文档内容
2022年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•荆州）化简a﹣2a的结果是（ ）
A．﹣a B．a C．3a D．0
2．（3分）（2022•荆州）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，
它们是（ ）
A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c
3．（3分）（2022•荆州）如图，直线l ∥l ，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（ ）
1 2
A．60° B．70° C．80° D．90°
4．（3分）（2022•荆州）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13
名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高
数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
5．（3分）（2022•荆州）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km
和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，
求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
A． + ＝ B． +20＝
C． ﹣ ＝ D． ﹣ ＝20
6．（3分）（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y ＝2x和y ＝ 的图象．观察图象可得
1 2
不等式2x＞ 的解集为（ ）
第1页（共31页）A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
7．（3分）（2022•荆州）关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是
（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
8．（3分）（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，
恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． ﹣ B．2 ﹣ C． D． ﹣
π
9．（3分）（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴
上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P
（1，1 ），则tan∠OAP的值是（ ）
第2页（共31页）A． B． C． D．3
10．（3分）（2022•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺
次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
各边的中点，得到四边形A B C D ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形
2 2 2 2
A B D 的面积是（ ）
n n n n
∁
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2022•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 ．
12．（3分）（2022•荆州）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分
别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AE▱G≌△CFH，这个条件可以是 ．（只需
写一种情况）
13．（3分）（2022•荆州）若3﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+ a）•b的值
是 ．
14．（3分）（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分
别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝ AE＝1，则CD＝ ．
第3页（共31页）15．（3分）（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直
径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚
度忽略不计）．
16．（3分）（2022•荆州）规定；两个函数y ，y 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y
1 2
函数”．例如：函数y ＝2x+2与y ＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y
1 2
函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
则其“Y函数”的解析式为 ．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（8分）（2022•荆州）已知方程组 的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
18．（8分）（2022•荆州）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a＝（ ）﹣1，
b＝（﹣2022）0．
19．（8分）（2022•荆州）为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆
州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分
第4页（共31页）为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．
等级 成绩（x） 人数
A 90＜ m
x≤100
B 80＜ 24
x≤90
C 70＜ 14
x≤80
D x≤70 10
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中m＝ ；扇形统计图中，B等级所占百分比是 ，C等级对应的扇形
圆心角为 度；
（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有 人；
（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参
加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
20．（8分）（2022•荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均
在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一
条公共边，且不与△ABC重叠；
（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．
第5页（共31页）21．（8分）（2022•荆州）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高
AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m
到E处，测得顶端A的仰角为45°．已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度
CD＝EF＝1.5m，求城徽的高 AB．（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，
tan32°≈0.625）．
22．（10分）（2022•荆州）小华同学学习函数知识后，对函数 通过
列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
﹣ ﹣ ﹣
y … 1 2 4 1 0 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
﹣
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①写出函数的两条性质： ； ；②若函数图象上的两点
（x ，y ），（x ，y ）满足x +x ＝0，则y +y ＝0一定成立吗？ ．（填“一定”或“不一
1 1 2 2 1 2 1 2
定”）
第6页（共31页）（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，
得到直线l与函数y＝﹣ （x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．①求当n＝3时，直线l
的解析式和△PAB的面积；②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
23．（10分）（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订
单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x
（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年
成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一
年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
24．（12分）（2022•荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点
（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长
为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
（1）求证：DE是半圆O的切线：
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关
系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
第7页（共31页）第8页（共31页）2022年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2022•荆州）化简a﹣2a的结果是（ ）
A．﹣a B．a C．3a D．0
【分析】利用合并同类项的法则进行求解即可．
【解答】解：a﹣2a＝（1﹣2）a＝﹣a．
故选：A．
【点评】本题主要考查合并同类项，解答的关键是对合并同类项的法则的掌握．
2．（3分）（2022•荆州）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图，其中有一对互为相反数，
它们是（ ）
A．a与d B．b与d C．c与d D．a与c
【分析】根据在数轴上，互为相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离相等判断
即可．
【解答】解：∵c＜0，d＞0，|c|＝|d|，
∴c，d互为相反数，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，实数与数轴，掌握相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点
的距离相等是解题的关键．
3．（3分）（2022•荆州）如图，直线l ∥l ，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（ ）
1 2
A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】过点C作CD∥l ，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性
1
质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．
【解答】解：过点C作CD∥l ，如图，
1
第9页（共31页）∵l ∥l ，
1 2
∴l ∥l ∥CD，
1 2
∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，
∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝ （180°﹣∠BAC）＝70°，
∴∠1+∠2＝70°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质
得∠1+∠2＝∠ACB．
4．（3分）（2022•荆州）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13
名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高
数据的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
【分析】由于共有13名排球队员，挑选7名个头高的参加校排球比赛，故应考虑中位数的
大小．
【解答】解：共有13名排球队员，挑选7名个头高的参加校排球比赛，所以小明需要知道自
己是否入选．
我们把所有同学的身高按大小顺序排列，第7名学生的身高是这组数据的中位数，
所以小明知道这组数据的中位数，才能知道自己是否入选．
故选：B．
【点评】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到
小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
第10页（共31页）5．（3分）（2022•荆州）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km
和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，
求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
A． + ＝ B． +20＝
C． ﹣ ＝ D． ﹣ ＝20
【分析】根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min
到达基地，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可知，甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，
+ ＝ ，
即 + ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
分式方程．
6．（3分）（2022•荆州）如图是同一直角坐标系中函数y ＝2x和y ＝ 的图象．观察图象可得
1 2
不等式2x＞ 的解集为（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1
C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
第11页（共31页）【分析】结合图象，数形结合分析判断．
【解答】解：由图象，函数y ＝2x和y ＝ 的交点横坐标为﹣1，1，
1 2
∴当﹣1＜x＜0或x＞1时，y ＞y ，即2x＞ ，
1 2
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的
性质，利用数形结合思想解题是关键．
7．（3分）（2022•荆州）关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是
（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根
C．没有实数根 D．有一个实数根
【分析】由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0根的判别式Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×（﹣2）＝9k2+8
＞0，
∴x2﹣3kx﹣2＝0有两个不相等实数根，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝
b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．（3分）（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，
恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． ﹣ B．2 ﹣ C． D． ﹣
π
第12页（共31页）【分析】作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影 ＝S△ABC ﹣S扇形ADE 得出答案．
【解答】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，
设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．
在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，
∴CF＝BF＝1．
在Rt△ACF中，AF＝ ＝ ，
∴S阴影 ＝S△ABC ﹣S扇形ADE
＝ ×2× ﹣
＝ ﹣ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的
面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．
9．（3分）（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴
上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P
（1，1 ），则tan∠OAP的值是（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作
PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定
理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切
第13页（共31页）的定义即可得到tan∠OAP的值．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段
成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．
10．（3分）（2022•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺
次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
各边的中点，得到四边形A B C D ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形
2 2 2 2
A B D 的面积是（ ）
n n n n
∁
第14页（共31页）A． B． C． D．
【分析】连接A C ，D B ，可知四边形A B C D 的面积为矩形ABCD面积的一半，则S ＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ab，再根据三角形中位线定理可得C D ＝ C ，A D ＝ B D ，则S ＝ C × B D
2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1
＝ ab，依此可得规律．
【解答】解：如图，连接A C ，D B ，
1 1 1 1
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1
∴四边形A BCC 是矩形，
1 1
∴A C ＝BC，A C ∥BC，
1 1 1 1
同理，B D ＝AB，B D ∥AB，
1 1 1 1
∴A C ⊥B D ，
1 1 1 1
∴S ＝ ab，
1
∵顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1 2 2 2 2
∴C D ＝ C ，A D ＝ B D ，
2 2 1 2 2 1 1
∴S ＝ C × B D ＝ ab，
2 1 1 1
……
依此可得S ＝ ，
n
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，通过计算S 、S 发现规律
1 2
是解决问题的关键．
第15页（共31页）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）（2022•荆州）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 1 ．
【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到k的值．
【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，
∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将
方程变形．
12．（3分）（2022•荆州）如图，点E，F分别在 ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分
别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△A▱EG≌△CFH，这个条件可以是 BE ＝ DF （ 答
案不唯一） ．（只需写一种情况）
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，根据全等三角形的判定
可得出结论．
【解答】解：添加BE＝DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，
∴∠E＝∠F，
∵BE＝DF，
∴BE+AB＝CD+DF，
即AE＝CF，
在△AEG和△CFH中，
，
第16页（共31页）∴△AEG≌△CFH（ASA）．
故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握平行
四边形的性质是解题的关键．
13．（3分）（2022•荆州）若3﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+ a）•b的值
是 2 ．
【分析】根据 的范围，求出3﹣ 的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵1＜ ＜2，
∴1＜3﹣ ＜2，
∵若3﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，b＝3﹣ ﹣1＝2﹣ ，
∴（2+ a）•b＝（2+ ）（2﹣ ）＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．
14．（3分）（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分
别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE＝ AE＝1，则CD＝ ．
【分析】如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AE＝BE＝3，然
后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，
∵CE＝ AE＝1，
∴AE＝3，AC＝4，
而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，
第17页（共31页）∴AE＝BE＝3，
在Rt△ECB中，BC＝ ＝2 ，
∴AB＝ ＝2 ，
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴CD＝ AB＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，同时也利用勾股定理进行计
算．
15．（3分）（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直
径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7. 5 cm（玻璃瓶厚
度忽略不计）．
【分析】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得
第18页（共31页）AM＝DM＝ AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，
设球的半径为rcm，
由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），
由垂径定理得：AM＝DM＝ AD＝6（cm），
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，
即62+（12﹣r）2＝r2，
解得：r＝7.5，
即球的半径为7.5cm，
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理，由
勾股定理得出方程是解题的关键．
16．（3分）（2022•荆州）规定；两个函数y ，y 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y
1 2
函数”．例如：函数y ＝2x+2与y ＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y
1 2
函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
则其“Y函数”的解析式为 y ＝ 2 x ﹣ 3 或 y ＝﹣ x 2 + 4 x ﹣ 4 ．
【分析】根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．
【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交
点，
∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k＝0时，函数解析为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x
第19页（共31页）轴只有一个交点，
当k≠0时，此函数是二次函数，
∵它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它们的顶点分别在x轴上，
∴ ＝0，
解得：k＝﹣1，
∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，
∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，
综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，
故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．
【点评】本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，
利用分类讨论的思想是解题是关键．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（8分）（2022•荆州）已知方程组 的解满足2kx﹣3y＜5，求k的取值范围．
【分析】用加减消元法求出方程组的解，代入2kx﹣3y＜5即可得到k的取值范围．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
①﹣②得：2y＝2，
∴y＝1，
代入2kx﹣3y＜5得：4k﹣3＜5，
∴k＜2．
答：k的取值范围为：k＜2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解二元一次方程组的基本思
路是消元，把二元方程转化为一元是解题的关键．
18．（8分）（2022•荆州）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a＝（ ）﹣1，
b＝（﹣2022）0．
【分析】把除化为乘，再用乘法分配律，约分后计算同分母的分式相加减，化简后将a、b的
值代入即可得到答案．
第20页（共31页）【解答】解：原式＝[ ﹣ ]•
＝ • ﹣ •
＝ ﹣
＝
＝ ，
∵a＝（ ）﹣1＝3，b＝（﹣2022）0＝1，
∴原式＝
＝ ．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式通分和约分．
19．（8分）（2022•荆州）为弘扬荆州传统文化，我市将举办中小学生“知荆州、爱荆州、兴荆
州”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，按成绩（百分制）分
为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表．
等级 成绩（x） 人数
A 90＜ m
x≤100
B 80＜ 24
x≤90
C 70＜ 14
x≤80
D x≤70 10
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中m＝ 1 2 ；扇形统计图中，B等级所占百分比是 40% ，C等级对应的扇形
圆心角为 8 4 度；
（2）若全校有1400人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为A等级的共有 28 0 人；
（3）若全校成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁4人，学校将从这4人中随机选出2人参
加市级竞赛．请通过列表或画树状图，求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．
第21页（共31页）【分析】（1）由D的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由全校共有学生人数乘以成绩为A等级的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：10÷ ＝60（人），
∴m＝60﹣24﹣14﹣10＝12，
扇形统计图中，B等级所占百分比是：24÷60×100%＝40%，C等级对应的扇形圆心角为：
360°× ＝84°，
故答案为：12，40%，84；
（2）估计其中成绩为A等级的共有：1400× ＝280（人），
故答案为：280；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及统计表和扇形统计图等知识．树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2022•荆州）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均
在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．
第22页（共31页）（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一
条公共边，且不与△ABC重叠；
（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可；
（2）根据菱形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，△ABD ，△ABD ，△ACD ，△ACD ，△CBD 即为所求；
1 2 3 4 5
（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，菱形的判定和性质等知识，解题的
关键是掌握全等三角形的判定，菱形的判定，属于中考常考题型．
21．（8分）（2022•荆州）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高
AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m
到E处，测得顶端A的仰角为45°．已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度
CD＝EF＝1.5m，求城徽的高 AB．（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，
第23页（共31页）tan32°≈0.625）．
【分析】延长DF交AB于点G，则∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6米，CD＝EF＝BG＝1.5米，
设FG＝x米，先在Rt△AGF中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，再在Rt△AGD
中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长DF交AB于点G，
则∠AGF＝90°，DF＝CE＝6.6米，CD＝EF＝BG＝1.5米，
设FG＝x米，
∴DG＝FG+DF＝（x+6.6）米，
在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，
∴AG＝FG•tan45°＝x（米），
在Rt△AGD中，∠ADG＝32°，
∴tan32°＝ ＝ ≈0.625，
∴x＝11，
经检验：x＝11是原方程的根，
∴AB＝AG+BG＝11+1.5＝12.5（米），
∴城徽的高AB约为12.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图
第24页（共31页）形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（10分）（2022•荆州）小华同学学习函数知识后，对函数 通过
列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
﹣ ﹣ ﹣
y … 1 2 4 1 0 ﹣4 ﹣2 ﹣1 …
﹣
请根据图象解答：
（1）【观察发现】①写出函数的两条性质： 函数有最大值为 4 ； 当 x ＞ 0 时， y 随 x 的
增大而增大 ；②若函数图象上的两点（x ，y ），（x ，y ）满足x +x ＝0，则y +y ＝0一定
1 1 2 2 1 2 1 2
成立吗？ 不一定 ．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，
得到直线l与函数y＝﹣ （x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．①求当n＝3时，直线l
的解析式和△PAB的面积；②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
【分析】（1）①根据函数图象可得性质；
②假设x ＝﹣ ，则y ＝1，再根据x 求出y 的值，可知y +y ＝0不一定成立；
1 1 2 2 1 2
（2）①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣
x，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得△PAB的面积＝△AOB的
第25页（共31页）面积，从而得出答案；
②设直线l与y轴交于D，同理得△PAB的面积＝△ABD的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不
唯一）；
故答案为：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
②假设x ＝﹣ ，则y ＝1，
1 1
∵x +x ＝0，
1 2
∴x ＝ ，
2
∴y ＝﹣8，
2
∴y +y ＝0不一定成立，
1 2
故答案为：不一定；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣3＝﹣x，
设直线AB与y轴交于C，
则△PAB的面积＝△AOB的面积，
∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ＝ ＝ ，
第26页（共31页）∴△PAB的面积为 ；
②设直线l与y轴交于D，
∵l∥AB，
∴△PAB的面积＝△ABD的面积，
由题意知，CD＝n，
∴S△ABD ＝S△ACD +S△BCD
＝
＝ ．
∴△PAB的面积为 ．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析
式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键．
23．（10分）（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订
单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x
（元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年
成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一
年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）①构建方程即可求出该产品第一年的售价；
第27页（共31页）②根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题；
【解答】解：（1）根据题意得：w＝（x﹣8）（24﹣x）﹣60＝﹣x2+32x﹣252；
（2）①∵该产品第一年利润为4万元，
∴4＝﹣x2+32x﹣252，
解得：x＝16，
答：该产品第一年的售价是16元．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过13万件，
∴ ，
解得11≤x≤16，
设第二年利润是w'万元，
w'＝（x﹣6）（24﹣x）﹣4＝﹣x2+30x﹣148，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝15，又11≤x≤16，
∴x＝11时，w'有最小值，最小值为（11﹣6）×（24﹣11）﹣4＝61（万元），
答：第二年的利润至少为61万元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，
学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）（2022•荆州）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点
（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长
为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
（1）求证：DE是半圆O的切线：
（2）当点E落在BD上时，求x的值；
（3）当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关
系式；
（4）直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
第28页（共31页）【分析】（1）证明OE⊥DE，可得结论；
（2）图2中，当点E落在BD上时，利用面积法构建方程求出x即可；
（3）图2中，当点E落在BD上时，利用面积法求出AJ，AE，再利用相似三角形的性质求解
即可；
（4）当 O与CD相切时，x＝3，当 O经过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝ ，结合图
⊙ ⊙
形，判断即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°，
∵将△OAD沿OD折叠，得到△OED，
∴∠OED＝∠DAO＝90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是半径，
∴DE是 O的切线；
⊙
（2）解：如图2中，当点E落在BD上时，
在Rt△ADB中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝ ＝ ＝5，
∵S△ADB ＝S△ADO +S△BDO ，
第29页（共31页）∴ ×3×4＝ ×3×x+ ×5×x，
∴x＝ ．
（3）解：图2中，当点E落在BD上时，
∵DA＝DE，OA＝OE，
∴OD垂直平分线段AE，
∵ •AD•AO＝ •DO•AJ，
∴AJ＝ ，
∴AE＝2AJ＝ ，
∵AG是直径，
∴∠AEG＝∠ABF＝90°，
∵∠EAG＝∠BAF，
∴△AEG∽△ABF，
∴y＝ ＝（ ）2＝ ＝ （0＜x＜4）；
（4）当 O与CD相切时，x＝3，
当 O经⊙过点C时，x2＝（4﹣x）2+32，
⊙
第30页（共31页）∴x＝ ，
观察图象可知，当 ＜x＜3或 ＜x≤4时，半圆O与△BCD的边有两个交点．
【点评】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，
属于中考压轴题．
第31页（共31页）
