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专题 14 反比例函数的图像、性质及应用【十二大题型】
【题型1 判断反比例函数图象】..............................................................................................................................2
【题型2 反比例函数上点的坐标特征】..................................................................................................................5
【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】.........................................................................................................7
【题型4 判断反比例函数经过象限】....................................................................................................................11
【题型5 由反比例函数图象分布象限求k值】....................................................................................................12
【题型6 由反比例函数增减性求值】....................................................................................................................15
【题型7 由反比例函数的性质比较大小】...........................................................................................................17
【题型8 与反比例函数有关的规律探究问题】...................................................................................................19
【题型9 已知比例系数求特殊图形面积】...........................................................................................................26
【题型10 反比例函数的实际应用】........................................................................................................................33
【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】.......................................................................................................37
【题型12 反比例函数与几何综合】........................................................................................................................45
【知识点 反比例函数】
1.定义
k
y=
x y=kx−1 xy=k
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式： 或 。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y轴永
不 相交 ．
2.反比例函数的图象及其性质
反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
y＝
k>0 k<0
(k为常数，k≠0)
图 象
所在象限 一.三(x，y同号) 二.四(x，y异号)
在每个象限内，y 在每个象限内，y
性 质
随x的增大而减小 随x的增大而增大
3.反比例函数的k的几何意义
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由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为 | k | .
如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
矩形PAOB
同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|.
△OPA △OPB
【题型1 判断反比例函数图象】
5 3
【例1】（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y= (x>0)和函数y=− (x<0)在同一平面直角坐标系的图
x x
象如图所示，则坐标系的纵轴是（ ）
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
【答案】B
【分析】根据反比例函数k的取值分析即可得到答案．
【详解】解：∵5>0，−3<0，
5 3
∴ y= (x>0)的图象在第一象限，y=− (x<0)的图象在第二象限，
x x
∵5>|−3|，
3
∴函数y=− (x<0)的图象更靠近坐标轴，
x
∴坐标系的纵轴是：y ，
2
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
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2022
【变式1-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）反比例函数y= 的大致图象是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象和性质即可进行解答．
2022
【详解】解：∵y= ，2022>0，
x
∴反比例函数图像经过第一象限和第三象限，
故选：A．
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数y= (k≠0)，当
x
k>0时，图象经过第一象限和第三象限；当k<0时，图象经过第二象限和第四象限．
1
【变式1-2】（2023·河北沧州·模拟预测）用绘图软件绘制直线l:y= x+1，直线与坐标轴的交点分别为
10
A，B，其中B不在可视范围内．视窗的大小不变，改变可视范围，且变化前后原点O始终在视窗中心．若
1 k
使点B在可视范围之内，需要将图中坐标系的单位长度至少变为原来的 （k为整数），则y= (x>0)的
k x
图象是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
1
【分析】已知的可视范围是−3≤x≤3,−2≤ y≤2，根据l:y= x+1得到B(−10,0)，可视范围是
10
3
≥10
−10≤x≤10，故1 ，求k的最小整数解即可．
k
【详解】∵已知的可视范围是−3≤x≤3,−2≤ y≤2，
1
根据l:y= x+1得到B(−10,0)，
10
∴可视范围是−10≤x≤10，
3
≥10
∴1 ，
k
1
解得k≥3
3
故k的最小整数解为k=4，
故选B．
【点睛】本题考查了可视范围问题，正确确定可视范围变化范围是解题的关键．
1
【变式1-3】（2023·湖南娄底·统考二模）函数y＝ 的大致图象是（ ）
x+1
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A． B．
C． D．
【答案】D
1 1
【分析】y＝ 的大致图象是由y＝ 向左平移1个单位得到，由此即可判断；
x+1 x
1 1
【详解】解：y＝ 的大致图象是由y＝ 向左平移1个单位得到，
x+1 x
1
∵y＝ 的图象是双曲线，图象在一、三象限，
x
1
∴函数y＝ 的大致图象是D．
x+1
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，掌握平移的法则是解题的关键．
【题型2 反比例函数上点的坐标特征】
【例2】（2023·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点A(x ,y )，B(x ,y )皆落于反
1 1 2 2
7
比例函数y= 图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x ⋅x 的值等于（ ）
x 1 2
A．−1 B．1 C．−7 D．7
【答案】C
【分析】由直线AB与第二象限角平分线垂直可知A、B关于直线y=−x对称，即有x =−y ，x =−y ，
1 2 2 1
再根据两点均在反比例函数图象，可得x ⋅y =x ⋅y =7，问题随之得解．
1 1 2 2
【详解】解：根据题意A、B关于直线y=−x对称，
∴x =−y ，x =−y ，
1 2 2 1
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
7
∵互不重合的两点A(x ,y )，B(x ,y )皆落于反比例函数y= 图象上，
1 1 2 2 x
∴x ⋅y =x ⋅y =7，
1 1 2 2
∴x ⋅x =x ⋅(−y )=−x y =−7，
1 2 1 1 1 1
故选：C．
【点睛】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据A、B关于直线y=−x对称，得出
x =−y ，x =−y ，是解答本题的关键．
1 2 2 1
k
【变式2-1】（2023·广西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y= (k≠0)
x
的图象交于A(x ,y )，B(x ,y )两点，则y + y 的值是 ．
1 1 2 2 1 2
【答案】0
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得y + y
1 2
k
【详解】∵一次函数y=2x与反比例函数y= (k≠0)的图象交于A(x ,y )，B(x ,y )两点，
x 1 1 2 2
k
一次函数y=2x与反比例函数y= (k≠0)的图象关于原点对称，
x
∴ y + y =0
1 2
故答案为：0
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键．
m
【变式2-2】（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x与双曲线y= 交于A，B
x
两点．若点A，B的纵坐标分别为y ,y ，则y + y 的值为 ．
1 2 1 2
【答案】0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴y + y =0，
1 2
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对
称这个特点即可解题.
【变式2-3】（2023·辽宁·中考真题）如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点
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4 k
C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣ 和y＝ 的图象上，则k的值为 ．
x x
【答案】12．
AE OE OA √3
【分析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过 AOE∽△BOF，得到 = = = ，设
OF BF OB 3
△
4 4 4√3
A(m,− )，于是得到AE=-m，OE=− ，从而得到B( ,√3m)，，于是求得结果．
m m m
【详解】解：过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，
∵∠AOB=90°，∠ABC=30°，
OA √3
∴tan30°= = ，
OB 3
∵∠OAE+∠AOE=∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
∴ΔAOE∽ΔBOF，
AE OE OA √3
∴ = = = ，
OF BF OB 3
4
设A(m,− )，
m
4
∴AE=−m，OE=− ，
m
4√3
∴OF=√3AE=−√3m，BF=√3OE=− ，
m
4√3
∴B( ,√3m)，
m
4√3
∴k= ·√3m=12．
m
故答案为12．
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和
利用三角函数进行解答.
【题型3 由反比例函数图象确定其解析式】
k
【例3】（2023·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y= （k≠0）的图象如图所示，则k的值可
x
能是（ ）
A．5 B．12 C．−5 D．−12
【答案】C
【分析】根据图象，当x=−3时，y<3，则0>k>−9；当x=2时，y<−2，则k<−4，所以−9k>−9，
−3
k
当x=2时，y<−2，即 <−2，则k<−4，
2
∴−90，
6
∴可能是y= ，
x
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
k
【变式3-2】（2023·山东日照·日照市新营中学校考二模）如图，点A，B在反比例函数y= （k>0）的图
x
象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 ．
【答案】8
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得 AOM∽△BAN，即可得到关于k的
方程，解方程即可求得． △
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BAN=∠AOM，
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△AOM∽△BAN，
AM OM
∴ = ，
BN AN
k
∵点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
x
k
∴A（2， ），B（k，1），
2
k k
∴OM=2，AM= ，AN= -1，BN=k-2，
2 2
k
2 2
∴ = ，
k−2 k
−1
2
解得k=2（舍去），k=8，
1 2
∴k的值为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题
的关键．
k
【变式3-3】（2023·江苏无锡·统考二模）反比例函数y＝ 的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，
x
若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（ ）
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A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
【答案】B
【分析】由一次函数的解析式求得A、B的坐标，然后根据图象得到关于k的不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：∵点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，
∴a+5＝1，b＝﹣2+5，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴A（﹣4，1），B（﹣2，3），
由图象可知，¿，
解得﹣6＜k＜﹣4，
∴k的值可能为﹣5，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数与一次函数的综合，反比例函数图象等知识．解题的关键在于
根据A、B的位置与反比例函数的关系列不等式组．
【题型4 判断反比例函数经过象限】
k
【例4】（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点M(2,a)在反比例函数y= 的图象上，其中a，k为常数，
x
且k>0﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据反比例函数中的k>0，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M
所在的象限，即可解答
【详解】解：∵k>0，
k
∴反比例函数y= 的图象经过第一、三象限，
x
故点M可能在第一象限或者第三象限，
∵M(2,a)的横坐标大于0，
∴M(2,a)一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象
限与k值的关系是解题的关键．
k
【变式4-1】（2023·河北保定·校考模拟预测）如果反比例函数y= （k是常数，且k≠0）的图象经过点
x
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A(1,−2)，那么这个反比例函数的图象在第 象限．
【答案】二、四
k
【分析】将点A(1,−2)代入y= 求出k的值，再根据反比例函数的性质，即可进行解答．
x
k k
【详解】解：将点A(1,−2)代入y= 得：−2= ，
x 1
解得：k=−2，
∵k=−2<0，
∴这个反比例函数的图象在第二、四象限．
故答案为：二、四．
k
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数y= (k≠0)，当k<0时，图象
x
经过二、四象限；当k>0时，图象经过一、三象限．
k
【变式4-2】（2023·湖南郴州·模拟预测）已知反比例函数y= （k≠0），当x y ，那么一次函数y=kx+2的图象不经过（ ）
1 2 1 2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据当x y ，得知k>0，再根据一次函数y=kx+2的图象性质即可作答．
1 2 1 2
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
【详解】解：∵A(x ,y )，B(x ,y )是反比例函数y= (k≠0)图象上的两点，当x y ，
1 1 2 2 x 1 2 1 2
k
∴y= (k≠0)经过第一、三象限，即k>0，
x
那么一次函数y=kx+2的图象经过第一、二、三象限，
所以一次函数y=kx+2的图象不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象性质，正确掌握反比例函数图象以及一次函数
图象性质是解题的关键．
【题型5 由反比例函数图象分布象限求k值】
【例5】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）若反比例函数y=(2m−1)xm2−2的图像在第二、
四象限，则m的值是（ ）
1
A．−1或1 B．小于 的任意实数 C．−1 D．不能确定
2
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．
【详解】解：∵y=(2m−1)xm2−2是反比例函数，
∴¿，
解之得m=±1．
又因为图象在第二，四象限，
所以2m-1＜0，
1
解得m＜ ，即m的值是-1．
2
故选：C．
k
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数y= （k≠0）．k＞0，反比例函数在一、
x
三象限；k＜0，反比例函数在第二、四象限内．
3−2m
【变式5-1】（2023·浙江杭州·模拟预测）若反比例函数y= 的图象在二、四象限，则m的值可以是
x
（ ）
A．−1 B．2 C．1 D．0
【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
3−2m
【分析】根据反比例函数y= 的图象在二、四象限，可知3-2m＜0，从而可以求得m的取值范围，
x
然后即可解答本题．
3−2m
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象在二、四象限，
x
∴3-2m＜0，
3
解得，m> ，
2
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数
的性质解答．
【变式5-2】（2023·四川成都·校考三模）若数a使关于x的不等式组¿有且仅有三个整数解，且使关于x的
3−2a
反比例函数y＝ 经过一，三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
x
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】解关于x的不等式组，根据整数解得个数确定a的取值范围，再根据反比例函数的性质，进一步
确定a的取值范围，得出整数a的值，进而计算其和即可．
【详解】解：解不等式组得，
5+2a
＜x≤3，
11
又∵不等式组仅有三个整数解，
5+2a
∴0≤ ＜1，
11
5
∴﹣ ≤a＜3，
2
3-2a
又∵反比例函数y＝ 经过一，三象限，
x
∴3﹣2a＞0，
3
∴a＜ ，
2
5 3
∴﹣ ≤a＜ ，
2 2
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因此整数a为﹣2，﹣1，0，1，
所以所有满足条件的整数a的值之和为﹣2，
故选：B．
【点睛】反比例函数的性质、一元一次不等式组的整数解，熟练并正确解不等式组是关键
k k k
【变式5-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）反比例函数y = 1，y = 2，y = 3在同一坐标系中的图
1 x 2 x 3 x
象如图所示，则k ，k ，k 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．k >k >k B．k >k >k C．k >k >k D．k >k >k
3 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象的性质．k<0时，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，
y随x的增大而增大；k＞0时，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
先根据函数图象所在的象限判断出k 、k 、k 的符号，再用取特殊值的方法确定符号相同的反比例函数
1 2 3
的取值．
k k k
【详解】解：由图知，y = 3的图象在第三象限，y = 1，y = 2的图象在第四象限，
3 x 1 x 2 x
∴k <0，k <0，k >0，
1 2 3
又当x=1时，有k k >k ．
3 2 1
故选：C．
【题型6 由反比例函数增减性求解】
k
【例6】（2023·湖南永州·统考二模）在反比例函数y= (k≠0)的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
x
且整式x2−kx+9是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
6
【答案】y=
x
【分析】根据反比例函数的性质得到k>0，再根据完全平方式求得k值即可求解．
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k
【详解】解：∵在反比例函数y= (k≠0)的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
x
∴k>0，
∵整式x2−kx+9是一个完全平方式，
∴−k=±2×3=±6，
∴k=6，
6
∴该反比例函数的解析式为y= ，
x
6
故答案为：y= ．
x
【点睛】本题考查反比例函数的性质、完全平方式，熟知完全平方式的结构特征和反比例函数的性质是解
答的关键．
3−m
【变式6-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）在反比例函数y= 的图像在某象限内，y随着x的增大
x
而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m>−3 B．m<−3 C．m>3 D．m<3
【答案】D
【分析】直接利用反比例函数增减性得出m的取值范围即可．
3−m
【详解】解：根据题意，反比例函数y= 的图像在某象限内，y随着x的增大而减小，
x
则有3−m>0，解得m<3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
1
【变式6-2】（2023·北京·101中学校考模拟预测）已知点A(a,y ),B(a+1,y )在反比例函数y= 的图象
1 2 x
上，且y 0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设x=1时y=b，则当x=3时，y=b+4，
∴b=3（b+4），
解得b=-6，
∴k=-6；
∴k=6或-6，
故答案为：6或-6．
【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k<0时，在每
个象限内y随x的增大而增大，以及正确解一元一次方程．
【题型7 由反比例函数的性质比较大小】
6
【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，
1 1 2 2 x
x <0|x |，则下列结论一定正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y + y >0 B．y ⋅y >0 C．y + y <0 D．y −y >0
1 2 1 2 1 2 1 2
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【答案】A
【分析】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
6
【详解】解：y= 的k=6>0，
x
6
∴反比例函数y= 的图象在第一、三象限，
x
6
∵A(x ,y ),B(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，x <0|x |，
1 1 2 2 x 1 2 1 2
∴y <00，
1 2
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中k与图象的象限关系是解决问题的关键．
【变式7-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知点(x , y )、(x , y❑❑)、(x , y )都在反比例函数
1 1 2 2 3 3
4
y= 的图象上，若x <0y >0，y <0，
2 3 1
∴y b>c B．a>c>b C．b>c>a D．b>a>c
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【答案】B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到−(k2+1)<0，则可以判断图象的位于二四象限，再根据
点的纵坐标，判断出具体象限，再根据纵坐标比较出横坐标的关系，即可得到答案．
【详解】解：∵ −(k2+1)<0
∴在各自象限内，y随x的增加而增加
∵ −10，bc>b
故选：B．
k
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲
x
线，掌握反比例函数的性质是解答此题的关键．
2023
【变式7-3】（2023·湖北武汉·校联考一模）已知点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y=− 的图像
1 1 2 2 x
上，且x ＜0＜x ，则下列结论一定正确的是（ ）
1 2
A．y + y ＜0 B．y + y ＞0 C．y ＜y D．y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【分析】根据反比例函数图像与性质即可得到答案．
2023
【详解】解：∵ y=− 的k=−2023<0，
x
2023
∴反比例函数y=− 的图像在第二、四象限，
x
2023
∵点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y=− 的图像上，且x ＜0＜x ，
1 1 2 2 x 1 2
∴y >0>y ，
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数中k与图像的象限关系是解决问题的关键．
【题型8 与反比例函数有关的规律探究问题】
【例8】（2023·辽宁·统考一模）如图，点 ( √3)在直线 √3 上，过点 作 交直线
B 1, l :y= x B A B ⊥l
1 3 2 3 1 1 1 1
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k
l:y=√3x于点A ，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，过C 的反比例函数为y= 1；再
1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
过点C 作A B ⊥l ，分别交直线l 和l 于A ,B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形
1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2
k
A B C ，过C 的反比例函数为y= 2，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的k = ．（用
2 2 2 2 x n
含n的代数式表示）
2√3 (9) n−1 2√3 (3) 2n−2
【答案】 × 或 ×
3 4 3 2
3 n−1 2√3
【分析】l 与l 的夹角30°，利用直角三角形求出OB =( ) × , C 的横坐标
1 2 n 2 3 n
3 n−1 3 n−1 2√3
OB •cos30°=( ) , C 的纵坐标2OB •sin30°=( ) × , 即可求解；
n 2 n n 2 3
√3
【详解】解：直线l :y= x 与x轴夹角为30°，
2 3
直线l :y=√3x与x轴夹角为60°，
1
∴l 与l 的夹角30°，
1 2
∵A B ⊥l ，
1 1 1
∴∠OB A =60°,
1 1
∵等边三角形A B C ，
1 1 1
∴B C ⊥x轴，
1 1
√3
∵B (1, ),
1 3
2√3
∴OB = ,
1 3
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√3
∴B C = ,
1 1 3
2√3
∴C (1, ),
1 3
2√3
∴k = ,
1 3
2√3 √3
∴OB = + =√3,
2 3 2
√3
∴A B =OB sin30°= ,
2 2 2 2
3
∴B 的横坐标OB •cos30°= ,
2 2 2
√3
B 的纵坐标OB •sin30°= ,
2 2 2
3
∴C ( ,√3),
2 2
3√3
∴k = ,
2 2
3 n−1 2√3 3 n−1
以此得到OB =( ) × , C 的横坐标OB •cos30°=( ) ,
n 2 3 n n 2
3 n−1 2√3
C 的纵坐标2OB •sin30°=( ) × ,
n n 2 3
3 n−1 3 n−1 2√3 2√3 3 2n−2
∴k =( ) ×( ) × = ×( ) ,
n 2 2 3 3 2
2√3 3 2n−2
故答案为 ×( ) .
3 2
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象及性质，锐角三角函数值，平面内点的坐标特点；能够通过
直角三角形中30°的特点，求出边的关系是解题的关键．
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【变式8-1】（2023·河北张家口·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、
1
k
B分别在x轴、y轴上，点P 在反比例函数y= (x>0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使
1 x 1 1 1 1 2
顶点P 落在反比例函数的图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图
2 2 1 2 2 1 2 3 3
象上，…，依此规律，作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为（ ）
18 17 18 19 19
1 1 1 1
A．(218,
) B．(
,218
)
C．(215,
) D．(
,215
)
218 218 215 215
【答案】A
【分析】先根据题意得出P 点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P，P 的坐标，找
1 2 3
出规律即可得出结论．
k
【详解】解：∵正方形OAP B的边长为1，点P 在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
1 1 x
∴P（1，1），
1
∴k=1，
1
∴在反比例函数的解析式为：y= ，
x
∵B 是PA的中点，
1 1
1
∴PA=AB = ，
2 1 1 2
∴OA =2，
1
1
∴P（2， ），
2 2
1
同理，P（22， ），
3 22
…
1
∴P（2n-1， ）．
n 2n−1
当n=19时，则有
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1
P 的坐标为：（218， ）
19 218
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．
【变式8-2】（2023·江西·南昌市育新学校校联考一模）如图，四边形OP AB ，APAB ，
1 1 1 1 2 2 2
APAB ，……，A PAB 都是正方形，对角线OA ，AA，AA，……，A A 都在y轴上（n≥1的整
2 3 3 3 n-1 n n n 1 1 2 2 3 n-1 n
k
数），点P（x，y），P（x，y），……，P（x，y）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知
1 1 1 2 2 2 n n n x
B （-1,1）.
1
k
（1）求反比例函数y= 的解析式；
x
（2）求点P 和P 的坐标；
2 3
（3）由（1）、（2）的结果或规律试猜想并直接写出： PB O的面积为 ，点P 的坐标为______（用含n
n n n
的式子表示）. △
1
【答案】（1）反比例函数的解析式为y= ；（2）点P 的坐标为（√3-√2，√3+√2）；（3）1，（√n-
x 3
√n−1，√n+√n−1 ）
【详解】试题分析：（1）由四边形OP AB 为正方形且OA 是对角线知B 与P 关于y轴对称，得出点P
1 1 1 1 1 1 1
（1，1），据此可得答案；
（2）连接PB 、PB ，分别交y轴于点E、F，由点P 坐标及正方形的性质知OA =2，据此可设P 的坐标
2 2 3 3 1 1 2
为（a，a+2），代入解析式求得a的值即可，同理可得点P 的坐标；
3
1 1
（3）由S =2S =2× =1，S =2S =2× =1可知 PB O的面积为1，根据P（1，1）、P（
△P1B1O △P1CO 2 △P2B2O △P2EO 2 n n 1 2
△
√2-1，√2+1）、P（√3-√2，√3+√2）知点P 的坐标为（√n-√n−1，√n+√n−1 ）．
3 n
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试题解析：（1）在正方形OP AB 中，OA 是对角线，则B 与P 关于y轴对称，又B （-1，1），
1 1 1 1 1 1 1
∴P（1，1），k=1.
1
1
∴反比例函数的解析式为y= .
x
（2）连接PB ，PB 分别交y轴于点E，点F，又点P（1，1），
2 2 3 3 1
1
∴OA =2，设点P 的坐标为（a，a+2），将点P（a，a+2）代入y= （x＞0），可得a=√2-1，故点P 的坐
1 2 2 x 2
标为（√2-1，√2+1）；（4分）
则AE=A E=2√2-2，OA =OA+A A=2√2，
1 2 2 1 1 2
1
设点P 的坐标为（b，b+2 √2），将P 的坐标（b，b+2 √2）代入y= （x＞0），可得b=√3-√2，故点P
3 3 x 3
的坐标为（√3-√2，√3+√2）；
1 1
（3）∵S =2S =2× =1，S =2S =2× =1，…
△P1B1O △P1CO 2 △P2B2O △PaEO 2
∴△PnBnO的面积为1，
由P(1，1)、P(√2−1，√2+1)、P(√3−√2，√3+√2)知点Pn的坐标为（√n-√n−1 ， √n+√n−1）
1 2 3
故答案为：1，（√n-√n−1 ， √n+√n−1）
【变式8-3】（2023·浙江衢州·统考一模）如图1～4所示，每个图中的“7”字形是由若干个边长相等的正
1
方形拼接而成，“7”字形的一个顶点P落在反比例函数y= 的图象上，另“7”字形有两个顶点落在x轴上，
x
一个顶点落在y轴上．
（1）图1中的每一个小正方形的面积是 ；
（2）按照图1→图2→图3→图4→…这样的规律拼接下去，第n个图形中每一个小正方形的面积是
．（用含n的代数式表示）
1 n2+1
【答案】
3 n(n+1)(2n+1)
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【分析】（1）作PA⊥y轴于点A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，设每一个小正方形
OB AP CE a
的边长为a，由正方形的性质可证△ECD∽△OBC∽△APB，从而可求出 = = = =1．再结
OC AB ED a
合勾股定理可求出AB=AP=
2a
，OA=
3a
，即P
(2a
,
3a)
，从而可得出
2a
×
3a
=1，即得出a2=
1
，
√2 √2 √2 √2 √2 √2 3
1
即图1中的每一个小正方形的面积是 ；
3
（2）由（1）同理求出图2，图3，图4中每一个小正方形的面积，然后总结规律求解即可．
【详解】解：作PA⊥y轴于点A，图中的“7”字形与坐标轴的交点分别为B、C、D，如图1，
设每一个小正方形的边长为a，
由正方形的性质可证△ECD∽△OBC∽△APB，
CE DE CE DE
∴ = ， = ，
OB OC AP AB
OB AP CE a
∴ = = = =1．
OC AB ED a
∵OB2+OC2=BC2，BC=a，
a
∴OB=OC= ．
√2
∵AB2+AP2=BP2，BP=2a，
2a
∴AB=AP= ，
√2
3a
∴OA=AB+OB= ，
√2
(2a 3a)
∴P , ，
√2 √2
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2a 3a
∴ × =1，
√2 √2
1 1
∴a2=
，即图1中的每一个小正方形的面积是 ．
3 3
1
故答案为： ；
3
（2）如图2，
由（1）同理可证△ECD∽△OBC∽△APB，
CE DE CE DE
∴ = ， = ，
OB OC AP AB
OB AP CE 2a
∴ = = = =2．
OC AB ED a
∵OB2+OC2=BC2，BC=a，OB=2OC，
2a
∴OB= ．
√5
∵AB2+AP2=BP2，BP=3a，AP=2AB，
3a 6a
∴AB= ，AP= ，
√5 √5
5a
∴OA=AB+OB= ，
√5
(6a 5a)
∴P , ，
√2 √2
6a 5a
∴ × =1，
√2 √2
1 1
∴a2=
，即此时每一个小正方形的面积是 ；
15 15
如图3，
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由（1）同理可证△ECD∽△OBC∽△APB，
CE DE CE DE
∴ = ， = ，
OB OC AP AB
OB AP CE 3a
∴ = = = =3．
OC AB ED a
5 5
同理可求出a2=
，即此时每一个小正方形的面积是 ；
42 42
如图4，
17
同理可得a2=
；
180
…；
1 2 12+1
∵第1个图形每个小正方形的面积= = = ；
3 1×2×3 1×(1+1)×(2+1)
1 2 22+1
第2个图形每个小正方形的面积= = = ；
15 2×3×5 2×(2+1)×(2×2+1)
5 10 32+1
第3个图形每个小正方形的面积= = = ；
42 3×4×7 3×(3+1)×(2×3+1)
17 17 42+1
第4个图形每个小正方形的面积= = = ；
180 4×5×9 4×(4+1)×(2×4+1)
…；
n2+1
∴第n图形每个小正方形的面积 ．
n(n+1)(2n+1)
n2+1
故答案为： ．
n(n+1)(2n+1)
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【点睛】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数的图象和性质，图形类规律探索．
掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其函数解析式，和利用数形结合的思想是解题关键．
【题型9 已知比例系数求特殊图形面积】
k
【例9】（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线AB与反比例函数y= (x<0)的图象交于点
x
A(−2,m)，B(n,2)，过点A作AC∥y轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使OC=2OD，连接
BC，AD．若△ACD的面积是6．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为第一象限内直线AB上一点，且△PAC的面积等于△BAC面积的2倍，求点P的坐标．
8
【答案】(1)y=− ；
x
(2)P(2,8)
【分析】（1）根据OC=2OD，可得三角形面积之比，计算出△AOC的面积，面积乘2即为|k|=8，解析
式可得；
（2）根据点的坐标求出直线AB的解析式为y=x+6，设符合条件的点P(m,m+6)，利用面积的倍数关系
建立方程解出即可．
【详解】（1）解：∵OC=2OD，△ACD的面积是6，
∴S =4，
△AOC
∴|k|=8，
∵图象在第二象限，
∴k=−8，
8
∴反比例函数解析式为：y=− ；
x
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8
（2）∵点A(−2,m)，B(n,2)，在y=− 的图象上，
x
∴m=4，n=−4，
∴A(−2,4)，B(−4,2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
¿，
解得：¿，
∴直线AB的解析式为y=x+6，
∵AC∥y轴交x轴于点C，
∴C(−2,0)，
1
∴S = ×4×2=4，
△ABC 2
设直线AB上在第一象限的点P(m,m+6)，
1
∴S = ×4×(m+2)=2S =8，
△PAC 2 △ABC
∴2m+4=8，
∴m=2，
∴P(2,8)．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
2
【变式9-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）如图，在直线l：y=x−4上方的双曲线y= (x>0)上有一
x
个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是 ．
【答案】3
( 2)
【分析】设P x, ，则Q(x,x−4)，将三角形面积用代数式的形式表示出来，然后根据二次函数的最值，
x
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即可求解．
( 2)
【详解】解：依题意，设P x, ，则Q(x,x−4)，
x
2
则PQ= −x+4
x
∴S = 1(2 −x+4 ) ×x=1− 1 x2+2x=− 1 (x−2) 2+3
△POQ 2 x 2 2
1
∵− <0，二次函数图象开口向下，有最大值，
2
∴当x=2时△POQ面积的最大值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例数与一次函数的性质，根据题意列出函数关系式是解题的关
键．
m
【变式9-2】（2023·四川·统考中考真题）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y= (m>0)
x
的图象交于A(3，4)，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数
图象交于点D，E．
(1)求k，m的值及C点坐标；
(2)连接AD，CD，求△ACD的面积．
2
【答案】(1)k=− ；m=12；C(9,0)
3
(2)S =9
△ACD
m
【分析】（1）把点A(3，4)代入y=kx+6和y= (m>0)求出k、m的值即可；把y=0代入AB的解析式，
x
求出点C的坐标即可；
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（2）延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD解析式，得出
点F的坐标，根据S =S −S 求出结果即可．
△ACD △CDF △CAF
m
【详解】（1）解：把点A(3，4)代入y=kx+6和y= (m>0)得：
x
m
3k+6=4，4= ，
3
2
解得：k=− ，m=12，
3
2 12
∴AB的解析式为y=− x+6，反比例函数解析式为y= ，
3 x
2 2
把y=0代入y=− x+6得：0=− x+6，
3 3
解得：x=9，
∴点C的坐标为(9,0)；
（2）解：延长DA交x轴于点F，如图所示：
将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：
2 2
y=− x+6+3=− x+9，
3 3
联立¿，
解得：¿，¿，
(3 )
∴点D ,8 ，
2
(3 )
设直线AD的解析式为y=k x+b ，把D ,8 ，A(3，4)代入得：
1 1 2
¿，
解得：¿，
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8
∴直线AD的解析式为y=− x+12，
3
8 8
把y=0代入y=− x+12得0=− x+12，
3 3
9
解得：x= ，
2
(9 )
∴点F的坐标为 ,0 ，
2
9 9
∴CF=9− = ，
2 2
∴S =S −S
△ACD △CDF △CAF
1 9 1 9
= × ×8− × ×4
2 2 2 2
=9．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解
题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．
【变式9-3】（2023·江苏泰州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，
m m−a
B(m−a，0)(a>m>0)的位置和函数y = (x>0)、y = (x<0)的图像如图所示．以AB为边在x
1 x 2 x
轴上方作正方形ABCD，AD边与函数y 的图像相交于点E，CD边与函数y 、y 的图像分别相交于点G、
1 1 2
H，一次函数y 的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
3
(1)m=2，a=4，求函数y 的表达式及△PGH的面积；
3
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y 的图像上？并说明理由．
2
1
【答案】(1)函数y 的表达式为y =−2x+5，△PGH的面积为
3 3 2
(2)不变，理由见解析
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(3)在，理由见解析
2 −2
【分析】（1）由m=2，a=4，可得A(2，0)，B(−2，0)，y = ，y = ，则AB=4，当x=2，
1 x 2 x
2 2 1 (1 ) −2 1
y = =1，则E(2，1)；当y =4，4= ，解得x= ，则G ，4 ；当y =4，4= ，解得x=− ，
1 2 1 x 2 2 2 x 2
( 1 )
则H − ，4 ；待定系数法求一次函数y 的解析式为y =−2x+5，当x=0，y =5，则P(0，5)，根据
2 3 3 3
1 [1 ( 1)]
S = × − − ×(5−4)，计算求解即可；
△PGH 2 2 2
（2）求解过程同（1）；
(m−a )
（3）设直线PH的解析式为y=k x+b ，将P(0，1+a)，H ，a ，代入y=k x+b 得，¿，解
2 2 a 2 2
a a
得¿，即y= x+1+a，当x=m−a，y= ×(m−a)+1+a=1，则直线PH与BC边的交点坐标为
a−m a−m
m−a
(m−a，1)，当x=m−a，y = =1，进而可得结论．
2 m−a
【详解】（1）解：∵m=2，a=4，
2 −2
∴A(2，0)，B(−2，0)，y = ，y = ，
1 x 2 x
∴AB=4，
2
当x=2，y = =1，则E(2，1)；
1 2
2 1 (1 )
当y =4，4= ，解得x= ，则G ，4 ；
1 x 2 2
−2 1 ( 1 )
当y =4，4= ，解得x=− ，则H − ，4 ；
2 x 2 2
设一次函数y 的解析式为y =kx+b，
3 3
(1 )
将E(2，1)，G ，4 ，代入y =kx+b得，¿，解得¿，
2 3
∴y =−2x+5，
3
当x=0，y =5，则P(0，5)，
3
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1 [1 ( 1)] 1
∴S = × − − ×(5−4)= ；
△PGH 2 2 2 2
1
∴函数y 的表达式为y =−2x+5，△PGH的面积为 ；
3 3 2
（2）解：△PGH的面积不变，理由如下：
m m−a
∵A(m，0)，B(m−a，0)，y = ，y = ，
1 x 2 x
∴AB=a，
m
当x=m，y = =1，则E(m，1)；
1 m
m m (m )
当y =a，a= ，解得x= ，则G ，a ；
1 x a a
m−a m−a (m−a )
当y =a，a= ，解得x= ，则H ，a ；
2 x a a
设一次函数y 的解析式为y =k x+b ，
3 3 1 1
(m )
将E(m，1)，G ，a ，代入y =k x+b 得，¿，解得¿，
a 3 1 1
a
∴y =− x+1+a，
3 m
当x=0，y =1+a，则P(0，1+a)，
3
1 [m (m−a)] 1
∴S = × − ×(1+a−a)= ；
△PGH 2 a a 2
∴△PGH的面积不变；
（3）解：直线PH与BC边的交点在函数y 的图像上，理由如下：
2
设直线PH的解析式为y=k x+b ，
2 2
(m−a )
将P(0，1+a)，H ，a ，代入y=k x+b 得，¿，解得¿，
a 2 2
a
∴y= x+1+a，
a−m
a
当x=m−a，y= ×(m−a)+1+a=1，
a−m
∴直线PH与BC边的交点坐标为(m−a，1)，
m−a
当x=m−a，y = =1，
2 m−a
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∴直线PH与BC边的交点在函数y 的图像上．
2
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对
知识的熟练掌握与灵活运用．
【题型10 反比例函数的实际应用】
【例10】（2023·广东肇庆·统考二模）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压
p （KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为
4
多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V = πr3 ，π取3）；
3
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【答案】(1)气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
k 4.8 4.8
【分析】（1）设函数关系式为p= ，用待定系数法可得p= ，即可得当p=150时，V = =0.032，
V V 150
从而求出r=0.2；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
k
【详解】（1）设函数关系式为p= ，
V
根据图象可得：k=pV =120×0.04=4.8，
4.8
∴ p= ，
V
4.8
∴当p=150时，V = =0.032，
150
4
∴
×3r3=0.032，
3
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解得：r=0.2，
∵k=4.8>0，
∴p随V的增大而减小，
∴要使气球不会爆炸，V ≥0.032，此时r≥0.2，
∴气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；
（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出
反比例函数的解析式．
【变式10-1】（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中
点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点O25cm(L =25cm)处挂一个重9.8N(F =9.8N)的物体，在
1 1
中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧
秤的示数F（单位：N）满足FL=F L ．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F
1 1
关于L的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
245
【分析】根据题意FL=F L 代入数据求得F= ，即可求解．
1 1 L
【详解】解：∵FL=F L ，L =25cm，F =9.8N，
1 1 1 1
∴FL=25×9.8=245，
245
∴F= ，函数为反比例函数，
L
245
当L=35cm时，F= =7，
35
245
即F= 函数图象经过点(35,7)．
L
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
【变式10-2】（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬
浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，
当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm．
(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ．
20
【答案】(1)h= ．
ρ
(2)该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
k
【分析】（1）由题意可得，设h= ，把ρ=1，h=20代入解析式，求解即可；
ρ
（2）把h=25cm代入（1）中的解析式，求解即可．
k
【详解】（1）解：设h关于ρ的函数解析式为h= ，
ρ
把ρ=1，h=20代入解析式，得k=1×20=20．
20
∴h关于ρ的函数解析式为h= ．
ρ
【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
20 20
（2）解：把h=25代入h= ，得25= ．
ρ ρ
解得：ρ=0.8．
答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活
利用反比例函数的性质进行求解．
【变式10-3】（2023·福建莆田·校考三模）如图1，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式
摆放，记录桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)的关系如下表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足
此关系）．
桌面所受压强
100 200 400 500 800
P(Pa)
受力面积S(m2) 2 1 0.5 0.4 0.25
(1)求桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数表达式；
(2)现有另一长、宽、高分别为0.3m，0.2m，0.2m与长方体A相同重量的长方体B，已知该玻璃桌面能承受
的最大压强为4500Pa，将长方体B任意水平放置于该玻璃桌面上是否安全？并说明理由．
200
【答案】(1)P=
S
(2)不安全，理由见解析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用
待定系数法可得函数关系式；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【详解】（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
k
设压强P(Pa)与受力面积S(m2)的函数表达式P= ，
S
k
将(200,1)代入得：200= ，
1
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解得：k=200，
200
∴压强P(Pa)与受力面积S(m2)的函数表达式为P= ；
S
（2）解：由图可知，
长方体边为0.3m，0.2m的面积S=0.3×0.2=0.06m2，
200 10000
∴将长方体边为0.3m，0.2m的面放置于该玻璃桌面上压强P= = Pa，
0.06 3
10000
∵ <4500，
3
∴这样放置安全，
长方体边为0.2m，0.2m的面积S=0.2×0.2=0.04m2，
200
∴将长方体边为0.2m，0.2m的面放置于该玻璃桌面上压强P= =5000Pa，
0.04
∵5000>4500，
∴这样放置不安全，
综上所述，将长方体B任意水平放置于该玻璃桌面上不安全．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
【题型11 一次函数与反比例函数综合应用】
【例11】（2023·山东·统考中考真题）如图，已知坐标轴上两点A(0,4),B(2,0)，连接AB，过点B作
k
BC⊥AB，交反比例函数y= 在第一象限的图象于点C(a,1)．
x
k
(1)求反比例函数y= 和直线OC的表达式；
x
3
(2)将直线OC向上平移 个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标．
2
【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4 1
【答案】(1)y= ，y= x
x 4
( 1)
(2)(2,2)或 −8,−
2
【分析】（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，证明△ABO∽△BCD，利用相似三角形的性质得到
k
BD=2，求出点C的坐标，代入y= 可得反比例函数解析式，设OC的表达式为y=mx，将点C(4,1)代入
x
即可得到直线OC的表达式；
（2）先求得直线l的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标．
【详解】（1）如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
则CD=1，∠CDB=90°，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠BCD=∠ABO，
∴△ABO∽△BCD，
OA BD
∴ = ，
OB CD
∵A(0,4),B(2,0)，
∴OA=4，OB=2，
4 BD
∴ = ，
2 1
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∴BD=2，
∴OD=2+2=4，
∴点C(4,1)，
k
将点C代入y= 中，
x
可得k=4，
4
∴y= ，
x
设OC的表达式为y=mx，
将点C(4,1)代入可得1=4m，
1
解得：m= ，
4
1
∴OC的表达式为y= x；
4
1 3
（2）直线l的解析式为y= x+ ，
4 2
1 3 4
当两函数相交时，可得 x+ = ，
4 2 x
解得x =2,x=−8,
1
代入反比例函数解析式，
得¿，¿
( 1)
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为(2,2)或 −8,−
2
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交
点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识．
【变式11-1】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=√3x+b的图象分别
k
与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为
x
CA 1
(2,0), = ，则k的值是（ ）．
AB 2
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A．√3 B．2√3 C．3√3 D．4√3
【答案】C
【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，则CD∥OA，可得△BOA∽△BDC，进而根据已知条件的CD=3，
求得直线AB的解析式，将x=3代入，得出点C的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥y轴于点D，则CD∥OA
∴△BOA∽△BDC
CD BC
∴ =
AO BA
CA 1
∵ = ,A(2,0)
AB 2
BC 3
∴ =
BA 2
CD 3
∴ =
2 2
解得：CD=3
∵点A(2,0)在y=√3x+b上，
∴2√3+b=0
解得：b=−2√3
∴直线AB的解析式为y=√3x−2√3
当x=3时，=√3
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
即C(3,√3)
k
又反比例函数y= 在第一象限内的图象交于点C
x
∴k=3√3,
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得
点C的坐标是解题的关键．
【变式11-2】（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交
m
于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,2)，与反比例函数y= 在第四象限内的图象交于点C(6,a)．
x
(1)求反比例函数的表达式：
m
(2)当kx+b> 时，直接写出x的取值范围；
x
m
(3)在双曲线y= 上是否存在点P，使△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐
x
标；若不存在，请说明理由．
6
【答案】(1)y=−
x
(2)x<−2或0 时，x<−2或00)的图象上，AB⊥y轴于
x
1
点B，tan∠AOB= ，AB=2．
2
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(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．
8
【答案】(1)y=
x
(2)C(4,2)
【分析】（1）利用正切值，求出OB=4，进而得到A(2,4)，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，易证四边形ABOE是矩形，得到OE=2，AE=4，再证明△AED是等腰
直角三角形，得到DE=4，进而得到D(6,0)，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=−x+6，
联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵AB⊥y轴，
∴∠ABO=90°，
1
∵tan∠AOB= ，
2
AB 1
∴ = ，
OB 2
∵AB=2，
∴OB=4，
∴A(2,4)，
k
∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
∴k=2×4=8，
8
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵∠ABO=∠BOE=∠AEO=90°，
∴四边形ABOE是矩形，
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∴OE=AB=2，OB=AE=4，
∵∠ADO=45°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴DE=AE=4，
∴OD=OE+DE=2+4=6，
∴D(6,0)，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴¿，解得：¿，
∴直线AD的解析式为y=−x+6，
8
∵点A、C是反比例函数y= 和一次函数y=−x+6的交点，
x
联立¿，解得：¿或¿，
∵A(2,4)，
∴C(4,2)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析
式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线AD的解析式是解题关键．
【变式12-1】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为
k
O(0,0),A(2√3,0),B(√3,1),△OA'B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y= (k>0,x>0)的图
x
象与A'B交于点C．若A'C=BC，则k的值为（ ）
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3√3 √3
A．2√3 B． C．√3 D．
2 2
【答案】A
【分析】过点B作BD⊥x轴，根据题意得出BD=1,OD=√3，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判
定和性质得出OB=AB=2，∠BOA=∠BAO=30°，利用各角之间的关系∠OBA'+∠OBD=180°，确
定A'，B，D三点共线，结合图形确定C(√3,2)，然后代入反比例函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴，
∵O(0,0),A(2√3,0),B(√3,1)，
∴BD=1,OD=√3，
BD √3
∴AD=OD=√3，tan∠BOA= = ，
OD 3
∴OB=AB=√OD2+BD2=2，∠BOA=∠BAO=30°，
∴∠OBD=∠ABD=60°，∠OBA=120°，
∵△OA'B与△OAB关于直线OB对称，
∴∠OBA'=120°，
∴∠OBA'+∠OBD=180°，
∴A'，B，D三点共线，
∴A'B=AB=2，
∵A'C=BC，
∴BC=1，
∴CD=2，
∴C(√3,2)，
k
将其代入y= (k>0,x>0)得：k=2√3，
x
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综
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合运用这些知识点是解题关键．
【变式12-2】（2023·安徽·统考中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴
k
上，AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
【答案】 √3 4
【分析】（1）根据已知条件得出A,B的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出C的坐标，
进而即可求解；
（2）根据题意，求得直线AC,BD，联立BD与反比例函数解析式，得出D的坐标，进而根据两点距离公
式求得OB2，BD2，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵AB=2,∠AOB=30°，∠OAB=90°，
∴OA=2√3,OB=2AB=4
∴A(2√3,0),B(2√3,2)，
∵C是OB的中点，
∴C(√3,1)，
k
∵反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
∴k=√3；
√3
∴反比例数解析式为y=
x
故答案为：√3；
（2）∵A(2√3,0)，C(√3,1)
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
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√3
∴直线AC的解析式为y=− x+2，
3
∵DB∥AC，
√3
设直线BD的解析式为y=− x+b，将点B(2√3,2)代入并解得b=4，
3
√3
∴直线BD的解析式为y=− x+4，
3
√3
∵反比例数解析式为y=
x
联立¿
解得：¿或¿
当¿时， BD2=(2√3+3−2√3) 2+(2−2+√3) 2=9+3=12
当¿时， BD2=(2√3−2√3+3) 2+(2+√3−2) 2=9+3=12
OB2=(2√3) 2+22=16
∴OB2−BD2 =4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性
质是解题的关键．
k
【变式12-3】（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，一次函数y=2x的图象与反比例函数y= (x>0)的
x
图象交于点A(4,n)．将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B,D为x轴正半轴上的点，点B的横坐
k
标大于点D的横坐标，连接BD,BD的中点C在反比例函数y= (x>0)的图象上．
x
(1)求n,k的值；
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(2)当m为何值时，AB⋅OD的值最大?最大值是多少?
【答案】(1)n=8，k=32
(2)当m=6时，AB⋅OD取得最大值，最大值为36
k
【分析】（1）把点A(4,n)代入y=2x，得出n=8，把点A(4,8)代入y= (x>0)，即可求得k=32；
x
（2）过点C作x轴的垂线，分别交AB,x轴于点E,F，证明△ECB≌△FCD，得出BE=DF,CE=CF，
进而可得C(8,4)，根据平移的性质得出B(m+4,8)，D(12−m,0)，进而表示出AB⋅OD，根据二次
函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点A(4,n)代入y=2x，
∴n=2×4，
解得：n=8；
k
把点A(4,8)代入y= (x>0)，解得k=32；
x
（2）∵点B横坐标大于点D的横坐标，
∴点B在点D的右侧，
如图所示，过点C作x轴的垂线，分别交AB,x轴于点E,F，
∵AB∥DF，
∴∠B=∠CDF，
在△ECB和△FCD中，
¿，
∴△ECB≌△FCD(ASA)，
∴BE=DF,CE=CF，
∵EF= y =8，
A
∴CE=CF=4，
∴C(8,4)，
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∵将点A沿x轴正方向平移m个单位长度得到点B，
∴B(m+4,8)，
∴BE=DF=m−4，
∴D(12−m,0)，
∴OD=12−m，
∴AB⋅OD=m(12−m)=−(m−6) 2+36，
∴当m=6时，AB⋅OD取得最大值，最大值为36．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握
以上知识是解题的关键．
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