热点专题4-2三角恒等变换16类常考题型汇总（解析版）-2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_2025年新高考资料_二轮复习

专题模4块-2二 三角恒核等心题变型换·举1一6反类三常考题型汇总 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年I卷第4题，5分 已知二倍角余弦值，求角的正 2024年II卷第13题，5分 弦值 根据给定条件，利用和角、差 2023年新高考二卷，第7题,5 角的正弦公式求出 分 ，再利用二倍角的余弦公式计 二重根式化简 2023年新高考I卷，第8题,5 算作答 二倍角公式 分 由两角和差的正余弦公式化 和差公式+二倍角公式 2022年新高考II卷，第6题,5 简，结合同角三角函数的商数 有和差化积的背景 分 关系 和差公式 2021年新高考I卷，第6题,5 根据 的值，对齐次式化 正余弦齐次式计算 分 简，结合二倍角的平方式 二倍角公式 模块一 热点题型解读（目录）【题型15】和差化积与积化和差 和差化积公式： ， ， ， 积化和差公式： ， ， ， . 34．已知 ， ，则 ________ 【答案】 【详解】 ， 法一：余弦平方差： （和差化积） 【补充】正弦平方差公式： 法二：换元法 令 ， ，则 ， 即 ， ， 故 35．（2024·湖北·阶段练习）已知函数 ， ，若 有两个零点 ，则（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB选项，根据题目条件得到 ， 或 ， ，结合 得到答案；C选项， ，利用和差化积公式得到答案；D选项，根据 得到D错误. 【详解】AB选项，令 得 ， 故 或 ， 所以 ， 或 ， ， 解得 ， 或 ， ， 由 ，故当 时，解得 ， ，A、B错误； C选项， ，C正确， D选项，因为 ，所以 ，D错误. 故选：C． 【点睛】和差化积公式： ， ， ， . 【巩固练习1】（全国·高考真题） 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据积化和差及诱导公式即得. 【详解】 . 【巩固练习2】 （ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和差的余弦公式和诱导公式化简即可. 【详解】 【巩固练习3】（2023·江苏常州·高一联考）已知 则 的 值为 . 【答案】 【分析】应用三角函数的恒等变换公式对 变形求得 ， 再由 求得 ，可得结论． 【详解】 ， 所以 ，， 所以 ． 【巩固练习4】知对任意的角α，β，满足 ， .则当 ， 时， ；若 ，则 （填“>”“<”或“＝”）. 【答案】 【分析】利用和差化积化简，再两式相除得到答案；利用积化和差及同角三角函数关系求出答案. 【详解】由题意知 ①， ②， ①式除以②式，得 ； 若 ，则 ， 故 ，即 ． 【题型16】拆角与凑角进阶 换元+齐次化 推论公式： 2024 ·湖北省宜荆荆随恩1月联考第7 题 36．已知 ，则 的值为【答案】D tanx 4  【详解】可换元为 ，求 ，且 tan y 15 sin(x y) 2024·湖南十八校联盟·3月月考 1   sin 37．已知cos ， ，则cos cos  ，  . 3 coscos1 2 2 sinsin 1 2 【答案】 2 3 【详解】 令 ， 则 可以写成 ， 可以写成 ，   1 （1）故 ，故cos cos  2 2 2 （2） 可以对 分类讨论，求出分别对应的 的值 那有没有什么办法可以不用讨论 的正负呢？ 【巩固练习1】2024·河北石家庄·统考 已知 ， 是方程 的两个实数根，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为 ， 是方程 的两个实数根， 所以 ， ， 设 ， ，则 ， 因为 . 【巩固练习2】2019·江苏高考填空倒数第2题 已知 ，则 的值是________ 【答案】 【解答】 换元法 tanx 2 可换元为  ，求 ，且 tan y 3 sin(x y) 常规法 tan tan tan1tan 2    由   tan1 tan1 3， tan   4 1tan 得3tan25tan20， 1 解得 ，或tan . tan2 3 sin    2  4    sin2cos  4 cos2sin  4  2 2 sin2cos2= 2 2   2sinc s o in s 2   c c o o s s 2 2 sin2   22tan1tan2 =  ， 2  tan21  222122  2 当 时，上式=  = ； tan2 2  221  10  1  1 2  2 1   当 时，上式= 2   3  3 = 2 . 1 2   1 2  10 tan    1  3   3    2 综上，sin2  .  4 10 【巩固练习3】2024·雅礼中学·3月综合测试（一）    1   已知    tan  2  tan 2      1tantan 2   6 ， tantan     2     3 ，则 cos44 （ ） 79 79 49 49 A． B． C． D． 81 81 81 81 【答案】A 【分析】结合二倍角公式和两角和差公式化简即可求得.      1tan2 2tan2 【详解】   tan  1  tan  2       1tantan  2    6， tan  2    1 1tan2  2     6.  2  2  2     2cos 1tan2 2tan2  2 2  6， sin   1tan2   2    2cos 1tan2  2 sin  1tan2    6，2cos  1 6 ，  2  sin cos 1 1 sin ，sincoscossin ， 3 3   又因为tantan 3，所以 ，  2  sincos3cossin 1 1 2 则cossin ,sincos ，所以sinsincoscossin 6 2 3 4 1 cos2212sin212  . 9 9 1 79 cos442cos22212 1 . 81 81