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专题 4-1 三角函数概念与诱导公式
近5年考情
考题示例 考点分析 考点要求
2023年甲卷，第14题,5分 三角函数概念与诱导公式考点
（1）三角函数基本概念
分析：掌握正弦、余弦、正切
2022年浙江卷第13题,5分 （2）任意角的三角函数
等基本定义，理解其在单位圆
（3）同角三角函数的基
上的几何意义。诱导公式是重
本关系
2021年甲卷第8题,5分 点，需熟练记忆并应用，解决
（4）诱导公式
复杂角度的三角函数值问题。
模块一 热点题型解读（目录）
【题型1】等分角的象限问题........................................................................................................2
【题型2】 三角函数的定义..........................................................................................................4
【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题........................................................................6
【题型4】弦切互化求值................................................................................................................8
【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系....................................................................................10
【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数......................................12
【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题）..........................................................................14
【题型8】扇形弧长与面积的计算..............................................................................................16
【题型9】割圆术..........................................................................................................................20
【题型10】象限与三角函数正负的辨析....................................................................................23
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】等分角的象限问题如何确定角 终边所在象限
法1分类讨论法：利用已知条件写出 的范围（用 表示），由此确定 的范围，在对 进行分
类讨论，从而确定 所在象限。
法2几何法：先把各象限分为 等份，再从 轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、
二、三、四……则 原来是第几象限的角，标号为几的区域即角 终边所在的区域。
1．（多选）如果α是第三象限的角，那么 可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【解析】 是第三象限的角，则 ， ，
所以 ， ；
当 ， ，在第一象限；
当 ， ，在第三象限；
当 ， ，在第四象限；
所以 可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD
2．已知 是第二象限角，则（ ）
A． 是第一象限角 B．
C． D． 是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵ 是第二象限角，
∴ ， ，即 ， ，
∴ 是第一象限或第三象限角，故A错误；
由 是第一象限或第三象限角， 或 ，故B错误；
∵ 是第二象限角，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 是第三象限，第四象限角或终边在 轴非正半轴， ，故C正确，D错误.
故选：C．
【巩固练习1】（多选）如果 是第四象限角，那么 可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BD
【解析】由已知得 ， ，所以 ， ，
当 为偶数时， 在第四象限，当 为奇数时， 在第二象限，即 在第二或第四象限．故选：
BD．
【巩固练习2】已知 ， ，则 的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 为第二象限角，即 ，
所以 ，
则 的终边所在象限为 所在象限，
即 的终边在第一、二、四象限.
【巩固练习3】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角 满足 ＝ (k Z)，则 的终边一定在(
∈
)
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当 时， ，终边位于第一象限当 时， ，终边位于第二象限
当 时， ，终边位于 轴的非正半轴上
当 时， ，终边位于第一象限
综上可知，则 的终边一定在第一象限或第二象限或 轴的非正半轴上
【题型2】 三角函数的定义
一、任意角的三角函数
y
（1）定义：任意角
α
的终边与单位圆交于点
P(x，y)
时，则sinα=y ，
cosα=x
， tanα=
x
(x≠0)．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到
y x y
原点 的距离为 ，则sinα= ，cosα= ，tanα= (x≠0)
O r r x
r
二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1、已知角 的终边上一点 的坐标，求角 的三角函数值
方法：先求出点 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2、已知角 的一个三角函数值和终边上一点 的横坐标或纵坐标，求与角 有关的三角函数值
方法：先求出点 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求
出未知数，从而求解问题。
3、已知角的终边所在的直线方程（ ），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点 ，求出点 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，
注意 的符号，对 进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角 的三角函数值
【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况
3．已知 为角α终边上一点，则 = ．
【答案】 /0.2
【解析】 为角α终边上一点，
，
则 ， ，.
4．（2024·山东青岛·一模）已知角 终边上有一点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为
即 ，所以 ，所以
【巩固练习1】（2024·江西·二模）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意 ，
由三角函数的定义得 .
【巩固练习2】如果角 的终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角 的终边在直线 上，所以 .
所以 .故选：B.
【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且 ，则 的值可以是（ ）
A． B． 1 C．0 D． 2
【答案】BC
【解析】由题设 ，故 ，整理得 ，
所以 或 .故选：BC
【巩固练习4】已知角 的终边经过点 ，则 的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】由定义， ，
当 ，合题意；
当 ，化简得 ，由于横坐标 ，角的终边在一、四象限，所以 ．
【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵
活应用
3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解
5．若sin α＝－ ，则tan α＝ .
【答案】 或
【解析】因为sin α＝－ <0，所以α为第三象限角或第四象限角，
当α为第三象限角时，cos α＝－ ＝－ ，因此tan α＝ ＝ .当α为第四象限角时，cos α＝ ＝ ，因此tan α＝ ＝－ .
故答案为： 或－
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 ，结合 ，
解得 ，则
【巩固练习1】已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 且 ，∴ ，故选：B.
【巩固练习2】若 ， ,则 .
【答案】
【解析】因为 ，则 ， ，
又因为 ，则 ，
且 ，解得 或 （舍去）,
所以 .
【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲： ，乙： ，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
【题型4】弦切互化求值
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，
显然 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 .
8．若 ，则 .
【答案】
【 解 析 】 由 已 知
，
故答案为： .9．已知角θ的大小如图所示，则 ＝（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得 进而又和差角公式得 ，又二倍角和齐次
式即可求解.
【详解】由图可知
所以 ，
则
【巩固练习1】已知 ，则 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以
.
【巩固练习2】已知 ，则 ．
【答案】
【解析】 ,故答案为： .
【巩固练习3】已知 ，则 的值是 ．
【答案】5
【解析】因为 ，
所以
【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系
对 于 ， ， 这 三 个 式 子 ， 知 一 可 求 二 ：
10．（多选题）已知 ， ，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由 ，得 ，
所以 ，故选项A正确；
因为 ， ，所以 ， ，
又因为 ，所以 ，故选项B正确；
因为 ，故选项C错误；
由 ， ，所以 ，故选项D错误
11．已知 为第三象限角， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，两边平方得 ，
即 ，又因为 为第三象限角，且 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
则 ．
故 ．故选：D．
【巩固练习1】已知 ，A为第四象限角，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
可得 ，
.
.
又 A为第四象限角，
又
所以 ， .所以 .答案：C.
【巩固练习2】（多选题）已知 ， ，则下列结论中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于选项A，由 两边平方得： ，故得 ，即A项
正确；
对于选项B，由 ， 可得： 故 ，
由 可得： ，故B项错误；
对于选项C， ，故C项错
误；
对于选项D，由 可解得： 故得： .故D项正确.
【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数
一、诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α −α π−α −α +α
2 2
正弦 sinα −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tanα tanα −tanα −tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
――――――→――――――――→
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
12．点 位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
.
同理， ，
所以点P位于第一象限．故选：A．
【巩固练习1】已知 为第三象限角， = .
【答案】
【解析】 ,故答案为：
.
【巩固练习2】已知 ，且 ，则 ＝ .
【答案】
【解析】∵ ， .
又 ， ， ，
，
原式 .故答案为： .
【巩固练习3】已知角 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且
．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【解析】（1） ， ，， ，则 ．
（2）原式 ．
【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题）
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任
意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3） 等可利用诱导公式把 的三角函数化
13．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 .
14．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 .
1
15．已知cos ，则sin 2 。
6 3 6
7
【答案】
9
1 2 7
【解析】cos
cos
2
2cos2
1 1
6 3 3 6 9 9 7 7
cos 2 cos 2 sin 2 sin 2
3 6 2 6 9 6 9
【巩固练习1】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得
【巩固练习2】若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 .
7 3 2
【巩固练习3】已知sin ，则cos 2 = 。
6 3 3
1
【答案】
3
7 3
【解析】由题意sin sin sin ，所以sin ，
6 6 6 6 3
2
所以cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
3 3 3 6
2
3 1
2sin2 12 1 ．
6 3 3【题型8】扇形弧长与面积的计算
一、扇形弧长与面积的基本公式
已知扇形的半径为R，圆心角为
弧长公式：
面积公式：
二、应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
16．（2024·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形 ，在圆O内任取一点，
该点落在扇形 内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可.
【详解】设圆的半径为 ，过 作 于 点，如图，
则扇形的半径 ,
所以扇形的面积 ，
圆的面积 ，由几何概型可得： .
17．（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇
形，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】D
【分析】设母线长为 ，根据题意得到 ，即可求解．
【详解】设母线长为 ，由题意，可得 ，解得 ，即圆锥的母线长为 ．
18．建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我
国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是
一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知 ，弧 ，
弧 ，则此扇环形砖雕的面积为 ．
【答案】
【解析】设圆心角为 ，则 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以此扇环形砖雕的面积为
.
19．若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【解析】设扇形的半径为 ，弧长为 ，则 ，即 ，所以扇形面积 ，
所以当 时， 取得最大值为 ，此时 ，
所以圆心角为 （弧度）.
【巩固练习1】已知扇形的周长为 ，则当扇形的圆心角 扇形面积最大．
【答案】
【解析】设扇形的半径为 ，弧长为 ，
由题意， ，
扇形的面积为
，所以当 时，
扇形面积取最大值 ，此时 ，
所以扇形的圆心角 时，扇形面积最大.
【巩固练习2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上
的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C
是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式：
．当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接 ，
因为 是 的中点，所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .
故选：B.
【巩固练习3】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知
， ．且该扇环 的面积为 ，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的
体积为 .
【答案】
【解析】如图，设 ， ， ，
由题意可知， ，解得 ， ，
则 ，将该扇面作为侧面围成一圆台，
则圆台上、下底面的半径分别为1和2，所以其高为 ，
故该圆台的体积为 .
【题型9】割圆术
割圆术其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，
进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具
体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，
此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。
20．在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥
少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳
作.割圆术可以视为将一个圆内接正 边形等分成 个等腰三角形（如图所示），当 越大，等
腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为 ，底边约为 ，
由题意得
21．我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，
以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内
接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正
边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】对于正n边形，其圆心角为 ，面积为 ，对
于正 边形，其圆心角为 ，
面 积 为 ， 由 此 可 得 ，
.
【巩固练习1】我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断
增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和
3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世
界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14
【答案】B
【分析】设半径为 的圆内接正 边形的周长为 ,圆的直径为 ，则 ，然后即可解决问题.
【详解】由题意 时， .
【巩固练习2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正 边
形随着边数 的无限增大，圆的内接正 边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率 的
近似值．如图当 时，圆内接正六边形的周长为 ，故 ，即 ．运用“割圆术”的思
想，下列估算正确的是（ ）A． 时， B． 时，
C． 时， D． 时，
【答案】A
【分析】求出正十二边形的周长 ，可得出 ，即可得解.
【详解】设圆的内接正十二边形被分成 个如图所示的等腰三角形，其顶角为 ，即 ，
作 于点 ，则 为 的中点，且 ，
因为 ，在 中， ，即 ，
所以， ，则 ，
所以，正十二边形的周长为 ，所以， .
【题型10】象限与三角函数正负的辨析
首先明确各象限坐标符号，再根据三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，判断在各象限中这些函
数值的正负。关键是理解函数定义与坐标轴关系。
22．在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】由题意可得 、 ， ，
对A：当 时， ，则 ， ，
此时 ，故A错误；
对B：当 时， ，故B错误；
对C、D： ，由 ，
故 ，则 ，即 ，
故C正确，D错误.
【巩固练习1】若 是第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若α是第二象限角，则 ，故A错误；
为第一、三象限角，则 ，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
【巩固练习2】已知 ，且 ，则 为（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角
C．第一或三象限角 D．第二或四象限角
【答案】C
【解析】由 ，得 ，则 且 ，又 ，
因此 且 ， 是第二象限角，即 ，
则 ，当 为偶数时， 是第一象限角，当 为奇数时， 是第三象限角，
所以 是第一或三象限角.【巩固练习3】已知 都是第二象限角，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充
分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 ，则 即 ，
而 都是第二象限角，故 ，故 ，
故“ ”是“ ”的充分条件.
若 ，因为 都是第二象限角，故 ，
所以 即 ，
故“ ”是“ ”的必要条件，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
