文档内容
2022年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣ ）的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12
2．（4分）（2022•泰安）下列运算正确的是（ ）
A．6x﹣2x＝4 B．a﹣2•a3＝a﹣6
C．x6÷x3＝x3 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
3．（4分）（2022•泰安）下列图形：
其中轴对称图形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（4分）（2022•泰安）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据
测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.448×106度 B．44.8×104度
C．4.48×105度 D．4.48×106度
5．（4分）（2022•泰安）如图，l ∥l ，点A在直线l 上，点B在直线l 上，AB＝BC，∠C＝25°，
1 2 1 2
∠1＝60°．则∠2的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
6．（4分）（2022•泰安）如图，AB是 O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则 O的半
⊙ 第1页（共34页） ⊙径为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
7．（4分）（2022•泰安）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的
是（ ）
A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
8．（4分）（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以
点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 ﹣9 B．12 ﹣9 C．6 ﹣ D．12 ﹣
π π π π
9．（4分）（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
第2页（共34页）x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
10．（4分）（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十
钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，
这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费
恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题
意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
11．（4分）（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的
中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；
②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE ＝ S△ABC ，其中正确结论的个数是（
）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（4分）（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动
点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（ ）
第3页（共34页）A． B． C． ﹣ D． ﹣2
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）（2022•泰安）计算： • ﹣3 ＝ ．
14．（4分）（2022•泰安）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ．
15．（4分）（2022•泰安）如图，在△ABC中，∠B＝90°， O过点A、C，与AB交于点D，与BC
相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝ ． ⊙
16．（4分）（2022•泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝
30°，已知窗户的高度AF＝2m，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则
CP的长度为 （结果精确到0.1m）．
第4页（共34页）17．（4分）（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数
对是 ．
18．（4分）（2022•泰安）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD
沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长
度为 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
骤）
19．（10分）（2022•泰安）（1）化简：（a﹣2﹣ ）÷ ；
（2）解不等式：2﹣ ＞ ．
20．（10分）（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、
第5页（共34页）王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学
生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行
统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x
＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，
解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ，所
抽取学生成绩的中位数落在 组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多
少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周
一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21．（10分）（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2 ，tanA＝ ，
反比例函数y＝ 的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．
第6页（共34页）22．（10分）（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶
20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A
种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
23．（12分）（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点
O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
24．（12分）（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对
称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的
坐标．
第7页（共34页）25．（14分）（2022•泰安）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并
说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，
试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．
第8页（共34页）2022年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的
选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）（2022•泰安）计算（﹣6）×（﹣ ）的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣12 D．12
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝+（6× ）
＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，
任何数与0相乘都得0是解题的关键．
2．（4分）（2022•泰安）下列运算正确的是（ ）
A．6x﹣2x＝4 B．a﹣2•a3＝a﹣6
C．x6÷x3＝x3 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂的
除法判断C选项；根据完全平方公式判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝4x，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝x3，故该选项符合题意；
D选项，原式＝x2﹣2xy+y2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握
（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
3．（4分）（2022•泰安）下列图形：
第9页（共34页）其中轴对称图形的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据图形对称的定义判定就行．
【解答】解：（1）是轴对称图形；
（2）是轴对称图形；
（3）不是轴对称图形；
（4）是轴对称图形；
故选：B．
【点评】考查轴对称图形的定义，关键要理解轴对称图形的定义．
4．（4分）（2022•泰安）2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据
测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.448×106度 B．44.8×104度
C．4.48×105度 D．4.48×106度
【分析】根据1万＝104，然后写成科学记数法的形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即
可．
【解答】解：44.8万＝44.8×104＝4.48×105，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握1万＝104是解题的关键．
5．（4分）（2022•泰安）如图，l ∥l ，点A在直线l 上，点B在直线l 上，AB＝BC，∠C＝25°，
1 2 1 2
∠1＝60°．则∠2的度数是（ ）
第10页（共34页）A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝
95°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵AB＝BC，∠C＝25°，
∴∠C＝∠BAC＝25°，
∵l ∥l ，∠1＝60°，
1 2
∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，
∵∠BEA＝∠C+∠2，
∴∠2＝95°﹣25°＝70°．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题
的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补．
6．（4分）（2022•泰安）如图，AB是 O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则 O的半
径为（ ） ⊙ ⊙
A．2 B．3 C．2 D．
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
【解答】解：连接CO并延长CO交 O于点E，连接AE，
⊙
第11页（共34页）∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴∠ACD＝∠ACO，
∴AE＝AD＝2，
∵AB是直径，
∴∠EAC＝90°，
在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
∴EC＝ ＝2 ，
∴ O的半径为 ．
故⊙选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
7．（4分）（2022•泰安）某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的
是（ ）
A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
第12页（共34页）【分析】根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．
【解答】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；
平均成绩是 ×（9.4×2+8.4+9.2×2+8.8+9×3+8.6）＝9（环），故选项B不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是 ×[2×（9.4﹣9）2+（8.4﹣9）2+2×（9.2﹣9）2+（8.8﹣9）2+3×（9﹣9）
2+（8.6﹣ 9）2]＝0.096，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了折线统计图，加权平均数，众数和方差，掌握平均数和方差的计算
公式是解题关键．
8．（4分）（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以
点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 ﹣9 B．12 ﹣9 C．6 ﹣ D．12 ﹣
π π π π
【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．
【解答】解：∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
过点E作EG⊥DF交DF于点G，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝3 ，
∴DF＝6 ，
第13页（共34页）阴影部分的面积＝ ﹣ ×6 ×3＝12 ﹣9 ，
π
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的
关键．
9．（4分）（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判
断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由表格可得，
，
解得 ，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣ ）2+ ＝（﹣x+3）（x+2），
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
第14页（共34页）该抛物线的对称轴是直线x＝ ，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝ ×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为 ，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，
解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
10．（4分）（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十
钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，
这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费
恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题
意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210
【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x﹣1）文，利用总价＝单价×数量，即
可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费
恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．
依题意得：3（x﹣1）x＝6210．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
11．（4分）（2022•泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的
中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；
②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE ＝ S△ABC ，其中正确结论的个数是（
）
第15页（共34页）A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性质求得
∠EAC＝30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合
菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【解答】解：∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE，
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠BEA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；
∴AC⊥EF，
在Rt△COE中，∠ACE＝30°，
第16页（共34页）∴OE＝ CE＝ BC＝ AD，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE ＝ S△BOC ＝ S△ABC ，故④正确；
正确的结论由4个，
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含
30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
12．（4分）（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动
点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（ ）
A． B． C． ﹣ D． ﹣2
【分析】如图，取AD的中点O，连接OB，OM．证明∠AMD＝90°，推出OM＝ AD＝2，点
M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的 O．利用勾股定理求出OB，可得结论．
【解答】解：如图，取AD的中点O，连接⊙OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
第17页（共34页）∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝ AD＝2，
∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的 O．
⊙
∵OB＝ ＝ ＝ ，
∴BM≥OB﹣OM＝ ﹣2，
∴BM的最小值为 ﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）（2022•泰安）计算： • ﹣3 ＝ 2 ．
【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
【解答】解：原式＝ ﹣3×
＝4 ﹣2
＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题
关键．
14．（4分）（2022•泰安）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 1 ）
．
第18页（共34页）【分析】直接根据平移的性质可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且A（﹣1，2），D（3，2），
∴点A是点D向左平移4个单位所得，
∵C（2，﹣1），
∴B（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，属于基础题，解答本题的关键是找
出平移的规律．
15．（4分）（2022•泰安）如图，在△ABC中，∠B＝90°， O过点A、C，与AB交于点D，与BC
相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝ 64 ° ． ⊙
【分析】连接OC，根据圆周角定理求出∠DOC，根据切线的性质得到OC⊥BC，证明
AB∥OC，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：连接OC，
∵∠A＝32°，
∴∠DOC＝2∠A＝64°，
∵BC与 O相切于点C，
∴OC⊥B⊙C，
∵∠B＝90°，
∴∠B+∠OCB＝180°，
第19页（共34页）∴AB∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC＝64°，
故答案为：64°．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是
解题的关键．
16．（4分）（2022•泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝
30°，已知窗户的高度AF＝2m，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则
CP的长度为 4. 4 m （结果精确到0.1m）．
【分析】本题涉及遮阳棚的计算问题，光线是平行光线，所以在直角三角形中，知道一个锐
角的度数，一条边的长度，可以运用直角三角形边角的关系解决问题．
【解答】解：根据图形可知AD∥CP．
∵AD∥CP，∠DPC＝30°，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝0.8m，
∴AB＝AD×tan∠ADB＝0.8× ≈0.46m．
∵AB＝0.46m，AF＝2m，CF＝1m，
∴BC＝2.54m，
在Rt△BCP中，∠BPC＝30°，BC＝2.54m，
∴CP＝ ．
第20页（共34页）答：CP的长度约为4.4m．
故答案为：4.4m．
【点评】考查直角三角形中边角的关系，关键是能正确的选择运用三角函数解决问题．
17．（4分）（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数
对是 （ 1 0 ， 1 8 ） ．
【分析】根据第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数即可得出答案．
【解答】解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，
∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，
第10行有：2×10﹣1＝19个数，
∴99的有序数对是（10，18）．
故答案为：（10，18）．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n
﹣1）个数是解题的关键．
18．（4分）（2022•泰安）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD
沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长
度为 2 ．
第21页（共34页）【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得
PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根据勾股定理
即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝ AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：
EP2＝EC2+CP2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2．
则DP的长度为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性
质．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步
第22页（共34页）骤）
19．（10分）（2022•泰安）（1）化简：（a﹣2﹣ ）÷ ；
（2）解不等式：2﹣ ＞ ．
【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法；
（2）根据“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1”的步骤解一元一次不等式．
【解答】解：（1）原式＝[ ﹣ ]
＝
＝
＝a（a+2）
＝a2+2a；
（2）2﹣ ＞ ，
去分母，得：24﹣4（5x﹣2）＞3（3x+1），
去括号，得：24﹣20x+8＞9x+3，
移项，得：﹣20x﹣9x＞3﹣8﹣24，
合并同类项，得：﹣29x＞﹣29，
系数化1，得：x＜1．
【点评】本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式，理解分式的基本性质，掌握分式混
合运算的运算顺序和计算法则以及解一元一次不等式的基本步骤是解题关键．
20．（10分）（2022•泰安）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、
王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学
生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行
统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x
＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，
解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 40 0 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 6 0 ，所
抽取学生成绩的中位数落在 D 组；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
第23页（共34页）（3）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多
少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周
一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）由C组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，即可
解决问题；
（2）求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
（3）由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果
有12种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%＝400（名），
∴B组的人数为：400×15%＝60（名），
∴m＝60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，20+96+60＝176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
（2）E组的人数为：400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人），
补全学生成绩频数分布直方图如下：
第24页（共34页）（3）3000× ＝1680（人），
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人；
（4）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了用树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．树状图
法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知
识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（10分）（2022•泰安）如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2 ，tanA＝ ，
反比例函数y＝ 的图象经过OA的中点B，与AC交于点D．
（1）求k值；
（2）求△OBD的面积．
第25页（共34页）【分析】（1）先根据tanA＝ ，可得AC＝2OC，根据OA＝2 ，由此可得A的坐标，由B
是OA的中点，可得点B的坐标，从而得k的值；
（2）先求点D的坐标，根据面积差可得结论．
【解答】解：（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝ ，
∴AC＝2OC，
∵OA＝2 ，
由勾股定理得：（2 ）2＝OC2+（2OC）2，
∴OC＝2，AC＝4，
∴A（2，4），
∵B是OA的中点，
∴B（1，2），
∴k＝1×2＝2；
（2）当x＝2时，y＝1，
∴D（2，1），
∴AD＝4﹣1＝3，
∵S△OBD ＝S△OAD ﹣S△ABD
＝ ×3×2﹣ ×3×1
＝1.5．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征，三角形面积，中点坐标公式，解题的关键是
根据待定系数法求出反比例函数的解析式，本题属于中等题型．
22．（10分）（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶
20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A
第26页（共34页）种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
【分析】设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，利用总价＝单价×
数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，
依题意得： ，
解得： ．
答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
23．（12分）（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点
O，BE与AC相交于点F．
（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3＝∠6，从而求证BF⊥AC；
（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；
（3）利用相似三角形的性质分析求解．
【解答】（1）证明：如图，
在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
第27页（共34页）∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6+∠5＝90°，
∴BF⊥AC；
（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，△EBC，理由如下：
由（1）可得∠1＝∠4，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠BFC＝90°，
∴△ABF∽△BOF，
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△BOF，
∵∠1＝∠6，∠CFB＝∠BCD＝90°，
∴△EBC∽△OBF；
（3）解：∵△ECF∽△BOF，
∴ ，
∴ ，即3CF＝2BF，
∴3OA＝2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴ ，
∴BF2＝OF•AF，
∴BF2＝3（OA+3）②，
联立①②，可得BF＝1± （负值舍去），
∴DE＝BE＝2+1+ ＝3+ ．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形
的判定和性质是解题关键．
24．（12分）（2022•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对
第28页（共34页）称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的
坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出a，b，c即可；
（2）①求出直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，因为A，C关于直线x＝1对称，推出C（4，
0），设N（m，0），则M（m，﹣2m﹣4），NC＝4﹣m，根据MN＝3NC，构建方程求解；
②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），利用正方形的性质
求出点P的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（0，﹣4），
∴c＝﹣4，
∵对称轴为直线x＝1，经过A（﹣2，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣x﹣4；
第29页（共34页）（2）①如图1中，
设直线AB的解析式为y＝kx+n，
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵A，C关于直线x＝1对称，
∴C（4，0），
设N（m，0），
∵MN⊥x轴，
∴M（m，﹣2m﹣4），
∴NC＝4﹣m，
∵MN＝3NC，
∴2m+4＝3（4﹣m），
∴m＝ ，
∴点M（ ，﹣ ）；
②如图2中，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则点N（t，0），
∵四边形MPNQ是正方形，
∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝ MN，
∴PQ∥x轴，
∴E（t，﹣t﹣2），
∴NE＝t+2，
∴ON+EP＝ON+NE＝t+t+2＝2t+2，
∴P（2t+2，﹣t﹣2），
第30页（共34页）∵点P在抛物线y＝ x2﹣x﹣4上，
∴ （2t+2）2﹣（2t+2）﹣4＝﹣t﹣2，
解得t ＝ ，t ＝﹣2，
1 2
∵点P在第四象限，
∴t＝﹣2舍去，
∴t＝ ，
∴点M坐标为（ ，﹣5）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质
等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
25．（14分）（2022•泰安）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；
②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并
说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，
第31页（共34页）试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．
【分析】（1）①证明△ABC是等边三角形，可得结论；
②结论成立．如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．
证明△EBO≌△GBO（SAS），推出∠BOE＝∠BOG＝60°，再证明△OCD≌△OCG（ASA），
推出CD＝CG，可得结论；
（2）结论：AC＝AD+BC．如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．证明满足②
条件，利用②中结论解决问题．
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴点D，E分别是AC，AB的中点，
∴BE＝ AB＝ BC，CD＝ AC＝ BC，
∴BE+CD＝BC；
②解：结论成立．
第32页（共34页）理由：如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，
∴△EBO≌△GBO（SAS），
∴∠BOE＝∠BOG＝60°，
∴∠COD＝∠COG＝60°，
∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，
∴△OCD≌△OCG（ASA），
∴CD＝CG，
∴BE+CD＝BG+CG＝BC；
（2）解：结论：AC＝AD+BC．
理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
第33页（共34页）∴∠DAB+∠BCD＝180°，
∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，
∴3∠BAC+3∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACD＝60°，
∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠FAC+∠FCA＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠EFC＝60°，
∵∠DAF＝∠FAC，∠FCA＝∠FCE，
由②可知AD+EC＝AC，
∵EC＝BC，
∴AD+BC＝AC．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
第34页（共34页）
