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专题 11 函数与平面直角坐标系【十大题型】
【题型1 坐标系内点的坐标特征】..........................................................................................................................2
【题型2 图形变换与坐标】......................................................................................................................................3
【题型3 探索点的坐标规律】..................................................................................................................................6
【题型4 与图形面积相关的存在性问题】...........................................................................................................10
【题型5 函数的概念辨析】....................................................................................................................................17
【题型6 求自变量的取值范围】............................................................................................................................20
【题型7 根据实际问题列函数解析式】................................................................................................................21
【题型8 函数图象的识别】....................................................................................................................................23
【题型9 从函数图象中获取信息】........................................................................................................................26
【题型10 动点问题的函数图象】............................................................................................................................31
【知识点 函数与平面直角坐标系】
1.坐标与象限
定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。
定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为 x轴或横轴，
取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐
标系的原点。
建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一
象限.第二象限.第三象限.第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
2.函数与图象
定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有
唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自
变量的值为a时的函数值。
定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横.纵坐标，那么坐
标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子
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叫做函数的解析式。
表示函数的方法： 解析式法 . 列表法和图象法 。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部
分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。
画函数图象的方法——描点法：
第1步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标.相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对
应的各点；
第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
【题型1 坐标系内点的坐标特征】
【例1】（2023·山东·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y
轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A．(4，−5) B．(5,−4) C．(−4，5) D．(−5,4)
【答案】D
【分析】设P点坐标为(x,y)，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．
【详解】解：设P点坐标为(x,y)，
∵点P在第二象限内，
∴x<0，y>0，
∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴|y|=4，|x|=5，
∴y=4，x=−5，
即P点坐标为(−5,4)，
故选：D
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝
对值是解题的关键．
【变式1-1】（2023·青海·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(–2，−1)，若
AB// y轴，且AB=9，则点B的坐标是 ．
【答案】(−2,8)或(−2,−10)
【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得|y−(−1)|=9，解方程即可求得y的值，从而
可得点B的坐标．
【详解】∵AB// y轴
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∴设点B的坐标为(-2，y)
∵AB=9
∴|y−(−1)|=9
解得：y=8或y=－10
∴点B的坐标为(−2,8)或(−2,−10)
故答案为：(−2,8)或(−2,−10)
【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度
只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．
【变式1-2】（2023·新疆·统考中考真题）在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1,2)，B(−3,4)，
C(−2,−3)，D(4,3)，E(2,−3)，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是 ．
2
【答案】
5
【分析】根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是A(1,2)，B(−3,4)，C(−2,−3)，D(4,3)，
E(2,−3)，
其中A(1,2)，D(4,3)，在第一象限，共2个点，
2
∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是 ，
5
2
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键．
1
【变式1-3】（2023·江苏·中考真题）已知点A（2，0）、点B（－ ，0）、点C（0，1），以A、B、C
2
三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
1 1 1 1
【详解】以AB为一边时，CD的长等于AB=2﹣（﹣ ）=2 ，点D的坐标可以为（2 ，1）或（﹣2 ，
2 2 2 2
1
1）；以BC为对角线时，点在第四象限．坐标为（1 ，﹣1）．∴不在第三象限．故选C．
2
【题型2 图形变换与坐标】
【例2】（2023·吉林松原·校联考一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A(1,0)，等
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腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限将
△ABC绕点A按逆时针方向旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为
．
【答案】√2
【分析】依据旋转的性质，即可得到∠OAE=60°，再根据OA=1，∠EOA=90°，即可得出AE=2，
AC=2．最后在Rt△ABC中，可得到AB=BC=√2．
【详解】解：依题可知，∠BAC=45°，∠CAE=75°，AC=AE，
∴∠OAE=60°，
∴∠OEA=30°，
在Rt△AOE中，OA=1，∠EOA=90°，∠OEA=30°，
∴AE=2，
∴AC=2．
∴在Rt△ABC中，AB=BC=√2．
故答案为：√2．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质以及含30°角的直角三角形的综合运用，图
形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
【变式2-1】（2023·山东滨州·统考二模）在平面直角坐标系中，点P(4,−2)关于y轴的对称点的坐标为
（ ）
A．(4,2) B．(−4,2) C．(−4,−2) D．(−2,4)
【答案】C
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：点P(4,−2)关于y轴对称的点的坐标是：(−4,−2)．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
【变式2-2】（2023·广东深圳·中考真题）已知点P(a＋l，2a－3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取
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值范围是（ ）
3 3 3
A．a<−1 B．−1
2 2 2
【答案】B
【详解】解：∵点P（a＋1，2a－3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在第四象限．
a+1>0①
∴ { ．
2a−3<0②
解不等式①得，a＞－1，
3
解不等式②得，a＜ ，
2
3
所以不等式组的解集是－1＜a＜ ．
2
故选：B．
【变式2-3】（2023·湖北鄂州·校考二模）如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点
B，C分别在x轴、y轴上，点A为（8，6），点D为线段OC上一动点．将△BOD沿BD翻折，点O落在
点E处，连接CE．当CE的长最小时，点D的坐标为 ．
8
【答案】（0， ）
3
【分析】当C、E、B共线时，EC最小，此时EC=BC-BE=BC-BO，设OD=DE=x，在RT△CDE中利用勾股
定理，列出方程即可解决问题．
【详解】解：如图：
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当C、E、B共线时，EC最小，此时EC=BC-BE=BC-BO，
在Rt△OBC中，∠BOC=90°，OB=8，OC=6
∴BC=√OC2+OB2=√82+62=10
∵EC的最小值=BC-BO=10-8=2
设OD=DE=x
在Rt△CDE中，∵∠CED=90°，CD=6−x,DE=x,CE=2
∴(6−x) 2=x2+22
8
解得：x=
3
8
∴点D的坐标为：（0， ）．
3
8
故答案为：（0， ）．
3
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找点E位置，学
会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【题型3 探索点的坐标规律】
【例3】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C ⋯叫作
1 1 2 3 4 5
“正方形的渐开线”，其中C´C ，C´C ，C´C ，C´C ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环．当
1 2 2 3 3 4 4 5 1
OA=1时，点C 的坐标是( )
2023
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A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．
(2022，0)
【答案】A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出C 在第三象限，与C ，C ，C ，…符合同一规律，
2023 3 7 11
探究出C ，C ，C ，...的规律即可．
3 7 11
【详解】解：由图得C (0，1)，C (1，0)，C (−1，−2)，C (−4，0)，C (0，5)，
1 2 3 4 5
C (5，0)，C (−1，−6)，…
6 7
点C的位置每4个一循环，
2023=505×4+3，
∴C 在第三象限，与C ，C ，C ，…
2023 3 7 11
符合规律(−1，−n+1)，
∴C 坐标为(−1，−2022)．
2023
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
【变式3-1】（2023·江苏南京·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下
规律依序排列：(0,0)，(1,0)，(0,1)，(2,0)，(1,1)，(0,2)，(3,0)，(2,1)，(1,2)，(0,3)，(4,0)，
(3,1)，(2,2)，(1,3)，…按这个规律，则(6,7)是第 个点．
【答案】99
【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解．
【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点，
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横纵坐标和是1的有2个点，
横纵坐标和是2的有3个点，
横纵坐标和是3的有4个点，
……，
横纵坐标和是n的有(n+1)个点，
6+7=13，
1
∵1+2+……+12+13= ×13×(13+1)=91，
2
∴横纵坐标和是13的有14点，分别为：(13,0)、(12,1)、(11,2)、(10,3)、(9,4)、(8,5)、(7,6)、
(6,7)、(5,8)、(4,9)、(3,10)、(2,11)、(1,12)、(0,13)、
∴(6,7)是第91+8=99个点，
故答案为：99．
【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键．
【变式3-2】（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个
单位长度，以点P为位似中心作正方形PA A A ，正方形PA A A ,…，按此规律作下去，所作正方形
1 2 3 4 5 6
的顶点均在格点上，其中正方形PA A A 的顶点坐标分别为P(−3,0),A (−2,1),A (−1,0)，
1 2 3 1 2
A (−2,−1)，则顶点A 的坐标为（ ）
3 100
A．(31.34) B．(31,−34) C．(32,35) D．(32,0)
【答案】A
【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律A (n−3，n)．
3n−2
【详解】解：∵A (−2，1)，A (−1，2)，A (0，3)，A (1，4)，⋯，
1 4 7 10
∴A (n−3，n)，
3n−2
∵100=3×34−2，则n=34，
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∴A (31，34)，
100
故选：A．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
【变式3-3】（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，△OA A ,△A A A ,△A A A ,⋯⋯都是边长为
1 2 3 4 5 6 7 8
2的等边三角形，按下图所示摆放．点A ,A ,A ,⋯⋯都在x轴正半轴上，且
2 3 5
A A =A A =A A =⋯⋯=1，则点A 的坐标是 ．
2 3 5 6 8 9 2023
【答案】(2023,√3)
【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．
【详解】解：由图形可得：A (2,0),A (3,0),A (5,0),A (6,0),A (8,0),A (9,0),
2 3 5 6 8 9
如图：过A 作A B⊥x轴，
1 1
∵△OA A ,
1 2
∴OB=cos60°×OA =1,A B=sin60°×OA =√3,
1 1 1
∴A (1,√3),
1
同理：A (4,−√3),A (7,√3),A (10,−√3),
4 7 10
∴点A 的横坐标为1，点A 的横坐标为2，点A 的横坐标为3，……纵坐标三个一循环，
1 2 3
∴A 的横坐标为2023，
2023
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∵2023÷3=674⋯⋯1，674为偶数，
∴点A 在第一象限，
2023
∴A (2023,√3)．
2023
故答案为(2023,√3)．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规
律是解答本题的关键．
【题型4 与图形面积相关的存在性问题】
【例4】（2023·湖北孝感·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，
M(−1.5，−2)，其中a、b满足|a+1|+(b−3) 2=0．
(1)求△ABM的面积；
(2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△ABM的面积相等；
(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)S =4；
△ABM
(2)P(−5，0)；
( 4) ( 28)
(3)点P的坐标为 0， 或 0，− ．
9 9
【分析】（1）先根据非负性的性质求出a、b的值，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）设点P(p，0)，根据三角形面积公式进行求解即可得到答案；
4 ( 4)
（3）设BM交y轴于点D，设P(0，q)，D(0，d)，先利用面积法求出d=− ．则D 0，− ，再根
3 3
1 ( 4)
据S =S ，得到 ×|q− − |×[3−(−1.5)]=4，由此即可得到答案．
△ABM △BMP 2 3
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【详解】（1）解：∵|a+1|+(b−3) 2=0，且|a+1|≥0，(b−3) 2≥0，
∴a+1=0，b−3=0，
∴a=−1，b=3，
∴A(−1，0)，B(3，0)，
1 1
∴S = AB⋅|y |= ×4×2=4；
△ABM 2 M 2
（2）解：设点P(p，0)．
1
由题意得S ❑ = ×|−1−p|×2=4，
△AM P 2
∴p=3或p=−5．
当p=3时，△AMP与△ABM重合，不合题意，舍去，
∴点P(−5，0)；
（3）解：如图②，设BM交y轴于点D，设P(0，q)，D(0，d)．
1 1 1 1
∵S = OD⋅(x −x )= OB⋅(−y )= ×3×2= ×[3−(−1.5)]×(−d)=3，
△BOM 2 B M 2 C 2 2
4
∴d=− ．
3
( 4)
∴D 0，− ．
3
∵S =S ，
△ABM △BMP
1
∴ PD⋅(x −x )=4，
2 B M
1 ( 4)
∴ ×|q− − |×[3−(−1.5)]=4，
2 3
4 28
解得q= 或− ．
9 9
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( 4) ( 28)
∴点P的坐标为 0， 或 0，− ．
9 9
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，绝对值方程，非负数的性质，解题的关在于能够熟练
掌握非负数的性质，求出a、b的值．
【变式4-1】（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知A(0,a)、B(b,0)、
C(b,c)三点，其中a、b，c满足关系式|a−2|+(b−3) 2+√c−4=0．
(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限内有一点P(m,1)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的
坐标，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)a=2，b=3，c=4
(2)3−m
(3)存在点P(−3,1)使S =S
四边形ABOP △ABC
【分析】（1）用非负数的性质求解；
（2）把四边形ABOP的面积看成两个三角形面积和，用m来表示；
（3）先求出△ABC的面积，根据题意，列出m方程即可解决问题．
【详解】（1）解：∵|a−2|+(b−3) 2+√c−4=0，
∴a−2=0，b−3=0，c−4=0，
∴a=2，b=3，c=4；
1 1
（2）解：∵S = ab= ×2×3=3，
△ABO 2 2
1
S = ×2×(−m)=−m，
△APO 2
∴S =S +S =3+(−m)=3−m，
四边形ABOP △ABO △APO
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即S =3−m；
四边形ABOP
1 1
（3）解：∵S = cb= ×4×3=6，
△ABC 2 2
∵S =S
四边形ABOP △ABC
∴3−m=6，
则m=−3，
∴存在点P(−3,1)使S =S ．
四边形ABOP △ABC
【点睛】本题考查了四边形综合题，属于掌握非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，解决本题的关
键是根据非负数的性质求出a，b，c．
【变式4-2】（2023·江苏常州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a、
0），B（b，0），且a，b满足|a+6|+√3a−2b+26=0，现将线段AB先向上平移4个单位长度，再向右平
移6个单位长度得到线段CD，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接AC，BD．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图2，点M是线段AC上的一个动点，点N是线段CD的一个定点，连接MN，MO，当点M在线段
AC上移动时（不与A，C重合），探究∠DNM，∠OMN，∠MOB之间的数量关系，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等？若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)A（﹣6，0），B（4，0）
(2)∠DNM+∠OMN+∠MOB＝360°，理由见解析
(3)存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等，点P的坐标为（14，0）或（﹣6，0）或
（0，14）或（0，﹣6）
【分析】（1）根据非负数的性质求出a，b，即可求出答案；
（2）过点M作直线ME ∥ AB，则∠OME+∠MOB=180°，再判断出∠DNM+∠NME=180°，即
可得出结论；
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（3）先求出ΔABD的面积，再分点P在x轴和y轴上两种情况，建立方程求解，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵|a+6|+√3a−2b+26=0，
∴a+6=0，3a−2b+26=0，
∴a=−6，b=4，
∴A(−6,0)，B(4,0)；
（2）解：∠DNM+∠OMN+∠MOB=360°，
理由：如图2，过点M作直线ME ∥ AB，
∴∠OME+∠MOB=180°，
∵线段CD由线段AB平移得到，
∴ AB ∥ CD，
∴ ME ∥ CD，
∴∠DNM+∠NME=180°，
∴∠DNM+∠OMN+∠MOB=∠DNM+∠NME+∠OME+∠MOB
=180°+180°
=360°；
（3）解：如图，依题意可得A(−6,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(10,4)，
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1 1
∴S = AB⋅y = ×10×4=20，
ΔABD 2 D 2
①当点P在x轴上时，设点P(m,0)，
1
则S = ×|m−4|×4=2|m−4|，
ΔPBC 2
∵S =S ，
ΔPBC ΔABD
∴m=14或−6；
②当点P在y轴上时，设点P(0,n)则
1
S = ×|n−4|×4=2|n−4|，
ΔPBC 2
∵S =S ，
ΔPBC ΔABD
∴n=14或−6，
综上所述，存在点P，使三角形PBC的面积与三角形ABD的面积相等，点P的坐标为(14,0)或(−6,0)或
(0,14)或(0,−6)．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是需要用分类讨论的
思想进行求解．
【变式4-3】（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是(a,0)(b,0)，a，b满足
方程组¿，C为y轴正半轴上一点，且S =6．
△ABC
(1)求A、B、C三点的坐标；
1
(2)是否存在点P(t,t)，使S = S ？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
△PAB 3 △ABC
(3)若点C沿x轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D，当运动时间t为多少秒时，四边形ABCD的面
积S为15个平方单位？求出此时点D的坐标．
(4)连接AD、CD，若P为CB上一动点（不与C、B重合）连接DP、AP，探究点P在运动过程中，
∠CDP、∠BAP、∠DPA之间的数量关系并证明．
【答案】(1)A(−3,0),B(1,0),C(0,3)
(2)存在，P(1,1)或(−1,−1)
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(3)t=6，点D的坐标为(−6,3)
(4)∠CDP+∠BAP=∠DPA，证明见解析
【分析】（1）解二元一次方程组求得A,B的坐标，根据C为y轴正半轴上一点，且S =6即可求得点C
△ABC
的坐标；
1
（2）设P(t，t)，且S = S ，根据三角形面积公式建立一元一次方程，解方程求解即可；
△PAB 3 △ABC
1
（3）四边形ABCD的面积S=△ABC的面积+△ACD的面积=6+ t×3=15，得出t=6，即可得出结果；
2
（4）作PM∥AB，则PM∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠CDP=∠DPM，∠BAP=∠APM，
即可得出结论．
【详解】（1）方程组¿，
解得：¿，
∴A(−3，0)，B(1，0)，
∴OA=3，OB=1，
∴AB=4，
1
∵C为y轴正半轴上一点，S = ×4×OC=6．
△ABC 2
∴OC=3，
∴C(0，3)；
1
（2）存在点P(t，t)，使S = S ；理由如下：
△PAB 3 △ABC
1
∵P(t，t)，且S = S ，
△PAB 3 △ABC
1 1
∴ ×4×|t|= ×6，
2 3
解得：t=±1，
∴P(1,1)或(−1,−1)
（3）如图1所示：
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由题意得：CD∥AB，CD=t，OC=3，
1
∴四边形ABCD的面积S=△ABC的面积+△ACD的面积=6+ t×3=15，
2
∴t=6，
即运动时间t为6秒时，四边形ABCD的面积S为15个平方单位；
∵点C沿x轴负半轴方向以每秒1个单位长度平移至点D，
∴点D的坐标为(−6,3)；
（4）∠CDP+∠BAP=∠DPA，理由如下：
作PM∥AB，如图2所示：
则PM∥AB，AB∥CD，
∴∠CDP=∠DPM，∠BAP=∠APM，
∵∠DPM+∠APM=∠DPA，
∴∠CDP+∠BAP=∠DPA．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、方程组的解法、三角形面积公式、平移的性质、
平行线的性质等知识；本题综合性强，难度适中．
【题型5 函数的概念辨析】
【例5】（2023·全国·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量：
①某地手机通话费为a元/min，某人手机话费卡中共有b元，此后话费卡中的余额y与手机通话的时间x；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y与排水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个等腰三角形，等腰三角形的面积y与腰长x，其中，变量y与变量x之间的函
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数关系可以利用如图所示的图像表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】由图像可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可
判定．
【详解】解：①话费卡中的余额y随手机通话时间x的增大而减小，故①可以利用该图像表示；
②将水池中的水匀速排出，直至排完，水池中的剩余水量y随排水时间x的增大而减小，故②可以利用该图
像表示；
③设绳子的长为L，腰长x，则另一边长为L−2x，
则等腰三角形的面积为：y=
1
(L−2x)⋅
√
x2−
(L−2x) 2
，
2 2
故③不可以利用该图像表示．
故可以利用该图像表示的有：①②．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图像与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
【变式5-1】（2023·甘肃兰州·中考真题）下列各曲线中不能表示y是x的函数是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，这一需要把握的是，在函数可
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以表示的任意x值中，总有唯一的一个y与之对应．由图可以看出，C中在x轴上下方分别有一个y与其
对应，所以不能表示函数，故选C．
考点：函数定义
点评：定义考查题是比较基础的试题，只要学生牢记定义，并且掌握其中的关键字眼，在题目中灵活理解
运用就行，本题的关键是要唯一的y与x一一对应．
【变式5-2】（2023·广东·统考中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C
与r的关系式为C=2πr．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
【答案】C
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．
【变式5-3】（2023·浙江·统考中考真题）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y
（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示
（1）根据图2填表：
x（min） 0 3 6 8 12 …
y（m） …
（2）变量y是x的函数吗？为什么？
（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径．
【答案】（1）5，70，5，54，5；（2）是；（3）65m．
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【分析】（1）直接结合图象写出有关点的纵坐标即可；
（2）利用函数的定义直接判断即可．
（3）最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标即可求得摩天轮的半径．
【详解】解：（1）填表如下：
x(min) 0 3 6 8 12 …
y(m) 5 70 5 54 5 …
（2）因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，
所以y是x的函数；
（3）∵最高点为70米，最低点为5米，
∴摩天轮的直径为65米．
【点睛】本题考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大．
【题型6 求自变量的取值范围】
【规律方法】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
1
【例6】（2023·湖北·统考中考真题）函数y= +(x−2) 0 的自变量x的取值范围是（ ）
√x+1
A．x≥−1 B．x>2 C．x>−1且x≠2 D．x≠−1且x≠2
【答案】C
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．
1
【详解】解：函数y= +(x−2) 0 的自变量x的取值范围是：
√x+1
x+1>0且x−2≠0，
解得：x>−1且x≠2，
故选：C．
【变式6-1】（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）函数y=√2x的自变量x的取值范围是（ ）
1
A．x≤0 B．x≠0 C．x≥0 D．x≥
2
【答案】C
【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，从而可得答案．
【详解】解：由题意得：2x≥0,
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∴x≥0,
故选：C.
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，同时考查二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的
关键．
x
【变式6-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
5x+3
3
【答案】x≠−
5
【分析】根据分式中分母不能等于零，列出不等式5x+3≠0，计算出自变量x的范围即可．
【详解】根据题意得：5x+3≠0
∴5x≠−3
3
∴x≠−
5
3
故答案为：x≠−
5
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不
等式并正确求解．
1 1
【变式6-3】（2023·黑龙江·统考中考真题）在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
√x−1 x−2
【答案】x>1且x≠2
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出x−1>0,x−2≠0，即可求解．
【详解】解：依题意，x−1>0,x−2≠0
∴x>1且x≠2，
故答案为：x>1且x≠2．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解
题的关键．
【题型7 根据实际问题列函数解析式】
【例7】（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：
一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则
他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额
x(x>10)的函数解析式为 ．
x−2 x 1
【答案】 3 y= /y= −
4 4 2
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【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．
【详解】解：∵x>10，
∴超过2千克，
设购买了a千克，则2×5+(a−2)×0.8×5=14，
解得a=3，
设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数解析式为：
x=2×5+(y−2)×5×0.8=10+4 y−8=4 y+2，
x−2
∴y=
4
x−2
故答案为：3，y= ．
4
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．
【变式7-1】（2023·辽宁大连·统考中考真题）汽车油箱中有汽油30L，如果不再加油，那么油箱中的油量
y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x<300时，y与x
的函数解析式是（ ）
300
A．y=0.1x B．y=−0.1x+30 C．y= D．y=−0.1x2+30x
x
【答案】B
【分析】由剩余的油量等于原来的油量减去耗油量，从而可得函数解析式．
【详解】解：由题意可得：y=30−0.1x(0≤x<300),
即y=−0.1x+30(0≤x<300),
故选B
【点睛】本题考查的是列函数关系式，掌握“剩余油量=原来油量-耗油量”是解本题的关键．
【变式7-2】（2023·山西·统考中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长
为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量
x(kg)之间的函数关系式为（ ）
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A．y=12−0.5x B．y=12+0.5x C．y=10+0.5x D．y=0.5x
【答案】B
【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式．
【详解】解：由题意知：y=12+0.5x；
故选：B．
【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．
【变式7-3】（2023·四川·统考中考真题）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒
3
中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是 ，则x和y满足的关系式为 ．
8
5
【答案】y= x
3
【分析】根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可．
【详解】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有（x+y）个棋，
3
∵黑棋的概率是 ，
8
x 3
∴可得关系式 = ，
x+ y 8
5
∴x和y满足的关系式为y= x．
3
5
故答案为：y= x．
3
【点睛】此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m
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m
种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
n
【题型8 函数图象的识别】
【例8】（2023·四川雅安·统考中考真题）“和谐号”动车从萍乡北站出发，加速行驶一段时间后开始匀速
行驶，过了一段时间后，动车减速到达下一个车站并停靠，乘客上下车后，动车又加速，一段时间后再次
开始匀速行驶.下列图中可以近假刻画该动车在这段时间内速度变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．
【详解】解： “和谐号”动车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，
加速：速度增加， 匀速：速度保持不变，
减速：速度下降， 到站：速度为0．
观察四个选项的图象：只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和
图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式8-1】（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与
注水量v的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】D
【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的
图象上看，选出答案．
【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．
则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．
【变式8-2】（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持
续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为t,y （细实线）表示铁桶中水面高度，
1
y （粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前
2
铁桶和水池内均无水），则y ,y 随时间t变化的函数图象大致为（ ）
1 2
A． B．
C． D．
【答案】C
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【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】解：根据图象知，t=t 时，铁桶注满了水，0≤t≤t ，y 是一条斜线段，t>t ，y 是一条水平线
1 1 1 1 1
段，
当t=t 时，长方体水池开始注入水；当t=t 时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变
1 2
得平缓；当t=t 时，长方体水池满了水，
3
∴y 开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
2
观察函数图象，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的
类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式8-3】（2023·山东滨州·统考中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当
pH>7时溶液呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大
致反映NaOH溶液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，NaOH溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH的值则接近
7，据此即可求解．
【详解】解：∵NaOH溶液呈碱性，则pH>7，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，pH的值则
接近7，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．
【题型9 从函数图象中获取信息】
【例9】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，他们一天生
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产零件的个数y与生产时间t的关系如图所示．
(1)根据图象填空：
①甲、乙两人中， 先完成一天的生产任务;在生产过程中， 因机器故障停止生产________时;
②当t= 时，甲、乙生产的零件个数相等;
(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快，求该段时间内，他每小时生产零件的个数．
【答案】(1)①甲；甲；2；②3或5.5
(2)10
【分析】（1）①根据图象直接填写即可；②根据图象中两函数图象交点即为甲、乙生产的零件个数相等
时的信息．
（2）根据图象即可得到生产速度最快的时间段，再根据题意即可求出最快的速度．
【详解】（1）①由图象可知，甲先完成一天的生产任务;在生产过程中，甲因机器故障停止生产4−2=2
小时;
②由图象可知，
当t=3或t=5.5时，两函数图象相交，即为甲、乙生产的零件个数相等
故为3或5.5时，甲、乙生产的零件个数相等．
（2）由图象可知甲在4∼7时内倾斜角度最大，生产速度快；
40−10
此时甲每小时生产零件的个数为 =10（个）．
7−4
【点睛】本题考查了从图象中获取信息，解题的关键是根据题意得到相关的信息．
【变式9-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码
头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头．在整个过程中，这条小船与B码头的距离x（单位：m）
与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A
码头的速度分别为（ ）
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A．15m/min，25m/min B．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min
【答案】D
【分析】根据路程除以时间结合函数图象即可求解．
1500
【详解】解：依题意，小船从A码头到B码头的速度为 =30(m/min)，
50
1500
从B码头返回A码头的速度为 =25(m/min)，
160−100
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键．
【变式9-2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美
著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙
两名选手同时参加了往返10km（单程5km）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（
km）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 km．
【答案】4
【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4，再根据相遇时用了0.625小时，列方程求解．
【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为(x−4)千米/小时，
5
则： [(x−4)+x]=5×2，
8
解得：x=10，
∴x−4=6，
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10
∴10−6× =10−6=4，
10
故答案为：4．
【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键．
【变式9-3】（2023·北京·统考中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为x 个单位质量，第二次用水量为x 个单位质量，总用水量为(x +x )个单位质量，两次
1 2 1 2
清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
x 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
1
x 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
2
x +x 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
1 2
C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x 和总用水量x +x 之间的关系，
1 1 2
在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个
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位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位
质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后
的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<
【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；
（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为
4个单位质量时，总用水量最小；
（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；
（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达
到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．
【详解】（Ⅰ）表格如下：
x 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
1
x 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
2
x +x 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
1 2
0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990
C
√ √ √ √ √ √ √ √ √
（Ⅱ）函数图象如下：
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由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到
0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C<0.990，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．
【题型10 动点问题的函数图象】
【例10】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点B出发沿折线
BCDA做匀速运动，设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，下列图象能表示y与x之间函数关系的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．
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1
【详解】解：当P在BC上，即0
