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专题 36 投影与视图【十四大题型】
【题型1 平行投影】..................................................................................................................................................2
【题型2 中心投影】..................................................................................................................................................4
【题型3 正投影】......................................................................................................................................................7
【题型4 判断简单几何体三视图】........................................................................................................................11
【题型5 判断简单组合体三视图】........................................................................................................................13
【题型6 判断非实心几何体三视图】....................................................................................................................16
【题型7 画几何体的三视图】................................................................................................................................18
【题型8 由三视图还原几何体】............................................................................................................................21
【题型9 已知三视图求边长】................................................................................................................................24
【题型10 求小立方块堆砌图形的表面积】...........................................................................................................27
【题型11 已知三视图求侧面积或表面积】...........................................................................................................29
【题型12 由三视图求体积】....................................................................................................................................33
【题型13 求几何体视图的面积】............................................................................................................................35
【题型14 由三视图，确定小立方体的个数】.......................................................................................................38
【知识点 投影与视图】
1.投影
(1)投影：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影。
(2)平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影。
(3)中心投影：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。
(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
2.视图
(1)视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图。
视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影。
(2)主视图、俯视图、左视图
对一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；
在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫
做左视图。
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主视图与俯视图的长对正；主视图与左视图的高平齐；左视图与俯视图的宽相等。
【题型1 平行投影】
【例1】（2023·贵州六盘水·统考二模）乌蒙铁塔位于六盘水市人民广场中央，在晴天的日子里，从早到晚
这段时间，乌蒙铁塔在太阳下的影长度是如何变化的（ ）
A．保持不变 B．逐渐变长 C．先逐渐变短，后又逐渐变长 D．逐渐变短
【答案】C
【分析】根据平行投影的投影线与地面夹角的大小进行判断即可．
【详解】解：从早到晚这段时间，投影线与地面所夹的锐角先变大再变小，
所以乌蒙铁塔在大阳下的影长度先逐渐变短，后又逐渐变长，
故选：C．
【点睛】本题侧重考查有关平行投影的知识点，掌握其特点是解决此题的关键．
【变式1-1】（2023·贵州铜仁·统考一模）日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳
光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影
是 投影．（填“平行”或“中心”）
【答案】平行
【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可．
【详解】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线，
∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的
定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影．
【变式1-2】（2023·贵州安顺·统考中考真题）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子
的图形的可能是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】D
【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
【详解】解：A.影子的方向不相同，故本选项错误；
B. 影子的方向不相同，故本选项错误；
C.相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误;
D. 影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行投影特点，难度不大，注意结合选项判断．
【变式1-3】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况
的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A．①②③④⑤ B．②④①③⑤ C．⑤④①③② D．⑤③①④②
【答案】B
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由
长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低→高→低．影子位置
的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长→短→长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这
五张照片排序是②④①③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．
【题型2 中心投影】
【例2】（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影
就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．
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在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
3 3 5 5
A．减少 米 B．增加 米 C．减少 米 D．增加 米
2 2 3 3
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点O为光源，AB表示小明的手，CD表示小狗手影，则AB∥CD，过点O作
OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD，
∵AB∥CD，
AB OE
∴△AOB∽△COD，则 = ，
CD OF
∵EF=1米，OE=2米，则OF=3米，
AB OE 2
∴ = = ，
CD OF 3
设AB=2k，CD=3k
∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即AB=2k，C'D'=6k，EF'=1米，△AO'B∽△C'O'D'
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AB O'E' 1
∴ = = ，
C'D' O'F' 3
则O'F'−O'E'=2O'E'=EF'，
1
∴O'E'=
米，
2
1 3
∴光源与小明的距离变化为：OE−O'E'=2− = 米，
2 2
故选：A．
【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立
适当的数学模型来解答问题．
【变式2-1】（2023·安徽合肥一模）如图，球在灯泡的照射下形成了影子，当球竖直向下运动时，球的影
子的大小变化是（ ）
A．越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据中心投影的性质求解．
【详解】解：根据中心投影的性质，当球竖直向下运动时，球的影子会越来越小，
故选：A．
【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键．
【变式2-2】（2023·广东深圳·校考一模）下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的
是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】D
【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判
断．
【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反．
故选：D．
【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的
影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影
子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考一模）在平面直角坐标系中，点P(2,4)是一个光源，木杆AB两端的坐
标分别是(1,2)，(4,1)，则木杆AB在x轴上的投影A'B'的长是（ ）
14 9
A．4 B． C． D．5
3 2
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，分别求得直线PA,PB的解析式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵P(2,4)，A (1,2)，B (4,1)，
设直线PA的解析式为：y =k x+b ，直线PB的解析式为：y =k x+b ，
PA 1 1 PB 2 2
∴¿ ¿
解得：¿，¿
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3
∴y =2x，y =− x+7
PA PB 2
y =2x中，当y=0时，x=0，则A'(0,0),
PA
y =−
3
x+7中，当y=0时，x=
14 ，则B'(14
,0
)
PB 2 3 3
14
∴A'B'=
，
3
故选：B．
【点睛】本题考查了中心投影，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【题型3 正投影】
【例3】（2023·北京海淀·统考二模）一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可．
【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
故选：B．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同．
【变式3-1】（2023·广西百色·校联考一模）矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．线段 D．点
【答案】D
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．
【详解】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
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故长方形的正投影不可能是点，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，利用太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧
平行是解题关键．
【变式3-2】（2023·江苏苏州二模）已知一纸板的形状为正方形ABCD，如图所示．其边长为10厘米，
AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为A B C D ．
1 1 1 1
若∠ABB =45°，求投影面A B C D 的面积．
1 1 1 1 1
【答案】50√2（平方厘米）
【分析】如图（见解析），过点A作AH⊥BB ，交BB 于点H，先根据正投影的性质求出投影面
1 1
A B C D 是矩形，再利用等腰三角形的判定、余弦三角函数值求出AH的长，从而可知A B 的长，然
1 1 1 1 1 1
后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】由正投影的性质可得：投影面A B C D 是矩形，且A D =AD=10（厘米）
1 1 1 1 1 1
如图，过点A作AH⊥BB ，交BB 于点H
1 1
∵∠ABB =45°
1
∴ΔABH是等腰直角三角形
√2
∴AH=AB⋅cos45°=10× =5√2（厘米）
2
∴A B =AH=5√2（厘米）
1 1
∴矩形A B C D 的面积为A B ⋅A D =5√2×10=50√2（平方厘米）．
1 1 1 1 1 1 1 1
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【点睛】本题考查了正投影的性质、余弦三角函数值等知识点，根据正投影的性质得出投影面A B C D
1 1 1 1
为矩形是解题关键．
【变式3-3】（2023·江苏·统考中考真题）如图，平面内的两条直线l、l,点A、B在直线l 上，过点A、B
1 2 2
两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为A、B ，我们把线段AB 叫做线段AB在直线l 上的正投影，其长
1 1 1 1 1 2
度可记作T 或T l ,特别地，线段AC在直线l 上的正投影就是线段AC，请依据上述定义解决
（AB，CD） （AB，2） 2 1
如下问题.
（1）如图1，在锐角 ABC中，AB=5，T =3，则T = ；
（AC，AB） （BC，AB）
（2）如图2，在Rt△△ABC中，∠ACB=90°，T
（AC，AB）
=4，T
（BC，AB）
=9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T =2，T =6，求
（AD，AC） （BC，AB）
T .
（BC，CD）
7
【答案】（1）2 ；（2） ABC的面积=39；（3）T = √3
（BC，CD） 2
△
【分析】(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可；
(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出
CH的长即可解决问题；
(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案.
【详解】(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，
∵T =3，
(AC，AB)
∴AH=3，
∵AB=5，
∴BH=AB-AH=2，
∴T =BH=2，
(BC，AB)
故答案为2；
(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，
则∠AHC=∠CHB=90°，
∴∠B+∠HCB=90°，
∵∠ACB=90°，
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∴∠B+∠A=90°
∴∠A=∠HCB，
∴△ACH∽△CBH，
∴CH：BH=AH：CH，
∴CH2=AH·BH，
∵T =4，T =9，
(AC，AB) (BC，AB)
∴AH=4，BH=9，
∴AB=AH+BH=13，CH=6，
∴S =(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；
△ABC
(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，
∵∠ACD=90°，T =2，
(AD，AC)
∴AC=2，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=∠BDK=30°，
1
∴CD=AC·tan60°=2√3，AD=2AC=4，AH= AC=1，
2
∴DH=4-1=3，
∵T
(BC，AB)
=6，CH⊥AB，
∴BH=6，
∴DB=BH-DH=3，
在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，
3√3
∴DK=BD·cos30°= ，
2
3 7
∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=√3+ √3= √3.
2 2
【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，
理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键.
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【题型4 判断简单几何体三视图】
【例4】（2023·云南昆明·统考三模）在下面四个几何体中，从上面看得到的图形是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的三视图，目的在考查学生的空间想象能力．
【详解】解：A、从上面看得到的图形是长方形，不符合题意；
B、从上面看得到的图形是圆，不符合题意；
C、从上面看得到的图形是圆，不符合题意；
D、从上面看得到的图形是三角形，符合题意；
故选：D．
【变式4-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，该几何体的正（主）视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查简单几何体的三视图，解答的关键是理解三视图的定义：从正面看到的视图是主视图；
从左面看到的视图是左视图；从上面看到的视图是俯视图．注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
本题只需找到从正面看所得的图形即可求解．
【详解】解：从正面看所得的图形为 ，故选项A符合题意，
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故选：A．
【变式4-2】（2023·安徽·模拟预测）某几何体的左视图和主视图是形状、大小相同的矩形，如图所示，则
这个几何体不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握常见的几何体的三视图是解答本题的关键．分别根据各个
选项的几何体的主视图和左视图判断即可．
【详解】解：A．该圆柱的主视图和左视图是全等的两个矩形，故本选项不符合题意；
B．该长方体的主视图和左视图是全等的两个矩形，故本选项不符合题意；
C．该三棱柱的主视图和左视图是全等的两个矩形且主视图中间有1条虚线，故本选项符合题意；
D．该六棱柱的主视图是三个相邻的矩形，左视图是两个相邻的矩形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式4-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后如图所示，该几何
体的主视图（ ）
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A．是轴对称图形，也是中心对称图形 B．是轴对称图形，不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，是中心对称图形 D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】B
【分析】主要考查简单几何体的三视图，轴对称及中心对称图形的定义，理解轴对称及中心对称图形的定
义是解题关键．根据图形可得其主视图为特殊的五边形，由轴对称（指在平面内沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够完全重合的图形）与中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转
后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）的定义即可判断．
【详解】解：图形的主视图为：
∴主视图是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选B
【题型5 判断简单组合体三视图】
【例5】（2023·河北张家口·统考三模）如图，是由4个完全相同的小正方体组成的几何体，现移动1号小
正方体，使其与剩下的三个小正方体至少共一个面且移动前后的几何体的左视图不变，则移动的方法有（
）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据左视图不变，分别移动1，2，3三个小正方形中的一个得出结论即可．
【详解】解：如图，由题意可得，移动1后，使移动前后的几何体的左视图不变，则1可以放在3的后面，
2的前面或后面，即1有3种移动方法，
故选：C．
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【点睛】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图是从物体的左侧观察所得的图形是解题的关键．
【变式5-1】（2023·安徽·模拟预测）如图所示，该几何体的左视图为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图判断即可，正确理解从正面
看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图是解题的关键．
【详解】解：几何体的左视图是，
故选：A．
【变式5-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图所示几何体的俯视图是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体
的正面，左面，上面看得到的图形．
【变式5-3】（2023·山东泰安·校考模拟预测）如图是由若干小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中
的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】从正面看易得第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三列有1个正方形．
．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选C．
【点睛】此题考查简单组合体的三视图，解题关键在于掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．
【题型6 判断非实心几何体三视图】
【例6】（2023·山东威海·统考一模）如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体
的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【详解】该几何体的左视图如图所示：
故选：D．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线
条需要用虚线表示．
【变式6-1】（2023·江西南昌·模拟预测）下图是一个螺母，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】找出从左侧看到的图形即可．
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【详解】解：该螺母为非实体，
那么左视图应该为：
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，建立空间想象能力是解题的关键．
【变式6-2】（2023·安徽·统考二模）如图所示，该几何体的俯视图是( )
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【分析】根据三视图中俯视图的概念作出判断即可．
【详解】解：∵根据三视图的概念，俯视图是指从上面看，
∴从上面看是由五个矩形组成，其中有两条为虚线，
故选：C．
【点睛】本题考查三视图的概念，俯视图是指从上面看，注意看得见的线用实线，看不见的线用虚线，熟
记三视图的概念是解答本题的关键．
【变式6-3】（2023·辽宁抚顺·统考二模）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【题型7 画几何体的三视图】
【例7】（2023·甘肃酒泉·二模）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图．
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【答案】见解析
【分析】观察图形可知，从正面看到的图形是3列，分别有1，1，2个正方形；从左面看到的图形是2列，
分别有2，1个正方形；从上面看到的图形是2行，分别有3，2个正方形；据此即可画图．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题考查了从不同方向观察物体和几何体和画简单图形的三视图的方法，是基础题型．
【变式7-1】（2023·广东汕头·校联考二模）图中几何体的三视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图示确定几何体的三视图即可得到答案．
【详解】由几何体可知，该几何体的三视图为
故选C
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【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的视图方位及画法是解题的关键，注意实际存在又
没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
【变式7-2】（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的
立体图形，已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是2m．
(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？
（π取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油
漆．）
【答案】(1)见解析
(2)1628元
【分析】（1）根据三视图的画法分别得出左视图、主视图和俯视图即可；
（2）首先求出其表面积进而得出所需的费用．
【详解】（1）如图，
（2）5×2×2+2×2×π=20+4π≈20+3.14×4=32.56（平方米）
32.56×50=1628（元）
答：需要花费1628元．
【点睛】此题主要考查了作三视图以及组合体的表面积求法，注意观察角度得出视图是解题关键．
【变式7-3】（2023浙江宁波·统考一模）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何
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体的模型．
（1）这个几何体模型的名称是 ．
（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格
中画出该几何体的左视图．
1
（3）若h=a+b，且a，b满足 a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．
4
【答案】（1）长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）图形略；（3）62．
【详解】试题分析：（1）观察平面展开图，侧面四个面是长方形，且上下两个底面也是长方形，所以折
叠后能围成长方体．（2）根据图1所标注的相关线段的长度画出长方体，根据立体图形和相关线段的长度
画出其左视图；（3）将给出的式子中10拆分成1+9，则所给式子写成两个完全平方式，因式分解后能求
出a、b的值，则h的值就能求出，然后由长方体的表面积计算公式求解．
试题解析：（1）由平面展开图得知，侧面四个面是长方形，且上下两个底面也是长方形，∴折叠后能围
成长方体．（2）根据图1所标注的相关线段的长度和给出的视图画出长方体，是长宽高分别为4,5,2的长
方体，则左视图是长为5，宽为2的长方形；画出图形，如图：
1 1
（3）将给出的式子中10拆分成1+9，则所给式子写成两个完全平方式，（ a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则 a
2 2
﹣1=0，b﹣3=0，∴a=2，b=3，所以h=a+b=2+3=5．所以此长方体的表面积为六个面的面积和：2
（2×3+5×2+3×5）=62．
考点：1．因式分解的应用；2．由三视图判断几何体；3．作图-三视图．
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【题型8 由三视图还原几何体】
【例8】（2023·安徽·校联考模拟预测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体
正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在
物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题．
【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为 ，
故选：A．
【变式8-1】（2023·河北唐山·统考一模）如图，是某几何体的三视图，根据三视图，描述物体的形状是正
确的是（ ）
A．圆柱体 B．长方体 C．圆台 D．半圆柱和长方体组成的组合体
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【答案】D
【分析】主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看的到的图形利用
三视图从平面图形到立体的进行空间转化即可．
【详解】解：从主视图看几何体得到的图形是半圆与长方形组合而成的，从左视图看几何体是长方体是长
方形，从俯视图看几何体得到的图形是长方形，
结合主视图与左视图，是一个上半是半圆柱体，下半是长方体，
从三视图综合看，是半圆柱和长方体结合．
故选择D．
【点睛】本题考查从平面图形到立体图形，利用三视图得出反应的几何体，掌握三视图所看到图的位置和
定义．准确把握观察角度是解题关键．是解题关键．
【变式8-2】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）下图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】认真观察三视图结合选项确定正确的答案即可．
【详解】解：结合三视图发现：该几何体为圆柱和长方体的结合体，
故选：C．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是有足够的空间想象能力，掌握三视图的定
义
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【变式8-3】（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．
【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．
故选：B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够正确的确定各个图形的位置，难度不
大．
【题型9 已知三视图求边长】
【例9】（2023·山西运城·统考二模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体
的左视图中a的值为（ ）
A．2 B．√3 C．1.7 D．1.8
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【答案】B
【分析】观察图形可知，该几何体为三棱柱，其左视图的宽等于俯视图正三角形底边上的高，设俯视图为
ABC，作BH⊥AC于H，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BH长即可．
△【详解】解：如图，设俯视图为 ABC，作BH⊥AC于H，
△
∵△ABC为正三角形，
∵AC=2，
∴AH=HC=1，AB= AC=2，
∴BH=√22−12=√3 ，
则a=BH=√3 ．
故选：B．
【点睛】本题考查三视图、等边三角形的性质以及勾股定理，掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键.
【变式9-1】（2023·浙江·三模）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体所有
棱长之和为（ ）
A．48 B．40 C．24√2+16 D．28
【答案】B
【分析】根据三视图图形得出AC=BC=3，EC=4，即可求出这个长方体的所有棱长之和．
【详解】解：如图所示，AB=3√2，
∵AC2+BC2=AB2，而AC=BC，
∴AC=BC=3，
∴正方形ACBD的周长为：3×4=12，
故这个长方体的所有棱长之和为：12×2+4×4=40．
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故选：B．
【点睛】此题主要考查了利用三视图求长方体的棱长以及勾股定理的运用，得出长方体各部分的棱长是解
决问题的关键．
【变式9-2】（2023·北京·校考一模）如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（ ）
3
A．2 B．3 C．√3 D． √3
2
【答案】D
【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB，构造三角形ABC与三角形ABE，利用三角
函数解直角三角形即可
【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图，
1
由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF= BD=3，则边长AB为3，
2
连AC交BD于E，则AC⊥BD，
由左视图得AE=CE=x，
在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°，
∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3，
3 3√3
∴BE= ，AE=AB•cos30°= ，
2 2
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3√3
即x= ．
2
故选择：D.
【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯
视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象
能力．
【变式9-3】（2023·内蒙古包头·中考模拟）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF＝8cm，EG＝
12cm，∠EFG＝45°．则AB的长为（ ）cm．
A．8 B．12 C．4√2 D．6√2
【答案】C
【分析】如图，过点E作EQ⊥FG于点Q，由题意可得EQ=AB，根据三角函数的定义求得EQ的长即可得.
【详解】过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ＝AB，
∵EF＝8cm，∠EFG＝45°，
√2
∴EQ＝AB＝ ×8=4√2 （cm）．
2
故选C．
【点睛】本题考查了由三视图解决实际问题、解直角三角形等，根据已知得出EQ=AB是解题关键．
【题型10 求小立方块堆砌图形的表面积】
【例10】（2023·山东青岛·统考一模）如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的
边长为1cm的正方形孔（阴影部分），则这个几何体的表面积（含孔内各面）是 cm2．
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【答案】252
【分析】根据正方体6个外表面的面积、9个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可．
【详解】解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2），
9个内孔的内壁的面积为1×1×4×4×9﹣1×1×4×6＝120（cm2），
因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为132+120＝252（cm2），
故答案为：252．
【点睛】本题考查正方体的表面积，求出“内孔”的内壁面积是解决问题的关键．
【变式10-1】（2023·福建福州·统考一模）将四个棱长为1的正方体如图摆放，则这个几何体的表面积是
（ ）
A．3 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【详解】试题分析：观察几何体，得到这个几何体向前、向后、向上、向下、向左、向右分别有3个正方
形，则它的表面积=6×3×1=18．
故选D．
考点：几何体的表面积．
【变式10-2】（2023·山东青岛·二模）如图所示是一种棱长分别是2cm，3cm，4cm的长方体积木，现要用
若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体的表面积最小是
cm2．
【答案】168
【分析】如果用6块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长3×2=6cm，宽4cm，高3×2=6cm的长方体
的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解．
【详解】解： 长3×2=6cm，宽4cm，高3×2=6cm
（4×6+4×6+6×6）×2
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=（24+24+36）×2
=84×2
=168（cm2）．
故答案为：168．
【点睛】考查了几何体的表面积，关键是熟练掌握长方体的表面积公式，难点是得到搭成的大长方体的长
宽高．
【变式10-3】（2023·甘肃兰州·统考三模）如图，在一次数学活动课上，张明用10个边长为1的小正方形
搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好
可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需
要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 ．
【答案】 17 48
【分析】最小的大正方体是由小方块组成的3×3×3的大正方体，据此可得王亮至少需要的小立方体的个数．
根据题意得到题中堆积体的俯视图，并进行标数（地图标数法），即可得出王亮所搭几何体的表面积．
【详解】解：由题可知，最小的大正方体是由小方块组成的3×3×3的大正方体，
所以按照张明的要求搭几何体，王亮至少需要27﹣10＝17个小立方体．
根据题意得到题中堆积体的俯视图，并进行标数（地图标数法）：
由上图的俯视图可知，能将其补充为完整的3×3×3的大正方体的剩余部分的俯视图为：
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由此可得，王亮所做堆积体的三视图，主、左、俯三视图面积皆为8，
所以王亮所搭几何体的表面积为（8+8+8）×2＝48，
故答案为：17，48．
【点睛】本题主要考查了几何体的表面积，由三视图判断几何体的知识，能够确定所搭几何体的形状是解
答本题的关键．
【题型11 已知三视图求侧面积或表面积】
【例11】（2023·宁夏·中考真题）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S =a2,S =a2+a，
主 左
则S =（ ）
俯
A．a2+a B．2a2 C．a2+2a+1 D．2a2+a
【答案】A
【分析】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论．
【详解】∵S =a2=a·a,S =a2+a=a(a+1)，
主 左
∴俯视图的长为a+1，宽为a，
∴S =a·(a+1)=a2+a，
俯
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的
长和宽是解答的关键．
【变式11-1】（2023·山东·统考中考真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（ ）
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A．39π B．45π C．48π D．54π
【答案】B
【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4
的圆柱，该几何体的表面积为：
1 (1 ) 2
S=π× ×6×4+6π×4+π× ×6 =12π+24π+9π=45π．
2 2
故选B．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还
原出几何体是解决问题的关键．
【变式11-2】（2023·安徽淮南·校联考模拟预测）如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，
求这个几何体表面积的大小（结果保留π）．
【答案】15π+12
【分析】由几何体的三视图得出该几何体的表面是由两个长方形和一个曲面再加两个扇形围成，结合图中
数据求出组合体的表面积即可．
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【详解】解：由几何体的三视图可得：
该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成，
3
其侧面积为3×（ ×2π×2+2+2）＝9π+12，
4
3
上下底面面积为2× •π•22＝6π，
4
故这个几何体表面积为9π+12+6π＝15π+12．
【点睛】本题考查了由几何体三视图求几何体的表面积的应用问题，考查了空间想象能力，由三视图复原
成几何体是解决问题的关键．
【变式11-3】（2023·辽宁铁岭·统考三模）如图1是一个直四棱柱，如图2是它的三视图，其俯视图是等
腰梯形．
(1)根据图2中给出的数据，可得俯视图（等腰梯形）的高为______，腰长为______；
(2)主视图和左视图中a＝______，b＝______，c＝______，d＝______；
(3)请你根据图1和问题（1）中的结果，计算这个直四棱柱的侧面积．（结果可保留根号）
【答案】(1)6,4√3
(2)2√3,3√3,2√3,6
(3)108√3
【分析】（1）如图，过A作AK⊥BC于K，过D作DN⊥BC于N，则四边形AKND为矩形，可得
AD=KN=3√3, 由等腰梯形是轴对称图形，对称轴为底边中点连线所在的直线，证明BK=CN=2√3,再
利用锐角的正切可得答案；
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（2）根据三种视图之间的联系可得答案；
（3）由四个侧面都为长方形，则直四棱柱的侧面积是4个长方形的面积之和，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，过A作AK⊥BC于K，过D作DN⊥BC于N，
则四边形AKND为矩形，
AD=KN=3√3,
由等腰梯形是轴对称图形，对称轴为底边中点连线所在的直线，
∴△ABK≌△DCN,
1
∴BK=CN= (7√3−3√3)=2√3,
2
∵∠B=60°,
∴AK=BK·tan60°=2√3×√3=6,AB=2BK=4√3,
故答案为：6,4√3
（2）根据俯视图与主视图的关系结合（1）可得：
a=c=2√3,b=3√3,
根据左视图与俯视图的关系可得：d=6,
故答案为：2√3,3√3,2√3,6
（3）直四棱柱的侧面积为：
3√3×6+7√3×6+2×4√3×6
=18√3+42√3+48√3=108√3.
【点睛】本题考查的是直棱柱的三视图，等腰梯形的性质，直棱柱的侧面积的计算，熟悉直棱柱的三视图
与实物图形之间的联系是解本题的关键．
【题型12 由三视图求体积】
【例12】（2023·安徽淮北·统考模拟预测）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
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A．125√3 B．100√3 C．75√3 D．30√3
【答案】C
【分析】由三视图可知，几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，利用体积等于底面积乘以高进行
计算即可．
【详解】解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，
如图：设正六边形的中心为O，AB=5,OC⊥AB，
则：OA=OB,∠AOB=60°，
1 5
∴OA=OB=AB=5，AC= AB= ，
2 2
5
∴OC=√OA2−AC2= √3，
2
1 5 75√3
∴底面面积为：6× ×5× √3= ，
2 2 2
75
∴该几何体的体积为： √3×2=75√3；
2
故选C．
【点睛】本题考查由几何体的三视图，求几何体的体积．解题的关键是根据三视图，还原几何体．
【变式12-1】（2023·云南·统考一模）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．
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【答案】2
【分析】首先由三视图可知此几何体为三棱柱，进而得出底面三角形的底和高及棱柱的高，再根据三棱柱
的体积公式计算，即可求得．
【详解】解：根据三视图可知该几何体是三棱柱，底面为底边长为2，高为1的三角形，棱柱的高为2，
1
故底面正三角形的面积为： ×2×1=1，
2
故该三棱柱的体积为：1×2=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了由三视图确定几何体及求三棱柱的体积，由该三视图中的数据确定三棱柱的底面面积
和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想．
【变式12-2】（2023·陕西西安·校考三模）李明在参观某工厂车床工作间时发现了一个工件，通过观察并
画出了此工件的三视图，借助直尺测量了部分长度．如图所示，该工件的体积是多少？
【答案】17π cm3
【分析】根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和．
【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是2cm和4cm，
高分别是4cm和1cm，
∴体积为：4π×22+π×12×1=17π（cm3）．
答：该工件的体积是17π cm3．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，正确的得到几何体的形状是解题的关键．
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【变式12-3】（2023·江苏无锡·校联考模拟预测）如图，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A′B′C′D′装有一
些液体，棱AB始终在水平桌面上，如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为
直三棱柱，其三视图及尺寸如图2．则液体的体积为 ．
【答案】24
【分析】首先根据水面与水平面平行可以得到CQ与BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的长，由题意可
知液体正好是一个以 BCQ是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积．
【详解】∵CQ=5dm，△BC=4dm，
∴BQ=√52−42=3dm，
1
∴液体的体积为：V = ×3×4×4=24（dm3）．
液 2
故答案为：24dm3．
【点睛】本题考查了四边形的体积计算以及三视图的认识和勾股定理的运用，正确理解棱柱的体积的计算
是关键．
【题型13 求几何体视图的面积】
【例13】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，将由6个棱长为1的小正方体
组成的几何体在桌面上顺时针旋转90°后，左视图的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
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【分析】先根据题意画出顺时针旋转90°后的左视图即可解答．
【详解】解：将该几何体在桌面上顺时针旋转90°后的左视图如图：
则左视图的面积为4．
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，掌握左视图就是从左边看到的图形是解答本题的关键．
【变式13-1】（2023·广东广州·统考一模）如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为4π的圆，
那么这个圆锥的左视图的面积是 ．
【答案】4√3
【分析】先利用圆的面积公式得到圆锥的底面圆的半径为2，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根
据勾股定理计算圆锥的高，继而根据三角形面积公式进行求解即可得．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则πr2=4π，解得r=2，
因为圆锥的主视图是等边三角形，
所以圆锥的母线长为4，
所以它的左视图的高=√42−22=2√3，
1
所以左视图的面积为 ×4×2√3=4√3，
2
故答案为4√3．
【点睛】本题考查了三视图的相关计算以及圆锥的计算，熟练掌握圆锥的俯视图与圆锥的底面圆直径、主
视图与圆锥母线长之间的关系是解题的关键．
【变式13-2】（2023·山西·三模）如图所示的是由6个边长为1的正方体组成的几何体，其俯视图的面积
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
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【分析】首先根据组合体画出它的俯视图，再求俯视图的面积即可求得．
【详解】解：该组合体的俯视图为：
故该组合体的俯视图的面积为：1×1×3=3
故选：B
【点睛】本题考查了组合体的俯视图，熟练掌握和运用画组合体的俯视图的方法是解决本题的关键．
【变式13-3】（2023·浙江宁波·统考模拟预测）如图是由几个相同的小方块搭成的几何体，关于它的三视
图，下列说法正确的（）
A．主视图面积最大 B．左视图面积最大
C．俯视图面积最大 D．三个视图面积一样大
【答案】A
【分析】可先假设小正方形的边长为1，再把从主视图、左视图、俯视图的面积分别算出来，再进行比较，
从而得到正确答案.
【详解】假设小正方形的边长是1，
主视图是第一层三个小正方形，第二层两个小正方形，所以主视图的面积是5；
左视图是第一层两个小正方形，第二层一个小正方形，所以主视图的面积是3；
俯视图是第一层左边1个小正方形，中间一个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形，
所以主视图的面积是4；
因此，主视图的面积最大.
故答案为A.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左
视图，从上面看得到的图形是俯视图.
【题型14 由三视图，确定小立方体的个数】
【例14】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉
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个小正方体后的几何体的主视图和左视图都是图2所示图形．
【答案】3、4、5
【分析】拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，所以最底下一层最少必须有2
个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，即可知可以拿掉小立方块的个数．
【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后保证从正面和左面看到的图形如图2所示，
所以最底下一层最少必须有2个小立方块，上面一层必须保留1个立方块，如图，
故答案为：3，4、5．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是由
立体图形得到三视图，学生由于空间想象能力不够，易造成错误．
【变式14-1】（2023·山西吕梁·统考二模）如图所示，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，
则这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据该几何体的俯视图可确定该几何体共有两行三列，再结合主视图，即可得出该几何体的小正
方体的个数．
【详解】综合三视图可知，这个几何体的底层应该有2+1+1＝4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1＝5个．
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故选B．
【点睛】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
【变式14-2】（2023·浙江·三模）由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，
俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则以下说法正确的是（ ）
A．x＝1或2，y＝3 B．x＝1或2，y＝1或3
C．x＝1，y＝1或3 D．x＝2，y＝1或3
【答案】A
【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图2列中的个数，分析其中的数字，从
而求出x、y的值．
【详解】解：由俯视图可知，该组合体有两行两列，
左边一列前一行有两个正方体，结合主视图可知左边一列最高叠2个正方体，故x＝1或2；
由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故y＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了根据三视图判断几何体的构成及对几何体三种视图的空间想象能力．注意找到该几何
体的主视图中每列小正方体最多的个数．
【变式14-3】（2023·山东淄博·统考一模）一个由完全相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，
若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的个
数最少为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
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【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两层两列，故得出该几何体的小
正方体的个数．
【详解】解：∵综合三视图可知，这个组合体的底层有3个小正方体，第二层有1个小正方体，
∴搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1 =4个，若在这个几何体的基础上增加几个相同的小正方体，将
其补成一个大正方体，则需要增加的小正方体的最少个数为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图和空间想象能力，解题的关键是求出原来的几何体及搭成的大正方体共有多少
个小立方块．
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