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专题 04 二次根式【八大题型】
【题型1 二次根式有意义的条件】..........................................................................................................................1
【题型2 二次根式的乘除及化简】..........................................................................................................................3
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】.........................................................................................................5
【题型4 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................8
【题型5 二次根式的估值】....................................................................................................................................10
【题型6 二次根式中的开放性试题】....................................................................................................................12
【题型7 二次根式中的规律探究】........................................................................................................................13
【题型8 与二次根式有关的新定义问题】...........................................................................................................16
【知识点 二次根式】
1.二次根式的定义
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式。
2.二次根式的基本性质
① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。
3.二次根式的乘除
√a⋅√b=√ab √ab=√a⋅√b
(1)二次根式的乘法：① ； ② (a≥0， b≥0)。
(2)二次根式的除法：① ； ② (a≥0， b＞0)。
4.最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5.二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
【题型1 二次根式有意义的条件】
【规律方法】
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此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等
式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。
【例1】（2023·湖南·统考中考真题）使代数式√−x2+2x−1有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x=1
【分析】二次根式√a（a≥0），据此即可计算．
【详解】解：由题意得，
−x2+2x−1≥0，
∴ −(x−1) 2≥0，
∴ (x−1) 2≤0，
∴x=1，
故答案为：x=1．
【点睛】本题主要考查了求含有二次根式的函数的自变量取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的
关键．
1
【变式1-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若 有意义，则实数x的取值范围是
√x−3
【答案】x>3
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．
1
【详解】∵ 有意义，
√x−3
∴x−3≥0，且x−3≠0，
解得x＞3，
故答案为：x＞3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式
有意义的条件是解题的关键．
1
【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数y= +(x−3) 0 中，自变量x的取值范围是( )
√x+3
A．x≥−3 B．x>−3 C．x≠3 D．x>−3且x≠3
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义即可得．
【详解】由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义得：¿
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解得¿
即自变量x的取值范围是x>−3且x≠3
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幂的定义，掌握各性质
和定义是解题关键．
√2x+tan45°
【变式1-3】（2023·广东茂名·校考一模）式子 有意义的x的取值范围是（ ）
x−tan45°
1 1 1
A．x≥− 且x≠1 B．x≠1 C．x≥− D．x>− 且x≠1
2 2 2
【答案】A
【分析】先将tan45°化简，再根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，即可进行解答．
【详解】解：∵tan45°=1，
√2x+tan45° √2x+1
∴ = ，
x−tan45° x−1
√2x+tan45°
∵式子 有意义，
x−tan45°
∴¿，
1
解得：x≥− 且x≠1，
2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了特殊角度的三角函数值，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关
键是掌握tan45°=1，分式分母不等于0，二次根式被开方数为非负数．
【题型2 二次根式的乘除及化简】
√3 √4
【例2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）计算√18÷ × 结果为（ ）．
4 3
A．3√2 B．4√3 C．4√2 D．6√2
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可．
√ 4 4
【详解】解：原式= 18× × =√32=4√2，
3 3
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
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√14a2
【变式2-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若a=√2，b=√7，则 = ．
b2
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得a=√2>0，b=√7>0，
然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵a=√2>0，b=√7>0，
√14a2 √14a2 √14a √14×√2
∴ = = = =√2×√2=2．
b2 √b2 b √7
故答案为：2．
√a √ 1
【变式2-2】（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 ÷√ab⋅ （a＞0，b＞0）的结果是（ ）
b ab
1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
ab2 ab b
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．
直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．
√a √ 1
【详解】解： ÷√ab⋅
b ab
√a 1 1
= × ×
b ab ab
√ 1
=
ab3
1
= √ab，
ab2
故选：A．
【变式2-3】（2023·山东潍坊·统考中考真题）从−√2、√3，√6中任意选择两个数，分别填在算式
(□+○) 2÷√2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
5 9
【答案】 √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）
2 2
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择−√2和√3，
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则(−√2+√3) 2 ÷√2=(2−2√6+3)÷√2
=(5−2√6)÷√2
=5÷√2−2√6÷√2
5
= √2−2√3．
2
②选择−√2和√6，
则(−√2+√6) 2 ÷√2=(2−2√12+6)÷√2
=(8−2√12)÷√2
=8÷√2−2√12÷√2
=4√2−2√6．
③选择√3和√6，
则(√3+√6) 2 ÷√2=(3+2√18+6)÷√2
=(9+6√2)÷√2
=9÷√2+6√2÷√2
9
= √2+6．
2
5 9
故答案为： √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）．
2 2
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】
【例3】（2023·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相
应的任务：
解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
…第1步
=(5−2√6)×(5+2√6) …
第2步
=25−12 …第3
步
=13. …第4步
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任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
【答案】(1)(a±b) 2=a2±2ab+b2
(2)3，(2√6) 2计算错误
(3)1
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答；
（3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：第1步依据的乘法公式为(a±b) 2=a2±2ab+b2，
故答案为：(a±b) 2=a2±2ab+b2；
（2）解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
=(5−2√6)×(5+2√6)
=25−24，
∴第3步计算错误， (2√6) 2=24≠12，(2√6) 2计算错误，
故答案为：3，(2√6) 2计算错误；
（3）解：解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
=(5−2√6)×(5+2√6)
=25−24
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=1．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运
算法则，以及完全平方公式(a±b) 2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2．
【变式3-1】（2023·天津·统考中考真题）计算(√7+√6)(√7−√6)的结果为 ．
【答案】1
【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．
【详解】解：(√7+√6)(√7−√6)=(√7) 2 −(√6) 2=7−6=1
故答案为：1
【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式3-2】（2023·天津河北·统考一模）计算(2+3√2)(2−3√2)的结果等于 ．
【答案】−14
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：(2+3√2)(2−3√2)
=4−18
=−14．
故答案为：−14．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【变式3-3】（2023·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式：a2+2ab+b2=(a±b) 2，则有
√a2±2ab+b2=|a±b|，那么我们如何把双重二次根式√a±2√b(a>0，b>0，a±2√b>0)化简呢？如
果能找到两个数m，n(m>0，n>0)使得(√m) 2+(√n) 2=a即m+n=a，√m⋅√n=√b即mn=b，那么
√a±2√b=|√m±√n|，从而使双重二次根式得以化简．
例如：化简√3+2√2．
∵3=1+2，2=1×2，
∴3+2√2=(√1) 2+2√1×√2+(√2) 2=(1+√2) 2 ，
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∴√3+2√2=|1+√2|=1+√2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成√a±2√b的形式且能找
到两个数m，n(m>0，n>0)使得(√m) 2+(√n) 2=a即m+n=a，√m⋅√n=√b即mn=b，那么这个双重二
次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题：
(1)填空：√5+2√6=________；√12−2√35= ________；
(2)化简：√16−4√15；
1
(3)计算：√3−√5+ √14+4√10．
2
【答案】(1)√3+√2；√7−√5
(2)√10−√6
3√5+√2−2
(3)
2√2
【分析】（1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；
（2）将原式转成√16−2√60，再将16−2√60转化成完全平方式，化简即可求得答案；
√6−2√5 1√7+2√10
（3）将原式化简成 + ，再转成完全平方式，化简即可求得答案．
2 2 2
【详解】（1）解：√5+2√6=√(√3) 2+2×√3×√2+(√2) 2=√(√3+√2) 2=√3+√2；
√12−2√35=√(√7) 2 −2×√7×√5+(√5) 2=√(√7−√5) 2=√7−√5；
故答案为：√3+√2；√7−√5；
（2）解：√16−4√15=√16−2√60
=√(√10) 2 −2×√10×√6+(√6) 2
=√(√10−√6) 2
=√10−√6；
√6−2√5 1√7+2√10
（3）解：√3−√5+√2+√3= +
2 2 2
√5−1 1 √5+√2
= + ⋅
√2 2 √2
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2√5−2 √5+√2
= +
2√2 2√2
3√5+√2−2
= ．
2√2
【点睛】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，属于中档题．
【题型4 二次根式的混合运算】
√3
【例4】（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：√27÷ ×2√2−6√2．
2
【答案】6√2
【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．
√3
【详解】解：√27÷ ×2√2−6√2
2
2
=3√3× ×2√2−6√2
√3
=12√2−6√2
=6√2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．
( √1)
【变式4-1】（2023·山东聊城·统考中考真题）计算： √48−3 ÷√3= ．
3
【答案】3
【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．
( √1)
【详解】解： √48−3 ÷√3
3
( √3)
= 4√3−3× ÷√3
3
=(4√3−√3)÷√3
=3√3÷√3
=3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
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【变式4-2】（2023·上海·统考中考真题）计算：√38+
1
−
(1) −2
+|√5−3|
2+√5 3
【答案】−6
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式=2+√5−2−9+3−√5
=−6．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次
根式的运算是解题的关键．
【变式4-3】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：
√9
(1)(√6+2√15)×√3− ×√38
2
(2)|−√3 −23|− √ 2 1 −√3 (−1) 2000
4
2√18+√6
0
(3) −(1−√3)
√2
( √1)(√1 ) √3
(4) √24− +√6 +2√12× ÷5√2
2 8 4
【答案】(1)6√5
1
(2)−
2
(3)5+√3
47 3√2
(4) +
4 10
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）首先计算立方根和算术平方根，然后计算加减；
（3）根据二次根式的混合运算法则和零指数幂运算法则求解即可；
（4）根据二次根式的混合运算法则求解即可．
√9
【详解】（1）(√6+2√15)×√3− ×√3 8
2
√9
=3√2+6√5− ×2
2
=3√2+6√5−3√2
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
=6√5；
（2）|−√3 −23|− √ 2 1 −√3 (−1) 2000
4
3
=2− −1
2
1
=− ；
2
2√18+√6
0
（3） −(1−√3)
√2
=6+√3−1
=5+√3；
( √1)(√1 ) √3
（4） √24− +√6 +2√12× ÷5√2
2 8 4
1
=√3+12− −√3+3÷5√2
4
1 3√2
=√3+12− −√3+
4 10
47 3√2
= + ．
4 10
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
【题型5 二次根式的估值】
√1
【例5】（2023·山东临沂·统考中考真题）设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5−3
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
√1 √25
【详解】解：m=5 −√45 = −√45 =√5−3√5=−2√5，
5 5
∵2√5=√20，√16<√20<√25
∴−5<−2√5<−4，
即−5
