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第 06 讲 分式方程
目 录
题型01 判断分式方程
题型02 分式方程的一般解法
题型03 错看或错解分式方程问题
题型04 解分式方程的运用（新定义运算）
题型05 根据分式方程解的情况求值
题型06 根据分式方程有解或无解求参数
题型07 已知分式方程有增根求参数
题型08 列方式方程
题型09 利用分式方程解决实际问题
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题型 01 判断分式方程
1 3x+5 2x−1 1
1．关于x的方程①x2−2x= ；② −1= ；③x4−2x2=0；④ x2−1=0．其中是分式方程
x 4x 3 2
是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【详解】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
x−3 3 x+3 1 x x
2．给出以下方程： =1， =2， = ， − =1，其中分式方程的个数是（ ）
4 x x+5 2 3 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．
x−3
【详解】解： =1中分母不含未知数，不是分式方程；
4
3
=2中分母含有未知数，是分式方程；
x
x+3 1
= 中分母含有未知数，是分式方程；
x+5 2
x x
− =1中分母不含未知数，不是分式方程，
3 2
共有两个是分式方程，故B正确．
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故选：B．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．
题型 02 分式方程的一般解法
3 2
1．（2022·广东广州·统考中考真题）分式方程 = 的解是
2x x+1
【答案】x=3
【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解；
【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得
3(x+1)=4x
3x+3=4x
x=3，
检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，
∴原分式方程的解为：x=3．
故答案为：x=3．
【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式
方程一定要验根．
3−x 1
2．（2023广州市一模）分式 的值比分式 的值大3，则x为 ．
2−x x−2
【答案】1
【分析】先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答案即可．
3−x 1
【详解】根据题意得： - =3，
2−x x−2
方程两边都乘以x-2得：-（3-x）-1=3（x-2），
解得：x=1，
检验：把x=1代入x-2≠0，
所以x=1是所列方程的解，
3−x 1
所以当x=1时， 的值比分式 的值大3．
2−x x−2
【点睛】本题考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此题的关键．
2 4
3．（2022·广西梧州·统考中考真题）解方程：1− =
3−x x−3
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【答案】x=5
【分析】先方程两边同时乘以(x−3)，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以(x−3)得到：x−3+2=4，
解出：x=5，
当x=5时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为：x=5．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．
3 x 1
4．（2011·河北·统考中考模拟）解分式方程： − = ．
2x−4 x−2 2
5
【答案】x=
3
【分析】根据解分式方程的步骤，因式分解、去分母、移项、合并同类项、系数化“1”、验根、下结论即
可．
3 x 1
【详解】解： − =
2x−4 x−2 2
3 x 1
整理得 − = ，
2(x−2) x−2 2
方程两边同乘最简公分母2(x−2)得3−2x=x−2，
移项得3+2=x+2x，
合并同类项得3x=5，
5
系数化“1”得x= ，
3
5 (5 )
检验：当x= 时，2(x−2)=2× −2 ≠0，
3 3
5
∴ x= 是原分式方程的解．
3
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，不要忘记验根是解决问题的关键．
x 4
5．（2023渭南市一模）解分式方程： −1= ．
x−2 x2−4x+4
【答案】x=4
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方
程的解．
x 4
【详解】解：
−1=
，
x−2 x2−4x+4
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方程两边乘(x−2) 2得：x(x−2)−(x−2) 2=4，
解得：x=4，
检验：当x=4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x=4．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
题型 03 错看或错解分式方程问题
m
1．（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程 =1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：
x+6
甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当m>6时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【答案】B
【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根据参数的取值范围求解即可．
m
【详解】 =1
x+6
去分母得，m=x+6，
解得x=m−6，
要使分式方程有解，x+6≠0，
∴m−6+6≠0，
∴m≠0，
∴当m<4时，m−6<4−6，
∴x<−2，
∴当m<4，且m≠0时，方程的解是负数，故甲说法错误；
当m>6时，m−6>6−6，
∴x>0，
∴乙说法正确．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最
简公分母等于0的根叫做分式方程的增根．
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ax 12
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于x的方程 = +1无解，求a的值．”尖尖和丹丹
3x−9 3x−9
的做法如下（如图1和图2）：
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对
C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
【答案】D
【分析】根据分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根，两类讨论即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
去分母可得，ax=12+3x−9，
移项合并同类项得，
(a−3)x=3，
当a−3=0时，即a=3时方程无解，
3
当a−3≠0时，即a≠3时，x= ，
a−3
ax 12
∵方程 = +1无解，
3x−9 3x−9
3
即x= 是方程的增根，可得：3x−9=0，解得：x=3，
a−3
3
∴3= ，解得：a=4，
a−3
故选D；
【点睛】本题考查分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握分式方程无解情况①去分母后方程无解，
②解出的解是增根．
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x−2 mx
3．（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）已知关于x的分式方程 − =1无解，求m的值．
x+2 x2−4
甲同学的结果：m=0．
乙同学的结果：m=−8．
关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确
C．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确
【答案】D
【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，当分式方程无解时，求出的x的值无意义或为增根，由
此可解．
x−2 mx
【详解】解： − =1，
x+2 x2−4
去分母，得(x−2) 2−mx=x2−4，
8
解得x= ，
m+4
x−2 mx
∵关于x的分式方程 − =1无解，
x+2 x2−4
8 8
∴ x= 无意义或使x= 为增根，
m+4 m+4
8
当x= 无意义时，m+4=0，
m+4
解得m=−4，
8
当x= 为增根时，x2−4=(x+2)(x−2)=0
m+4
8 8
∴ =2或 =−2
m+4 m+4
解得m=0或m=−8，
综上可知，m=−4或m=0或m=−8，
因此甲、乙同学的结果合在一起也不正确，
故选：D．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件．
2 x
4．已知分式方程 + =■有解，其中“■”表示一个数．
x−1 1−x
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(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；
(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或
0，试确定“■”表示的数．
6
【答案】(1)x=
5
(2)0
【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可；
（2）把−1和0分别代入方程，求出解判断即可．
2 x
【详解】（1）解：根据题意得： + =4，
x−1 1−x
去分母得：2−x=4x−4，
6
解得：x= ，
5
6
检验：把x= 代入得：x−1≠0，
5
6
∴分式方程的解为x= ；
5
2 x
（2）解：当“■”是−1时， + =−1，解得0x=−1，此时方程无解；
x−1 1−x
2 x
当“■”是0时， + =0，解得x=2，经检验：x=2是分式方程的解，符合题意，
x−1 1−x
∴“■”表示的数是0 ．
【点睛】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
1−x 1
5．（1）以下是小明同学解方程 = −2的过程．
x−3 3−x
【解析】方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2．第一步
解得x=4．第二步
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0．第三步
所以，原分式方程的解为x=4．第四步
①小明的解法从第___________步开始出现错误；出错的原因是___________．
②解分式方程的思想是利用___________的数学思想，把分式方程化为整式方程．
A．数形结合 B．特殊到一般 C．转化 D．类比
1−x 1
③写出解方程 = −2的正确过程．
x−3 3−x
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a2−6a+9 ( 1 )
（2）化简： ÷ 1− ．
a2−2a a−2
a−3
【答案】（1）①一；去分母时整数漏乘；②C；③见解析；（2）
a
【分析】（1）①第一步去分母时整数漏乘；②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化
为整式方程；③根据解分式方程的步骤，先确定最简公分母，然后去分母，解整式方程，检验，得出解．
（2）先将括号内的进行通分后，把除法转换为乘法，再进行约分即可得到答案．
【详解】（1）①小明的解法从第一步开始出现错误．错误的原因是去分母时整数项漏乘；
故答案为：一，去分母时整数项漏乘；
②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程，
故选：C；
③方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2(x−3)．
解得，x=4．
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0．
所以，原分式方程的解为x=4；
a2−6a+9 ( 1 )
（2） ÷ 1−
a2−2a a−2
a2−6a+9 a−3
= ÷
a2−2a a−2
(a−3) 2 a−2
= ⋅
a(a−2) a−3
a−3
= ．
a
【点睛】本题考查了分式的混合运算以及解分式方程的问题，解分式方程时确定最简公分母，然后去分母
是解分式方程的首要步骤，在去分母时不要漏乘，注意解分式方程要检验．
1−x 1
6．在解分式方程 = −2时，小亮的解法如下：
x−2 2−x
解：方程两边同时乘x−2，得1−x=−1−2 （第一步）
解这个整式方程得：x=4 （第二步）
……
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任务一：填空
在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误的原因是： ．
任务二：请写出解这个方程的正确过程．
任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议．
【答案】任务一：一，在去分母时整数项没有乘x−2；任务二：过程见解析，原方程无解；任务三：解分
式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号
【分析】任务一：根据解分式方程的步骤即可得出答案；
任务二：根据解分式方程的步骤即可得出答案；
任务三：根据解分式方程的步骤即可得出答案．
【详解】任务一：第一步有错，错误的原因是：在去分母时整数项没有乘x−2，
任务二：去分母得：1−x=−1−2(x−2)，
解得x=2，
经检验x=2是原方程的增根，
所以原方程无解；
任务三：解分式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号．
【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键．
题型 04 解分式方程的运用（新定义运算）
a k
1．（2023西安铁一中一模）定义一种新运算：∫n⋅xn−1dx=an−bn，例如：∫2⋅xdx=k2−h2，若
b h
m
∫−x−2dx=−2，则m=（
）
5m
2 2
A．-2 B．− C．2 D．
5 5
【答案】B
【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】根据题意得，
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m
1 1
∫❑−x−2dx=m−1−(5m) −1= − =−2，
m 5m
5m
2
则m=− ，
5
2
经检验，m=− 是方程的解，
5
故选B.
【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
1
2．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右
1−b2
1 1 2
边是实数运算．例如：5⊗3= =− ．则方程x⊗2= −1的解是（ ）
1−32 8 x−4
A．x=4 B．x=5 C．x=7 D．x=6
【答案】C
【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可．
1 1
【详解】由题意化简：x⊗2= =−
，
1−22 3
2 1
∴ −1=− ，解得：x=7，
x−4 3
经检验：x=7是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
1
3．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为： aθb= ，
a+b2
1 2
例如： 1θ2= ，则xθ(−2)= −2的解是 ．
1+22 x+4
7
【答案】x=− /x=−3.5
2
【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
1
【详解】解：∵aθb=
，
a+b2
2 1 2
∴xθ(−2)= −2，即 = −2，
x+4 x+4 x+4
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去分母得：1=2−2(x+4)，
7
解得：x=− ，
2
7
检验：当x=− 时，x+4≠0，
2
7
∴分式方程的解是x=− ，
2
7
故答案为：x=−
2
【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
4.（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）定义运算“※”：a※b=¿．若5※x=2，则x的值可能为
（ ）
5 15 5
A． B．5 C． D．10或
2 2 2
【答案】D
【分析】根据公式分两种情况列方程解答．
5 5
【详解】解：当5>x时，得 =2，解得x= ，
5−x 2
5
经检验x= 是方程的解；
2
x
当50，再因分式方程要有意义则
x≠2，进而计算出k的取值范围即可．
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【详解】解： 2(2−x)+1−k=1
4−2x−k=0
4−k
x=
2
根据题意x>0且x≠2
∴¿
∴¿
∴k的取值范围是k<4且k≠0．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相
关计算方法是解决本题的关键．
1-k 2
2．（2023慈溪市二模）如果方程 -1= 的解是正数，那么k的取值范围为 ．
x-1 1-x
【答案】k<4且k≠3
【分析】先将分式方程的解用关于k的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可．
1-k 2
【详解】解： -1=
x-1 1-x
1-k-(x-1)=-2
x=4-k，
∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件，
∴4-k>0且4-k≠1，
∴k<4且k≠3．
故答案为：k<4且k≠3．
【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件．
x+m 3m
3．（2023齐齐哈尔市模拟）若关于x的方程 + ＝3的解为正数，则m的取值范围是 ．
x−3 3−x
9 3
【答案】m＜ 且m≠
2 2
x+m 3m
【分析】根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程 + =3的解为
x−3 3−x
正数和x﹣3≠0可以求得m的取值范围．
x+m 3m
【详解】解： + =3 ，
x−3 3−x
方程两边同乘以x﹣3，得
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x+m﹣3m＝3（x﹣3）
去括号，得
x+m﹣3m＝3x﹣9
移项及合并同类项，得
2x＝﹣2m+9
系数化为1，得
−2m+9
x＝ ，
2
x+m 3m
∵关于x的方程 + =3的解为正数且x﹣3≠0，
x−3 3−x
−2m+9
>0
2
∴{ ，
−2m+9
−3≠0
2
9 3
解得，m＜ 且m≠ ．
2 2
【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
1 1 x+a
4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的方程 + = 的解为负数，则a的取值范围
x x+1 x(x+1)
是 ．
【答案】a<1且a≠0
【分析】把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0
列不等式并求解即可．
1 1 x+a
【详解】解：由 + = 得x=a−1，
x x+1 x(x+1)
1 1 x+a
∵关于x的方程 + = 的解为负数，
x x+1 x(x+1)
∴ ¿，即¿，解得¿，即a<1且a≠0，
故答案为：a<1且a≠0．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
m+3
5．（2022·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程 =1的解不大于2，则m的取
2x−1
值范围是 ．
【答案】m≤0，且m≠-3
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【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解不大于2且最简公分母不为0，
求出m的范围即可．
m+3
【详解】解： =1
2x−1
去分母得：m+3=2x-1，
m+4 1
解得：x= ，且2x-1≠0，即x≠ ，
2 2
m+4 1
根据题意得： ≤2，且x≠
2 2
解得：m≤0，且m≠-3，
故答案为：m≤0，且m≠-3．
【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
x m
6．（2022·四川南充·统考二模）已知关于x的分式方程 = +3的解是非负数，则m的取值范围
x−1 2x−2
是 ．
【答案】m≤6且m≠2
【分析】首先去分母，将分式方程表示为整式方程，用m表示出方程的解，然后根据方程的解为非负数求
出m的取值范围即可．
x m
【详解】∵ = +3，
x−1 2x−2
∴去分母得：2x=m+3(2x−2)，
6−m
∴x= ，
4
∵x为非负数，
6−m
∴ ≥0，得m≤6，
4
∵x≠1，
6−m
∴ ≠1，得m≠2，
4
故答案为：m≤6且m≠2．
【点睛】本题考查分式方程的解以及分式有意义的条件，根据题意求解即可．
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题型 06 根据分式方程有解或无解求参数
m+x
1．（2021·四川巴中·统考中考真题）关于x的分式方程 −3＝0有解，则实数m应满足的条件是（
2−x
）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
【答案】B
【分析】解分式方程得：m+x=6−3x即4x=m−6，由题意可知x≠2，即可得到6−m≠8.
m+x
【详解】解： −3=0
2−x
方程两边同时乘以2−x得：m+x−6+3x=0，
∴4x=m−6，
∵分式方程有解，
∴2−x≠0，
∴x≠2，
∴6−m≠8，
∴m≠−2，
故选B.
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的
关键.
5 a
2．（2020黄冈市模拟）关于x的分式方程 = 有解，则字母a的取值范围是（ ）
x x−2
A．a=2或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0
【答案】D
5 a
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程 = 有解”，即x≠0
x x−2
且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．
5 a
【详解】解： = ，
x x−2
去分母得：5（x-2）=ax，
去括号得：5x-10=ax，
移项，合并同类项得：
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（5-a）x=10，
5 a
∵关于x的分式方程 = 有解，
x x−2
∴5-a≠0，x≠0且x≠2，
即a≠5，
10
系数化为1得：x= ，
5−a
10 10
∴ ≠0且 ≠2，
5−a 5−a
即a≠5，a≠0，
5 a
综上所述：关于x的分式方程 = 有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，
x x−2
故选：D．
【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不
等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．
2 x+a
3．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）若关于x的分式方程 + =2无解，则a的值为（ ）
x−3 3−x
A．3 B．0 C．−1 D．0或3
【答案】C
【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
2 x+a
【详解】解： + =2，
x−3 3−x
去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），
8−a
解得：x＝ ，
3
8−a
当 =3时，方程无解，
3
解得a=−1．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方
程．
1−ax 1
4．（2022·黑龙江·统考三模）关于x的分式方程 +2= 有解，则a的取值范围是 ．
x−2 2−x
【答案】a≠1且a≠2
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【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．
1−ax 1
【详解】解：∵ +2= ，
x−2 2−x
2x−2
∴a= ，
x
1−ax 1
∵ +2= 有解，
x−2 2−x
则x−2≠0或2−x≠0，
∴x≠2，
2x−2 2×2−2
当x=2时，a= = =1，
x 2
故a的取值是1，
1−ax 1
当x≠2时， +2= ，
x−2 2−x
两边同乘(x−2)，1−ax+2(x−2)=−1，
2
∴x= ，
2−a
当2-a=0时，方程无解，此时a=2，
故答案为：a≠1且a≠2．
【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题
的关键．
2 mx 3
5．关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为 ．
x−2 x2−4 x+2
【答案】1或6或−4
【分析】方程两边都乘以(x+2)(x−2)，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．
2 mx 3
【详解】解：∵ + = ，
x−2 x2−4 x+2
2 mx 3
∴ + = ，
x−2 (x+2)(x−2) x+2
∴2(x+2)+mx=3(x−2)，
∴(m−1)x=−10，
当m=1时，显然方程无解，
又原方程的增根为：x=±2，
当x=2时，m−1=−5，
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∴m=−4，
当x=−2时，m−1=5，
∴m=6，
综上当m=1或m=−4或m=6时，原方程无解．
故答案为：1或6或−4．
【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．
题型 07 已知分式方程有增根求参数
x+2 m
1．（2022·湖北襄阳·统考一模）关于x的方程 = 有增根，则m的值及增根x的值分别为（ ）
x+3 x+3
A．−1，−3 B．1，−3 C．−1，3 D．1，3
【答案】A
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以先确定增根的可能值，让最简公分母
x+3=0，得到x=−3，然后代入化为整式方程的方程求出m的值．
【详解】解：原分式方程两边都乘以x+3，得：x+2=m，
原方程有增根，
∵
最简公分母x+3=0，
∴解得：x=−3，
将x=−3代入x+2=m，得：−3+2=m，
解得：m=−1，
m的值及增根x的值分别为−1，−3，
∴故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0；化分式方程为整式
方程；把增根代入整式方程即可求得相关未知数的值．
2 m 1
2．（2022·山东潍坊·统考二模）如果解关于x的分式方程 + = 时出现增根，则m
x−1 (x−1)(x+2) x+2
的值可能为（ ）
A．−6或-3 B．−3 C．−2 D．1
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m
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的值．
2 m 1
+ =
【详解】解：∵分式方程 ，
x−1 (x−1)(x+2) x+2
去分母整理，得2x+4+m=x−1，
∴m=−x−5；
∵原分式方程有增根，则x=1或x=−2，
∴m=−6或m=−3；
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2x+1 m
3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程 = +1有增根，则m的值是 ．
x−3 3−x
【答案】−7
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出
m的值．
【详解】解：去分母得：2x+1=−m+x−3，
解得x=−m−4，
由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，
∴−m−4=3，
解得：m=−7．
故答案为：−7．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．
x−2 m
4．（2022绥宁县一模）若去分母解分式方程 +1= 会产生增根，则m的值为 ．
x−3 x−3
【答案】1
【分析】首先解分式方程，再根据方程产生增根，列方程，即可求解．
【详解】解：去分母，得：x−2+x−3=m，
移项、合并同类项，得：2x=5+m，
5+m
解得：x= ，
2
∵方程有增根，
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5+m
∴ =3，
2
解得m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了利用分式方程根的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
2 k
5．（2022·江苏徐州·统考二模）如果关于x的方程 =1− 有增根，那么k= ．
x−3 3−x
【答案】2
【分析】根据分式方程的增根是使分式方程无意义的根来分析解题．
2 k
【详解】解： =1− ，
x−3 3−x
方程两边同时乘以x-3，
2=x−3+k，
∴k=5−x,
∵分式方程的增根是x=3，
∴k=2；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分式方程增根的意义，难度适中，熟练掌握解分式方程的步骤和分式方程的增根的
意义是解此题的关键
题型 08 列方式方程
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和
“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干
套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，
于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题
意的方程是（ ）
3600 3600 3600 2400
A． − =4 B． − =4
0.8x x x 0.8x
2400 3600 2400 2400
C． − =0 D． − =4
0.8x x 0.8x x
【答案】B
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3600 2400
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了 套，第二批购买了
x 0.8x
套，根据用2400元购买的套数只比第一批少4套列出方程即可
【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得，
3600 2400
− =4．
x 0.8x
故选：B
【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
2．（2023·河南驻马店·校考二模）某体育用品商店出售跳绳，售卖方式可批发可零售，班长打算为班级团
购跳绳，如果每位同学一根跳绳，就只能按零售价付款，共需800元；如果多购买5根跳绳，就可以享受
批发价，总价是720元，已知按零售价购买40根跳绳与按批发价购买50根跳绳付款相同，则班级共有多少
名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）
800 720 720 800
A．50× = ×40 B．40× = ×50
x x+5 x−5 x
800 720 720 800
C．40× = ×50 D．50× = ×40
x x+5 x−5 x
【答案】C
【分析】根据“按零售价购买40根跳绳与按批发价购买50根跳绳付款相同”建立等量关系，分别找到零售
价与批发价即可列出方程．
【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程有：
800 720
40× =50× ；
x x+5
故选C．
【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合
理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完
成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（ ）
540 540 540 540 540 540 540 540
A． − =3 B． − =3 C． − =3 D． − =3
x−2 x x+2 x x x+2 x x−2
【答案】C
【分析】设原计划每天完成x套桌凳，根据“提前3天完成任务”列出分式方程即可．
【详解】解：设原计划每天完成x套桌凳，根据题意得，
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540 540
− =3．
x x+2
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意是解题的关键．
4．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）A，B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，
又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达
B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
80 80 80 80
A． − =40 B． − =2.4
x 3x x 3x
80 80 2 80 80 2
C． −2= + D． +2= −
x 3x 3 x 3x 3
【答案】C
【分析】设大汽车的速度为xkm/h，则小汽车的速度为3xkm/h，根据题意可得，同样走80千米，小汽车
( 2)
比大汽车少用 2+ 小时，据此列方程．
3
【详解】解：设大汽车的速度为xkm/h，则小汽车的速度为3xkm/h，
80 80 2
由题意得， −2= + ．
x 3x 3
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的
等量关系，列方程．
5．（2023福州文博中学模拟）某厂计划加工120万个医用口罩，按原计划的速度生产6天后，疫情期间
因为任务需要，生产速度提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前3天完成任务．若设原计划每天生产x万
个口罩，则可列方程为（ ）
120 120 120 120
A． = +3 B． = −3
x 1.5x x 1.5x
120−6x 120−6x 120−6x 120−6x
C． = +3 D． = −3
x 1.5x x 1.5x
【答案】C
【分析】根据6天之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+3，可得方程．
120−6x 120−6x
【详解】解：若设原计划每天生产x万个口罩，由题知： = +3
x 1.5x
故选：C．
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【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．
6．（2021·山东临沂·统考中考真题）某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人
每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟． 两种型号扫地机
器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列方程为（ ）
100 100 2 100 2 100
A． = + B． + =
0.5x x 3 0.5x 3 x
100 2 100 100 100 2
C． + = D． = +
x 3 1.5x x 1.5x 3
【答案】D
【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．
【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，
100 100 2
由题意可得： = + ，
x 1.5x 3
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．
7．（2023西峡县三模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若
用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3
天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
900 900 900 900
A． =2× B． =2×
x+3 x−1 x−3 x+1
900 900 900 900
C． =2× D． =2×
x−1 x+3 x+1 x−3
【答案】B
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为(x+1)天，快马
送到所需时间为(x−3)天，再利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分
式方程，此题得解．
【详解】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
900 900
∴ =2× ．
x−3 x+1
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
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8．（2022·浙江丽水·统考中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购
买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程
5000 4000
= −30，则方程中x表示（ ）
2x x
A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量
【答案】D
5000 4000
【分析】由 = −30的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义．
2x x
5000 4000
【详解】解：由 = −30可得：
2x x
5000 4000
由 表示的是足球的单价，而 表示的是篮球的单价，
2x x
∴x表示的是购买篮球的数量，
故选D
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．
题型 09 利用分式方程解决实际问题
1．（2021·山东泰安·统考中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制
药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应
对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这
样每天只能生产疫苗15万剂．
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760
万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
【答案】（1）30人；（2）39天
【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解
即可；
（2）设还需要生产y天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面y天完成的工作量＝760列出关
于y的方程，求解即可．
【详解】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，
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16 15
=
依题意得： ，
8(x+10) 10x
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意．
答：当前参加生产的工人有30人．
（2）每人每小时的数量为16÷8÷40=0.05（万剂）．
设还需要生产y天才能完成任务，
依题意得：4×15+40×10×0.05×y=760，
解得：y=35，35+4=39（天）
答：该厂共需要39天才能完成任务．
【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的
关键．
2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组
制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任
务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
【答案】每个小组有学生10名．
【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设每个小组有学生x名，
360 360
根据题意，得 − =3，
3x 4x
解这个方程，得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
∴每个小组有学生10名．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排
球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元?
(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?
【答案】(1)每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
(2)100个
【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，根据“用3600元购进篮球的数量
比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即可解得结果；
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（2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【详解】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元
3600 3200
根据题意得 = −10．
1.5x x
解得x＝80．
经检验x＝80是原分式方程的解．
∴1.5x＝120（元）．
∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元
答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，
根据题意，得120a+80（300﹣a）≤28000．
解得a≤100．
答：该健身器材店最多可以购进篮球100个．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．
2x−1 x2 2x−1
1．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程 + =5中，设 = y，可得到关于y的整式方
x2 2x−1 x2
程为（ ）
A．y2+5 y+5=0 B．y2−5 y+5=0
C．y2+5 y+1=0 D．y2−5 y+1=0
【答案】D
2x−1 1
【分析】设 = y，则原方程可变形为y+ =5，再化为整式方程即可得出答案.
x2 y
2x−1 1
【详解】解：设 = y，则原方程可变形为y+ =5，
x2 y
即y2−5 y+1=0；
故选：D.
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【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
x−2 2
2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）分式方程 = 的解为（ ）
x−3 x−3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据分式方程的解法直接求解即可得到答案．
x−2 2
【详解】解： = ，
x−3 x−3
方程两边同时乘以(x−3)得到x−2=2，
∴x=4，
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0，
∴x=4是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的解法，对于分式方程求解验根是解决问题的关键步骤．
3 1
3．（2023·湖南·统考中考真题）将关于x的分式方程 = 去分母可得（ ）
2x x−1
A．3x−3=2x B．3x−1=2x C．3x−1=x D．3x−3=x
【答案】A
【分析】方程两边都乘以2x(x−1)，从而可得答案．
3 1
【详解】解：∵ = ，
2x x−1
去分母得：3(x−1)=2x，
整理得：3x−3=2x，
故选A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
x 3m
4．（2023·山东日照·统考中考真题）若关于x的方程 −2= 解为正数，则m的取值范围是
x−1 2x−2
（ ）
2 4 2 4 2
A．m>− B．m< C．m>− 且m≠0 D．m< 且m≠
3 3 3 3 3
【答案】D
4−3m 4−3m
【分析】将分式方程化为整式方程解得x= ，根据方程的解是正数，可得 >0，即可求出m
2 2
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的取值范围．
x 3m
【详解】解： −2=
x−1 2x−2
2x−2×2(x−1)=3m
2x−4x+4=3m
−2x=3m−4
4−3m
x=
2
x 3m
∵方程 −2= 的解为正数，且分母不等于0
x−1 2x−2
4−3m 4−3m
∴ >0，x= ≠1
2 2
4 2
∴m< ，且m≠
3 3
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出
整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
x m
5．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程 +1= 的解为非负数，则m的取值范围
x−1 1−x
是（ ）
A．m≤1且m≠−1 B．m≥−1且m≠1 C．m<1且m≠−1 D．m>−1且m≠1
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以(x−1)，得：x+x−1=−m，
1−m
解得：x= ，
2
1−m
∵x−1≠0，即： ≠1，
2
∴m≠−1，
又∵分式方程的解为非负数，
1−m
∴ ≥0，
2
∴m≤1，
∴m的取值范围是m≤1且m≠−1，
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故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
m x
6．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程 +1= 的解是非负数，则m的取值范围
x−2 2−x
是（ ）
A．m≤2 B．m≥2
C．m≤2且m≠−2 D．m<2且m≠−2
【答案】C
2−m
【分析】解分式方程求出x= ，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即
2
可．
【详解】解：分式方程去分母得：m+x−2=−x，
2−m
解得：x= ，
2
m x
∵分式方程 +1= 的解是非负数，
x−2 2−x
2−m 2−m
∴ ≥0，且x= ≠2，
2 2
∴m≤2且m≠−2，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
m 1
7．（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程 − =3的解，那么实数m的值为（ ）
2−x x−2
A．−2 B．2 C．−4 D．4
【答案】B
【分析】将x=1代入方程，即可求解．
m 1
【详解】解：将x=1代入方程，得 − =3
2−1 1−2
解得：m=2
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．
8．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都
可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、
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乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的
速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确
的是（ ）
x 1.2x 1.2x x 400 800 800 400
A． − =4 B． − =4 C． − =4 D． − =4
800 400 800 400 1.2x x 1.2x x
【答案】D
【分析】设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．
【详解】解∶设乙同学的速度是x米/分，可得：
800 400
− =4
1.2x x
故选∶ D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．（2023·广东深圳·统考中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，
且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，
则所列方程正确的是（ ）
75 50 75 50 75 50 75 50
A． = B． = C． = D． =
x−5 x x x−5 x+5 x x x+5
【答案】B
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输(x−5)吨，
75 50
则 = ．
x x−5
故选B
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
10．（2023·四川达州·统考中考真题）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，
首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供
不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件
便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红
李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（ ）
12000 11000 12000 11000
A． = −40 B． −40=
x x−5 x x+5
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12000 11000 11000 12000
C． +40= D． +40=
x+5 x x x−5
【答案】A
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为(x−5)元/件，根
据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．
【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为(x−5)元/件，
根据题意得：
12000 11000
= −40，故A正确．
x x−5
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
11．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，
y 、y 分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知
1 2
燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用
为x元，则可列方程为（ ）
25 10 25 10 25 10 25 10
A． = B． = C． = D． =
x 3x−0.1 x 3x+0.1 3x+0.1 x 3x−0.1 x
【答案】D
【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为(3x−0.1)元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25
元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．
【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为(3x−0.1)元，
由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，
25 10
则可列方程为 = ，
3x−0.1 x
故选：D．
【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．
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12．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，
乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．
若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
9 12 1 12 9 1 9 12 1 12 9 1
A． − = B． − = C． − = D． − =
x x+1 2 x+1 x 2 x+1 x 2 x x+1 2
【答案】A
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修(x+1)千米，根据“最终用的时间比甲工程队
少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修(x+1)千米，
9 12 1
依题意得 − = ，
x x+1 2
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
13．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先
行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求
慢车的速度，设慢车的速度是xkm/h，所列方程正确的是（ ）
120 120 120 120 120 120 120 120
A． +1= B． −1= C． = D． =
x 1.5x x 1.5x 1.5x x−1 1.5x x+1
【答案】B
【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．
【详解】解：设慢车的速度是xkm/h，则快车的速度为1.5xkm/h，
120 120
依题意得 −1= ，
x 1.5x
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
14．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，
过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车
的速度是（ ）．
A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min
【答案】D
【分析】设骑车学生的速度为xkm/min，则汽车的速度为2xkm/min，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行
车少用20min,据此列分式方程求解．
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【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/min，则汽车的速度为2xkm/min，
12 12
由题意得： − =20，
x 2x
解得：x=0.3，
经检验：x=0.3是原方程的解，且符合题意，
所以，骑车学生的速度为0.3km/min．
∴汽车的速度为0.3×2=0.6km/min
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，
列方程求解，注意检验．
15．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组¿的解集为x<−2，且关于y的分式方程
a+2 y+2
+ =2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
y−1 1−y
【答案】13
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得a≤5，再解分式方程可得a>−2且a≠1，
从而可得−20且 −1≠0，
3 3
解得a>−2且a≠1，
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∴−2
