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专题 08 一元二次方程及其应用【九大题型】
【题型1 一元二次方程的解法】..............................................................................................................................2
【题型2 根据一元二次方程判断根的情况】.........................................................................................................4
【题型3 根据根的情况判断字母的取值或范围】.................................................................................................6
【题型4 一元二次方程的应用之平均增长（下降）率问题】.............................................................................8
【题型5 一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】...................................................................................10
【题型6 一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】...........................................................13
【题型7 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】...........................................................16
【题型8 中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根的判别式】...........................................19
【题型9 中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】...................................................22
【知识点 一元二次方程】
1.定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b
是一次项系数；c是常数项。
2.一元二次方程的解法
(1)直接开方法。适用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；
③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；
④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为： 的形式，这个式子叫
做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
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，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。
3.一元二次方程与实际问题
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【题型1 一元二次方程的解法】
【例1】（2023·黑龙江·统考中考真题）解方程：(2x+3) 2=(3x+2) 2
【答案】x =−1，x =1
1 2
【分析】直接开方可得2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2，然后计算求解即可．
【详解】解：∵(2x+3) 2=(3x+2) 2
∴2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2
解得x =−1，x =1．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
【变式1-1】（2023·青海·统考中考真题）解方程：x(x−2)=x−2．
【答案】x =2，x =1
1 2
【分析】先移项得到x(x−2)−(x−2)=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：x(x−2)=x−2
移项得：x(x−2)−(x−2)=0，
分解因式得：(x−2)(x−1)=0，
∴x−2=0或x−1=0，
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解得：x =2，x =1．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【变式1-2】（2023·吉林·中考真题）解方程：x2−6x+9=(5−2x) 2
8
【答案】x＝2，x＝ ．
1 2 3
【分析】先根据完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解解答即可．
【详解】解：x2−6x+9=(5−2x) 2
(x−3) 2=(5−2x) 2
(x−3) 2−(5−2x) 2=0
[(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0
（2-x）（3x-8）=0
2-x=0或3x-8=0
8
则x＝2，x＝ ．
1 2 3
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确进行因式分解成为解答本题的关键．
【变式1-3】（2023·山东·中考真题）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x＝1，x＝n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①x ＝1，x ＝1；②x ＝1，x ＝2；③x ＝1，x =3．（2）①x ＝1，x ＝8，
1 2 1 2 1 2 1 2
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②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x ＝1，x ＝8．
1 2
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－
4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；
（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
【详解】（1）①x ＝1，x ＝1；
1 2
②x ＝1，x ＝2；
1 2
③x ＝1，x =3．
1 2
（2）①x ＝1，x ＝8；
1 2
②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
81 81
x2－9x＋ ＝－8＋
4 4
9 49
(x－ )2＝
2 4
9 7
∴x－ ＝± ．
2 2
∴x ＝1，x ＝8．
1 2
【点睛】本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键.
【题型2 根据一元二次方程判断根的情况】
【规律方法】判断一般形式为一元二次方程根的情况时，使用根的判别式“b2-4ac”判断，若方程形式为
（mx+n）2=p,则可利用以下方法判断：
当p＞0，方程有两个不相等的实数根；
当p=0，方程有两个相等的实数根；
当p＜0，方程没有实数根.
【例2】（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ>0, 方程有两个不相等的实根，当Δ=0, 方程有两个相等的实
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根，Δ<0, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵x2+mx−8=0，
∴Δ=m2−4×(−8)=m2+32>0，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
【变式2-1】（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
x x 5
(2)若x ，x 是方程的两个实数根，且 2+ 1=− ，求m的值．
1 2 x x 2
1 2
【答案】(1)见解析
2
(2) 或1．
5
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定Δ≥0即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x =2m−1，x x =−3m2+m，整体代入得到
1 2 1 2
m2+2m−3=0求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0，
∴a=1，b=−(2m−1)，c=−3m2+m，
∴Δ=b2−4ac=[−(2m−1)] 2 −4×1×(−3m2+m)=(4m−1) 2，
∵(4m−1) 2≥0，即Δ≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =2m−1，x x =−3m2+m，
1 2 1 2
x x x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x 5
∵ 2+ 1= 1 2 = 1 2 1 2=− ，
x x x x x x 2
1 2 1 2 1 2
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(x +x ) 2 1
∴ 1 2 =− ，
x x 2
1 2
(2m−1) 2 1 2
∴ =− ，整理，得5m2−7m+2=0，解得m = ，m =1，
−3m2+m 2 1 5 2
2
∴m的值为 或1．
5
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方
程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
【变式2-2】（2023·四川内江·统考中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k−1的根的情况，⊗下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】先根据新定义得到关于x的方程为x2−(k−3)x+1−k=0，再利用一元二次方程根的判别式求解
即可．
【详解】解：∵(k−3)⊗x=k−1，
∴x2−(k−3)x=k−1，
∴x2−(k−3)x+1−k=0，
∴Δ=b2−4ac=(k−3) 2−4(1−k)=k2−6k+9−4+4k=(k−1) 2+4>0，
∴方程x2−(k−3)x+1−k=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为
x2−(k−3)x+1−k=0是解题的关键．
【变式2-3】（2023·四川广安·统考中考真题）已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【答案】B
【分析】根据点P(a,c)在第四象限得a>0,c<0，可得ac<0，则方程ax2+bx+c=0的判别式
Δ=b2−4ac>0，即可得．
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【详解】解：∵点P(a,c)在第四象限，
∴a>0,c<0，
∴ac<0，
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2−4ac>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点．
【题型3 根据根的情况判断字母的取值或范围】
【例3】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不
相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
2
【答案】(1)k>− 且k≠0
5
(2)x =3+√14，x =3−√14
1 2
【分析】（1）根据题意，可得(2k+4) 2−4k(k−6)>0，注意一元二次方程的系数问题，即可解答，
（2）将k=1代入kx2−(2k+4)x+k−6=0，利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：依题意得：¿，
2
解得k>− 且k≠0；
5
（2）解：当k=1时，原方程变为：x2−6x−5=0，
则有：x2−6x+9=5+9，
∴(x−3) 2=14，
∴x−3=±√14，
∴方程的根为x =3+√14，x =3−√14．
1 2
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程
是解题的关键．
【变式3-1】（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a
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的取值范围是 ．
【答案】a>9
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，
∴Δ=b2−4ac=36−4a<0，
解得：a>9；
故答案为：a>9．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.
【变式3-2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，
则b2−2(1+2c)=（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情况可得b2−4c=0，再代入式子即可求解．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根
∴Δ=b2−4c=0
∴b2−2(1+2c)=b2−4c−2=0−2=−2，
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【变式3-3】（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则
k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k< B．k≤ C．k< 且k≠0 D．k≤ 且k≠0
3 3 3 3
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答．
【详解】解：∵kx2−2x+3=0为一元二次方程，
∴k≠0，
∵该一元二次方程有两个实数根，
∴Δ=(−2) 2−4k×3≥0，
1
解得k≤ ，
3
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1
∴k≤ 且k≠0，
3
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程
有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
【题型4 一元二次方程的应用之平均增长（下降）率问题】
【例4】（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数
为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月
1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%
(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，根据题意，列出一元二次方程，进行求
解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由题意，得：
1.6(1+x) 2=2.5，
解得：x=0.25=25%（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
2.125+10 y≤2.5(1+25%)，
解得：y≤0.1；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，
是解题的关键．
【变式4-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）某种产品预计两年内成本将下降36％，则年平均下降率为
．
【答案】20%
【分析】可以设成本为1，降低以后的成本=降低前的成本（1-降低率），设年平均下降率为x，则降低一
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次以后的成本是(1−x)，降低二次后的成本是(1−x)2，根据题意列出方程即可．
【详解】设成本为1，年平均下降率为x，
依题意列方程：(1−x)2=1-36%，
解得x =0.2=20%，x =1.8（舍去）．
1 2
答：年平均下降率为20%．
故答案为：20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，在题目没有告诉某个量的情况下，可以把这个量设为1，无单
位．本题用增长率（下降率）的模型列方程．
【变式4-2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用
于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，
求2020−2022年买书资金的平均增长率．
【答案】20%
【分析】设2020−2022年买书资金的平均增长率为x，根据2022年买书资金=2020年买书资金×(1+x) 2建
立方程，解方程即可得．
【详解】解：设2020−2022年买书资金的平均增长率为x，
由题意得：5000(1+x) 2=7200，
解得x=0.2=20%或x=−2.2<0（不符合题意，舍去），
答：2020−2022年买书资金的平均增长率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
【变式4-3】（2023·辽宁沈阳·中考真题）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产
成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元
二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x=0.05=5%，x=1.95（不合题意，舍去）．
1 2
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答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；
（2）根据数量关系，列式计算．
【题型5 一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】
【例5】（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的
小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
【答案】A
【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形的面积，
根据花草的种植面积为3600m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等于长为(100−2x)m，宽为(50−2x)m的矩形的面
积，
依题意得：(100−2x)(50−2x)=3600
解得：x =5，x =70（不合题意，舍去），
1 2
∴小路宽为5m．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5-1】（2023·江苏·统考中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD
（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成．生态园的面积能否为40m2？如果
能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．
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【答案】AB的长为8米或10米
1
【分析】设AB=x米，则AD=BC= (18−x)米，根据矩形生态园ABCD面积为40m2，建立方程，解方
2
程，即可求解．
1
【详解】解：设AB=x米，则AD=BC= (18−x)米，根据题意得，
2
1
x(18−x)=40，
2
解得：x =8,x =10，
1 2
答：AB的长为8米或10米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5-2】（2023·江苏·统考中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页
边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为acm、bcm、ccm、dcm．若纸
张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则
需如何设置页边距？
【答案】1cm
【分析】设页边距为xcm，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题．
【详解】解：设页边距为xcm，
则列方程为：(16−2x)(10−2x)=16×10×70%，
解得：x =1，x =12（舍去），
1 2
答：页边距为1cm．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键．
【变式5-3】（2023·浙江金华·统考中考真题）如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a(m),AD=b(m)，面积
为s(m2)．现将边AB增加1m．
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（1）如图1，若a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，则b的值是 ．
（2）如图2，若边AD增加2m，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为2s(m2)，则s的值是
．
【答案】 6 6+4√2/4√2+6
【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．
（2）根据面积，建立分式方程，转化为a一元二次方程，判别式为零计算即可．
【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为s=ab(m2)，变化后长方形的面积为(a+1)(b−1)(m2)，
∵a=5，边AD减少1m，得到的矩形面积不变，
∴(5+1)(b−1)=5b，
解得b=6，
故答案为：6．
（2）根据题意，得，起始长方形的面积为s=ab(m2)，变化后长方形的面积为(a+1)(b+2)(m2)，
s
∴2s=(a+1)(b+2)，b= ，
a
(s )
∴2s=(a+1) +2 ，
a
2s s
∴ = +2，
a+1 a
∴2a2+(2−s)a+s=0，
∵有且只有一个a的值，
∴Δ=b2−4ac=(2−s) 2−8s=0，
∴s2−12s+4=0，
解得s =6+4√2,s =6−4√2（舍去），
1 2
故答案为：6+4√2．
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【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．
【题型6 一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】
【例6】（2023·山东东营·统考中考真题）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研
发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售
单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的
固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元
【分析】根据题意设降价后的销售单价为x元，由题意得到
（x−100）[300+5（200−x）]＝32000，则可得到答案.
【详解】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200−x）]个，
依题意，得：（x−100）[300+5（200−x）]＝32000，
整理，得：x2﹣360x+32400＝0，
解得：x ＝x ＝180．
1 2
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用.
【变式6-1】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）石狮一水果店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发
现，每箱销售价格：售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销
售量将减少3箱．
(1)若每箱售价55元，则平均每天该芦柑的销售量为______箱；
(2)已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于60元．设该店提价x（元），平均每天的销售利润为
w（元）．
①当天盈利w为1152元时，求x的值；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
【答案】(1)75
(2)①当提价6元时，商店获得利润1152元；②当x=10时，w取得最大，最大值为1200元
【分析】（1）根据题意，“售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱”，求解即可；
（2）①根据题意，求得提价x（元）后的利润，列出方程求解即可；②求得利润w与x的关系式，利用二
次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：每箱销售价55元，销售量为90−(55−50)×3=75（箱）
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（2）①由已知得，(50+x−40)(90−3x)=1152，
整理得：x2−20x+84=0
解得，x =14，x =6，
1 2
∵售价每箱不得高于60元，
∴x≤10
经检验：x =6符合题意
2
答：当提价6元时，商店获得利润1152元．
②w=(50+x−40)(90−3x)=−3x2+60x+900=−3(x−10) 2+1200，
∴当x=10时，w有最大值，最大值为1200，且50+10=60，符合题意
答：当x=10时，w取得最大，最大值为1200元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和函数解析
式．
【变式6-2】（2023·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出
售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千
克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元
x
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240，
2
化简，得 x2﹣10x+24=0，
解得x=4，x=6.
1 2
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，
∴每千克核桃应降价6元
此时，售价为：60﹣6=54（元），
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54
×100%=90%
60
答：该店应按原售价的九折出售．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
【变式6-3】（2023·四川遂宁·统考中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40
元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，
设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应
提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元
【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；
（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x的值，从而得到答案．
【详解】（1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360
解得：x＝2，x＝18
1 2
∵要尽可能减少库存，
∴x＝18不合题意，故舍去
2
∴T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝−10(x−10) 2+4000
∴当x＝10时，M最大值＝4000元
∴销售单价：40＋10＝50元
∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的
性质，从而完成求解．
【题型7 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】
【规律方法】以开放性性的形式考查直接解一元二次方程，解题时可以根据题目选择不同的方法解决问题，
有利于培优策略性思维。
【例7】（2023·新疆·二模）请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
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【答案】①x =−1+√2，x =−1−√2；②x =0，x =3；③x =2+2√2，x =2−2√2；④x =−2，
1 2 1 2 1 2 1
x =2．
2
【分析】①③利用配方求解即可；②④利用因式分解法求解即可．
【详解】解：①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1) 2=2，
则x+1=±√2，
∴x =−1+√2，x =−1−√2；
1 2
②x2−3x=0；
因式分解得x(x−3)=0，
则x=0或x−3=0，
解得x =0，x =3；
1 2
③x2−4x=4；
配方得x2−4x+4=4+4，即(x−2) 2=8，
则x−2=±2√2，
∴x =2+2√2，x =2−2√2；
1 2
④x2−4=0．
因式分解得(x+2)(x−2)=0，
则x+2=0或x−2=0，
解得x =−2，x =2．
1 2
【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
【变式7-1】（2023·浙江·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，
配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2−3x+1=0；②(x−1) 2=3；③x2−3x=0；④x2−2x=4．
3±√5
【答案】①x= ；②x=1±√3；③x =0，x =3；④x=1±√5．
2 1 2
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【分析】①利用公式法求解即可．②利用直接开平方法求解即可．③利用因式分解法求解即可；④利用配
方法求解即可；
【详解】解：①x2−3x+1=0；
∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=（-3）2-4×1×1=5＞0，
3±√5 3+√5 3−√5
∴x= ,即x = ,x = ；
2 1 2 2 2
②(x−1) 2=3；
∴x-1=±√3
∴x =1+√3,x =1−√3，
1 2
③x2−3x=0；
∴x（x-3）=0
∴x=0或x=3
∴x =0，x =3；
1 2
④x2−2x=4
∴x2−2x+1=4+1
∴(x−1) 2=5；
∴x−1=±√5
∴x =1+√5,x =1−√5
1 2
【变式7-2】（2023·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的
三种解法，它们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方
程．
①x2+2x−1=0； ②x2−3x=0； ③x2−4x=4； ④x2−4=0．
【答案】①x =−1+√2，x =−1−√2；②x =0，x =3；③x =2+2√2，x =2−2√2；④x =−2，
1 2 1 2 1 2 1
x =2．
2
【分析】根据方程的系数特点，选择配方法、公式法或因式分解法．
【详解】解：①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
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配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1) 2=2，
则x+1=±√2，
∴x =−1+√2，x =−1−√2；
1 2
②x2−3x=0；
因式分解得x(x−3)=0，
则x=0或x−3=0，
解得x =0，x =3；
1 2
③x2−4x=4；
配方得x2−4x+4=4+4，
即(x−2) 2=8，
则x−2=±2√2，
∴x =2+2√2，x =2−2√2；
1 2
④x2−4=0．
因式分解得(x+2)(x−2)=0，
则x+2=0或x−2=0，
解得x =−2，x =2．
1 2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法是解
决本题的关键．
【变式7-3】（2023·北京朝阳·二模）请从以下四个一元二次方程中任选三个，并用适当的方法解这三个方
程．
（1）3x2−2x−1=0；（2）(y+1) 2−4=0；（3）t2−6t−7=0；（4）m(m+3)−2m=0
我选择第__________小题．
1
【答案】（1）x =1,x =− ；（2）y =1,y =−3；（3）t =−1,t =7（4）m =0,m =−1
1 2 3 1 2 1 2 1 2
【分析】此题主要考查了因式分解法以及求根公式法解一元二次方程；根据题意任选三个方程求解即可．
（1）直接利用一元二次方程的求根公式法解方程即可；
（2）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（3）直接利用十字相乘法分解因式解一元二次方程即可；
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（4）直接利用提取公因式法分解因式解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）3x2−2x−1=0，
∵a=3,b=−2,c=−1，Δ=b2−4ac=4+12=16，
−b±√b2−4ac 2±4
∴x= = ，
2a 6
1
解得：x =1,x =− ；
1 2 3
（2）(y+1) 2−4=0，
∴(y+1) 2=4，
∴y+1=±2，
解得：y =1,y =−3；
1 2
（3）t2−6t−7=0，
∴(t−7)(t+1)=0，
∴t−7=0或t+1=0，
解得：t =−1,t =7；
1 2
（4）m(m+3)−2m=0，
∴m(m+3−2)=0，
即m=0或m+1=0，
解得：m =0,m =−1
1 2
【题型8 中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根的判别式】
【例8】（2023·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2−4x+2a=0有实数根，则a的值可以
是 （写出一个即可）．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式Δ≥0，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出
a的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+2a=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×2a≥0，
即16−8a≥0，
解得：a≤2，
∴a的值可以是2．
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故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与判别式的关系，当a>0时，方程有两个不相
等的实数根；当a=0时，方程有两个相等的实数根；当a<0时，方程没有实数根．
【变式8-1】（2023·北京·统考中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x=x=﹣1．
1 2
【分析】（1）求出根的判别式Δ=b2−4ac，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则Δ=b2−4ac=0，写出一组满足条件的a，b的值即可.
【详解】（1）解：由题意：a≠0．
∵Δ=b2−4ac=(a+2) 2−4a=a2+4>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足b2−4ac=0（a≠0）即可，例如：
解：令a=1，b=−2，则原方程为x2−2x+1=0，
解得：x =x =1．
1 2
【点睛】考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，
当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.
当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根.
当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根.
【变式8-2】（2023·甘肃武威·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数
根，则c= （写出一个满足条件的值）．
【答案】−2（答案不唯一，合理即可）
【分析】先根据关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根得到Δ=4−16c>0，解得
1
c< ，根据c的取值范围，选取合适的值即可．
4
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4×1×4c=4−16c>0，
1
解得c< ，
4
当c=−2时，满足题意，
故答案为：−2（答案不唯一，合理即可）
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【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根是解题的关键．
【变式8-3】（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其
中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=−1；④b=2,c=2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
−3+√5 −3−√5 −3+√13 −3−√13
【答案】选②，x = ，x = ；选③，x = ，x =
1 2 2 2 1 2 2 2
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：x2+bx+c=0中a=1，
①b=2,c=1时，Δ=b2−4ac=22−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根；
②b=3,c=1时，Δ=b2−4ac=32−4×1×1=5>0，方程有两个不相等的实数根；
③b=3,c=−1时，Δ=b2−4ac=32−4×1×(−1)=13>0，方程有两个不相等的实数根；
④b=2,c=2时，Δ=b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②b=3,c=1时，
x2+3x+1=0，
Δ=b2−4ac=32−4×1×1=5>0，
−b±√b2−4ac −3±√5
x= = ，
2a 2
−3+√5 −3−√5
x = ，x = ；
1 2 2 2
选择③b=3,c=−1时，
x2+3x−1=0，
Δ=b2−4ac=32−4×1×(−1)=13>0，
−b±√b2−4ac −3±√13
x= = ，
2a 2
−3+√13 −3−√13
x = ，x = ．
1 2 2 2
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一
元二次方程ax2+bx+c=0，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个不相等的实
数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
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【题型9 中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】
【例9】（2023·湖北恩施·统考中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书
中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪
各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高
长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和
对角线的长分别是 尺．
【答案】8，6，10
【分析】设竿的长为x尺，则门高为(x−2)尺，门宽为(x−4)尺，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设竿的长为x尺，则门高为(x−2)尺，门宽为(x−4)尺，
根据题意可得：x2=(x−2) 2+(x−4) 2，
解得：x=10或x=2（舍去），
∴x−2=8（尺），x−4=6（尺），
即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，
故答案为：8，6，10．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键．
【变式9-1】（2023·青海·统考中考真题）如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出
3×3个位置相邻的数（如12，13，14，19，20，21，26，27，28）．若圈出的9个数中，最大
数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为（ ）
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A．18 B．13 C．7 D．3
【答案】C
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数
的积为161，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其它数即可．
【详解】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数
为x+16，根据题意得出：
x(x+16)=161，
解得：x =7，x =−23（不合题意舍去），
1 2
故最小的三个数为：7，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最
大数与最小数的差为16是解题关键．
【变式9-2】（2023·辽宁·统考中考真题）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一
个数学问题：“直田积八百步，一只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为
800平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多（ ）步？
A．15 B．12 C．20 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该矩形田地的长为x步，则该矩形田地的宽为
(60−x)步，根据矩形面积公式建立方程x(60−x)=800，解方程即可得到答案．
【详解】解：设该矩形田地的长为x步，则该矩形田地的宽为(60−x)步，
由题意得，x(60−x)=800，
解得x=40或x=20（舍去），
∴该矩形田地的长为40步，则该矩形田地的宽为20步，
∴它的长比宽多40−20=20步，
故选C．
【变式9-3】（2023·云南·统考中考真题）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了
一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几
a
里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b2(a>0,b>0)的方程的图解法是：如图1，以 和b为两直角边作
2
a
Rt△ABC，再在斜边上截取BD= ，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程
2
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，按照图1，构造图2，在 中， ，连接 ，若S 3，则 的值为
x2+mx=16 Rt△ABC ∠ACB=90° CD △BCD = m
S 2
△ACD
（）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的解法-公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、
公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可．
S 3 3
先根据勾股定理求得AB的长， 再求AD的长，根据 △BCD = 可得BD= AD,列方程即可求解．
S 2 2
△ACD
a
【详解】∵∠C=90°,BC= ,AC=b，
2
m
根据题意可得：BC=BD= ,AC=4，
2
√ m2
∴AB= 42+ ,
4
√ m2 m √64+m2−m
∴AD= 16+ − = ，
4 2 2
S 3
∵ △BCD = ,
S 2
△ACD
BD 3
∴ = ,
AD 2
3
即BD= AD,
2
m 3 √64+m2−m
即 = ⋅ ,
2 2 2
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解得：m=6或m=−6（舍），
故选：C
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