y＝x﹣2；
答：反比例函数关系式为y＝ ，一次函数的关系式为y＝x﹣2；
（2）在y＝x﹣2中，令x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设M（m， ），N（n，n﹣2），而O（0，0），
①以CO、MN为对角线时，CO、MN的中点重合，
∴ ，
解得 或 ，
∴M（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）；
②以CM、ON为对角线，同理可得：
，
解得 或 ，
∴M（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）；
③以CN、OM为对角线，同理可得：
，
第24页（共34页）解得 或 ，
∴M（2+ ， ﹣2）或（2﹣ ，﹣ ﹣2），
综上所述，M的坐标是（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）或（2+ ， ﹣2）或（2﹣ ，﹣
﹣2）．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质
及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程
组解决问题．
24．（8分）（2022•衡阳）如图，AB为 O的直径，过圆上一点D作 O的切线CD交BA的延
长线于点C，过点O作OE∥AD交⊙CD于点E，连接BE． ⊙
（1）直线BE与 O相切吗？并说明理由；
（2）若CA＝2，⊙CD＝4，求DE的长．
【分析】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形
的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后
利用全等三角形的性质即可解答；
（2）设 O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可
得DE＝⊙BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）直线BE与 O相切，
理由：连接OD， ⊙
∵CD与 O相切于点D，
∴∠ODE⊙＝90°，
第25页（共34页）∵AD∥OE，
∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，
∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOE＝∠EOB，
∵OD＝OB，OE＝OE，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠OBE＝∠ODE＝90°，
∵OB是 O的半径，
∴直线B⊙E与 O相切；
（2）设 O的⊙半径为r，
在Rt△O⊙DC中，OD2+DC2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
∴r＝3，
∴AB＝2r＝6，
∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，
由（1）得：△DOE≌△BOE，
∴DE＝BE，
在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，
∴82+BE2＝（4+DE）2，
∴64+DE2＝（4+DE）2，
∴DE＝6，
∴DE的长为6．
第26页（共34页）【点评】本题考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，
勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．
25．（10分）（2022•衡阳）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于
x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y
轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是
否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令x＝0和翻折的性质可得C（0，2），令y＝0可得点A、B的坐标，利用待定系
数法即可求出图象W的解析式；
（2）利用数形结合找出当y＝﹣x+b经过点C或者y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，直线y
＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，利用一
次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y＝﹣x+b与y＝x2﹣x﹣2相切时，联立
一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出b值．综上即可得出结
论；
（3）先确定△BOC是等腰直角三角形，分三种情况：∠CNM＝90°或∠MCN＝90°，分别画
图可得结论．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，2），
第27页（共34页）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
∴A（﹣1，0），B（2，0），
设图象W的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），
把C（0，2）代入得：﹣2a＝2，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y＝﹣x2+x+2（﹣1≤x≤2）；
（2）由图象得直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝﹣x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b＝2；
②当直线y＝﹣x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
﹣x+b＝﹣x2+x+2，
x2﹣2x+b﹣2＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（b﹣2）＝0，
∴b＝3，
综上，b的值是2或3；
（3）∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
第28页（共34页）∵PN∥y轴，
∴P（1，0）；
如图3，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
当y＝2时，x2﹣x﹣2＝2，
x2﹣x﹣4＝0，
∴x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∴P（ ，0）；
如图4，当∠MCN＝90°时，△OBC∽△CMN，
第29页（共34页）∴CN的解析式为：y＝x+2，
∴x+2＝x2﹣x﹣2，
∴x ＝1+ ，x ＝1﹣ （舍），
1 2
∴P（1+ ，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（ ，0）或（1+ ，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，等
腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，两函数交点问题以及根的判别式，解题
的关键是：（1）根据翻折的性质，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用数形结合
找出直线y＝﹣x+b与新图象恰好有三个不同的交点的情况；（3）分三种情况利用二次函
数图象上点的坐标特征，正确画图是关键．
26．（12分）（2022•衡阳）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P从点A出发，沿
线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点 D运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，作
PM⊥AD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的
面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．
（1）当点M与点B重合时，求t的值；
（2）当t为何值时，△APQ与△BMF全等；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当2≤t≤4时，求点E运动路径的长．
第30页（共34页）【分析】（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）分两种情况：①当0≤t≤2时，②当2＜t≤4时，由全等三角形的性质得出关于t的方
程，解方程可得出答案；
（3）分两种情况：①当0≤t≤2时，②当2＜t≤4时，由直角三角形的性质及三角形的面
积公式可得出答案；
（4）连接AE，由直角三角形的性质得出∠PAE为定值，则点E的运动轨迹为直线，求出AE
的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）M与B重合时，如图1，
∵PQ⊥AB，
∴∠PQA＝90°，
∴PA＝ AB＝2，
∴t＝2；
（2）①当0≤t≤2时，
∵AM＝2t，
∴BM＝4﹣2t，
∵△APQ≌△BMF，
∴AP＝BM，
第31页（共34页）∴t＝4﹣2t，
∴t＝ ；
②当2＜t≤4时，
∵AM＝2t，
∴BM＝2t﹣4，
∵△APQ≌△BMF，
∴AP＝BM，
∴t＝2t﹣4，
∴t＝4；
综上所述，t的值为4或 ；
（3）①0≤t≤2时，如图2，
在Rt△APQ中，PQ＝ t，
∴MQ＝ t，
∴S＝ t＝ ；
②当2＜t≤4时，如图3，
第32页（共34页）∵BF＝t﹣2，MF＝ （t﹣2），
∴S△BFM ＝ BF•MF＝ ，
∴S＝S△PQM ﹣S△BFM ＝﹣ ；
∴S＝ ；
（4）连接AE，如图4，
∵△PQE为等边三角形，
∴PE＝ t，
在Rt△APE中，tan∠PAE＝ ，
∴∠PAE为定值，
∴点E的运动轨迹为直线，
∵AP＝t，
∴AE＝ ＝ ＝ t，
第33页（共34页）当t＝2时，AE＝ ，
当t＝4时，AE＝2 ，
∴E点运动路径长为2 ﹣ ＝ ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，
等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确进行分类讨论是解题的关键．
第34页（共34页）
