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专题 04 二次根式【八大题型】
【题型1 二次根式有意义的条件】..........................................................................................................................1
【题型2 二次根式的乘除及化简】..........................................................................................................................3
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】.........................................................................................................5
【题型4 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................8
【题型5 二次根式的估值】....................................................................................................................................10
【题型6 二次根式中的开放性试题】....................................................................................................................12
【题型7 二次根式中的规律探究】........................................................................................................................13
【题型8 与二次根式有关的新定义问题】...........................................................................................................16
【知识点 二次根式】
1.二次根式的定义
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式。
2.二次根式的基本性质
① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。
3.二次根式的乘除
√a⋅√b=√ab √ab=√a⋅√b
(1)二次根式的乘法：① ； ② (a≥0， b≥0)。
(2)二次根式的除法：① ； ② (a≥0， b＞0)。
4.最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5.二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
【题型1 二次根式有意义的条件】
【规律方法】
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此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等
式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。
【例1】（2023·湖南·统考中考真题）使代数式√−x2+2x−1有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x=1
【分析】二次根式√a（a≥0），据此即可计算．
【详解】解：由题意得，
−x2+2x−1≥0，
∴ −(x−1) 2≥0，
∴ (x−1) 2≤0，
∴x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】本题主要考查了求含有二次根式的函数的自变量取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的
关键．
1
【变式1-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若 有意义，则实数x的取值范围是
√x−3
【答案】x>3
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．
1
【详解】∵ 有意义，
√x−3
∴x−3≥0，且x−3≠0，
解得x＞3，
故答案为：x＞3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式
有意义的条件是解题的关键．
1
【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数y= +(x−3) 0 中，自变量x的取值范围是( )
√x+3
A．x≥−3 B．x>−3 C．x≠3 D．x>−3且x≠3
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义即可得．
【详解】由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义得：¿
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解得¿
即自变量x的取值范围是x>−3且x≠3
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幂的定义，掌握各性质
和定义是解题关键．
√2x+tan45°
【变式1-3】（2023·广东茂名·校考一模）式子 有意义的x的取值范围是（ ）
x−tan45°
1 1 1
A．x≥− 且x≠1 B．x≠1 C．x≥− D．x>− 且x≠1
2 2 2
【答案】A
【分析】先将tan45°化简，再根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵tan45°=1，
√2x+tan45° √2x+1
∴ = ，
x−tan45° x−1
√2x+tan45°
∵式子 有意义，
x−tan45°
∴¿，
1
解得：x≥− 且x≠1，
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了特殊角度的三角函数值，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关
键是掌握tan45°=1，分式分母不等于0，二次根式被开方数为非负数．
【题型2 二次根式的乘除及化简】
√3 √4
【例2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）计算√18÷ × 结果为（ ）．
4 3
A．3√2 B．4√3 C．4√2 D．6√2
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可．
√ 4 4
【详解】解：原式= 18× × =√32=4√2，
3 3
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
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√14a2
【变式2-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若a=√2，b=√7，则 = ．
b2
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得a=√2>0，b=√7>0，
然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵a=√2>0，b=√7>0，
√14a2 √14a2 √14a √14×√2
∴ = = = =√2×√2=2．
b2 √b2 b √7
故答案为：2．
√a √ 1
【变式2-2】（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 ÷√ab⋅ （a＞0，b＞0）的结果是（ ）
b ab
1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
ab2 ab b
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
√a √ 1
【详解】解： ÷√ab⋅
b ab
√a 1 1
= × ×
b ab ab
√ 1
=
ab3
1
= √ab，
ab2
故选：A．
【变式2-3】（2023·山东潍坊·统考中考真题）从−√2、√3，√6中任意选择两个数，分别填在算式
(□+○) 2÷√2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
5 9
【答案】 √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）
2 2
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择−√2和√3，
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则(−√2+√3) 2 ÷√2=(2−2√6+3)÷√2
=(5−2√6)÷√2
=5÷√2−2√6÷√2
5
= √2−2√3．
2
②选择−√2和√6，
则(−√2+√6) 2 ÷√2=(2−2√12+6)÷√2
=(8−2√12)÷√2
=8÷√2−2√12÷√2
=4√2−2√6．
③选择√3和√6，
则(√3+√6) 2 ÷√2=(3+2√18+6)÷√2
=(9+6√2)÷√2
=9÷√2+6√2÷√2
9
= √2+6．
2
5 9
故答案为： √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）．
2 2
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】
【例3】（2023·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相
应的任务：
解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
…第1步
=(5−2√6)×(5+2√6) …
第2步
=25−12 …第3
步
=13. …第4步
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任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
【答案】(1)(a±b) 2=a2±2ab+b2
(2)3，(2√6) 2计算错误
(3)1
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答；
（3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：第1步依据的乘法公式为(a±b) 2=a2±2ab+b2，
故答案为：(a±b) 2=a2±2ab+b2；
（2）解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
=(5−2√6)×(5+2√6)
=25−24，
∴第3步计算错误， (2√6) 2=24≠12，(2√6) 2计算错误，
故答案为：3，(2√6) 2计算错误；
（3）解：解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
=(5−2√6)×(5+2√6)
=25−24
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=1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运
算法则，以及完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2．
【变式3-1】（2023·天津·统考中考真题）计算(√7+√6)(√7−√6)的结果为 ．
【答案】1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：(√7+√6)(√7−√6)=(√7) 2 −(√6) 2=7−6=1
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式3-2】（2023·天津河北·统考一模）计算(2+3√2)(2−3√2)的结果等于 ．
【答案】−14
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：(2+3√2)(2−3√2)
=4−18
=−14．
故答案为：−14．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式3-3】（2023·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式：a2+2ab+b2=(a±b) 2，则有
√a2±2ab+b2=|a±b|，那么我们如何把双重二次根式√a±2√b(a>0，b>0，a±2√b>0)化简呢？如
果能找到两个数m，n(m>0，n>0)使得(√m) 2+(√n) 2=a即m+n=a，√m⋅√n=√b即mn=b，那么
√a±2√b=|√m±√n|，从而使双重二次根式得以化简．
例如：化简√3+2√2．
∵3=1+2，2=1×2，
∴3+2√2=(√1) 2+2√1×√2+(√2) 2=(1+√2) 2 ，
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∴√3+2√2=|1+√2|=1+√2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成√a±2√b的形式且能找
到两个数m，n(m>0，n>0)使得(√m) 2+(√n) 2=a即m+n=a，√m⋅√n=√b即mn=b，那么这个双重二
次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题：
(1)填空：√5+2√6=________；√12−2√35= ________；
(2)化简：√16−4√15；
1
(3)计算：√3−√5+ √14+4√10．
2
【答案】(1)√3+√2；√7−√5
(2)√10−√6
3√5+√2−2
(3)
2√2
【分析】（1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；
（2）将原式转成√16−2√60，再将16−2√60转化成完全平方式，化简即可求得答案；
√6−2√5 1√7+2√10
（3）将原式化简成 + ，再转成完全平方式，化简即可求得答案．
2 2 2
【详解】（1）解：√5+2√6=√(√3) 2+2×√3×√2+(√2) 2=√(√3+√2) 2=√3+√2；
√12−2√35=√(√7) 2 −2×√7×√5+(√5) 2=√(√7−√5) 2=√7−√5；
故答案为：√3+√2；√7−√5；
（2）解：√16−4√15=√16−2√60
=√(√10) 2 −2×√10×√6+(√6) 2
=√(√10−√6) 2
=√10−√6；
√6−2√5 1√7+2√10
（3）解：√3−√5+√2+√3= +
2 2 2
√5−1 1 √5+√2
= + ⋅
√2 2 √2
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2√5−2 √5+√2
= +
2√2 2√2
3√5+√2−2
= ．
2√2
【点睛】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，属于中档题．
【题型4 二次根式的混合运算】
√3
【例4】（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：√27÷ ×2√2−6√2．
2
【答案】6√2
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
√3
【详解】解：√27÷ ×2√2−6√2
2
2
=3√3× ×2√2−6√2
√3
=12√2−6√2
=6√2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
( √1)
【变式4-1】（2023·山东聊城·统考中考真题）计算： √48−3 ÷√3= ．
3
【答案】3
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
( √1)
【详解】解： √48−3 ÷√3
3
( √3)
= 4√3−3× ÷√3
3
=(4√3−√3)÷√3
=3√3÷√3
=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
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【变式4-2】（2023·上海·统考中考真题）计算：√38+
1
−
(1) −2
+|√5−3|
2+√5 3
【答案】−6
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式=2+√5−2−9+3−√5
=−6．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次
根式的运算是解题的关键．
【变式4-3】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：
√9
(1)(√6+2√15)×√3− ×√38
2
(2)|−√3 −23|− √ 2 1 −√3 (−1) 2000
4
2√18+√6
0
(3) −(1−√3)
√2
( √1)(√1 ) √3
(4) √24− +√6 +2√12× ÷5√2
2 8 4
【答案】(1)6√5
1
(2)−
2
(3)5+√3
47 3√2
(4) +
4 10
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）首先计算立方根和算术平方根，然后计算加减；
（3）根据二次根式的混合运算法则和零指数幂运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的混合运算法则求解即可．
√9
【详解】（1）(√6+2√15)×√3− ×√3 8
2
√9
=3√2+6√5− ×2
2
=3√2+6√5−3√2
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
=6√5；
（2）|−√3 −23|− √ 2 1 −√3 (−1) 2000
4
3
=2− −1
2
1
=− ；
2
2√18+√6
0
（3） −(1−√3)
√2
=6+√3−1
=5+√3；
( √1)(√1 ) √3
（4） √24− +√6 +2√12× ÷5√2
2 8 4
1
=√3+12− −√3+3÷5√2
4
1 3√2
=√3+12− −√3+
4 10
47 3√2
= + ．
4 10
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
【题型5 二次根式的估值】
√1
【例5】（2023·山东临沂·统考中考真题）设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5<m<−4 C．−4<m<−3 D．m>−3
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
√1 √25
【详解】解：m=5 −√45 = −√45 =√5−3√5=−2√5，
5 5
∵2√5=√20，√16<√20<√25
∴−5<−2√5<−4，
即−5<m<−4，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．
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√1
【变式5-1】（2023·山东济南·校考三模）估计(4√3+3√2)× 的值应在 和 之间（填写整数）．
3
【答案】 6 7
【分析】先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．
√1 √ 1 √ 1
【详解】解：(4√3+3√2)× =4 3× +3 2× =4+√6，
3 3 3
∵ 4<6<9，
∴ √4<√6<√9，
∴ 2<√6<3，
∴ 6<4+√6<7，
√1
∴估计(4√3+3√2)× 的值应在6和7之间，
3
故答案为：6，7．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
【变式5-2】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3)，则与k最接近的整数为（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．
【详解】解：k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3) =√2(5−3)=2√2
∵2.52=6.25，32=9
5
∴ <2√2<3,
2
∴与k最接近的整数为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式5-3】（2023·河北邯郸·统考三模）如图，数轴上有O，A，B，C，D四点，根据图中各点表示的
数，表示数√2×√12−2的点会落在（ ）
A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
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【答案】B
【分析】根据√2×√12−2=√24−2，先估算出√24的取值范围，再估算出√24−2的取值范围，进而确定
在数轴上的位置即可．
【详解】解：√2×√12−2=√24−2，
∵16<24<25，
∴√16<√24<√25，即4<√24<54，
∴4−2<√24−2<5−2，即2<√24−2<3，
∴表示数√2×√12−2的点会落在点A和B之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，实数与数轴等知识，准确的计算并掌握无理数估算
的方法是解决本题的关键．
【题型6 二次根式中的开放性试题】
【例6】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得√8m是整数；m= ．
【答案】8
【分析】要使√8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可
【详解】解：∵√8m是整数，
∴8m要是完全平方数，
∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即√8m=√64=8，
故答案为：8（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．
【变式6-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）已知x为正整数，写出一个使√x−3在实数的范围内没有意
义的x值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当x−3<0时，√x−3没有意义，解不等式，即可解答．
【详解】解：当x−3<0时，√x−3没有意义，
解得x<3，
∵x为正整数，
∴x可取1，2，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关
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键．
【变式6-2】（2023·河南南阳·统考二模）写出一个实数x，使√x−3是最简二次根式，则x可以是 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．
【详解】解：x=5时，√x−3=√5−3=√2，√2是最简二次根式，
∴x的值可以是5．
故答案为：5．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次根
式的条件是（1）被开方数不含分母； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【变式6-3】（2023·山东·统考中考真题）如果一个无理数a与√8的积是一个有理数，写出a的一个值是
．
【答案】√2（答案不唯一）
【分析】√8=2√2，一个无理数a与2√2的积是有理数，那么即可判断a与√2是同类二次根式，即可写出
a的值，答案不唯一．
【详解】解：∵√8=2√2，
∴由题意得一个无理数a与2√2的积是有理数，
∴a与√2是同类二次根式，答案不唯一．
故答案为：√2（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定
义以及同类二次根式的积为有理数即可．
【题型7 二次根式中的规律探究】
【例7】（2023下·安徽·九年级模拟预测）观察下列各式：
①√1×2×3×4+1=5；
②√2×3×4×5+1=11；
③√3×4×5×6+1=19；
…
(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
(2)根据上述规律，猜测写出√n×(n+1)(n+2)(n+3)+1＝ ，并加以证明．
【答案】(1)√5×6×7×8+1=41
(2)n2+3n+1，见解析
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【分析】（1）根据①②③等式的结果找到规律，再根据规律解答；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式解答即可．
【详解】（1）（1）因为①√1×2×3×4+1=12+3×1+1=5；
②√2×3×4×5+1=22+3×2+1=11；
③√3×4×5×6+1=33+3×3+1=19；
所以第⑤个等式为：√5×6×7×8+1=52+3×5+1=41，
故答案为：√5×6×7×8+1=41；
（2）√n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n2+3n+1；
证明如下：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n) 2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1) 2；
∴√n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n2+3n+1．
故答案为：n2+3n+1．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式7-1】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）观察下列等式：
1
第1个等式：a = =√2−1；
1 1+√2
1
第2个等式：a = =√3−√2；
2 √2+√3
1
第3个等式：a = =2−√3；
3 √3+2
…
根据以上等式给出的规律，计算：a +a +a +…+a = ．
1 2 3 19
【答案】2√5−1/−1+2√5
【分析】直接仿照前面三个等式，即可写出第n个等式，根据前面已知a ，a ，a 的值和所求出的a 的值，
1 2 3 n
进行计算即可解答．
1
【详解】解：第n个等式：a = =√n+1−√n，
n √n+1+√n
∴a +a +a +…+a
1 2 3 19
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=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋅⋅⋅+√20−√19
=−1+√20
=2√5−1
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，发现规律，根据已知等式，找出数字变换规律是解题的关键．
√ 2 √2
【变式7-2】（2023·四川·统考中考真题）观察下列各式及其验证过程： 2+ =2 ，验证：
3 3
√ 2 √8 √22×2 √2 √ 3 √3 √ 3 √27 √32×3 √3
2+ = = =2 , 3+ =3 ，验证： 3+ = = =3 ．
3 3 3 3 8 8 8 8 8 8
√ 4
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 4+ 的变形结果并进行验证；
15
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用a（a≥2的整数）表示的等式．
√ 4 √a
【答案】（1）4 ；（2）a
15 a2−1
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a=√a2 （a≥0），把根号外的
移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注
意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般，表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、
分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．
√ 4 √ 4
【详解】解：（1） 4+ =4 ，
15 15
√ 4 √64 √42×4 √ 4
验证： 4+ = = =4 ；
15 15 15 15
√ a √ a
（2） a+ =a （a≥2的整数）．
a2−1 a2−1
【点睛】本题从最简单的二次根式的变形入手，层层递进，经过归纳，猜想出n次根式变形的结论，考查
了我们探索规律的能力，掌握验证从特殊到一般的学习方法．
【变式7-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，…
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
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请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
50 2600
【答案】50 /
51 51
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】S +S +⋯+S
1 2 50
1 1 1
=1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 50×51
1 1 1 1 1
=50+(1− + − +⋯+ − )
2 2 3 50 51
50
=50 ，
51
50
故答案为：50 ．
51
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
【题型8 与二次根式有关的新定义问题】
【例8】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，
cos(a−β)=cosαcosβ+sinαsinβ.例如：当α=60°，β=45°时，
1 √2 √3 √2 √2+√6
cos(60°−45°)= × + × = ，则cos75°的值为( )
2 2 2 2 4
√6+√2 √6−√2 √6−√2 √6+√2
A． B． C． D．
4 4 2 2
【答案】B
【分析】根据cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，可以计算出cos75°的值．
【详解】解：由题意可得，
cos75°
=cos(30°+45°)
=cos30°cos45°−sin30°sin45°
√3 √2 1 √2
= × − ×
2 2 2 2
√6 √2
= −
4 4
√6−√2
= ，
4
故选：B．
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【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定
义解答．
【变式8-1】（2023·广西·中考真题）对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝¿计算(3※2)×(8※12)的
结果为( )
A．2－4√6 B．2 C．2√5 D．20
【答案】B
【详解】解：∵3＞2，
∴3※2=√3−√2，
∵8＜12，
∴8※12=√8+√12=2(√2+√3)，
∴（3※2）×（8※12）=（√3−√2）×2(√2+√3)=2．
故选B．
√3
【变式8-2】（2023·河南洛阳·校联考一模）定义新运算：a⊗b=√ab+a+b+1，则 ×（2⊗3）的值为 ．
2
【答案】3．
【分析】先根据题目给出的例子得出实数混合运算的式子，再进行计算即可．
【详解】∵a⊗b=√ab+a+b+1，
√3
∴ ×（2⊗3）
2
√3
= ×√2×3+2+3+1
2
√3
= ×2√3
2
=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
【变式8-3】（2023·江苏·统考中考真题）观察下列等式
√3+2√2=√(√1+√2) 2=√1+√2；
√5+2√6=√(√2+√3) 2=√2+√3；
√7+2√12=√(√3+√4) 2=√3+√4；
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……
请你直接写出以下计算结果：
(1)请你猜测√13+2√42=_________，√21+2√110=_________；
(2)针对上述各式显示的规律，请你猜测
√ (2n−1)+2√n2−n=___________（n≥2，n为整数）；
(3)利用上述规律计算：
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+ =
______（n≥2，n为整数）．
√3+2√2 √5+2√6 √7+2√12 √ (2n−1)+2√n2−n
【答案】(1)√6+√7，√10+√11
(2)√n−1+√n
(3)−1+√n
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理数，熟练掌握相分母有理化的方法和步
骤是解题的关键．
（1）根据题目所给的运算方法进行计算即可；
（2）根据题目所给的运算方法进行计算即可；
（3）根据（1）（2）的运算结果，将算式化简，根据平方差公式将分母有理化，再进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
√13+2√42=√(√6+√7) 2=√6+√7，
√21+2√110=√(√10+√11) 2=√10+√11，
故答案为：√6+√7，√10+√11．
（2）解：√ (2n−1)+2√n2−n=√(√n−1+√n) 2=√n−1+√n，
故答案为：√n−1+√n．
（3）解：根据题意可得：
1 1 1 1
+ + +⋅⋅⋅+
√3+2√2 √5+2√6 √7+2√12 √ (2n−1)+2√n2−n
1 1 1 1
= + + +⋅⋅⋅+
√1+√2 √2+√3 √3+√4 √n−1+√n
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=−(√1−√2)−(√2−√3)−(√3−√4)−⋅⋅⋅−(√n−1−√n)
=−1+√2−√2+√3−√3+√4−⋅⋅⋅−√n−1+√n
=−1+√n，
故答案为：−1+√n．
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