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强化训练 9 直线与圆中的综合问题
1．(2020·潜山模拟)过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
答案 A
解析 k ＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°.
AB
2．若直线l过点(1,3)，且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k等于( )
A．k＝－1或k＝3 B．k＝±1或k＝3
C．k＝－1 D．k＝1或k＝3
答案 A
解析 当直线l经过原点时，可得斜率k＝3.
当直线l不经过原点时，
∵直线l过点(1,3)，且在两条坐标轴上的截距相等，
∴直线l经过点(a,0)，(0，a)(a≠0)．
∴k＝－1.
综上可得，直线l的斜率k＝－1或3.
3．半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y＝0和x－y－6＝0均相切，则该圆的标
准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－)2＝1
B．(x－)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋)2＝1
D．(x－)2＋(y＋1)2＝1
答案 D
解析 由题意，可设圆心坐标为(a，－1)，r＝1.
则d＝＝1，
即|a－5|＝2，
解得a＝或.
结合选项可得，所求圆的方程为(x－)2＋(y＋1)2＝1.
4．(2020·重庆期中)已知圆O：x2＋y2＝9上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点有3个，则
a等于( )
A．±2 B．±2 C．± D．±1答案 A
解析 由题意，圆O：x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，因为圆O上到直线l：x＋y＝a的
距离等于1的点有3个，所以点(0,0)到直线l的距离d＝＝2，所以a＝±2.
5．直线x＋y＋4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上，则
△ABP面积的取值范围是( )
A．[，3] B．[2，4]
C．[4,8] D．[8,16]
答案 D
解析 由题意，得圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心为点(1,1)，半径为，
∴圆心到直线x＋y＋4＝0的距离为＝3，
∴点P到直线距离的取值范围为[3－，3＋]即[2，4]，
∵A，B两点是直线x＋y＋4＝0分别与x轴，y轴的交点，
∴A(－4,0)，B(0，－4)，|AB|＝4，
∴(S ) ＝×4×2＝8，
△ABP min
(S ) ＝×4×4＝16.
△ABP max
6．(多选)(2020·上海进才中学模拟)两内切圆的半径长是方程x2＋px＋q＝0的两根，已知两
圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p＋q等于( )
A．1 B．2 C．4 D．5
答案 AD
解析 设方程的两根为x，x，
1 2
由x2＋px＋q＝0，得
有一圆半径为3，不妨设x＝3，
2
因为两圆内切，所以|x－3|＝1，所以x＝4或x＝2.
1 1 1
当x＝4时，p＝－7，q＝12，p＋q＝5；
1
当x＝2时，p＝－5，q＝6，p＋q＝1.
1
7．以A(1,3)，B(－5,2)为端点的线段的垂直平分线的方程是________________．
答案 12x＋2y＋19＝0
解析 因为A(1,3)，B(－5,2)，所以线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率为＝，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为－6，
所以以A(1,3)，B(－5,2)为端点的线段的垂直平分线的方程是y－＝－6(x＋2)，即12x＋2y＋
19＝0.
8．(2020·北京汇文中学模拟)已知直线x－ay－1＝0与直线y＝ax平行，则实数a＝_____.
答案 1或－1
解析 当a＝0时，不符合题意；当a≠0时，由直线x－ay－1＝0与直线y＝ax平行可得直线斜率相等，即＝a⇒a＝±1.
9．若过点P(2,2)可以向圆x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0作两条切线，则实数k的取值范围是
________________．
答案 (－1,1)∪(4，＋∞)
解析 由题意，得圆的一般方程x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0，
可化为(x－k)2＋(y－1)2＝k＋1，
∵方程x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0表示圆，
∴k＋1>0，解得k>－1，
又∵过点P(2,2)可以向圆x2＋y2－2kx－2y＋k2－k＝0作两条切线，
∴点P(2,2)在圆外，可得(2－k)2＋(2－1)2>k＋1，
解得k<1或k>4，
综上所述，可得k的取值范围是(－1,1)∪(4，＋∞)．
10．已知圆O：x2＋y2＝1，圆N：(x－a＋2)2＋(y－a)2＝1.若圆N上存在点Q，过点Q作圆O
的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 已知有|QO|＝2，即点Q的轨迹方程为圆T：x2＋y2＝4，
问题转化为圆N和圆T有公共点，
则1≤≤3，故1－≤a≤1＋.
11．(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)两点，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆M
的标准方程；
(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆N的一般方程．
解 (1)由点A(2，－3)和点B(－2，－5)可得AB的中点C(0，－4)，k ＝＝，
AB
线段AB的中垂线方程为y＋4＝－2(x－0)，
即2x＋y＋4＝0，
∴由得
即所求圆的圆心M(－1，－2)，
∴半径r＝＝，
∴圆M的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(2)设圆N的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵圆N过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)，
∴解得
∴圆N的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0.
12．(2021·洪洞新英学校模拟)已知点M(3,1)，圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
1
(1)若直线ax－y＋4＝0与圆O 相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值；
1(2)求过点M的圆O 的切线方程．
1
解 (1)根据题意，圆O：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心为(1,2)，半径r＝2，
1
若弦AB的长为2，则圆心到直线ax－y＋4＝0的距离d＝＝1，
又由圆心为(1,2)，直线ax－y＋4＝0，
则有d＝＝1，解得a＝－.
(2)根据题意，分两种情况讨论：
当切线斜率不存在时，其方程为x＝3，与圆相切，符合条件；
当切线斜率存在时，设其方程为y－1＝k(x－3)，
圆心到切线的距离d＝＝2，解得k＝，
切线方程为3x－4y－5＝0，
所以过点M的圆O 的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
1
13．(2020·哈尔滨模拟)已知点P(3，a)，若圆O：x2＋y2＝4上存在点A，使得线段PA的中点
也在圆O上，则a的取值范围是( )
A．(－3，3)
B．[－3，3]
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
答案 B
解析 设A(x，y)，PA的中点M(x，y)，
0 0
由已知有解得2＋2＝1，
即PA的中点的轨迹为圆2＋2＝1，
又线段PA的中点也在圆O上，
∴两圆有公共点，∴1≤≤3，解得－3≤a≤3.
14．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16，过点P(－2,3)的直线l与C相交于A，B两点，且|AB|
＝2，则l的方程为________________．
答案 x－2y＋8＝0
解析 由题意，得圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16的圆心为(－1,1)，半径为r＝4，
又由题意可知，|AB|为弦长，
所以圆心到直线l的距离为d＝＝＝，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
所以d＝＝，即d＝＝，整理得4k2－4k＋1＝0，解得k＝.
故直线l的方程为x－2y＋8＝0.
当直线l的斜率不存在时，不符合题意．
15．(2021·四川石室中学模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2，若直线l上存在
点P，过点P引圆的两条切线l，l，使得l⊥l，则实数k的取值范围是( )
1 2 1 2
A．[0,2－)∪(2＋，＋∞) B．[2－，2＋]
C．(－∞，0) D．[0，＋∞)
答案 D
解析 由题意得，圆C的圆心为(2,0)，半径r＝，
设P(x，y)，
因为两条切线l⊥l，如图，
1 2
PA⊥PB，由切线性质定理，知
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，
所以四边形PACB为正方形，所以|PC|＝2，
则(x－2)2＋y2＝4，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．
直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，直线方程即kx－y－2＝0，
只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即d＝≤2，解得k≥0，
即实数k的取值范围是[0，＋∞)．
16.有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于
灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直的小路交草坪圆周于A，B两点，为了方便居民散
步，同时修建小路OA，OB，其中小路的宽度忽略不计．
(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；
(2)若要在△ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)
解 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，)．
(1)小路的长度为|OA|＋|OB|＋|AB|，因为OA，OB的长为定值，故只需要AB最小即可．
作OM⊥AB于M(图略)，记|OM|＝d，
则|AB|＝2＝2，
又d≤|OD|＝，故|AB|≥2＝2，
此时点D为|AB|的中点．
故小路的最短长度为(4＋2)百米．
(2)显然，当广场所在的圆与△ABO内切时，
面积最大，设△ABO的内切圆的半径为r，
则S ＝(|AB|＋|AO|＋|BO|)·r＝|AB|·d，
△ABO
由弦长公式|AB|＝2可得d2＝4－，
所以r2＝，
设|AB|＝x，则r2＝f(x)＝＝，
所以f′(x)＝＝，
又因为0
