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专题 41 概率【十二大题型】
【题型1 事件的分类】..............................................................................................................................................2
【题型2 根据概率公式计算概率】..........................................................................................................................4
【题型3 由概率求数量】..........................................................................................................................................6
【题型4 列举法求概率】..........................................................................................................................................8
【题型5 画树状图法/列表法求概率】...................................................................................................................11
【题型6 几何概率】................................................................................................................................................15
【题型7 由频率估计概率】....................................................................................................................................18
【题型8 放回实验概率计算方法】........................................................................................................................21
【题型9 不放回实验概率计算方法】....................................................................................................................24
【题型10 游戏公平性】............................................................................................................................................27
【题型11 概率的实际应用】....................................................................................................................................31
【题型12 概率与统计综合】....................................................................................................................................35
【知识点 概率】
1.随机事件
必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件。
不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。
必然事件和不可能事件统称确定性事件。
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2.概率
(1)概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0＜P(不确定事件)＜1。
(2)一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中
m
P(A)=
n
的m种结果，那么事件A发生的概率 。
3.列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
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列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果
通常采用列表法。
4.树状图法求概率
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，
通常采用树状图法求概率。
5.利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这
个事件发生的概率。
在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟
实验。
【题型1 事件的分类】
【例1】（2023·广东中山·二模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关
A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是
（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定
事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
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D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2023·浙江宁波·二模）下列事件中属于不可能事件的是（ ）
A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3
B．13个人中有两个人生日在同一个月份
C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球
D．两点之间，线段最短
【答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小逐项判断即可．
【详解】解：A．投掷一枚骰子，朝上的点数为3是随机事件，不符合题意；
B．13个人中有两个人生日在同一个月份是必然事件，不符合题意；
C．从只装有红球和白球的袋子中摸出黑球是不可能事件，符合题意；
D．两点之间，线段最短是必然事件，不符合题意．
故选：C．
【变式1-2】（2024·山西朔州·一模）如图，掷两枚质地均匀、大小完全相同的骰子，则下列事件是必然事
件的是（ ）
A．掷得的点数和为5 B．掷得的点数和为9
C．掷得的点数和大于15 D．掷得的点数和小于13
【答案】D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
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【详解】解：A、掷得的点数和为5是随机事件，故此选项不符合题意；
B、掷得的点数和为9是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷得的点数和大于15是不可能事件，故此选项不符合题意；
D、掷得的点数和小于13是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】（17-18七年级下·江西萍乡·期末）某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元
1
商品可参加抽奖一次，中奖的概率为 ．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )
3
A．能中奖一次 B．能中奖两次
C．至少能中奖一次 D．中奖次数不能确定
【答案】D
1
【分析】由于中奖概率为 ，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
3
【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.
故选D．
【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系：
①P(A)=0，为不可能事件；
②P(A)=1为必然事件；
③0<P(A)<1为随机事件．
【题型2 根据概率公式计算概率】
【例2】（2023·山东济宁·三模）从有理数−1，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线
y=−x+1上的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
【答案】D
【分析】先列出数−1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标所有情况，再判断是否在直线上，最后再利
用概率公式的求法得出．
【详解】数−1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标可以为
(−1，0)、(−1，1)、(−1，2)、(0，−1)、(0，1)、(0，2)、(1，−1)、
(1，0)、(1，2)、(2，−1)、(2，0)、(2，1)共12种等可能的情况，
依次代入y=−x+1知(−1,2)、(0,1)、(1,0)、(2,−1)在直线上，
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4 1
故概率为 = ．
12 3
故选：D．
【点睛】此题主要考查一次函数与概率的结合，依次列出各坐标点是解题的关键．
【变式2-1】（2023·海南省直辖县级单位·二模）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，
黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
2 4 3 12
【答案】B
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，依此列式计算即可
求解．
【详解】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
25 1
∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P= = ，
72+25+3 4
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【变式2-2】（2023·安徽合肥·二模）平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件
①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形
ABCD是正方形的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
3 2 6 3
【答案】D
【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可．
【详解】一共有①②，①③，①④，②③，②④；③④6种组合数，
其中能判定四边形是正方形有①②，①③，②④，③④4种组合数，
4 2
所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是 = ，
6 3
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故选D．
【点睛】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
【变式2-3】（2023·江苏·模拟预测）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相
同．现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄
球的概率相等的方案是（ ）
A．增加2个白球 B．减少2个黄球
C．增加1个白球、减少1个黄球 D．增加4个白球、3个黄球
【答案】D
【分析】分别求出各选项摸到白球和黄球的概率，然后比较即可解答．
4 3
【详解】解：A．增加2个白球，摸到白球的概率是 ，摸到黄球的概率是 ，不符合题意；
7 7
2 1
B．减少2个黄球，摸到白球的概率是 ，摸到黄球的概率是 ，不符合题意；
3 3
3 2
C．增加1个白球、减少1个黄球，摸到白球的概率是 ，摸到黄球的概率是 ，不符合题意；
5 5
2+4 1 3+3 1
D．增加4个白球、3个黄球，摸到白球的概率是 = ，摸到黄球的概率是 = ，符合题意；
12 2 12 2
故选D．
【点睛】本题主要考查了可能性大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键．
【题型3 由概率求数量】
【例3】（2023·浙江宁波·模拟预测）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇
形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个
数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标
2
注的数字大于8”的概率是 ，则n的取值为（ ）
3
A．10 B．8 C．12 D．4
【答案】C
【分析】用大于8的数字的个数（n-4）除以总个数=对应概率列出关于n的方程，解之可得．
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2
【详解】∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是 ，
3
n−4 2
∴ = ，
n 3
解得：n=12，
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式．
【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·一模）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜
1
色外都相同，其中有5个红球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个黄球的概率为
3
（ ）
1 1 5 1
A． B． C． D．
4 3 12 2
【答案】A
1
【分析】设黄球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是 ，得出黄球的个数，再根据概率公式即可得出
3
随机摸出一个黄球的概率．
【详解】解：设袋子中黄球有x个，
4 1
根据题意，得： = ，
5+4+x 3
解得：x=3，
即袋中黄球有3个，
3 1
所以随机摸出一个黄球的概率为 = ，
5+4+3 4
故选A．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所
求的情况数是解决本题的关键．
【变式3-2】（2023·福建福州·一模）不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会
徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰
1
墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图来的概率是 ，则n的值是 ．
5
【答案】10
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【分析】根据概率的意义列方程求解即可．
【详解】解：由题意得，
n 1
= ，
50 5
解得n=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了概率的意义及计算方法，理解概率的意义是正确求解的关键．
【变式3-3】（2023·山东济南·中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3
1
个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，
4
则盒子中棋子的总个数是 ．
【答案】12
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
1
【详解】解：3÷ =12，
4
∴盒子中棋子的总个数是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比．
【题型4 列举法求概率】
【例4】（2023·广东肇庆·三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一
排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对
与自己车票相符座位的坐法有（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】B
【分析】本题主要考查了列举法．设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票
相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算
原理可得．
【详解】解：设5名同学票用A，B，C，D，E来表示，
若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，
设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，
则有BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA共9种坐法，
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则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9=45种，
故选：B．
【变式4-1】（2023·山西太原·一模）在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电
阻及若干条导线连接如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ．
2
【答案】
3
【分析】先确定总的结果数，再确定该事件包含的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：如图，由题意得：随机闭合图中的两个开关，一共有 3 种情况，分别是SS ，SS ，S S ；
1 2 1 2
其中能够让一个灯泡发光的情况有SS ，SS 共2 种，
1 2
2
∴随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率为 ；
3
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查了列举法求解概率，正确理题意列举出所有的可能性的结果数是解题的关键．
【变式4-2】（2023·江苏苏州·一模）如图，三根同样的绳子A A 、BB 、CC 穿过一块木板，姐妹两人
1 1 1
分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等．
(1)姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子BB 的概率为_______________；
1
(2)在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端A 、B 、
1 1
C 三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．
1
1
【答案】(1)
3
2
(2)
3
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【分析】（1）由三根同样的绳子A A 、BB 、CC 穿过一块木板，直接利用概率公式求解即可求得答案；
1 1 1
（2）利用列举法可得：AC A B ，AC A C ，ACB C ，其中符合题意的有2种(AC A B 、
1 1 1 1 1 1 1 1
ACB C )，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
1 1
【详解】（1）解：∵共有三根同样的绳子A A 、BB 、CC 穿过一块木板，
1 1 1
1
∴姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子BB 的概率为： ；
1 3
1
故答案为： ；
3
（2）解：列举得：ABA B ，ABA C ，ABB C ，AC A B ，AC A C ，ACB C ，BC A B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
BC A C ，BCB C ；
1 1 1 1
∴共有9种等可能的结果，其中符合题意的有6种，
6 2
∴这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：P= = ．
9 3
【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式4-3】（2023·安徽蚌埠·一模）某地区2月上旬的空气质量指数（AQI）（单位：ug/m3）如下表所示：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AQI/（ug/m3）
28 31 44 37 41 78 45 113 50 29
AQI不高于75ug/m3表示空气质量优良．如果小李2月上旬在该地区度假三天，那么在他度假期间该地区的
空气质量都是优良的概率是 ．
3
【答案】 /0.375
8
【分析】先求出3天中空气质量都是优良的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵由图可知，当1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时3天空气质量均为优良；
当2号到达时，停留的日子为2、3、4号，此时3天空气质量均为优良；
当3号到达时，停留的日子为3、4、5号，此时3天空气质量均为优良；
当4号到达时，停留的日子为4、5、6号，此时2天空气质量均为优良；
当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时2天空气质量均为优良；
当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时1天空气质量为优良；
当7号到达时，停留的日子为7、8、9号，此时2天空气质量为优良；
当8号到达时，停留的日子为8、9、10号，此时2天空气质量均为优良；
3
∴小王该月上旬该地区度假三天那么他在该地区度假期间空气质量都是优良的概率是 ，
8
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3
故答案为： ．
8
【点睛】本题考查的是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
m
现m种可能，那么事件A的概率P(A)= ．
n
【题型5 画树状图法/列表法求概率】
【例5】（2023·江苏盐城·一模）把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠
表示数210．
(1)若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ；
(2)现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求
构成的数是三位数的概率．
1
【答案】(1)
3
5
(2)
9
【分析】本题考查了列表法与树状图法和运用概率公式求概率：
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，再由概率公式求解即可．
1
【详解】（1）解：若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）解：画树状图如下：
共有9个等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5个，
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5
∴构成的数是三位数的概率为 ．
9
【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）周至县历史悠久，山川秀丽，风景名胜与文物古迹颇多，人文和自然
景观十分丰富，汉家离宫唐家园林，星罗棋布．小刚和小强两人准备从A．楼观台国家森林公园，B．黑
河国家森林公园，C．沙河湿地公园，D．终南山鼓楼观景区中各自任意选择一景点游玩．
楼观台国家森林公园 黑河国家森林公园 沙河湿地公园 终南山鼓楼观景区
(1)小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率为 ；
(2)请用列表法或画树状图的方法求两人选择的景点不同的概率．
1
【答案】(1) ；
4
3
(2) ．
4
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可求解；
（2）列表求出总的结果数和两人选择的景点不同的结果数，再利用概率公式计算即可求解；
本题考查了利用树状图法或列表法求概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵共有A．楼观台国家森林公园，B．黑河国家森林公园，C．河湿地公园，D．终南
山鼓楼观景区四个景区，
1
∴小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率 ，
4
（2）解：根据题意列表如下：
A B C D
A （A,A）（B,A）（C,A）（D,A）
B （A,B）（B,B）（C,B）（D,B）
C （A,C）（B,C）（C,C）（D,C）
D （A,D）（B,D）（C,D）（D,D）
由表可得，一共有16种等可能的结果，其中两人选择的景点不同的有12种结果，
12 3
∴两人选择的景点不同的概率= = ．
16 4
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【变式5-2】（2023·安徽·模拟预测）奥地利遗传学家孟德尔发现纯种的黄豌豆和绿豌豆杂交，得到的杂种
第一代豌豆都呈黄色．他假设纯种黄豌豆的基因是YY，纯种绿豌豆的基因是yy，则杂种第一代豌豆的基因
是Yy，其中黄、绿基因各一个，只要两个基因中有一个基因是黄色基因，豌豆就呈黄色，故第一代的所有
豌豆均呈黄色．将杂种第一代豌豆自交，即父本的两个基因Y，y与母本的两个基因Y，y再随机配对，将
产生4种可能的结果：
(1)求第二代出现黄豌豆的概率．
1
(2)如果在第二代中再选择两个品种杂交，使第三代黄豌豆出现的概率为 ，请列举一种符合要求的配对方
2
案，并说明理由．
3
【答案】(1)第二代出现黄踠豆的概率P= ；
4
1
(2)P = ，理由见解析．
(第三代出现黄踠豆) 2
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
（1）根据概率的计算公式直接计算即可求解；
（2）选出符合要求的配对方案，画出树状图，根据树状图即可求解；
【详解】（1）解：第二代共有4种情况，其中出现黄啘豆的有Y Y ，Y y ，Y y 共3种情况，所以
父 母 父 母 母 父
3
第二代出现黄踠豆的概率P= ；
4
（2）解：共有两种方案，答出任意一种即可．
方案一：选择的两个品种分别为Y y 和y y ．
父 母 父 母
画出树状图如下：
2 1
由树状图可得P = = ；
(第三代出现黄踠豆) 4 2
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方案二：选择的两个品种分别为Y 和y y ．
母父 父 母
画出树状图如下：
2 1
由树状图可得P = = ．
(第三代出现黄踠豆) 4 2
【变式5-3】（2023·云南昆明·三模）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影
片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没・逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽
两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚
烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受
任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x,y)所有可能出现的结果总数；
(2)求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
【答案】(1)9种
1
(2)
3
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．
（1）列表得出所有等可能的情况数即可；
（2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：方法一：由题意可列表如下，
x
A B C
y
A (A,A) (B,A) (C,A)
B (A,B) (B,B) (C,B)
C (A,C) (B,C) (C,C)
∴由表可知，(x,y)可能出现的结果为：(A,A)、 (B,A)、 (C,A)、 (A,B)、 (B,B)、 (A,C)、
(B,C)、 (C,B)、 (C,C)，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
方法二，画树状图如下：
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∴(x,y)可能出现的结果为：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、(B,A)、(B,B)、(B,C)、(C,A)、(C,B)、(C,C)，它们出现的可能性
相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
（2）解：由表（或图）可以看出，小亮、小丽两名同学选择观看同一电影的情况有3种，
即(A,A)、(B,B)、(C,C)．
3 1
∴P(小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影)= = ．
9 3
1
答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为 ．
3
【题型6 几何概率】
【例6】（2023·河南郑州·三模）如图，在矩形ABCD中，以点D为圆心，AD长为半径画弧，以点C为圆
心，CD长为半径画弧，两弧恰好交于BC边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若AB=1，则该点取
自阴影部分的概率为 ．
√2 1
【答案】 / √2
4 4
【分析】连接DE，根据勾股定理，得DE=√2，根据阴影部分的面积为：扇形AED的面积减去S ，根据
2
S 的等于扇形DEC的面积减去S ，据此求解即可．
2 △ECD
【详解】解：连接DE，如下图：
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∵四边形ABCD是矩形，CD=CE=1，
∴DE=√12+12=√2，∠ADC=∠BCD=90°，AB=DC=1，
∴AD=BC=√2，∠ADE=45°，
2
45π⋅(√2) π
∴扇形AED的面积为： = ，
360 4
1 1 π 1
∵S 的面积为： π×12− ×1×1= − ，
2 4 2 4 2
π π 1 1
∴阴影部分的面积为： − + = ．
4 4 2 2
矩形ABCD的面积为BC×CD=√2，
1
该点取自阴影部分的概率为 2 √2．
=
√2 4
√2
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
【变式6-1】（2023·山东东营·一模）一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴
影区域上的概率是（ ）
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】C
【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解．
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3
【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的 ，
9
3 1
∴P= = ；
9 3
故选：C．
【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
【变式6-2】（2023·广东云浮·一模）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①
是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，
则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
32 24 16 8
【答案】C
【分析】根据七巧板对应图形的面积，结合概率公式即可得到结论．
1
【详解】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的 ，
16
1
故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．
16
故选：C．
【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，
面积比，体积比等．
【变式6-3】（2023·四川成都·三模）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点
M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴
影部分的概率为 ．
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5
【答案】
16
【分析】由三角形中位线定理易求得设阴影部分的面积与△CBA的面积的比值，再根据几何概率的求法即
可得出答案．
【详解】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴ED∥AB，且DE＝ AB，
2
∴△CDE∽△CBA，
∴
S
ΔCDE ＝
(DE) 2
=
1
，
S AB 4
ΔCBA
1
∴S CDE＝ S CB ．
4 A
△ △
1 1
同理，S FPM＝ S FDE＝ S CB ．
4 16 A
△ △ △
5
∴S FPM+S CDE＝ S CB ．
16 A
△ △ △
S 5
阴影
则 ＝ ．
S 16
ΔCBA
5
故答案是： ．
16
【点睛】本题考查了三角形中位线定理与几何概率的求法，关键是利用中位线定理求出阴影部分面积与整
个三角形面积的比值．
【题型7 由频率估计概率】
【例7】（2024·河南周口·一模）斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于NBA金州勇士
队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录：
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罚球总数 400 1000 1600 2000 2887
命中次数 348 893 1432 1802 2617
罚球命中
0.87 0.893 0.895 0.901 0.906
率
根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为 （精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个
数值即为该事件发生的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法和正确分析表中数据．根据大量重复
试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可得出结
果．
【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.87−0.906之间附近，
且精确到0.1，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【变式7-1】（2023·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出
100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各
捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
鱼池（填甲或乙）
【答案】甲
【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数
即可得到结论．
【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
5 100
鱼的概率近似= = ，解得x＝2000；
100 x
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
10 100
鱼的概率近似= = ，解得y＝1000；
100 y
∵2000>1000，
∴可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等
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量关系．
【变式7-2】（2023·内蒙古呼和浩特·三模）《卖油翁》中，翁曰：“我亦无他，惟手熟尔”．如图，已知
铜线的直径为3cm，厚度为0.2cm，一枚铜钱的平均密度约为9g/cm3．为计算铜钱的质量，做如下实验：
将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱
的质量约为 g（用含m，n，π的式子表示）．
81(m−n)π
【答案】
20m
【分析】求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案．
【详解】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为n次．
n
∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的 ，
m
3 2 n 9(m−n)π
∴铜钱的实际面积为π×( ) ×（1－ ）＝ （cm2），
2 m 4m
9(m−n)π 9(m−n)π
∴铜钱的体积为 ×0.2＝ （cm3），
4m 20m
9(m−n)π 81(m−n)π
∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 ×9＝ (g)，
20m 20m
81(m−n)π
故答案为： ．
20m
n
【点睛】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的 是
m
解题的关键．
【变式7-3】（2023·河北秦皇岛·三模）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸
球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述
过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
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(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，
小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
3
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
5
【答案】(1)0.5，0.5
(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个
(3)10个
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已
知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．
（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有40×0.5=20（个），则黑颜色的球有40−20=20（个）；
20+x 3
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，依题意得， = ，计算求解，然后作答即可．
40+x 5
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近0.5，假如小李摸一次球，小
李摸到白球的概率为0.5，
故答案为：0.5，0.5；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有40×0.5=20（个），
黑颜色的球有40−20=20（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个；
（3）解：设需要往盒子里再放入x个白球，
20+x 3
依题意得， = ，
40+x 5
5(20+x)=3(40+x)，
解得，x=10，
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经检验，x=10是原分式方程的解，
∴需要往盒子里再放入10个白球．
【题型8 放回实验概率计算方法】
【例8】（2023·广东深圳·模拟预测）一个不透明的口袋中有五个完全相同的小球，把它们分别标号为1，
2，3，4，5．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．两次取出的小球标号之和为偶数的概率
是（ ）
2 13 3 12
A． B． C． D．
5 25 5 25
【答案】B
【分析】先画树状图展示所有25种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的占13种，然
后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中两次取出的小球标号之和为偶数的有13种，
13
则两次取出的小球标号之和为偶数的概率是 ．
25
故选：B．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放
回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式8-1】（2023·北京顺义·二模）不透明的袋子中有四个完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，
4．随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，记录其数字，则两次记录的数
字不相同的概率是 ．
3
【答案】
4
【分析】利用列表法求解所有等可能的结果有16种，而两次记录的数字不相同的情况数有12种，再利用概
率公式从而可得结论．
【详解】解：列表如下：
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1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
一共有16种等可能的结果，其中两次记录的数字不相同的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,3)，
(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种，
12 3
∴两次记录的数字不相同的概率是： = .
16 4
3
故答案为： .
4
【点睛】本题考查的是利用画树状图或列表法求随机事件的概率，掌握画树状图法与列表法求概率是解题
的关键．
【变式8-2】（2023·河南南阳·二模）甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制
成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），
三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 6 9 27
【答案】D
【分析】根据题意，三人各抽一次（抽后放回），甲乙丙三人都是从3张卡片抽一张，画出树状图即可得
出答案．
【详解】设甲的生肖为A，乙的生肖为B，丙的生肖为C，梳妆图如下：
共有27种等可能情况，其中符合三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的有1种，
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1
所以，三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率= ，
27
故选：D．
【点睛】本题考查了画梳妆图或列表求概率，根据题意画出梳妆图是解决本题的关键．
【变式8-3】（2023·重庆江北·二模）有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数字−1、−2、1、2，
将四张卡片背面朝上，任抽一张卡片，卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再抽一张，卡片上的数字记为b，
则函数y=ax+b的图像不经过第二象限的概率是 ．
1
【答案】 /0.25
4
【分析】画树状图得出所有的等可能的结果，根据当a>0，b≤0时，函数y=ax+b的图像不经过第二象限，
即可求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果
∵当a>0，b≤0时，函数y=ax+b的图像不经过第二象限
∴满足条件的结果有4种
4 1
故函数y=ax+b的图像不经过第二象限的概率是： =
16 4
1
故答案为：
4
【点睛】本题考查了概率的求解和根据一次函数图像经过的象限判断参数的取值．熟记相关结论即可．
【题型9 不放回实验概率计算方法】
【例9】（2023·河南周口·模拟预测）豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏
曲剧种．如图，豫剧爱好者小华购买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝
麻官》，第3枚《朝阳沟》，并计划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙．小华将它们背面朝上放在桌面
上（邮票背面完全相同），先让乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙
抽到第三枚《朝阳沟》的概率是（ ）
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1 1 2 1
A． B． C． D．
6 9 9 3
【答案】D
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将三枚邮票分别记作A、B、C，根据题意列表如下：
A B C
A BA CA
B AB CB
C AC BC
由表可知，共有6种等可能结果，其中妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的有2种结果，
2 1
所以妙妙抽到第三枚《朝阳沟》的概率为 = ，
6 3
故选：D．
【变式9-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机
抽起一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 6 5 4
【答案】B
【分析】设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为A，B，C，画树状图得出所有等可能的结果数以及
三位同学抽到的课本都是自己课本的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为A，B，C，
画树状图如下：
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共有6种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本的结果有1种，
1
∴三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是 ，
6
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【变式9-2】（2023·河南南阳·一模）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为
“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”
四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中
随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概
率是 ．
1
【答案】
6
【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立
夏”的概率．
【详解】解：设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，
由图可得，一共有12种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，
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2 1
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 = ，
12 6
1
故答案为： ．
6
【点睛】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
【变式9-3】（2023·广东梅州·一模）一个不透明的箱子里装有2个黄球和3个红球，这些球除颜色不同外
其他都相同，则从箱子中先后不放回摸出两个球，则摸出的两球是1个黄球和1个红球的概率为
．
3
【答案】 /0.6
5
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，摸出的两球是1个黄球和1个红球的结果有12种，再由概
率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，摸出的两球是1个黄球和1个红球的结果有12种，
12 3
∴摸出的两球是1个黄球和1个红球的概率为 = ，
20 5
3
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的
关键．
【题型10 游戏公平性】
【例10】（2023·河北石家庄·模拟预测）甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指
针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
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A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测
【答案】A
【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可
作答．
【详解】列表如下：
总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
1
指针指向的数的和为正数的概率为：4÷8= ；
2
1
指针指向的数的和为非正数的概率为：4÷8= ；
2
1 1
∵ = ，概率相同，
2 2
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求
情况数与总情况数之比．
【变式10-1】（2023·河南·三模）哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字
1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽
取一张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，该游戏对双方 ．
(填“公平”或“不公平”)
【答案】不公平
【详解】列树状图得：
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5 4
共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是 ，那么弟弟赢的概率是 ，所以该游戏对双方
9 9
不公平．
点睛：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的
m
概率P（A）= ，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不
n
公平．
【变式10-2】（2023·湖北咸宁·模拟预测）桌面上放有形状大小相同的甲、乙两组扑克牌，它们背面朝上，
甲组扑克牌是红桃2，红桃3和黑桃4；乙组扑克牌是黑桃5、黑桃6、红桃7，
(1)洗匀后随机从甲组扑克牌中摸出一张牌以上面的数作为个位数字，从乙组扑克牌中摸出一张以其上的数
作为十位数字，组成的两位数是偶数的概率是 ；
(2)黄震和程祥约定了一个游戏规则：从洗匀后的甲、乙两组扑克牌中各随机摸出一张牌，若摸出的两张牌
花色相同，则黄震胜；若花色不同，则程祥获胜，这个游戏规则是否对双方公平？请用列表法或树状图法
说明
2
【答案】(1)
3
(2)该游戏不公平，理由见解析
【分析】（1）先用列表法求得所有结果数以及两位数是偶数的结果数，然后运用概率公式求解即可；
（2）先用列表法求得所有结果数以及花色相同、花色不同的结果数，然后运用概率公式分别求出概率，
然后比较即可解答．
【详解】（1）解：根据题意列表如下：
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6 2
由表可得共有9种结果数，两位数是偶数的结果数有6个，故组成的两位数是偶数的概率是 = ．
9 3
2
故答案为 ．
3
（2）解：该游戏不公平，理由如下：
根据题意列表如下：
4
由表可得共有9种结果数，花色相同的结果数有4个，花色不同的结果数有5个，故黄震胜的概率是 ，
9
5 4 5
程祥获胜的概率是 ；由于 < ，故该游戏不公平．
9 9 9
【点睛】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表是解答本题的关键．
【变式10-3】（2023·安徽·二模）甲、乙两名同学正在玩下表中的三个游戏，游戏规则如表所示，游戏过
程中应不放回地取球．下列说法正确的是（ ）
游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的数量和颜
2个红球和2个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球
色
取球规则 取1个球 依次取2个球 依次取2个球
取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
获胜规则
两个球不同色→乙 两个球不同色→乙
取到白球→乙胜
胜 胜
1 5
A．甲在游戏1取胜的概率为 B．甲在游戏3取胜的概率为
4 8
C．游戏2对甲、乙双方都公平 D．乙在游戏2中最容易取胜
【答案】D
【分析】利用概率公式和列表法求概率分别求出3个游戏中甲，乙获胜的概率，逐一进行判断即可．
【详解】解：游戏1，共有4个球，取1个球共有4种等可能的结果，取到红球有2种等可能的结果，
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1 1
∴甲在游戏1取胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，故A错误；
2 2
游戏2：用A,B表示两个红球，C,D表示两个白球，列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
共12中等可能的结果，其中取到两个球同色有4种等可能的结果，
4 1 8 2
∴甲胜的概率为 = ，乙胜的概率为 = ；
12 3 12 3
∴游戏2对甲不公平，故C选项错误；
游戏3：用A,B，C表示三个红球，D表示白球，列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
共12中等可能的结果，其中取到两个球同色有9种等可能的结果，
9 3 3 1
∴甲胜的概率为 = ，乙胜的概率为 = ；故选项B错误，
12 4 12 4
2 1 1
∵ > > ，
3 2 4
∴乙在游戏2中最容易取胜，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查列表法求概率．熟练掌握列表法和概率公式是解题的关键．
【题型11 概率的实际应用】
【例11】（2023·广东二模）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；
若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通
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过上网查询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是60%，坏天气的机会是40%，则作出决策为
（填“出海”、“不出海”）．
【答案】出海
【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可．
【详解】解：∵预测下月好天气的机会是60%，坏天气的机会是40%，60%>40%，
∴下月是好天气的可能性>坏天气的可能性；
又∵若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气
好坏都要承担1000元的损失费，
出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望）:5000×60%−2000×40%=2200（元)，
不出海：−1000×60%+(−1000×40%)=−1000（元)，
2200>−1000，
∴船队队长作出决策为：出海．
故答案为：出海．
【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键．
【变式11-1】（2023·山西·一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡
购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘
除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割
线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券
18 9 18
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指
针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为
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实惠．
5
【答案】(1)
9
(2)方案一，见解析；
【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可；
（2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断；
【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘
B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况
有5种，
5
∴P(一红区和一蓝区)=
9
（2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ，
2 2
∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ，
9 9
2 5 2
∴方案二的平均收益为： ×18+ ×9+ ×18=13，
9 9 9
∵13<20，
∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠；
【点睛】本题主要考查列表法（或画树状图法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．
【变式11-2】（2023·江苏连云港·一模）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满
足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文
化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、
B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次
“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ；
(2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概
率；
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(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）
1
【答案】(1)
3
1
(2)
9
1
(3) ，建议小明在第一题使用“求助”
9
【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得
答案；
（3）分别求出小明在第一题使用“求助”和在第二题使用“求助”顺利通关的概率，比较后即可求得答
案．
【详解】（1）解：∵第一道单选题有3个选项，
1
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是： ，
3
1
故答案为 ；
3
（2）解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
1
∴小明顺利通关的概率为： ；
9
（3）解：若小明“求助”第一题（假设去掉错误选项C），
画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中两题全答对的结果数为1，
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1
所以他顺利通关的概率= ，
8
1
若小明“求助”第二题，由（2）可知他顺利通关的概率为 ，
9
1 1
而 ＞ ，
8 9
所以他应该在第一题使用“求助”，顺利通关的概率才更大．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于
两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实
验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式11-3】（2023·辽宁营口·一模）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，
D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，
规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分
别从两个入口中随机选择一个入口进入．
(1)求甲从A口进入，C口离开的概率；
(2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率．
(3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，九年级150人，九年级160人，比赛结
束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、
D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．
1
【答案】(1)
6
1
(2)
4
(3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步
或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有
1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同
一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可．
【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有
1种，
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1
∴甲从A口进入，C口离开的概率为 ；
6
（2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，
2 1
∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为 = ．
8 4
（3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口．
理由：因为七年级80人，九年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个
通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能
够在规定时间内使所有同学都能有序离开．
【题型12 概率与统计综合】
【例12】（2023·辽宁丹东·中考真题）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”
活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一
般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的m=______；
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(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
(3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全
知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】(1)50，7
(2)条形统计图见解析，108°
(3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
1
(4)
6
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D
等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先
求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所
在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解；
（4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：16÷32%=50（人），
m=50×14%=7，
故答案为：50，7；
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：1−24%−32%−14%=30%，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：360°×30%=108°，
成绩为A等级的人数：50×24%=12（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：1200×(24%+32%)=672（人），
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答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人；
（4）解：根据题意，列出表格如下：
第一名第二名 甲 乙 丙 丁
甲
甲 甲丙 甲丁
乙
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙
丙 丙甲 丙丁
乙
丁
丁 丁甲 丁丙
乙
由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况，
2 1
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率= = ．
12 6
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点
是解题关键．
【变式12-1】（2023·西藏·中考真题）某校为了改善学生伙食状况，更好满足校园内不同民族学生的饮食
需求，充分体现对不同民族学生饮食习惯的尊重，进行了一次随机抽样调查，调查了各民族学生的人数，
绘制了两幅不完整的统计图，如图．
请根据图中给出的信息，回答下列问题：
(1)调查的样本容量为______，并把条形统计图补充完整；
(2)珞巴族所在扇形圆心角的度数为______；
(3)学校为了举办饮食文化节，从调查的四个民族的学生中各选出一名学生，再从选出的四名学生中随机选
拔两名主持人，请用列表或画树状图的方法求出两名主持人中有一名是藏族学生的概率．
【答案】(1)100，图形见详解
(2)25.2°
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1
(3)
2
【分析】（1）利用汉族学生人数除以其占比即可求出样本容量，再根据条形图中的人数可求出藏族学生
人数，即可作答；
（2）珞巴族学生人数除以总人数再乘以360°即可作答；
（3）采用列表法列举即可作答．
【详解】（1）总人数：42÷42%=100（人），
藏族学生人数：100−42−7−3=48（人），
补充图形如下：
7
（2） ×360°=25.2°，
100
即珞巴族所在扇形圆心角的度数为25.2°；
（3）设用“甲”代表藏族学生，用“乙”代表其他三族的学生，画出列表如下：
甲 乙 乙 乙
甲 甲，乙 甲，乙 甲，乙
乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙
乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙
乙 乙，甲 乙，乙 乙，乙
由图表可知，总共有12种情况，含有“甲”（藏族学生）的情况有6种，
1
故：两名主持人中有一名是藏族学生的概率6÷12= ．
2
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图以及采利用列举法求解概率的知识，正确作出列表，是
解答本题的关键．
【变式12-2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生
进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．
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学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
0<x≤20 20
20<x≤40 a
40<x≤60 25
60<x≤80 15
x>80 10
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中a=______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60<x≤80”所对应的圆心角度数．
(3)若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分
别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法
或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】(1)100，30
(2)54°
(3)140名
1
(4)
6
【分析】（1）将40<x≤60组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以20<x≤40组
的百分比即可求出a的值；
（2）将60<x≤80组的人数除以抽取的人数，再乘以360°即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长
为“60<x≤80”所对应的圆心角度数；
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（3）将x>80组的人数除以抽取的人数，再乘以1400即可估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的
结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）解：∵40<x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%=100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20<x≤40组占比30%，30%×100=30，
∴a=30，
故答案为：100，30．
（2）解：∵样本中平均每天阅读时长为“60<x≤80”有15名，
且15÷100×360°=54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60<x≤80”所对应的圆心角度数为54°．
（3）解：∵样本中平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400=140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x>80”的学生人数为140名．
（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，
画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
2 1
∴P= = ．
12 6
【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计
图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
【变式12-3】（2023·四川雅安·中考真题）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航
空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
成绩/分 频数/人 频率
60≤x<70 10 0.1
70≤x<80 15 b
80≤x<90 a 0.35
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90≤x≤100 40 c
请根据图表信息解答下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)补全频数直方图；
(3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表
或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【答案】(1)a=35，b=0.15，c=0.4．
(2)见解析
2
(3)
3
【分析】（1）根据60≤x<70的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a、b、c即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：抽取学生总数10÷0.1=100（人），
a=100×0.35=35，
b=15÷100=0.15，
c=40÷100=0.4．
（2）解：补全频数分布直方图如图：
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（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，
4 2
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为 = ．
6 3
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
43
