文档内容
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专题 38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】..............................................................................................................3
【题型2 求角的三角函数值】..................................................................................................................................5
【题型3 由三角函数值求边长】............................................................................................................................11
【题型4 求特殊角的三角函数值】........................................................................................................................19
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】...................................................................................................20
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】...................................................................................................25
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】...........................................................................................27
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】...........................................................................................................28
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】...............................................................................................31
【题型10 利用同角三角函数关系求解】................................................................................................................33
【题型11 互余两角三角函数关系】........................................................................................................................36
【题型12 构造直角三角形解直角三角形】...........................................................................................................39
【题型14 在坐标系中解直角三角形】....................................................................................................................52
【题型15 解直角三角形的相关计算】....................................................................................................................58
【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】...................................................................................64
【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】...........................................................................................68
【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】...................................................................................................75
【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】...............................................................................................81
【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】...............................................................................................86
【知识点 锐角三角函数】
知识点1：锐角三角函数的概念
1．锐角三角函数：
B
c
a
A C
b
①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦 ，余弦 ，正切 ，余切 ．
②特殊角的三角函数值：
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三角函数
无
无
③同角三角函数关系： ， ， ．
④互余角三角函数关系：若 ，则 ， ．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若 ，则 ， ， ．
知识点2：解直角三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系： ．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系： ， ， ．
3．解直角三角形的四种基本类型
已知条件 解法类型
斜边c和锐角 ， ，
一条边和
一个锐角 直角边a和锐角
， ，
两条直角边a和b
， ，
两条边
斜边c和直角边a
， ，
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
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（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
知识点3：解直角三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角．如图1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为 ，
坡面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，则 ．坡度越大，坡面就越陡．如图2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向
旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图3．
视线 北
铅 仰角 水平线 h i=h:l
垂
俯角
线
视线
l
图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距
离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分
割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近
似值，注明单位．
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是
（ ）
A．sinα的值越大，梯子越陡
B．cosα的值越大，梯子越陡
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C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减
小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
cosα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
【变式1-1】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sin A
的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变
【答案】D
【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA”求
解．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴sin A=∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都扩大5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sin A的值不变．
故选：D．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度
是（单位：米）（ ）
5
A．5cos31° B．5sin31° C． D．5tan31°
sin31°
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【答案】B
【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函
数求解．
【详解】∵铁球上滚的距离× sin31° =铁球距地面的高度，
∴铁球距地面的高度= 5sin31°．
故选：B．
【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键．
【变式1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，
箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
1 2 1 1
A． + B． +
cosα sinα cosα 2sinα
C．cosα+2sinα D．2cosα+sinα
【答案】C
【分析】过B作BH⊥AD于点H，然后可以用α的三角函数表示AH，HD，再根据AD=AH+HD可以得到解
答．
【详解】解：如图，过B作BH⊥AD于点H，
由题意可得：∠HAB=∠C=α，
∴AH=AB•cosα=cosα，DH=BE=BC•sinα=2sinα，
∴AD=AH+HD=cosα+2sinα，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题关键．
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【题型2 求角的三角函数值】
【例2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，
且BG=CH=2，AG与BH交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，
则tan∠AMN的值为 ．
5
【答案】
8
【分析】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角
形，求出BM是解本题的关键．
根据正方形性质，证明△ABG≌△BCH，得出∠BAG=∠CBH，进而求出∠AOB =90°，再判断出
OA AB 5
△AOB∽△ABG，求出 = = ，再判断出△OBM∽△OAN，求出BM=1，即可求出答案．
OB BG 2
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=5,∠ABC=∠BCD=90°
∵BG=CH=2,
∴△ABG≌△BCH(SAS),
∴∠BAG=∠CBH,
∴∠BAG+∠ABO=∠CBH+∠ABO=∠ABG=90°,
∴∠AOB=90°，
∵∠OAB=∠BAG,∠AOB=∠ABG,
∴△AOB∽△ABG,
OA OB
∴ = ,
AB BG
OA AB 5
∴ = = ,
OB BG 2
∵OM⊥ON,
∴∠MON=90°=∠AOB,
∴∠BOM=∠AON,
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∵∠BAG+∠DAG=90°，∠ABO+∠CBH=90°，∠BAG=∠CBH,
∴∠OBM=∠OAN
∴△OBM∽△OAN,
OB BM
∴ = ,
OA AN
∵点N是AD的中点，
1 5
∴AN= AD= ,
2 2
2 BM
∴ = ,
5 5
2
∴BM=1,
∴AM=AB−BM=4,
5
在Rt△MAN中， AN 2 5，
tan∠AMN= = =
AM 4 8
5
故答案为： ．
8
【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果
AB=5，BD=2，那么cosC= ．
2
【答案】 /0.4
5
【分析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由BD⊥AC，得到∠ADB=90°，则
∠A+∠ABD=90°，通过同角的余角相等得出∠ABD=∠C即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关
键．
【详解】如图，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
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∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵AB=5,BD=2，
BD 2
∴cosC=cos∠ABD= = ，
AB 5
2
故答案为： ．
5
【变式2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB
上一点，连接CE，CD．
(1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC．
【答案】(1)见解析
5
(2)sin∠DBC=
6
【分析】
（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，求得∠BEC=90°，根据垂直的定义得到
CE⊥BD；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC=90°，根据垂直的定义得到∠CED=90°，得到
∠CED=∠ABC，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接AD，
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∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠DCA=∠ECB，∠CAD=∠CBD，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥BD；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ABC，
∵∠D=∠A，
∴△ABC∽△DEC，
DE CE
∴ = ，
AB BC
∵AB=6，DE=5，
CE DE 5
∴sin∠DBC= = = ．
BC AB 6
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌
握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
1
【变式2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，E为CD上一点tan∠EAD= ，以E
3
为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF= ，tan∠GEC=
．
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9
【答案】 5
13
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，
DE 1
在Rt△ADE中利用正切的定义得到tan∠EAD= = ，则设DE=x，AD=3x，根据垂径定理得到
AD 3
AH=FH=DE=x，利用圆心角、弧、弦的关系得到FG=FA=2x，再证明∠FAG=∠EAD，则
BG 1
tan∠BAG= = ，于是可计算出BG=3，在RtΔBFG中利用勾股定理得到(9−2x) 2+32=(2x) 2，解
AB 3
5 15 9 13
方程求出x，则AF=5，DE= ，AD= ，所以CG= ，CE= ，然后在Rt△CGE中利用正切的定义
2 2 2 2
得到tan∠GEC的值．
【详解】解：过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，
DE 1
在Rt△ADE中，∵tan∠EAD= = ，
AD 3
∴设DE=x，AD=3x，
∵∠AHE=∠HAD=∠D=90°，
∴四边形ADEH为矩形，
∴AH=DE=x，AD∥AE，
∴∠DAE=∠HEA，
∵EH⊥AF，
∴AH=FH=x，∠HEA=∠HEF，
∵F为弧AG的中点，
∴FG=FA=2x，∠AEF=∠GEF，
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1 1
∵∠FAG= ∠GEF= ∠AEF，
2 2
∴∠FAG=∠EAD，
BG 1
在Rt△ABG中，∵tan∠BAG= = ，
AB 3
1 1
∴BG= AB= ×9=3，
3 3
在Rt△BFG中，∵BF=9−2x，FG=2x，BG=3，
∴(9-2x) 2+32=(2x) 2，
5
解得x= ，
2
5 15
∴AF=5，DE= ，AD= ，
2 2
9 13
∴CG=BC−BG= ，CE=CD−DE= ，
2 2
CG 9
在Rt△CGE中，tan∠GEC= = ．
CE 13
9
故答案为：5， ．
13
【题型3 由三角函数值求边长】
【例3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BD平分∠ABF，
1
∠C=90°且tanA= ，BC=8，CF∥AB，则DF= ．
2
8√2
【答案】
3
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据角平分线的性质得：∠FBD=∠ABD，利用平行线的性质及三
角函数正切值得BC=CD=AD，进而得∠CBD=∠CDB=45°，在Rt△CBE中，根据
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CE 1
tan∠EBC= = ，得CE=4，利用勾股定理得，BE=4√5，利用相似三角形的判定及性质得
BC 2
4√5 4√5 8 4 8
EF= ，再利用相似三角形的判定及性质可得EF= FG= ，¿= ，进而得DG= ，再利用勾
3 3 3 3 3
股定理即可求解．
【详解】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图：
∵BD平分∠ABF，
∴∠FBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴GF∥BC，
BC 1
∵tanA= = ，D是AC中点，
AC 2
∴BC=CD=AD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠ABD+∠A=45°，∠FBD+∠FBC=45°，
∵∠ABD=∠FBD，
∴∠FBC=∠A，
1
∴tan∠EBC=tan∠A= ，
2
CE 1
在Rt△CBE中，tan∠EBC= = ，
BC 2
CE 1
∴ = ，
8 2
∴CE=4，
∴AE=AC−CE=2BC−CE=12，
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根据勾股定理，得BE=√CB2+CE2=√82+42=4√5，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△CFE，
EF CE EF 4
∴ = ，即： = ，
BE AE 4√5 12
4√5
∴EF= ，
3
∵GF∥BC，
FG EF GE 1
∴ = = = ，
BC BE EC 4
FG 1 GE
∴ = = ，
8 3 4
8 4
∴FG= ，¿= ，
3 3
4 8
∴DG=DE−EG=4− = ，
3 3
√ 8 2 8 2 8√2
在Rt△FGD中，根据勾股定理得：DF=√DG2+FG2= ( ) +( ) = ，
3 3 3
8√2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及锐角三角形函数正切值，熟练掌握相似三角形
的判定及性质及勾股定理是解题的关键．
【变式3-1】（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，
D、C、E三点共线．
(1)求证：BE∥AD．
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1
(2)若AD=6,cosE= ，求CE的长．
3
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由∠ABD=∠CBE得∠ABC=∠DBE，根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，则
∠ACB=∠DBE，由圆周角定理得到∠ACB=∠ADB，则∠DBE=∠ADB，即可得到结论；
AB AD
（2）连接AO、BO、CO，延长AO交BC于点H，证明△ABD∽△CBE，得到 = ，
CB CE
1
∠E=∠ADB，则∠E=∠ADB=∠ACB，证明AH是BC的垂直平分线，则BH=CH= BC，
2
1 CH
AH⊥BC，由cosE=cos∠ACB= = ，可设CH=BH=x，则AC=3x，得到
3 AC
3x 6
AB=AC=3x,BC=2x，代入比例式得到 = ，即可得到CE的长．
2x CE
【详解】（1）解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠CBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠ABC=∠DBE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DBE，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴BE∥AD；
（2）连接AO、BO、CO，延长AO交BC于点H，
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∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
AB AD
∴ = ，∠E=∠ADB，
CB CE
∴∠E=∠ADB=∠ACB，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，
1
∴BH=CH= BC，AH⊥BC，
2
1 CH
∵cosE=cos∠ACB= = ，
3 AC
设CH=BH=x，则AC=3x，
∴AB=AC=3x,BC=2x，
3x 6
∴ = ，
2x CE
∴CE=4．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰
三角形的性质等知识，证明△ABD∽△CBE是解题的关键．
【变式3-2】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，
3
sin∠DCB= ，则AC= ．
5
234
【答案】6或
11
【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作DE⊥BC于
3 DE 3
E，根据sin∠DCB= ，可得出 = ，设DE=3k,CD=5k，则CE=4k,BE=8−4k，在Rt△BDE
5 CD 5
中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出DE,BE，然后证△BDE和△BAC相似，最后利
用相似三角形的性质可求出AC的长．
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【详解】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：
3
∵sin∠DCB= ，
5
DE
在Rt△CDE中，sin∠DCB= ，
CD
DE 3
∴ = ，
CD 5
设DE=3k,CD=5k，
由勾股定理得：CE=√CD2−DE2=4k，
∵BC=8，
∴BE=BC−CE=8−4k，
在Rt△BDE中，BE=8−4k,DE=3k,BD=5，
由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即(8−4k) 2+(3k) 2=52，
整理得：25k2−64k+39=0，
39
解得：k=1，或k= ，
25
当k=1时，DE=3k=3，BE=8−4k=4，
∵∠ACB=90°,DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
DE BE 3 4
∴ = ，即 = ，
AC BC AC 8
∴AC=6，
39 117 44
当k= 时，DE=3k= ,BE=8−4k= ，
25 25 25
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117 44
DE BE
同理： = ，即 25 25，
AC BC =
AC 8
234
∴AC= ．
11
234
综上所述：AC=6或 ，
11
234
故答案为：6或 ．
11
【变式3-3】（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点
D，AE平分∠BAC并交BD于点E．
(1)求证：∠BAC=2∠D；
3 BE
(2)若BC=AC，且cos∠BAC= ，求 ，
5 DE
BF BE 1 AB
(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F, =3，其中 = ，连接AD、EC，求 ．
DF DE 2 BC
【答案】(1)证明见解析
BE 3
(2) 的值为
DE 5
AB 7+2√6
(3) =
BC 5
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求证；
（2）构造相似三角形得到△BEG∽△DEC即可求解；
（3）取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF，OI⊥AB，连接OA、OC，构造四点共圆，利用相似三
角形的判定、性质和直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，
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1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCP= ∠ACP，
2 2
又∵∠DCP、∠ACP分别是△BCD、△ABC的一个外角，
1 1 1
∴∠D=∠DCP−∠DBC= ∠ACP− ∠ABC= ∠BAC ，
2 2 2
∴∠BAC=2∠D ．
（2）连接CE并延长交AB于点G，则CG平分∠ACB
又∵BC=AC，
∴CG⊥AB，∠ABC=∠BAC，
1
又∵∠DCP= ∠ACP=∠ABC，
2
∴AB∥CD，
∴CG⊥CD，∠D=∠ABD=∠DBC
∴△BEG∽△DEC ，CD=BC
BE BG BG AG 3
∴ = = = =cos∠BAC= ，
DE CD BC AC 5
BE 3
答： 的值为 ．
DE 5
（3）如图，取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF于H，OI⊥AB于I，连接OA、OC，
BF
∵ =3，
DF
可设DF=x，则BF=3x，
∵DF⊥BC，
∴BD=√DF2+BF2=√x2+(3x) 2=√10x，
BE 1
又∵ = ，点O是DE的中点，
DE 2
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OB 2
∴ =
BD 3
∵OH⊥BF，DF⊥BC，
∴OH∥DF，
∴△BOH~△BDF，
BH BO OH 2
∴ = = = ，
BF BD DF 3
2
∴BH=2x，OH= x，
3
∵BD是∠ABC的平分线，
2
∴OH=OI= x，
3
∴BI=BH=2x．
由（1）（2）知CE平分∠ACB，CD平分∠ACF．
1
∴∠ECD=∠ECA+∠ACD= (∠BCA+∠ACF)=90°,
2
∵∠BAC=2∠BDC(小题1中已证),
∴∠EAC=∠BDC,
∴点A、E、C、D四点共圆，
∵∠ECD=90°，O为ED中点，
∴ED为圆的直径，
∴∠DCE=∠DAE=90°，
1 √10
∴OA=OC= DE= x，
2 3
∴AI=CH=√OC2−OH2= √ (√10 x ) 2 − (2 x ) 2 = √6 x
3 3 3
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( √6)
∴AB=AI+IB= 2+ x，
3
( √6)
∴BC= 2− x，
3
√6
2+
AB 3 7+2√6
∴ = = ．
BC √6 5
2−
3
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质定理、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、四点共
圆的判定与圆的基本性质等知识，解题关键是作辅助线构造相似三角形，本题综合性较强，需要学生具有
较强的图形分析能力，且对相应知识点理解到位并熟练运用．
【题型4 求特殊角的三角函数值】
【例4】（2023·福建泉州·一模）如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2cosA的
结果为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查特殊角的函数值，熟练掌握特殊角的函数值即可得到答案．根据三角形内角和定理
求出∠A=60°，即可得到答案．
【详解】解：∵Rt△ABC，∠B=30°，∠C=90°，
∴∠A=60°，
1
故2cosA=2cos60°=2× =1，
2
故选A．
【变式4-1】（2023·广东河源·二模）(tan60°) 2+(cos45°) −1= ．
【答案】3+√2/√2+3
【分析】运用特殊角度的三角函数值计算．
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−1
√2
【详解】解：原式=(√3) 2+( ) =3+√2．
2
故答案为：3+√2．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算法则．熟练掌握特殊角的三角函数值
是解题的关键．
k
【变式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函数y= 的图象过点(−2，sin30°)，则k的值为 ．
x
【答案】−1
1
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求特殊角三角函数值，先求出sin30°= ，再把点
2
( 1)
−2， 代入反比例函数解析式中求解即可．
2
1
【详解】解：∵sin30°= ，
2
k ( 1)
∴反比例函数y= 的图象过点 −2， ，
x 2
1 k
∴ = ，
2 −2
∴k=−1，
故答案为：−1．
√3 α
【变式4-3】（2023·安徽宿州·模拟预测）若锐角α满足sinα= ，则cos = ．
2 2
√3
【答案】
2
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函
数值进而得出答案．
√3
【详解】解：∵sinα= ，
2
∴锐角α=60°．
α √3
∴ cos =cos30°= ．
2 2
√3
故答案为： ．
2
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【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动
点，连接PB、PD、PO，AB=1，AD=√3，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）
A．15° B．30∘ C．15°或105° D．30°或105°
【答案】C
【分析】连接BD，推出BD是⊙O的直径，利用三角函数的定义求得∠ABD=60°，再分类讨论，当点P
在BD上方和点P在BD下方时，据此求解即可．
【详解】解：连接BD，
∵点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，
∴∠A=∠C=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BPD=90°，
∵AB=1，AD=√3，
AD
∴tan∠ABD= =√3，
AB
∴∠ABD=60°，
当点P在BD上方时，
∵PO平分∠BPD，
1
∴∠BPO= ∠BPD=45°，
2
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∵OP=OB，
∴∠BPO=∠PBO=45°，
∴∠PBA=∠ABD−∠PBD=15°；
当点P在BD下方时，
同理可得∠BPO=∠PBO=45°，
∴∠PBA=∠ABD+∠PBD=105°；
综上，∠PBA的度数为15°或105°
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明BD是⊙O的直径是解题的关键．
√2
【变式5-1】（2023·山东济宁·统考二模）如图，四边形ABCD中，cosB= ，直线EF分别交AB，BC
2
于点E，F．则∠AEF+∠EFC的值等于（ ）
A．135° B．225° C．265° D．280°
【答案】B
√2
【分析】先根据cosB= ，得到∠B=45°，则∠BEF+∠BFE=180°−∠B=135°，再根据平角的定
2
义求出∠AEF+∠EFC的度数即可．
√2
【详解】解：∵cosB= ，
2
∴∠B=45°，
∴∠BEF+∠BFE=180°−∠B=135°，
∵∠AEF=180°−∠BEF，∠EFC=180°−∠BFE，
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∴∠AEF+∠EFC=180°−∠BEF+180°−∠BFE
=360°−(∠BEF+∠BFE)
=360°−135°
=225°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角形函数，三角形内角和定理，求出∠B=45°是解题的关键．
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形
顶角的度数为 °．
【答案】120°或90°
【分析】分两种情形①BD是腰上的高，②AD是底边上的高，分别求解即可．
【详解】①如图，
∵AB=AC，BD⊥AC，
1
BD= BC，
2
BD 1
∴sinC= = ，∠ACB=∠C，
BC 2
∴∠C=30°，则∠BAC=180°−2∠C=120°；
②如图中，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°
1
∵AD= BC，
2
∴AD=DB=DC，
则∠DAB=∠DBA=45°，∠DCA=∠DAC=45°
∴∠DAB=∠DAC=45°，
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∴∠BAC=90°；
∴等腰三角形的顶角为120°或90°．
故答案为：120°或90°．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想
思考问题，属于中考常考题型．
【变式5-3】（2023·黑龙江·统考三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC=2√3cm，则
∠A= ．
【答案】60°或120°
【分析】先画出图形，△ABC可能是锐角三角形也可能是钝角三角形.当△ABC是锐角三角形时，先作直
径BD，连接CD构造直角三角形BCD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，求出的∠D三角函
数值，即可求出∠D的度数，即可知∠A的度数.当△ABC是钝角三角形时，∠A与∠D互补，求出∠D
的度数，即可知∠A的度数.
【详解】
解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接BO并延长交⊙O于D点，连接CD，
则∠A=∠D，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
且BC=2√3,BD=2r=4，
BC 2√3 √3
∴sin∠D= = = ，
BD 4 2
∴∠D=60°，
∴∠A=60°；
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如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∠A+∠D=180°
则∠A=180°−∠D
=180°−60°
=120° ；
综上分析可知，∠A=60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对的圆周角等于90°”，“同弧所对的圆周角相等”，
以及根据三角函数解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键.
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例6】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
1 √2
(1) sin30°+ cos45°+sin30°tan60°；
2 2
sin60°⋅tan45° tan45°
(2) sin45°⋅cos45°+ +3tan230°+ ．
tan45°⋅tan60° cos30°
3+2√3
【答案】(1)
4
2√3
(2)2+
3
【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法；
（2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．
1 1 √2 √2 1
【详解】（1）解：原式= × + × + ×√3
2 2 2 2 2
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1 1 √3
= + +
4 2 2
3 √3
= +
4 2
3+2√3
= ；
4
√3
×1
2
√2 √2 2 √3 1
（2）原式= × + +3×( ) +
2 2 1×√3 3 √3
2
1 1 1 2√3
= + +3× +
2 2 3 3
2√3
=1+1+
3
2√3
=2+ ．
3
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运
算的运算顺序和计算法则是解题关键．
x ( 1 )
【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值： ÷ 1− ，其中
x2−1 x+1
x=√2sin45°+2tan45°
1 1
【答案】 ，
x−1 2
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可
解答．
x ( 1 )
【详解】解： ÷ 1−
x2−1 x+1
x x+1−1
= ÷
(x+1)(x−1) x+1
x x+1
= ⋅
(x+1)(x−1) x
1
= ，
x−1
√2
当x=√2sin45∘+2tan45∘=√2× +2×1=1+2=3时，
2
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1 1
原式= = .
3−1 2
【变式6-2】（2023·北京石景山·校考一模）计算：(−1) 2019+ ( − 1) −2 −|2−√12|+4sin60°．
2
【答案】5
【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别
化简得出答案．
√3
【详解】解：原式=−1+4−|2−2√3|+4×
2
=−1+4−2√3+2+2√3
=5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性
质，正确化简各数是解题关键．
sin30°⋅cos30°
【变式6-3】（2023·山东烟台·一模）计算： −√2sin45°．
tan30°⋅tan45°
1
【答案】−
4
【分析】根据特殊角的三角函数值化简，而后根据先乘除后加减，乘除法法则和加减法法则计算即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法
则，是解题的关键．
1 √3
×
2 2 √2
【详解】原式= −√2×
√3 2
×1
3
3
= −1
4
1
=− ．
4
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
√3
【例7】（2023·江苏·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sin A= ，tanB=√3，则△ABC是
2
（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】A
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【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠A,∠B的度数，利用三角形内角和定理，求出∠C的度数，即
可得出结论．
√3
【详解】解：∵sin A= ，tanB=√3，
2
∴∠A=60°,∠B=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
√2
【变式7-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝ ，
2
你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
√2
【详解】试题分析：∵△ABC中，tanA=1，sinB= ，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角
2
形．
故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）若(√3tan A−3) 2+|2cosB−√3|=0，则△ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
√3
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得√3tan A=√3,cosB= ，从而得到∠A=60°,∠B=30°，
2
即可求解．
【详解】解∶∵(√3tan A−3)
2+|2cosB−√3|=0，
∴√3tan A−3=0,2cosB−√3=0，
√3
解得：√3tan A=3,cosB= ，
2
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∴∠A=60°,∠B=30°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数
值是解题的关键．
【变式7-3】（2023·黑龙江大庆·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且
1 2 √3
(sinA− ) +|cosB− |=0，则△ABC的形状是( )
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】B
1 √3
【分析】根据非负数的性质得出sin A= ，cosB= ，进而求得∠A=30°，∠B=30°，根据三角形内
2 2
角和定理求得∠C，即可求解．
1 √3
【详解】解：由题意得，sinA= ，cosB= ，
2 2
则∠A=30°，∠B=30°，
则∠C=180°−∠A−∠B=120°，
故△ABC为钝角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】
【例8】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA的差（ ）．
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当0°<∠A<45°时，45°<90°−∠A<90°，
∴sin Asin(90°−∠A)，
∴ sinA>cosA，
∴ sinA−cosA>0，
综上所述，sinA与cosA的差不能确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在0°∼90°之间（不包括0°和90°），角度
变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
【变式8-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简√(sin28°−cos28°) 2等于（ ）
A．sin28°−cos28° B．0
C．cos28°−sin28° D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出|sin28°−cos28°|，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性
化简即可求解．
【详解】解：√(sin28°−cos28°) 2 = |sin28°−cos28°|，
∵cos28°=sin52°，sin28°cos70°>tan70° B．tan70°>cos70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cos70° D．cos70°>tan70°>sin70°
【答案】C
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；
只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可．
【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°<1，cos70°<1，tan70°>1．
又∵cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°>sin20°=cos70°，
∴tan70°>sin70°>cos70°，
故选C ．
【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键．
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
【例9】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜
边的比值称为这个锐角的正弦值．
BC
例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即 就是∠A的正弦值．利用量角器
AB
可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：
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如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为
直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～
0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
【答案】D
【分析】根据“锐角正弦值速查卡”读取相应锐角正弦的近似值的方法，找到以点O为圆心、0.95为半径
的半圆与⊙M的交点，最接近的角度即为正解.
【详解】解：由图可知，以点O为圆心、0.95为半径的半圆与⊙M的交点在70°角的射线上，所以正弦值
最接近0.94的是70°角.
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的新型定义问题，理解“锐角正弦值速查卡”的使用方法是解题的关键.
√3
【变式9-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）若∠A是锐角，cos∠A> ，则∠A应满足 ．
2
【答案】0°<∠A<30°
√3
【分析】首先明确cos30°= ，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案．
2
√3
【详解】解：∵cos30°= ，余弦函数随角增大而减小，
2
∴0°<∠A<30°，
故答案为：0°<∠A<30°．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的
关键．
【变式9-2】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
【答案】D
【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.
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【详解】解：∵tan60°=√360°，
∴60°<∠A<90°.
故选：D.
√3
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°= ,tan45°=1,tan60°=√3是解题的关
3
键.
1
【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·一模）已知 0，
3
∵sinB= ，
5
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√ 3 2 4
∴sinA= 1−（ ）= .
5 5
故选B.
【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系.
6
【变式11-1】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ，则cosB= ．
7
6
【答案】
7
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
6
【详解】解：∵∠C=90°，sin A= ，
7
BC 6
∴sin A= = ，
AB 7
BC 6
∴cosB= = ．
AB 7
6
故答案为： ．
7
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB是解题关键．
5
【变式11-2】（2023·四川成都·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°， sinA= ，则tanB的值为 ．
13
12
【答案】
5
5
【详解】试题分析：根据题意作出Rt△ABC，然后根据sinA= ，设一条直角边BC为5x，斜边AB为
13
AC 12
13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC=12x，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B= = ．
BC 5
12
故答案为 .
5
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考点：互余两角三角函数的关系．
【变式11-3】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
2 2
sin245°+sin245=
(√2)
+
(√2)
=1．
2 2
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对
的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)成立，见解析
sinα
(3)tanα=
cosα
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
a b
（2）根据正弦函数的定义列出sinα= ，sinβ= ，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
c c
a b
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△ABC中，sinα= ，cosα= ，再变形代入整理即
c c
可得出结论．
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1 √3
【详解】（1）解：∵sin30°= ，sin60°= ，
2 2
∴sin2α+sin2β=
(1) 2
+
(√3) 2
=1，结论成立；
2 2
（2）解：成立．理由如下：
a b
在Rt△ABC中，sinα= ，sinβ= 且a2+b2=c2，
c c
∴sin2α+sin2β=
(a) 2
+
(b) 2
=
a2+b2
=
c2
=1，故结论成立；
c c c2 c2
sinα
（3）解：tanα= ，理由如下：
cosα
a b a
在Rt△ABC中，sinα= ，cosα= ，tanα= ，
c c b
a
c sinα
∴tanα= = ，
b cosα
c
sinα
∴tanα= ．
cosα
【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定
义，灵活变形构造是解题关键．
【题型12 构造直角三角形解直角三角形】
【例12】（2023·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，
AB=√6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A．√3 +1 B．2 C．√2 D．√6-√2
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得
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BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结果．
【详解】如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
√2
在Rt△ABD中，BD=AD=AB⋅sin B=√6× =√3，
2
√3
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACB=30°，CD=AD⋅tan30 °=√3× =1，
3
∴BC=√3+1，
在Rt△BEF中，设BF=EF=x，
在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠BCE=60°，
CF=EF⋅tan60 °=√3x，
由CF+BF=BC得，
√3x+x=√3+1，
∴x=1，
∴EC=2EF=2，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
1
【变式12-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，在 ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则AC的长为
3
△
（ ）
√5
A．√2 B． C．√5 D．2
2
【答案】B
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【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后
在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
AH 1
由sin∠B= = ，且AB=3可知，AH=1，
AB 3
AH 1
由tan∠C= =2，且AH=1可知，CH= ，
CH 2
√ 1 2 √5
∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=√AH2+CH2= 12+( ) = ．
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造
直角三角形进而求解．
【变式12-2】（2023·山西吕梁·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边
相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰
三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段
BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）92°或113°；（3）√3或3√3-3
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③与
原三角形有两角对应相等即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝
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CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）根据三角形的“优美分割线”的定义求出∠B，再利用解直角三角形进行解答．
【详解】解：（1）证明：如图1中，
∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
1
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝40°，
2
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，
∠ACD＝∠A＝46°，∠ADC=88°，
∴∠BDC＝92°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝92°．
②当AD＝AC时，如图3，
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180°−46°
∠ACD＝∠ADC＝ ＝67°，
2
∴∠BDC＝113°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝113°．
③当AC＝CD时，如图4，
∵∠ADC＝∠A＝46°，
∴∠BDC＝134°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝134°．
∴∠ACB+∠A=180°，与三角形内角和定理矛盾，舍去．
∴∠ACB的度数是92°或113°．
（3）①若AD＝CD时，如图5，
此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，此时∠ACB＝60°，故∠B＝90°．
在直角△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，则BC＝3.
在直角△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，则BD＝BC•tan30°＝√3．
②若AC＝AD时，如图6，作CE⊥AB,垂足为E，∠ADC＝∠ACD＝75°，∠BDC＝105°，
此时∠ACB＝105°，∠B＝45°，
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∵∠A＝30°，AC＝6，
∴EC＝3，AE＝EC•tan60°＝3√3．
∵∠B＝45°，
∴EC=BE＝3，
BA＝3+3√3，
BD＝BA-DA =3+3√3-6=3√3-3，
③当AC＝CD时，由（2）可知，不成立，舍去．
【点睛】本题考查考查了几何新定义问题，主要运用等腰三角形的性质和解直角三角形等知识进行推理与
判断，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．
【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，
√3
BD=CE，连接AD，BE，tan∠BAD= ，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若
5
∠AGB=2∠CFD，AG=5，CF=2√5，则线段AB的长为 ．
4√21
【答案】
3
【分析】过点C作CN⊥AD，垂足为点N，过点A作AM⊥BE，垂足为M，过点A作AH∥BC，过点
C作CH∥AB，延长BE与CH交于点K，过点K作KQ⊥BC与BC的延长线交于点Q，在BK上确定一点
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P，使得AG=GP，连接AK，根据等边三角形的性质和平行线的性质可推得∠HAC=∠ACB=60°，
∠ACH=∠BAC=60°，根据等边三角形的判定和性质可得AC=AH=CH，结合题意可得DC=AE，
根据全等三角形的判定和性质可推得∠ADC=∠BEA，根据全等三角形的判定和性质可得CN=AM，根
据等边对等角可得∠GAP=∠GPA，根据三角形的外角性质可推得∠GPA=∠CFD，根据全等三角形的
判定和性质可得AP=CF=2√5，根据三角形内角和定理可得∠CKQ=30°，根据含30度角的直角三角形
1 √3
的性质可得CQ= CK，根据勾股定理可得KQ= CK，设MP=a，则GM=5−a，根据勾股定理列方
2 2
1 √3
程求解得到a=2，求得AM=4，设CK=b，则CQ= b，KQ= b，根据锐角三角函数和勾股定理可求
2 2
5 1
得BQ= b，BK=√7b，BC=2b，推得CK= CH，根据等边三角形三线合一的性质可得AK⊥CH，
2 2
2√21
根据勾股定理求得AK=√3b，根据三角形的面积公式列方程求解得到b= ，即可求得
3
4√21
BC=AB=2CK= ．
3
【详解】解：过点C作CN⊥AD，垂足为点N，过点A作AM⊥BE，垂足为M，过点A作AH∥BC，
过点C作CH∥AB，延长BE与CH交于点K，过点K作KQ⊥BC与BC的延长线交于点Q，在BK上确定
一点P，使得AG=GP，连接AK，如图：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，AB=BC，
∵AH∥BC，CH∥AB，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∴∠HAC=∠ACB=60°，∠ACH=∠BAC=60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴AC=AH=CH，
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∵BD=CE，
∴DC=AE，
∵AB=BC，∠ABC=∠BCA，BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC，
∴∠ADC=∠BEA，
∵CN⊥AD，AM⊥BE，
∴∠CND=∠AME=90°，
∵∠CND=∠AME，∠ADC=∠BEA，DC=AE，
∴△CND≌△AME(AAS)，
∴CN=AM，
∵AG=GP=5，
∴∠GAP=∠GPA，等边对等角
在Rt△AGP中，∠AGB=∠GAP+∠GPA=2∠GPA，
∵∠AGB=2∠CFD，
∴∠GPA=∠CFD，
∵∠GPA=∠CFD，∠CNF=∠AMP=90°，CN=AM，
∴△CFN≌△APM(AAS)，
∴AP=CF=2√5，
∵CH∥AB，
∴∠ABC=∠HCQ=60°，
又∵KQ⊥BC，
∴∠CKQ=180°−90°−60°=30°，
在Rt△CKQ中，CQ= 1 CK，KQ=√CK2−CQ2= √ CK2− (1 CK ) 2 = √3 CK，
2 2 2
设MP=a，则GM=GP−PM=5−a，
在Rt△AMP中，AM2=AP2−M P2=(2√5) 2 −a2，
在Rt△AMG中，AM2=AG2−GM2=52−(5−a) 2，
∴AP2−M P2=AG2−GM2，
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即(2√5) 2 −a2=52−(5−a) 2，
解得：a=2，
∴MP=2，
∴AM=√(2√5) 2 −22=4，
1 √3
设CK=b，则CQ= b，KQ= b，
2 2
KQ √3
在Rt△BKQ中，tan∠CBE= = ，
BQ 5
5 5
∴BQ= KQ= b，
√3 2
∴BK=√BQ2+KQ2= √ (5 b ) 2 + (√3 b ) 2 =√7b，
2 2
5 1
∴BC=BQ−CQ= b− b=2b，
2 2
即BC=AB=AC=CH=2b，
1
∴CK= CH，
2
又∵△ACH是等边三角形，
∴AK⊥CH，即∠AKH=90°，
在Rt△ACK中，AK=√AC2−CK2=√(2b) 2−b2=√3b，
∵CH∥AB，∴∠AKH=∠KAB=90°，
1 1
在△ABK中，S = ×BK⋅AM= ×AB⋅AK，
△ABK 2 2
1 1
即 ×√7b⋅4= ×2b⋅√3b
2 2
2√21
解得：b= ，
3
2√21
∴CK= ，
3
4√21
即BC=AB=2CK= ，
3
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4√21
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，
三角形的外角性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，等边
三角形三线合一的性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据等边三角形的性质和锐角三角函数作出辅
助线构建直角三角形．
【题型13 网格中解直角三角形】
【例13】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、
B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
1 √2 √5 2√5
A． B． C． D．
2 2 5 5
【答案】C
【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角
的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．
【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝√12+12=√2，
AE＝√22+22=2√2，
AB=√32+12=√10．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
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∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
BE √2 √5
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝ = = ．
AB √10 5
√5
∴cos∠APD＝ ．
5
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
【变式13-1】（2023·福建·统考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，
则sin∠BAC= ．
3
【答案】
5
【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，只需求得BE即可求得sin∠BAC．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，
由图可得，AB=√10，AC=√10，BC=2，AD=3，
1 1
∵S = ⋅AD⋅BC= ⋅AC⋅BE，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×3×2= ×√10BE，
2 2
3√10
∴BE= ，
5
3√10
BE 5 3．
∴sin∠BAC= = =
AB √10 5
3
故答案为： ．
5
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【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形．要注意直角三角函数的性质进行解题，本题易错
点在于学生误认为sin∠BAC=2sin∠BAD．
【变式13-2】（2023·湖北武汉·统考三模）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做
格点，A，C两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；
(2)在图中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；
4
(3)在图中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG= ．
7
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【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据网格特点先作线段AB的中点D，然后作AC的垂线，交AC于点E，根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半，即可得出AD=DE；
（2）连接BC，利用正方形网格确定BC中点，然后连接点A与中点，延长，利用网格及矩形的对角线即
可确定点F；
（3）根据网格的特点将线段AC绕点A逆时针旋转90°，然后利用网格使得两个相似三角形的比为4:3，
连接点C与交点交AB于点G，则点G即为所求．
【详解】（1）解：解：如图所示，点D,E即为所求；
（2）如图所示：CF即为所求；
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（3）如图所示：点G即为所求；
【点睛】本题考查了正切的定义，无刻度直尺作图，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，正方形的性质，
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键．
【变式13-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、
∠β如图所示，则sin(α+β)=（ ）
2√7 √7 √2 √3
A． B． C． D．
7 7 2 2
【答案】A
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出
∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设
等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=√3a，利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义即可得
出答案．
【详解】解：连接DE，如图所示：
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在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°×a=√3a，
∴AD=√AE2+DE2=√ (2a) 2+(√3a) 2=√7a，
AE 2a 2√7
∴sin(α+β)= = = ．
AD √7a 7
故选：A
【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于
∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
【题型14 在坐标系中解直角三角形】
【例14】（2016·江苏无锡·统考一模）如图坐标系中，O(0，0) ，A(6，6√3)，B(12，0)．将△OAB沿直线
24
CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则CE ∶DE的值是 ．
5
7
【答案】
8
【分析】过A作AF⊥OB于F，先证得△AOB是等边三角形，可得∠AOB=∠ABO=60°，再由折叠的性质可
得△CEO∽△DBE，设CE=a，则CA=a，CO=12﹣a，ED=b，则AD=b，OB=12﹣b，结合相似三角形的性质，
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即可求解。
【详解】解：过A作AF⊥OB于F，
∵A（6，6√3），B（12，0），
∴AF=6√3，OF=6，OB=12，
∴BF=6，
∴OF=BF，
∴AO=AB，
AF
∵tan∠AOB= =√3，
OF
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED=∠OAB=60°，
∴∠OCE=∠DEB，
∴△CEO∽△DBE，
OE CE CD
∴ = = ，
BD ED EB
设CE=a，则CA=a，CO=12﹣a，ED=b，则AD=b，OB=12﹣b，
24
5 a，
=
12−b b
∴24b=60a﹣5ab ①，
12−a a
=
36 b，
5
∴36a=60b﹣5ab ②，
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②﹣①得：36a﹣24b=60b﹣60a，
a 7
∴ = ，
b 8
7
即CE：DE= ．
8
7
故答案为：
8
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握解直角三角形，
相似三角形的判定和性质，图形的折叠是解题的关键。
【变式14-1】（2023·安徽·模拟预测）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，
边AB，AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如
图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B点的坐标为 ，点C的坐标 ．
(4√3−3 3√3+4)
【答案】 (2√3,2) ,
2 2
【分析】根据旋转的性质求解．
【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上，
∴图1中B坐标为（4，0），
在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°=2√3，BE=2，
在图2中B点的坐标为（2√3，2）；
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易知图1中点C的坐标为（4，3），
在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3，
∴DM=3•tan30°=√3，OM=3÷cos30°=2√3，
那么CM=4-√3，易知∠NCM=30°，
4−√3 4√3−3
∴MN=CM•sin30°= ，CN=CM•cos30°= ，
2 2
3√3+4
则ON=OM+MN= ，
2
4√3−3 3√3+4
∴图2中C点的坐标为（ ， ）．
2 2
【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造
直角三角形求解．
【变式14-2】（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(0,3)，点B在x轴上．
(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不
写作法；
k 4
(2)若函数y= 的图象经过点M，且sin∠OAB= ，求k的值．
x 5
【答案】(1)见详解
(2)k=3
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【分析】整体分析：
（1）直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等；
4
（2）根据OA=3，sin∠OAB= 求出B的坐标，再由M是AB的中点，求点M的坐标.
5
【详解】（1）解：如图所示：作AB的垂直平分线，垂足为M，点M，即为所求；连结OM，
点M为AB中点，
∴AM=BM，
∵△AOB为直角三角形，
∴OM=AM=BM，
∴点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，
4
（2）解：∵sin∠OAB= ，
5
∴设OB=4x，AB=5x，
由勾股定理可得：32+（4x）2=（5x）2，
解得：x=1，
∴OB=4，由B（4，0），
3
由作图可得：M为AB的中点，则M的坐标为：（2， ）．
2
∴k=3
【点睛】本题考查尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握尺规作图，直角
三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理是解题关键．
15
【变式14-3】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y=kx−
2
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3
交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠OAB= ．
4
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式
（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，
∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．
3 15 15 75
【答案】（1）y= x− ；（2）S=− t+ ；（3）（6，12）．
4 2 4 2
【分析】（1）先根据解析式求出点B坐标，再用三角函数求出点A坐标，代入解析式即可；
（2）用t表示点P的纵坐标，利用三角形面积公式列出函数解析式即可；
（3）根据S=15求出点P坐标，得出∠AOP+∠BPO=2∠ADO=90°，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于
F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），根据勾股定理列出方程即可．
15 15 15
【详解】解：（1）当x=0时，y=− ，点B的坐标为（0，− ），OB= ，
2 2 2
3
∵tan∠OAB= ，
4
OB 3 15 15 3
∴ = ，OA=10，A点坐标为（10，0），代入y=kx− 得，0=10k− ，解得，k= ，
OA 4 2 2 4
3 15
直线AB的解析式为y= x− ；
4 2
3 15 3 15
（2）把点P的横坐标t代入y= x− 得，y= t− ，
4 2 4 2
∵点P在线段AB上，
1 3 15 15 75
∴S= ×10×(− t+ )，即S=− t+ ；
2 4 2 4 2
15 75 3 15
（3）当S=15时，15=− t+ ，解得，t=6，代入y= t− 得，y=−3，
4 2 4 2
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点P的坐标为（6，-3），
15
∵点B的坐标为（0，− ），
2
√ 15 2 15
∴BP= 62+(−3+ ) = ，
2 2
∴BP=OB，
∴∠BOP=∠BPO，
∠AOP+∠BPO=∠BOP+∠AOP=90°，
∵∠AOP+∠BPO=2∠ADO，
∴∠ADO=45°，
作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），
OE=√OF2+EF2=√5b，AF=10-b，
∵AE2=EF2+AF2，AE2=OA2−OE2
∴102−(√5b) 2=(2b) 2+(10−b) 2，解得，b =0（舍去），b =2，
1 2
则点E坐标为（2，4），AE=DE= √42+82=4√5，
OD= 2√5+4√5=6√5，
∵点D坐标为（a，2a），
∴a2+4a2=180，解得，a =6，a =-6（舍去），
1 2
D点坐标为（6，12）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，解题关键是求出函数解析式，利用函数图象上点的坐标，根据勾股
定理列出方程．
【题型15 解直角三角形的相关计算】
【例15】（2023·江西·校联考二模）在矩形ABCD中， AB=2√3，AD=6，点E是AD上，且AE=2，
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点F是矩形ABCD边上一个动点，连接EF，若EF与矩形ABCD的边构成30°角时，则此时EF=
．
4√3 8√3
【答案】 或4或
3 3
【分析】分点F在AB，BC，CD，AD上分别画图计算，点F在AB上时，存在两种情况：∠AEF=30°
或∠AFE=30°；当F在BC上时没有成立的点F，当F在CD上时有∠≝=30°，分别解直角三角形可得结
论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
分两种情况：
①如图1，当∠AEF=30°时，
AE 2 4√3
在Rt△AEF中，EF= = = ；
cos∠AEF cos30° 3
如图2，当∠AFE=30°时，
AE 2
在Rt△AEF中，EF= = =4；
sin∠AEF sin30°
②如图3，当∠≝=30°时，ED=6−2=4，
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DE
EF=
在Rt△≝¿中， 4 8√3 ，
cos∠≝¿= = ¿
cos30° 3
4√3 8√3
综上所述，，EF的长是 或4或 ．
3 3
4√3 8√3
故答案为： 或4或 ．
3 3
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，分情况讨论正确画图是解本题的关键．
【变式15-1】（2023·江苏南通·三模）如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形OABC．若
AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（ ）
1 1
A． +1 B．sin2α+1 C． +1 D．cos2α+1
sin2α cos2α
【答案】A
AB 1
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解Rt△ABO得到OB= = ，再在
sinα sinα
Rt△OBC中，由勾股定理得OC2=BC2+OB2= ( 1 ) 2 +12= 1 +1．
sinα sin2α
AB 1
【详解】解：在Rt△ABO中，OB= = ，
sinα sinα
在Rt△OBC中，
由勾股定理得OC2=BC2+OB2= ( 1 ) 2 +12= 1 +1，
sinα sin2α
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故选：A．
【变式15-2】（2023·安徽·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，对角线AC，
BD相交于点O，OE∥AD交CD于点E，且∠BOE=135°．
(1)求证：AB=AD．
(2)如图2，延长DB至点F，连接FC，且FC=FO．
①求证：FO2=FB⋅FD；
②若BD=3FB，求sin∠BAC的值．
【答案】(1)证明见解析
√5
(2)①证明见解析；②
5
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识：
（1）由平角定义求出∠DOE=45°,由平行线的性质得∠ADB=∠DOE=45°，由三角形内角和定理求
出∠ABD=∠ADB=45°，最后由等角对等边可得结论；
FB FC
（2）①△FBC∽△FCD得 = ，即FC2=FB⋅FD，由FC=FO替换可得结论；②②由BD=3FB
FC FD
求得FD=4FB，由FO2=FB⋅FD得FO=2FB,由△FBC∽△FCD得
BC FB 1 √5
= = ．在Rt△BCD中可求sin∠BDC= ，再根据圆周角定理可得结论
CD FC 2 5
【详解】（1）证明：∵∠BOE=135°,
∴∠DOE=180°−∠BOE=45°．
∵OE∥AD,
∴∠ADB=∠DOE=45°．
∵∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD．
（2）解：①∵在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,
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∴点A,B,C,D在以BD为直径的圆上．
∴∠ABD=∠ACD=∠ADB=∠ACB=45°．
又FC=FO，
∴∠FCO=∠FOC，
即∠FCB+45°=∠FDC+45°，
∴∠FCB=∠FDC．
又∵∠F=∠F,
∴△FBC∽△FCD．
FB FC
∴ = ，即FC2=FB⋅FD．
FC FD
又∵FC=FO,
∴FO2=FB⋅FD．
②∵BD=3FB,
∴FD=4FB．
由①可知FO2=FB⋅FD,
∴FO2=4FB2，
∴FO=2FB,
FB 1
∴ = ,
FC 2
FB 1
∴ = ．
FC 2
由①可知△FBC∽△FCD,
BC FB 1
∴ = = ．
CD FC 2
设BC=x，则CD=2x,
∵∠BCD=90°,
∴BD=√x2+(2x) 2=√5x，
BC x √5
∴sin∠BDC= = = ．
BD √5x 5
由A,B,C,D四点共圆知∠BAC=∠BDC，
√5
∴sin∠BAC=sin∠BDC= ．
5
【变式15-3】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，
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BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE=BF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
3
(2)若EF=6,cos∠ABC= ，
5
①求BF的长；
②求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
10
(2)①BF=5；②⊙O的半径为
3
【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
1
（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求得CF=CE= EF=3,∠F=∠ABC，在
2
Rt△BCF中，利用余弦的意义解答即可；②在Rt△ABC中，利用余弦的意义解答即可求得AB，则半径
可求．
【详解】（1）证明：∵BC=DC，
∴B´C=D´C，
∴∠A=∠CBD，
∵BE=BF，
∴∠BEC=∠F．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠F+∠A=90°．
∴∠ABF=90°，
∴OB⊥BF，
∵OB是圆的半径，
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∴BF是⊙O的切线；
（2）解：①由（1）得：BE=BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥EF，
1
∴CF=CE= EF=3，
2
∵∠ABC+∠CBF=90°,∠CBF+∠F=90°，
∴∠F=∠ABC，
在Rt△BCF中，
CF
∵cos∠F= ，
BF
3
∴BF=CF÷ =5；
5
②在Rt△BCF中，BC=√BF2−CF2=4，
在Rt△ABC中，
BC 3
∵cos∠ABC= = ，
AB 5
20
∴AB= ．
3
10
∴⊙O的半径为 ．
3
【点睛】本题主要考查了圆的切线的的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定
理，熟练掌握上述性质是解题的关键．
【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】
【例16】（2023·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，
AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
√3 √3
A． B． C．√3 D．2√3
4 2
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【答案】C
√3 √3
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四边
2 2
形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
√3
∴DG= DO，
2
√3
同理可得：BH= BO，
2
1 1
S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH
四边形 2 2
1 √3
= ×AC× ×（DO+BO）
2 2
=√3，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不
规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
【变式16-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠BAC=∠BDE=90°，
AB=AC，∠DBC=30°，且点B，C，E在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD、AD，若
BD=BC，DE=8．则AD的长为 ．
【答案】12−4√3/−4√3+12
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【分析】先证明AD∥BE，由此得到∠DAC=∠ACB，可见△ADC的∠DAC、边AC、∠ACD都是确
定的，因此可通过解△ADC求出AD长．
【详解】解：如图，分别过点A、D作AM⊥BE，DN⊥BE，则AM∥DN，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，∠DBC=30°可得：
∠ABC=∠ACB=45°，∠E=60°，
∵BD=BC，∠DBC=30°，
∴∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△DBE中，BD=DE⋅cot∠DBC=8⋅cot30°=8√3，
∴BC=8√3，
在Rt△ABC中，AB=BC⋅cos∠ABC=8√3⋅cos45°=4√6，
∴AC=4√6，
分别解Rt△ABM和Rt△DEN，可得AM=4√3，DN=4√3，
∴AM=DN，
又AM∥DN，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
解△ADC，
过点D作DH⊥AC，
由于∠DAC=45°，∠ACD=30°，故可设DH=k，则AH=k，AD=√2k，HC=√3k，
由于AC=4√6，故得到√3k+k=4√6，解得k=6√2−2√6，
∴AD=√2k=12−4√3．
【点睛】本题重点考查了解直角三角形的相关知识．在直角三角形中，知道了除直角外的两个元素（至少
有一个元素是边），就可以求出这个直角三角形的其他三个元素．如果没有直角三角形，有时需要构造直
角三角形．本题中的△ADC的∠DAC、边AC、∠ACD经过分析可知都是确定的，故可“化斜为直”，
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构造直角三角形是解题的关键．
【变式16-2】（2023·浙江金华·统考一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC
方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF
