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专题 4-1 三角函数概念与诱导公式
近5年考情
考题示例 考点分析 考点要求
2023年甲卷，第14题,5分 三角函数概念与诱导公式考点
（1）三角函数基本概念
分析：掌握正弦、余弦、正切
2022年浙江卷第13题,5分 （2）任意角的三角函数
等基本定义，理解其在单位圆
（3）同角三角函数的基
上的几何意义。诱导公式是重
本关系
2021年甲卷第8题,5分 点，需熟练记忆并应用，解决
（4）诱导公式
复杂角度的三角函数值问题。
模块一 热点题型解读（目录）
【题型1】等分角的象限问题........................................................................................................1
【题型2】 三角函数的定义..........................................................................................................3
【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题........................................................................4
【题型4】弦切互化求值................................................................................................................5
【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系......................................................................................6
【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数........................................6
【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题）............................................................................8
【题型8】扇形弧长与面积的计算................................................................................................9
【题型9】割圆术..........................................................................................................................10
【题型10】象限与三角函数正负的辨析....................................................................................12
模块二 核心题型·举一反三
【题型1】等分角的象限问题
如何确定角 终边所在象限法1分类讨论法：利用已知条件写出 的范围（用 表示），由此确定 的范围，在对 进行分
类讨论，从而确定 所在象限。
法2几何法：先把各象限分为 等份，再从 轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、
二、三、四……则 原来是第几象限的角，标号为几的区域即角 终边所在的区域。
1．（多选）如果α是第三象限的角，那么 可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知 是第二象限角，则（ ）
A． 是第一象限角 B．
C． D． 是第三或第四象限角
【巩固练习1】（多选）如果 是第四象限角，那么 可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【巩固练习2】已知 ， ，则 的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【巩固练习3】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角 满足 ＝ (k Z)，则 的终边一定在(
∈
)
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【题型2】 三角函数的定义一、任意角的三角函数
y
（1）定义：任意角
α
的终边与单位圆交于点
P(x，y)
时，则sinα=y ，
cosα=x
， tanα=
x
(x≠0)．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到
y x y
原点 的距离为 ，则sinα= ，cosα= ，tanα= (x≠0)
O r r x
r
二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1、已知角 的终边上一点 的坐标，求角 的三角函数值
方法：先求出点 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2、已知角 的一个三角函数值和终边上一点 的横坐标或纵坐标，求与角 有关的三角函数值
方法：先求出点 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求
出未知数，从而求解问题。
3、已知角的终边所在的直线方程（ ），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点 ，求出点 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，
注意 的符号，对 进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角 的三角函数值
【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况
3．已知 为角α终边上一点，则 = ．
4．（2024·山东青岛·一模）已知角 终边上有一点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（2024·江西·二模）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】如果角 的终边在直线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，
终边经过点 ，且 ，则 的值可以是（ ）A． B． 1 C．0 D． 2
【巩固练习4】已知角 的终边经过点 ，则 的值不可能是（ ）
A． B．0 C． D．
【题型3】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系
3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解
5．若sin α＝－ ，则tan α＝ .
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】若 ， ,则 .
【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲： ，乙： ，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【题型4】弦切互化求值
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
7．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 .
9．已知角θ的大小如图所示，则 ＝（ ）
A． B． C． D．4
【巩固练习1】已知 ，则 .
【巩固练习2】已知 ，则 ．
【巩固练习3】已知 ，则 的值是 ．
【题型5】sinα±cosα与sinαcosα的关系
对 于 ， ， 这 三 个 式 子 ， 知 一 可 求 二 ：10．（多选题）已知 ， ，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 为第三象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知 ，A为第四象限角，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（多选题）已知 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数
一、诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α −α π−α −α +α
2 2
正弦 sinα −sinα −sinα sinα cosα cosα
余弦 cosα −cosα cosα −cosα sinα −sinα
正切 tanα tanα −tanα −tanα
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
――――――→――――――――→也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
12．点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【巩固练习1】已知 为第三象限角， = .
【巩固练习2】已知 ，且 ，则 ＝ .
【巩固练习3】已知角 的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且
．
(1)求 的值；(2)求 的值．
【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题）
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任
意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3） 等可利用诱导公式把 的三角函数化13．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
1
15．已知cos ，则sin 2 。
6 3 6
【巩固练习1】已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7 3 2
【巩固练习3】已知sin ，则cos 2 = 。
6 3 3
【题型8】扇形弧长与面积的计算
一、扇形弧长与面积的基本公式
已知扇形的半径为R，圆心角为
弧长公式：面积公式：
二、应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
16．（2024·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形 ，在圆O内任取一点，
该点落在扇形 内的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇
形，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B．3 C． D．4
18．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知 ，弧
，弧 ，则此扇环形砖雕的面积为 ．
19．若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【巩固练习1】已知扇形的周长为 ，则当扇形的圆心角 扇形面积最大．
【巩固练习2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C
是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”给出 的弧长的近似值s的计算公式：
．当 时， （ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知
， ．且该扇环 的面积为 ，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的
体积为 .
【题型9】割圆术
割圆术其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，
进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具
体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，
此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。20．《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆
合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正 边
形等分成 个等腰三角形（如图所示），当 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面
积.运用割圆术的思想，可得到 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
21．我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，
以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内
接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正
边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14
【巩固练习2】如图当 时，圆内接正六边形的周长为 ，故 ，即 ．运用“割圆
术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A． 时，
B． 时，
C． 时，D． 时，
【题型10】象限与三角函数正负的辨析
首先明确各象限坐标符号，再根据三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，判断在各象限中这些函
数值的正负。关键是理解函数定义与坐标轴关系。
22．在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】若 是第二象限角，则（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知 ，且 ，则 为（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角
C．第一或三象限角 D．第二或四象限角
【巩固练习3】已知 都是第二象限角，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充
分也不必要条件
