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考点巩固卷 07 导数的概念、运算及其几何意义（八大考点）
考点01:导数的定义
1．设函数 可导且 在 处的导数值为1，则 ______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.
【详解】依题意， ，
所以 .
故答案为： .
2．已知 是 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象只可能是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.
【详解】由题中 的图象可以看出，在 内， ，
且在 内， 单调递增，
在 内， 单调递减，
所以函数 在 内单调递增，
且其图象在 内越来越陡峭，
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学科网（北京）股份有限公司在 内越来越平缓．
故选：D．
3．若 ，则函数 在 处可导是函数 在 可导的（ ）．
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】利用定义法直接判断.
【详解】充分性：函数 在 处可导不能推出函数 在 可导.故充分性不满足；
必要性：因为函数 在 可导， ，所以函数 在 可导.必要性满足.
故函数 在 处可导是函数 在 可导的必要非充分条件.
故选：C
4．某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量 与时
间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知
整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（ ）
A．在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在 ， ， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【分析】根据题目中的数学模型建立关系，比较甲乙企业的污水治理能力.
【详解】设甲企业的污水排放量 与时间t的关系为 ，乙企业的污水排放量 与时间t的关系为
.
对于A选项，在 这段时间内，甲企业的污水治理能力 ，
乙企业的污水治理能力 .由图可知， ，
所以 ,即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A选项错误；
对于B选项，由图可知， 在 时刻的切线斜率小于 在 时刻的切线斜率，
但两切线斜率均为负值，故在 时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B选项错误；
对于C选项，在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
故甲、乙两企业的污水排放都达标，故C选项错误；
对于D选项，由图可知，甲企业在 ， ， 这三段时间中，
在 时 的差值最大，所以在 时的污水治理能力最强，故D选项正确，
故选：D.
考点02:导数的四则运算和复合函数求导
5．求下列函数的导函数：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用函数求导的除法法则运算即可；
（2）利用函数求导的乘法法则运算即可；
【详解】（1） ，
（2）
6．求下列函数的导数
(1) ；
(2) .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用和的导数运算法则求导得解；
（2）利用商的导数运算法则求导得解.
【详解】（1）因为 ，则 .
（2）由题得 = ＝ ＝－ .
7．求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得；
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据导数的运算法则计算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
8．（多选）下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，可得：
对于A中，由 ，所以A错误；
对于B中，由 ，所以B正确；
对于C中，由 ，所以C错误；
对于D中，由 ，所以D正确.
故选：BD.
9．求下列函数的导函数
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
【分析】（1）根据基本初等函数导数公式和导数四则运算法则求解；
（2）设 ，利用复合函数求导法则求解；
（3）化简函数解析式，设 ，利用复合函数求导公式求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ；
（2）函数 可看做函数 和 的复合函数，
由复合函数求导法则可得 ，
（3） 可化为 ，
函数 可看做函数 和 的复合函数，
由复合函数求导法则可得 ，
10．已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
① ， ② ， ③ ， ④ .
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ,所以①错,
因为 ,所以②错,
因为 ,所以③错.
因为 , 所以④错,
故选：A.
考点03:“在”点处的切线问题
11．已知函数 的图像在点 处的切线为l，若l与函数 的图像也相切，切点为
，则 ___________.
【答案】9
【分析】先求出 ，求出切线方程，进而求得 ，即可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，
所以切线l的方程为 ，即 .
所以 ，则 ， .
故答案为：9.
12．已知 是实数，函数 ，若 ，则曲线 在点 处的切线方程是
_________．
【答案】
【分析】求导后根据 求得 ，再求得切点坐标和斜率，从而可求解.
【详解】函数 的导数为 ，
，即为 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，即 ，
可得曲线 在点 处的切线斜率为3 ，切点为 ，
所以切线的方程为 ，即为 .
故答案为： .
13．已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对函数求导，将 代入求出 的值即可.
【详解】由题设 ，则 ，故 ，
故在点 处的切线斜率为 .
故选：A
14．直线 是曲线 在 处的切线方程，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，利用切点处的导数值为切线斜率，进而把切点代入切线方程可求解 .
【详解】由 得 ，所以 ，
当 时， ，故切点为 ，由于切点在 上，所以 ，故 ，
故选：B
15．曲线 在点 处的切线方程为______．
【答案】
【分析】根据求导公式和导数几何意义和直线方程的点斜式求法即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
所以 ，
则 ，
又 ，
所以曲线在点 处的切线方程为 ，
即 ．
故答案为： .
16．已知函数 ，其图象在点 处的切线方程为 ，则它在点
处的切线方程为_________．
【答案】
【分析】根据 在 处的切线方程为 可得 ，且 ，根据 的解析式和
导数可求 和 ，从而可求得结果．
【详解】∵在点 处的切线方程为 ，
∴ ，且 ，
又 ，
∴ ，且 ，
∴点 为 ，在 处切线斜率为 ，
∴所求切线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
考点04:“过”点的切线问题
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学科网（北京）股份有限公司17．过点 作曲线 的切线，则切点的横坐标为_______________，这条切线在x轴上的截
距为_______________．
【答案】
【分析】设出切点坐标为 ，利用导数的几何意义可得切线斜率为 ，再由两点间斜率公
式可得 ，解得 ，即可求得切线方程，进而得出结果.
【详解】设切点坐标为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
所以切线方程为 ，
可知该切线在x轴上的截距为 ．
故答案为： ，
18．求过 且与曲线 相切的直线方程．
【答案】 或 .
【分析】设切点是 ，由 求导可得 ，再利用导数的几何意义结合斜率公式可得
，解得 或 ，进而可求切线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】 点 不在曲线 上，
点 不是切点，设切点是 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 ，
，即 ，
解得 或 ，
切线的斜率 或 ，
切线的方程是 或 ，即 或 .
19．若直线 为曲线 的一条切线，则实数 的值是__________．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义、导数的运算公式以及切线方程的求法求解.
【详解】由 ，可得 ，
设切点为 ，则 ，
故切线方程为 ，即 ，
又因为切线为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
故答案为： .
20．（多选）过点 且与曲线 相切的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
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学科网（北京）股份有限公司【分析】设出切点 ，利用导数的几何意义得出切线方程为 ，再利用条件得到方
程 ，从而求出 ，进而可求出切线方程.
【详解】设切点为 ，因为 ，所以 ，故切线方程为 ，
又因为切线过点 ，所以 ，整理得 ，解得 或 ，
当 时，切线方程为 ，即 ，
当 ，切线方程为 ，即 .
故选：BC.
21．已知函数 ，其导函数为 ，则曲线 过点 的切线方程为______．
【答案】 或
【分析】设切点为 ，对函数进行求导，且代入 可得 ，故可由点斜式得到切线方程，
将 代入即可求得 或 ，即可求得切线方程
【详解】设切点为 ，由 ，得 ，
∴ ，得 ，∴ ， ，
∴切点 为 ， ，
∴曲线 在点M处的切线方程为 ①，
又∵该切线过点 ，∴ ，解得 或 ．
将 代入①得切线方程为 ；
将 代入①得切线方程为 ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司∴曲线 过点 的切线方程为 或 ．
故答案为： 或
22．若曲线 有两条过 的切线，则a的范围是______.
【答案】
【分析】由题可将曲线 有两条过 的切线转化为函数 图象与直线
有两个交点.后利用导数研究 单调性，画出 大致图象，即可得答案.
【详解】设切线切点为 ，因 ，则切线方程为：
.
因过 ，则 ，由题函数 图象
与直线 有两个交点. ，
得 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ， ， .
据此可得 大致图象如下.则由图可得，当 时，曲线 有两条过 的切线.
故答案为：
考点05:已知切线（斜率）求参数
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学科网（北京）股份有限公司23．若曲线 在点 处的切线的斜率为2，则t的值为（ ）
A．–1 B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】求导解方程 即得解.
【详解】由题得 ，所以 .
故选：C
24．已知函数 曲线 在点 处的切线方程为 ，则a，b的值分
别为________．
【答案】1，1
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应方程组，即可求得答案.
【详解】由题意可得 ,.
由于直线 的斜率为 ，且过点 ，
故 ，即 ，解得 ，
故答案为：1，1
25．已知函数 ，其中 ，若曲线 在 处的切线斜率为1，则
的最小值为______．
【答案】 /
【分析】根据导数的几何意义可得 ，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
由题意可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
26．若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.
【详解】由题设，知 处的切线的斜率为 ，
又因为 ，
所以 ，解得 .
故选：A.
27．已知 ， 为正实数，函数 在 处的切线斜率为 ，则 的最小值为
______ ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义求得 ，再根据基本不等式，求最值.
【详解】 函数 ，
所以
因为函数 的图象在 处的切线斜率为 ，
所以 ，
因为 ， 为正实数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
28．若直线 与曲线 相切，则 _________.
【答案】2
【分析】设切点为 ，由导数的几何意义可得 ，令 ，求导判断单调性，
从而可解得 .
【详解】设切点为 ， ，则 ，解得 .
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.所以
，
所以方程 的根为 .
故答案为：2
考点06:两切线的平行、垂直问题
29．函数 在 处的切线与直线 平行，则实数 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于 的方程，可求
出 的值.
【详解】函数 的导函数为 ，
函数在 处的切线的导数即为切线的斜率为 ，
且切线与直线 平行，
则有 ，可得 .
故选：B
30．设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导数求解 ，由两直线平行斜率相等即可求解.
【详解】由 得 ，故 ，
由于点 处的切线与直线 平行，且直线 的斜率为 ，所以
，
故选：C
31．（ 2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数 图像在点 和点
处的两条切线互相垂直，若 ，则实数a的范围是________．
【答案】
【分析】假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率 ，分析题意可得 ，即可解得a的
范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由题意， 则
不妨设 ，点 和点 ，两切线的斜率分别为 ，
∴ ，∴ ，
∴ 等价于 ，
等价于 或
解得 ，或 ．故a的范围是 ．
故答案为： .
32．已知函数 .若存在 ， ，使得曲线 在 ， 处
的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【分析】将 化为分段函数并求导，根据导数的几何意义得 ，即 ，再
由 推出 ，代入 可求出结果.
【详解】 ， ，
因为 ，且 ，
所以 , ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ，又 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 .
故答案为：
考点07:公切线问题
33．已知曲线 和曲线 有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方
程为________．
【答案】
【分析】设切点坐标为 ，根据导数的几何意义可得 ，即可求得
，继而求出切点坐标以及切线斜率，即得答案.
【详解】设曲线 和曲线 在公共点 处的切线相同，
则 ，
由题意知 ，
即 ，解得 ，
故切点为 ，切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ，
故答案为：
34．已知函数 ，若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的最
大值为__________．
【答案】 /0.5
【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.
【详解】 ，
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学科网（北京）股份有限公司假设两曲线在同一点 处相切，
则 ，可得 ，即 ，
因为函数 单调递增，且 时 ，
所以 ，则 ，此时两曲线在 处相切，
根据曲线的变化趋势，若 继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
35．已知函数 ，若曲线 在 处的切线也与曲线 相切，则 ______．
【答案】
【分析】求出曲线 的切线方程，设曲线 的切点坐标为 ，求出切线斜率，切
线方程后，利用两切线重合可得参数 值．
【详解】由已知 ， ，又 ，所以切线方程为 ，
又 ，设 上切点坐标为 ，
则 ， ，由 得 ， ，
所以 ，
故答案为： ．
36．已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线相同，则
（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】根据常用函数的导数可知： ， ，
则两函数在点 和 处的切线分别为： ，化简得
由题意可得： ，化简得 .
故选：B
37．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得 .将切点代入两条曲线，联立方程可分
别求得 ,代入其中一条曲线即可求得 的值，由此可求 .
【详解】直线 是曲线 的切线,也是曲线 的切线,
则两个切点都在直线 上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为 ,
由导数的几何意义可知 ,则
且切点在各自曲线上,所以
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学科网（北京）股份有限公司则将 代入 可得
可得
由 可得
代入 中可知
所以 ，
所以 .
故选：D.
38．若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，设公切线与 切于点 ，与曲线 切于点 ，
，即可得到 ，则 或 ，从而得到 ，在令
， ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
设公切线与 切于点 ，与曲线 切于点 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，
则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以实数 的最小值为 .
故选：A
考点08:与切线有关的最值（范围）问题
39．已知 为函数 图象上一点，则曲线 在点 处的切线的倾斜角的最小值为
（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】由导数的几何意义可求出切线的斜率即为 的范围，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为 ，即曲线 在点 处的切线的斜率 ，
所以倾斜角 ，即倾斜角的最小值为 .
故选：A.
40．若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ， ，求两个曲线公切线的斜率即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设 ， ，依题意只需求公切线斜率即可.
， ，设切点分别为 ， ，
则切线方程为 ，即 .
，即 .
则 ，由①得 ，
代入②得： ，则 ，
故公切线斜率为 或 ，如图， .
故选：C.
41．已知 ，若点 为曲线 ： 与曲线 ： 的交点，且两条曲线在点 处的
切线重合，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设点 的横坐标为 ，则由 可得 ， ，
又 可得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 或 （舍去），
由点 为曲线 ： 与曲线 ： 的交点，
所以 与 为同一点，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，
令 可得 ，
由 知，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
故实数 的最大值为 .
故选：B
42．若曲线 有两条过 的切线，则 的范围是____________．
【答案】
【分析】由题可将曲线 有两条过 的切线转化为函数 图象与直线 有两个
交点，然后利用导数研究 单调性，画出 大致图象，即可得答案．
【详解】设切线切点为 , ，又 ，所以切线斜率为
因为 ，所以切线方程为： ．
又切线过 ，则 ，即
则由题可知函数 图象与直线 有两个交点，
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学科网（北京）股份有限公司由 得 ，由 得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
又 ，又 ， ， ， ．
据此可得 大致图象如下．
则由图可得，当 时，曲线 有两条过 的切线．
故答案为： .
43．若存在直线与曲线 都相切，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用导数的几何意义求出两个曲线的公切线，建立方程消参得 ，
构造函数，求导研究函数的单调性求值域，解关于a的一元二次不等式即可.
【详解】设该直线与 相切于点 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以该切线方程为 ，即 .
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递减；在 和 上单调递增.
又 -1，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D.
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