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专题 38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】..............................................................................................................3
【题型2 求角的三角函数值】..................................................................................................................................5
【题型3 由三角函数值求边长】............................................................................................................................11
【题型4 求特殊角的三角函数值】........................................................................................................................19
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】...................................................................................................20
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】...................................................................................................25
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】...........................................................................................27
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】...........................................................................................................28
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】...............................................................................................31
【题型10 利用同角三角函数关系求解】................................................................................................................33
【题型11 互余两角三角函数关系】........................................................................................................................36
【题型12 构造直角三角形解直角三角形】...........................................................................................................39
【题型14 在坐标系中解直角三角形】....................................................................................................................52
【题型15 解直角三角形的相关计算】....................................................................................................................58
【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】...................................................................................64
【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】...........................................................................................68
【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】...................................................................................................75
【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】...............................................................................................81
【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】...............................................................................................86
【知识点 锐角三角函数】
知识点1：锐角三角函数的概念
1．锐角三角函数：
B
c
a
A C
b
①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦 ，余弦 ，正切 ，余切 ．
②特殊角的三角函数值：
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三角函数
无
无
③同角三角函数关系： ， ， ．
④互余角三角函数关系：若 ，则 ， ．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若 ，则 ， ， ．
知识点2：解直角三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系： ．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系： ， ， ．
3．解直角三角形的四种基本类型
已知条件 解法类型
斜边c和锐角 ， ，
一条边和
一个锐角 直角边a和锐角
， ，
两条直角边a和b
， ，
两条边
斜边c和直角边a
， ，
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
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（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
知识点3：解直角三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角．如图1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为 ，
坡面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，则 ．坡度越大，坡面就越陡．如图2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向
旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图3．
视线 北
铅 仰角 水平线 h i=h:l
垂
俯角
线
视线
l
图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距
离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分
割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近
似值，注明单位．
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是
（ ）
A．sinα的值越大，梯子越陡
B．cosα的值越大，梯子越陡
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C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【答案】A
【分析】根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值和正切值随着角的增大而增大，余弦值随着角增大而减
小，逐一判断即可．
【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinα的值越大，梯子越陡，故A符合题意；
cosα的值越小，梯子越陡，故B不符合题意；
tanα的值越大，梯子越陡，故C不符合题意；
陡缓程度与∠α的函数值有关，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数值的变化规律是解题的关键．
【变式1-1】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sin A
的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变
【答案】D
【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA”求
解．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴sin A=∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都扩大5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sin A的值不变．
故选：D．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度
是（单位：米）（ ）
5
A．5cos31° B．5sin31° C． D．5tan31°
sin31°
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【答案】B
【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函
数求解．
【详解】∵铁球上滚的距离× sin31° =铁球距地面的高度，
∴铁球距地面的高度= 5sin31°．
故选：B．
【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键．
【变式1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，
箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
1 2 1 1
A． + B． +
cosα sinα cosα 2sinα
C．cosα+2sinα D．2cosα+sinα
【答案】C
【分析】过B作BH⊥AD于点H，然后可以用α的三角函数表示AH，HD，再根据AD=AH+HD可以得到解
答．
【详解】解：如图，过B作BH⊥AD于点H，
由题意可得：∠HAB=∠C=α，
∴AH=AB•cosα=cosα，DH=BE=BC•sinα=2sinα，
∴AD=AH+HD=cosα+2sinα，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题关键．
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【题型2 求角的三角函数值】
【例2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，
且BG=CH=2，AG与BH交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，
则tan∠AMN的值为 ．
5
【答案】
8
【分析】此题主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角
形，求出BM是解本题的关键．
根据正方形性质，证明△ABG≌△BCH，得出∠BAG=∠CBH，进而求出∠AOB =90°，再判断出
OA AB 5
△AOB∽△ABG，求出 = = ，再判断出△OBM∽△OAN，求出BM=1，即可求出答案．
OB BG 2
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=5,∠ABC=∠BCD=90°
∵BG=CH=2,
∴△ABG≌△BCH(SAS),
∴∠BAG=∠CBH,
∴∠BAG+∠ABO=∠CBH+∠ABO=∠ABG=90°,
∴∠AOB=90°，
∵∠OAB=∠BAG,∠AOB=∠ABG,
∴△AOB∽△ABG,
OA OB
∴ = ,
AB BG
OA AB 5
∴ = = ,
OB BG 2
∵OM⊥ON,
∴∠MON=90°=∠AOB,
∴∠BOM=∠AON,
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∵∠BAG+∠DAG=90°，∠ABO+∠CBH=90°，∠BAG=∠CBH,
∴∠OBM=∠OAN
∴△OBM∽△OAN,
OB BM
∴ = ,
OA AN
∵点N是AD的中点，
1 5
∴AN= AD= ,
2 2
2 BM
∴ = ,
5 5
2
∴BM=1,
∴AM=AB−BM=4,
5
在Rt△MAN中， AN 2 5，
tan∠AMN= = =
AM 4 8
5
故答案为： ．
8
【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果
AB=5，BD=2，那么cosC= ．
2
【答案】 /0.4
5
【分析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由BD⊥AC，得到∠ADB=90°，则
∠A+∠ABD=90°，通过同角的余角相等得出∠ABD=∠C即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关
键．
【详解】如图，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
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∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵AB=5,BD=2，
BD 2
∴cosC=cos∠ABD= = ，
AB 5
2
故答案为： ．
5
【变式2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB
上一点，连接CE，CD．
(1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC．
【答案】(1)见解析
5
(2)sin∠DBC=
6
【分析】
（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，求得∠BEC=90°，根据垂直的定义得到
CE⊥BD；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC=90°，根据垂直的定义得到∠CED=90°，得到
∠CED=∠ABC，根据相似三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接AD，
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∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠DCA=∠ECB，∠CAD=∠CBD，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥BD；
（2）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ABC，
∵∠D=∠A，
∴△ABC∽△DEC，
DE CE
∴ = ，
AB BC
∵AB=6，DE=5，
CE DE 5
∴sin∠DBC= = = ．
BC AB 6
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌
握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
1
【变式2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，E为CD上一点tan∠EAD= ，以E
3
为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF= ，tan∠GEC=
．
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9
【答案】 5
13
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，
DE 1
在Rt△ADE中利用正切的定义得到tan∠EAD= = ，则设DE=x，AD=3x，根据垂径定理得到
AD 3
AH=FH=DE=x，利用圆心角、弧、弦的关系得到FG=FA=2x，再证明∠FAG=∠EAD，则
BG 1
tan∠BAG= = ，于是可计算出BG=3，在RtΔBFG中利用勾股定理得到(9−2x) 2+32=(2x) 2，解
AB 3
5 15 9 13
方程求出x，则AF=5，DE= ，AD= ，所以CG= ，CE= ，然后在Rt△CGE中利用正切的定义
2 2 2 2
得到tan∠GEC的值．
【详解】解：过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=∠D=∠BAD=90°，
DE 1
在Rt△ADE中，∵tan∠EAD= = ，
AD 3
∴设DE=x，AD=3x，
∵∠AHE=∠HAD=∠D=90°，
∴四边形ADEH为矩形，
∴AH=DE=x，AD∥AE，
∴∠DAE=∠HEA，
∵EH⊥AF，
∴AH=FH=x，∠HEA=∠HEF，
∵F为弧AG的中点，
∴FG=FA=2x，∠AEF=∠GEF，
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1 1
∵∠FAG= ∠GEF= ∠AEF，
2 2
∴∠FAG=∠EAD，
BG 1
在Rt△ABG中，∵tan∠BAG= = ，
AB 3
1 1
∴BG= AB= ×9=3，
3 3
在Rt△BFG中，∵BF=9−2x，FG=2x，BG=3，
∴(9-2x) 2+32=(2x) 2，
5
解得x= ，
2
5 15
∴AF=5，DE= ，AD= ，
2 2
9 13
∴CG=BC−BG= ，CE=CD−DE= ，
2 2
CG 9
在Rt△CGE中，tan∠GEC= = ．
CE 13
9
故答案为：5， ．
13
【题型3 由三角函数值求边长】
【例3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BD平分∠ABF，
1
∠C=90°且tanA= ，BC=8，CF∥AB，则DF= ．
2
8√2
【答案】
3
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据角平分线的性质得：∠FBD=∠ABD，利用平行线的性质及三
角函数正切值得BC=CD=AD，进而得∠CBD=∠CDB=45°，在Rt△CBE中，根据
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CE 1
tan∠EBC= = ，得CE=4，利用勾股定理得，BE=4√5，利用相似三角形的判定及性质得
BC 2
4√5 4√5 8 4 8
EF= ，再利用相似三角形的判定及性质可得EF= FG= ，¿= ，进而得DG= ，再利用勾
3 3 3 3 3
股定理即可求解．
【详解】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图：
∵BD平分∠ABF，
∴∠FBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴GF∥BC，
BC 1
∵tanA= = ，D是AC中点，
AC 2
∴BC=CD=AD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠ABD+∠A=45°，∠FBD+∠FBC=45°，
∵∠ABD=∠FBD，
∴∠FBC=∠A，
1
∴tan∠EBC=tan∠A= ，
2
CE 1
在Rt△CBE中，tan∠EBC= = ，
BC 2
CE 1
∴ = ，
8 2
∴CE=4，
∴AE=AC−CE=2BC−CE=12，
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根据勾股定理，得BE=√CB2+CE2=√82+42=4√5，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△CFE，
EF CE EF 4
∴ = ，即： = ，
BE AE 4√5 12
4√5
∴EF= ，
3
∵GF∥BC，
FG EF GE 1
∴ = = = ，
BC BE EC 4
FG 1 GE
∴ = = ，
8 3 4
8 4
∴FG= ，¿= ，
3 3
4 8
∴DG=DE−EG=4− = ，
3 3
√ 8 2 8 2 8√2
在Rt△FGD中，根据勾股定理得：DF=√DG2+FG2= ( ) +( ) = ，
3 3 3
8√2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理及锐角三角形函数正切值，熟练掌握相似三角形
的判定及性质及勾股定理是解题的关键．
【变式3-1】（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，
D、C、E三点共线．
(1)求证：BE∥AD．
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1
(2)若AD=6,cosE= ，求CE的长．
3
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由∠ABD=∠CBE得∠ABC=∠DBE，根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，则
∠ACB=∠DBE，由圆周角定理得到∠ACB=∠ADB，则∠DBE=∠ADB，即可得到结论；
AB AD
（2）连接AO、BO、CO，延长AO交BC于点H，证明△ABD∽△CBE，得到 = ，
CB CE
1
∠E=∠ADB，则∠E=∠ADB=∠ACB，证明AH是BC的垂直平分线，则BH=CH= BC，
2
1 CH
AH⊥BC，由cosE=cos∠ACB= = ，可设CH=BH=x，则AC=3x，得到
3 AC
3x 6
AB=AC=3x,BC=2x，代入比例式得到 = ，即可得到CE的长．
2x CE
【详解】（1）解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠CBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠ABC=∠DBE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠DBE，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠DBE=∠ADB，
∴BE∥AD；
（2）连接AO、BO、CO，延长AO交BC于点H，
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∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BCE=∠BAD，
∵∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
AB AD
∴ = ，∠E=∠ADB，
CB CE
∴∠E=∠ADB=∠ACB，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，
1
∴BH=CH= BC，AH⊥BC，
2
1 CH
∵cosE=cos∠ACB= = ，
3 AC
设CH=BH=x，则AC=3x，
∴AB=AC=3x,BC=2x，
3x 6
∴ = ，
2x CE
∴CE=4．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰
三角形的性质等知识，证明△ABD∽△CBE是解题的关键．
【变式3-2】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，
3
sin∠DCB= ，则AC= ．
5
234
【答案】6或
11
【分析】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点D作DE⊥BC于
3 DE 3
E，根据sin∠DCB= ，可得出 = ，设DE=3k,CD=5k，则CE=4k,BE=8−4k，在Rt△BDE
5 CD 5
中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出DE,BE，然后证△BDE和△BAC相似，最后利
用相似三角形的性质可求出AC的长．
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【详解】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：
3
∵sin∠DCB= ，
5
DE
在Rt△CDE中，sin∠DCB= ，
CD
DE 3
∴ = ，
CD 5
设DE=3k,CD=5k，
由勾股定理得：CE=√CD2−DE2=4k，
∵BC=8，
∴BE=BC−CE=8−4k，
在Rt△BDE中，BE=8−4k,DE=3k,BD=5，
由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即(8−4k) 2+(3k) 2=52，
整理得：25k2−64k+39=0，
39
解得：k=1，或k= ，
25
当k=1时，DE=3k=3，BE=8−4k=4，
∵∠ACB=90°,DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
DE BE 3 4
∴ = ，即 = ，
AC BC AC 8
∴AC=6，
39 117 44
当k= 时，DE=3k= ,BE=8−4k= ，
25 25 25
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117 44
DE BE
同理： = ，即 25 25，
AC BC =
AC 8
234
∴AC= ．
11
234
综上所述：AC=6或 ，
11
234
故答案为：6或 ．
11
【变式3-3】（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点
D，AE平分∠BAC并交BD于点E．
(1)求证：∠BAC=2∠D；
3 BE
(2)若BC=AC，且cos∠BAC= ，求 ，
5 DE
BF BE 1 AB
(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F, =3，其中 = ，连接AD、EC，求 ．
DF DE 2 BC
【答案】(1)证明见解析
BE 3
(2) 的值为
DE 5
AB 7+2√6
(3) =
BC 5
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求证；
（2）构造相似三角形得到△BEG∽△DEC即可求解；
（3）取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF，OI⊥AB，连接OA、OC，构造四点共圆，利用相似三
角形的判定、性质和直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点D，
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1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠DCP= ∠ACP，
2 2
又∵∠DCP、∠ACP分别是△BCD、△ABC的一个外角，
1 1 1
∴∠D=∠DCP−∠DBC= ∠ACP− ∠ABC= ∠BAC ，
2 2 2
∴∠BAC=2∠D ．
（2）连接CE并延长交AB于点G，则CG平分∠ACB
又∵BC=AC，
∴CG⊥AB，∠ABC=∠BAC，
1
又∵∠DCP= ∠ACP=∠ABC，
2
∴AB∥CD，
∴CG⊥CD，∠D=∠ABD=∠DBC
∴△BEG∽△DEC ，CD=BC
BE BG BG AG 3
∴ = = = =cos∠BAC= ，
DE CD BC AC 5
BE 3
答： 的值为 ．
DE 5
（3）如图，取DE的中点O，过点O分别作OH⊥BF于H，OI⊥AB于I，连接OA、OC，
BF
∵ =3，
DF
可设DF=x，则BF=3x，
∵DF⊥BC，
∴BD=√DF2+BF2=√x2+(3x) 2=√10x，
BE 1
又∵ = ，点O是DE的中点，
DE 2
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OB 2
∴ =
BD 3
∵OH⊥BF，DF⊥BC，
∴OH∥DF，
∴△BOH~△BDF，
BH BO OH 2
∴ = = = ，
BF BD DF 3
2
∴BH=2x，OH= x，
3
∵BD是∠ABC的平分线，
2
∴OH=OI= x，
3
∴BI=BH=2x．
由（1）（2）知CE平分∠ACB，CD平分∠ACF．
1
∴∠ECD=∠ECA+∠ACD= (∠BCA+∠ACF)=90°,
2
∵∠BAC=2∠BDC(小题1中已证),
∴∠EAC=∠BDC,
∴点A、E、C、D四点共圆，
∵∠ECD=90°，O为ED中点，
∴ED为圆的直径，
∴∠DCE=∠DAE=90°，
1 √10
∴OA=OC= DE= x，
2 3
∴AI=CH=√OC2−OH2= √ (√10 x ) 2 − (2 x ) 2 = √6 x
3 3 3
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( √6)
∴AB=AI+IB= 2+ x，
3
( √6)
∴BC= 2− x，
3
√6
2+
AB 3 7+2√6
∴ = = ．
BC √6 5
2−
3
【点睛】本题考查了角平分线的定义及性质定理、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、四点共
圆的判定与圆的基本性质等知识，解题关键是作辅助线构造相似三角形，本题综合性较强，需要学生具有
较强的图形分析能力，且对相应知识点理解到位并熟练运用．
【题型4 求特殊角的三角函数值】
【例4】（2023·福建泉州·一模）如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2cosA的
结果为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查特殊角的函数值，熟练掌握特殊角的函数值即可得到答案．根据三角形内角和定理
求出∠A=60°，即可得到答案．
【详解】解：∵Rt△ABC，∠B=30°，∠C=90°，
∴∠A=60°，
1
故2cosA=2cos60°=2× =1，
2
故选A．
【变式4-1】（2023·广东河源·二模）(tan60°) 2+(cos45°) −1= ．
【答案】3+√2/√2+3
【分析】运用特殊角度的三角函数值计算．
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−1
√2
【详解】解：原式=(√3) 2+( ) =3+√2．
2
故答案为：3+√2．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算法则．熟练掌握特殊角的三角函数值
是解题的关键．
k
【变式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函数y= 的图象过点(−2，sin30°)，则k的值为 ．
x
【答案】−1
1
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求特殊角三角函数值，先求出sin30°= ，再把点
2
( 1)
−2， 代入反比例函数解析式中求解即可．
2
1
【详解】解：∵sin30°= ，
2
k ( 1)
∴反比例函数y= 的图象过点 −2， ，
x 2
1 k
∴ = ，
2 −2
∴k=−1，
故答案为：−1．
√3 α
【变式4-3】（2023·安徽宿州·模拟预测）若锐角α满足sinα= ，则cos = ．
2 2
√3
【答案】
2
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函
数值进而得出答案．
√3
【详解】解：∵sinα= ，
2
∴锐角α=60°．
α √3
∴ cos =cos30°= ．
2 2
√3
故答案为： ．
2
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【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动
点，连接PB、PD、PO，AB=1，AD=√3，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）
A．15° B．30∘ C．15°或105° D．30°或105°
【答案】C
【分析】连接BD，推出BD是⊙O的直径，利用三角函数的定义求得∠ABD=60°，再分类讨论，当点P
在BD上方和点P在BD下方时，据此求解即可．
【详解】解：连接BD，
∵点P为矩形ABCD的外接圆上的动点，
∴∠A=∠C=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BPD=90°，
∵AB=1，AD=√3，
AD
∴tan∠ABD= =√3，
AB
∴∠ABD=60°，
当点P在BD上方时，
∵PO平分∠BPD，
1
∴∠BPO= ∠BPD=45°，
2
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∵OP=OB，
∴∠BPO=∠PBO=45°，
∴∠PBA=∠ABD−∠PBD=15°；
当点P在BD下方时，
同理可得∠BPO=∠PBO=45°，
∴∠PBA=∠ABD+∠PBD=105°；
综上，∠PBA的度数为15°或105°
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，根据矩形的性质证明BD是⊙O的直径是解题的关键．
√2
【变式5-1】（2023·山东济宁·统考二模）如图，四边形ABCD中，cosB= ，直线EF分别交AB，BC
2
于点E，F．则∠AEF+∠EFC的值等于（ ）
A．135° B．225° C．265° D．280°
【答案】B
√2
【分析】先根据cosB= ，得到∠B=45°，则∠BEF+∠BFE=180°−∠B=135°，再根据平角的定
2
义求出∠AEF+∠EFC的度数即可．
√2
【详解】解：∵cosB= ，
2
∴∠B=45°，
∴∠BEF+∠BFE=180°−∠B=135°，
∵∠AEF=180°−∠BEF，∠EFC=180°−∠BFE，
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∴∠AEF+∠EFC=180°−∠BEF+180°−∠BFE
=360°−(∠BEF+∠BFE)
=360°−135°
=225°，
故选B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角形函数，三角形内角和定理，求出∠B=45°是解题的关键．
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形
顶角的度数为 °．
【答案】120°或90°
【分析】分两种情形①BD是腰上的高，②AD是底边上的高，分别求解即可．
【详解】①如图，
∵AB=AC，BD⊥AC，
1
BD= BC，
2
BD 1
∴sinC= = ，∠ACB=∠C，
BC 2
∴∠C=30°，则∠BAC=180°−2∠C=120°；
②如图中，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°
1
∵AD= BC，
2
∴AD=DB=DC，
则∠DAB=∠DBA=45°，∠DCA=∠DAC=45°
∴∠DAB=∠DAC=45°，
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∴∠BAC=90°；
∴等腰三角形的顶角为120°或90°．
故答案为：120°或90°．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想
思考问题，属于中考常考题型．
【变式5-3】（2023·黑龙江·统考三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC=2√3cm，则
∠A= ．
【答案】60°或120°
【分析】先画出图形，△ABC可能是锐角三角形也可能是钝角三角形.当△ABC是锐角三角形时，先作直
径BD，连接CD构造直角三角形BCD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，求出的∠D三角函
数值，即可求出∠D的度数，即可知∠A的度数.当△ABC是钝角三角形时，∠A与∠D互补，求出∠D
的度数，即可知∠A的度数.
【详解】
解：如图1，当△ABC是锐角三角形时，连接BO并延长交⊙O于D点，连接CD，
则∠A=∠D，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
且BC=2√3,BD=2r=4，
BC 2√3 √3
∴sin∠D= = = ，
BD 4 2
∴∠D=60°，
∴∠A=60°；
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如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∠A+∠D=180°
则∠A=180°−∠D
=180°−60°
=120° ；
综上分析可知，∠A=60°或120°．
故答案为：60°或120°．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对的圆周角等于90°”，“同弧所对的圆周角相等”，
以及根据三角函数解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键.
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例6】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
1 √2
(1) sin30°+ cos45°+sin30°tan60°；
2 2
sin60°⋅tan45° tan45°
(2) sin45°⋅cos45°+ +3tan230°+ ．
tan45°⋅tan60° cos30°
3+2√3
【答案】(1)
4
2√3
(2)2+
3
【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法；
（2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．
1 1 √2 √2 1
【详解】（1）解：原式= × + × + ×√3
2 2 2 2 2
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1 1 √3
= + +
4 2 2
3 √3
= +
4 2
3+2√3
= ；
4
√3
×1
2
√2 √2 2 √3 1
（2）原式= × + +3×( ) +
2 2 1×√3 3 √3
2
1 1 1 2√3
= + +3× +
2 2 3 3
2√3
=1+1+
3
2√3
=2+ ．
3
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运
算的运算顺序和计算法则是解题关键．
x ( 1 )
【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值： ÷ 1− ，其中
x2−1 x+1
x=√2sin45°+2tan45°
1 1
【答案】 ，
x−1 2
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可
解答．
x ( 1 )
【详解】解： ÷ 1−
x2−1 x+1
x x+1−1
= ÷
(x+1)(x−1) x+1
x x+1
= ⋅
(x+1)(x−1) x
1
= ，
x−1
√2
当x=√2sin45∘+2tan45∘=√2× +2×1=1+2=3时，
2
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1 1
原式= = .
3−1 2
【变式6-2】（2023·北京石景山·校考一模）计算：(−1) 2019+ ( − 1) −2 −|2−√12|+4sin60°．
2
【答案】5
【分析】直接利用负整数指数幂运算法则、二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别
化简得出答案．
√3
【详解】解：原式=−1+4−|2−2√3|+4×
2
=−1+4−2√3+2+2√3
=5．
【点睛】此题主要考查了实数运算，负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值、绝对值的性
质，正确化简各数是解题关键．
sin30°⋅cos30°
【变式6-3】（2023·山东烟台·一模）计算： −√2sin45°．
tan30°⋅tan45°
1
【答案】−
4
【分析】根据特殊角的三角函数值化简，而后根据先乘除后加减，乘除法法则和加减法法则计算即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，实数的运算顺序和法
则，是解题的关键．
1 √3
×
2 2 √2
【详解】原式= −√2×
√3 2
×1
3
3
= −1
4
1
=− ．
4
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
√3
【例7】（2023·江苏·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sin A= ，tanB=√3，则△ABC是
2
（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】A
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【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠A,∠B的度数，利用三角形内角和定理，求出∠C的度数，即
可得出结论．
√3
【详解】解：∵sin A= ，tanB=√3，
2
∴∠A=60°,∠B=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
√2
【变式7-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝ ，
2
你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
√2
【详解】试题分析：∵△ABC中，tanA=1，sinB= ，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角
2
形．
故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）若(√3tan A−3) 2+|2cosB−√3|=0，则△ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
√3
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得√3tan A=√3,cosB= ，从而得到∠A=60°,∠B=30°，
2
即可求解．
【详解】解∶∵(√3tan A−3)
2+|2cosB−√3|=0，
∴√3tan A−3=0,2cosB−√3=0，
√3
解得：√3tan A=3,cosB= ，
2
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∴∠A=60°,∠B=30°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是含有60°直角三角形．
故选：A
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数
值是解题的关键．
【变式7-3】（2023·黑龙江大庆·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且
1 2 √3
(sinA− ) +|cosB− |=0，则△ABC的形状是( )
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】B
1 √3
【分析】根据非负数的性质得出sin A= ，cosB= ，进而求得∠A=30°，∠B=30°，根据三角形内
2 2
角和定理求得∠C，即可求解．
1 √3
【详解】解：由题意得，sinA= ，cosB= ，
2 2
则∠A=30°，∠B=30°，
则∠C=180°−∠A−∠B=120°，
故△ABC为钝角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】
【例8】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA的差（ ）．
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当0°<∠A<45°时，45°<90°−∠A<90°，
∴sin A<sin(90°−∠A)，
∴ sinA<cosA，
∴ sinA−cosA<0；
当∠A=45°时，90°−∠A=45°，
∴sin A=sin(90°−∠A)，
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sinA=cosA，
∴ sinA−cosA=0；
当45°<∠A<60°，30°<90°−∠A<45°，
∴sin A>sin(90°−∠A)，
∴ sinA>cosA，
∴ sinA−cosA>0，
综上所述，sinA与cosA的差不能确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在0°∼90°之间（不包括0°和90°），角度
变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
【变式8-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简√(sin28°−cos28°) 2等于（ ）
A．sin28°−cos28° B．0
C．cos28°−sin28° D．以上都不对
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质得出|sin28°−cos28°|，然后化为同名三角函数，根据三角函数的增减性
化简即可求解．
【详解】解：√(sin28°−cos28°) 2 = |sin28°−cos28°|，
∵cos28°=sin52°，sin28°<sin52°
∴原式=cos28°−sin28°，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．
【变式8-2】（2023·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L =L⋅cosα，阻力臂
1
L =l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化
2
情况是（ ）
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A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据杠杆原理及cosα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，
又∵动力臂L =L⋅cosα，
1
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本
题的关键．
【变式8-3】（2023·安徽·模拟预测）三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．sin70°>cos70°>tan70° B．tan70°>cos70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cos70° D．cos70°>tan70°>sin70°
【答案】C
【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；
只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较解答即可．
【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°<1，cos70°<1，tan70°>1．
又∵cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin70°>sin20°=cos70°，
∴tan70°>sin70°>cos70°，
故选C ．
【点睛】本题考查锐角三角函数．掌握锐角三角函数的性质是解题关键．
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
【例9】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜
边的比值称为这个锐角的正弦值．
BC
例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即 就是∠A的正弦值．利用量角器
AB
可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：
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如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为
直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～
0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
【答案】D
【分析】根据“锐角正弦值速查卡”读取相应锐角正弦的近似值的方法，找到以点O为圆心、0.95为半径
的半圆与⊙M的交点，最接近的角度即为正解.
【详解】解：由图可知，以点O为圆心、0.95为半径的半圆与⊙M的交点在70°角的射线上，所以正弦值
最接近0.94的是70°角.
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的新型定义问题，理解“锐角正弦值速查卡”的使用方法是解题的关键.
√3
【变式9-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）若∠A是锐角，cos∠A> ，则∠A应满足 ．
2
【答案】0°<∠A<30°
√3
【分析】首先明确cos30°= ，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案．
2
√3
【详解】解：∵cos30°= ，余弦函数随角增大而减小，
2
∴0°<∠A<30°，
故答案为：0°<∠A<30°．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的
关键．
【变式9-2】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
【答案】D
【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.
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【详解】解：∵tan60°=√3<tanA=2，
∴∠A>60°，
∴60°<∠A<90°.
故选：D.
√3
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan30°= ,tan45°=1,tan60°=√3是解题的关
3
键.
1
【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·一模）已知 <cosα<sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
2
A．30°<α<80° B．10°<α<80° C．60°<α<80° D．10°<α<60°
【答案】D
1
【分析】根据特殊角的三角函数值， =cos60°，sin80°=cos10°，再由余弦函数值在锐角范围内，随
2
角度增大而减小即可得到答案
1
【详解】解：∵ =cos60°，sin80°=cos10°，
2
1
∴由 <cosα<sin80°可得cos60°<cosα<cos10°，
2
∵在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
∴10°<α<60°，
故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数
值性质是解决问题的关键．
【题型10 利用同角三角函数关系求解】
【例10】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已
3
知CF=4，sin∠EFC= ，则BF= ．
5
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【答案】6
【分析】由折叠可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，进而得到AF=BC=BF+CF=BF+4，由同角的
3
余角相等可得∠EFC=∠BAF，则sin∠EFC=sin∠BAF= ，在Rt△ABF中，
5
BF BF 3
sin∠BAF= = = ，以此即可求解．
AF BF+4 5
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°，
根据折叠的性质可得，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，
∴AF=BC=BF+CF=BF+4，
∴∠AFB+∠EFC=90°，
∵∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
3
∴sin∠EFC=sin∠BAF= ，
5
BF 3 BF 3
在Rt△ABF中，sin∠BAF= = ，即 = ，
AF 5 BF+4 5
解得：BF=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，解题关键是利用矩形和折叠的性质推理
论证得出∠EFC=∠BAF，进而利用锐角三角函数解决问题．
【变式10-1】（2023·江苏·一模）如果α是锐角，且sin2α+cos248°=1，那么α= 度
【答案】48
【分析】根据锐角三角函数关系：sin2α+cos2α=1，即可求解．
【详解】∵α是锐角，sin2α+cos248°=1，
又∵sin2α+cos2α=1，
∴α=48°．
故答案是48．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的关系，掌握sin2α+cos2α=1，是解题的关键．
【变式10-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段
DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是 ．
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【答案】(6，5)
【分析】如图：过D作DE⊥AE；由A(0,3)、B(1,0)可得OA=3,OB=1；再根据平移的性质可得四边
形ABCD是平行四边形，再结合∠ABC=90°可得四边形ABCD是矩形，即∠DAB=90°；然后再说明
∠ABO=∠DAE，再利用三角函数可求得ED=6、AE=2,进而求得OA=5即可解答．
【详解】解：如图：过D作DE⊥AE于点E，
∵A(0,3)、B(1,0)，
∴OA=3,OB=1,
∵将线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2AB，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DAB=90°，
∴∠OAB+∠DAE=90°，
∴∠ABO=∠DAE，
∴sin∠ABO=sin∠EAD，cos∠ABO=cos∠EAD，
OA ED OB AE
∴ = ， = ，
AB AD AB AD
3 ED 1 AE
∴ = ， = ，
AB 2AB AB 2AB
∴ED=6,AE=2，
∴OA=OA+AE=3+2=5，
∴点D的坐标是(6，5)．
故答案为(6，5)．
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【点睛】本题主要考查了三角函数的应用、矩形的判定与性质、平移的性质等知识点，灵活利用三角函数
列式求解是解答本题的关键．
【变式10-3】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线与
BC相交于点D，与⊙O过点B的切线相交于点E．
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB=4，BD=2，求AD的长．
【答案】(1)△BDE是等腰三角形，腰为BE与BD，证明见解析；
6
(2)AD= √5
5
【分析】（1）利用圆周角及切线的性质得到直角，再利用角平分线得到的等角进行计算和转化，得到
△BDE中两个等角，根据等角对等边得到三角形为等腰三角形；
（2）利用已知边求出角平分的两个等角的正切值，再设边长为未知数，利用Rt△ACB列出勾股定理方程，
求出CD，最后用勾股定理求出目标边．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠E=90°，
∵AD平分∠CAB，
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∴∠CAD=∠DAB，
∴∠CDA=∠E，
∵∠CDA=∠EDB，
∴∠EDB=∠E，
∴BD=BE，
△BDE是等腰三角形，腰为BE与BD；
（2）∵BD=2=BE，AB=4，
CD BE 1
∴tan∠CAD= =tan∠DAB= = ，
AC AB 2
设CD=a，则AC=2a，
∴Rt△ACB中：AB2=AC2+CB2，
得42=(2a) 2+(2+a) 2，
6
解得a = ，a =−2<0（舍去），
1 5 2
∴Rt△ACD中：AD=√AC2+CD2=√5a，
6
∴AD= √5．
5
【点睛】本题考查圆中边长关系的证明和边长计算，通过条件中的边角关系计算角度证明等角等边及计算
长度是常考题，计算复杂时可设未知数简化计算．
【题型11 互余两角三角函数关系】
3
【例11】（2023·湖南永州·校考三模）在Rt△ABC，∠C=90∘，sinB= ，则sinA的值是（ ）
5
3 4 5 5
A． B． C． D．
5 5 3 4
【答案】B
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．
【详解】∵在Rt△ABC中,∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sin2A+sin2B=1，sinA>0，
3
∵sinB= ，
5
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√ 3 2 4
∴sinA= 1−（ ）= .
5 5
故选B.
【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系.
6
【变式11-1】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ，则cosB= ．
7
6
【答案】
7
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
6
【详解】解：∵∠C=90°，sin A= ，
7
BC 6
∴sin A= = ，
AB 7
BC 6
∴cosB= = ．
AB 7
6
故答案为： ．
7
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若∠A+∠B=90°，则
sinA=cosB，cosA=sinB是解题关键．
5
【变式11-2】（2023·四川成都·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°， sinA= ，则tanB的值为 ．
13
12
【答案】
5
5
【详解】试题分析：根据题意作出Rt△ABC，然后根据sinA= ，设一条直角边BC为5x，斜边AB为
13
AC 12
13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC=12x，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B= = ．
BC 5
12
故答案为 .
5
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考点：互余两角三角函数的关系．
【变式11-3】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
2 2
sin245°+sin245=
(√2)
+
(√2)
=1．
2 2
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对
的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)成立，见解析
sinα
(3)tanα=
cosα
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
a b
（2）根据正弦函数的定义列出sinα= ，sinβ= ，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
c c
a b
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△ABC中，sinα= ，cosα= ，再变形代入整理即
c c
可得出结论．
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1 √3
【详解】（1）解：∵sin30°= ，sin60°= ，
2 2
∴sin2α+sin2β=
(1) 2
+
(√3) 2
=1，结论成立；
2 2
（2）解：成立．理由如下：
a b
在Rt△ABC中，sinα= ，sinβ= 且a2+b2=c2，
c c
∴sin2α+sin2β=
(a) 2
+
(b) 2
=
a2+b2
=
c2
=1，故结论成立；
c c c2 c2
sinα
（3）解：tanα= ，理由如下：
cosα
a b a
在Rt△ABC中，sinα= ，cosα= ，tanα= ，
c c b
a
c sinα
∴tanα= = ，
b cosα
c
sinα
∴tanα= ．
cosα
【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定
义，灵活变形构造是解题关键．
【题型12 构造直角三角形解直角三角形】
【例12】（2023·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，
AB=√6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A．√3 +1 B．2 C．√2 D．√6-√2
【答案】B
【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得
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BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结果．
【详解】如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
√2
在Rt△ABD中，BD=AD=AB⋅sin B=√6× =√3，
2
√3
在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACB=30°，CD=AD⋅tan30 °=√3× =1，
3
∴BC=√3+1，
在Rt△BEF中，设BF=EF=x，
在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠BCE=60°，
CF=EF⋅tan60 °=√3x，
由CF+BF=BC得，
√3x+x=√3+1，
∴x=1，
∴EC=2EF=2，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．
1
【变式12-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，在 ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则AC的长为
3
△
（ ）
√5
A．√2 B． C．√5 D．2
2
【答案】B
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【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后
在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：
AH 1
由sin∠B= = ，且AB=3可知，AH=1，
AB 3
AH 1
由tan∠C= =2，且AH=1可知，CH= ，
CH 2
√ 1 2 √5
∴在RtΔACH中，由勾股定理有：AC=√AH2+CH2= 12+( ) = ．
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造
直角三角形进而求解．
【变式12-2】（2023·山西吕梁·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边
相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰
三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段
BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）92°或113°；（3）√3或3√3-3
【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③与
原三角形有两角对应相等即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝
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CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）根据三角形的“优美分割线”的定义求出∠B，再利用解直角三角形进行解答．
【详解】解：（1）证明：如图1中，
∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
1
∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝40°，
2
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，
∠ACD＝∠A＝46°，∠ADC=88°，
∴∠BDC＝92°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝92°．
②当AD＝AC时，如图3，
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180°−46°
∠ACD＝∠ADC＝ ＝67°，
2
∴∠BDC＝113°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝113°．
③当AC＝CD时，如图4，
∵∠ADC＝∠A＝46°，
∴∠BDC＝134°，
∵∠B＝∠B，
∴∠ACB＝∠BDC＝134°．
∴∠ACB+∠A=180°，与三角形内角和定理矛盾，舍去．
∴∠ACB的度数是92°或113°．
（3）①若AD＝CD时，如图5，
此时∠A＝∠ACD＝30°，∠BCD＝∠A＝30°，此时∠ACB＝60°，故∠B＝90°．
在直角△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，则BC＝3.
在直角△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝3，则BD＝BC•tan30°＝√3．
②若AC＝AD时，如图6，作CE⊥AB,垂足为E，∠ADC＝∠ACD＝75°，∠BDC＝105°，
此时∠ACB＝105°，∠B＝45°，
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∵∠A＝30°，AC＝6，
∴EC＝3，AE＝EC•tan60°＝3√3．
∵∠B＝45°，
∴EC=BE＝3，
BA＝3+3√3，
BD＝BA-DA =3+3√3-6=3√3-3，
③当AC＝CD时，由（2）可知，不成立，舍去．
【点睛】本题考查考查了几何新定义问题，主要运用等腰三角形的性质和解直角三角形等知识进行推理与
判断，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．
【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，
√3
BD=CE，连接AD，BE，tan∠BAD= ，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若
5
∠AGB=2∠CFD，AG=5，CF=2√5，则线段AB的长为 ．
4√21
【答案】
3
【分析】过点C作CN⊥AD，垂足为点N，过点A作AM⊥BE，垂足为M，过点A作AH∥BC，过点
C作CH∥AB，延长BE与CH交于点K，过点K作KQ⊥BC与BC的延长线交于点Q，在BK上确定一点
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P，使得AG=GP，连接AK，根据等边三角形的性质和平行线的性质可推得∠HAC=∠ACB=60°，
∠ACH=∠BAC=60°，根据等边三角形的判定和性质可得AC=AH=CH，结合题意可得DC=AE，
根据全等三角形的判定和性质可推得∠ADC=∠BEA，根据全等三角形的判定和性质可得CN=AM，根
据等边对等角可得∠GAP=∠GPA，根据三角形的外角性质可推得∠GPA=∠CFD，根据全等三角形的
判定和性质可得AP=CF=2√5，根据三角形内角和定理可得∠CKQ=30°，根据含30度角的直角三角形
1 √3
的性质可得CQ= CK，根据勾股定理可得KQ= CK，设MP=a，则GM=5−a，根据勾股定理列方
2 2
1 √3
程求解得到a=2，求得AM=4，设CK=b，则CQ= b，KQ= b，根据锐角三角函数和勾股定理可求
2 2
5 1
得BQ= b，BK=√7b，BC=2b，推得CK= CH，根据等边三角形三线合一的性质可得AK⊥CH，
2 2
2√21
根据勾股定理求得AK=√3b，根据三角形的面积公式列方程求解得到b= ，即可求得
3
4√21
BC=AB=2CK= ．
3
【详解】解：过点C作CN⊥AD，垂足为点N，过点A作AM⊥BE，垂足为M，过点A作AH∥BC，
过点C作CH∥AB，延长BE与CH交于点K，过点K作KQ⊥BC与BC的延长线交于点Q，在BK上确定
一点P，使得AG=GP，连接AK，如图：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，AB=BC，
∵AH∥BC，CH∥AB，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∴∠HAC=∠ACB=60°，∠ACH=∠BAC=60°，
∴△ACH是等边三角形，
∴AC=AH=CH，
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∵BD=CE，
∴DC=AE，
∵AB=BC，∠ABC=∠BCA，BD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC，
∴∠ADC=∠BEA，
∵CN⊥AD，AM⊥BE，
∴∠CND=∠AME=90°，
∵∠CND=∠AME，∠ADC=∠BEA，DC=AE，
∴△CND≌△AME(AAS)，
∴CN=AM，
∵AG=GP=5，
∴∠GAP=∠GPA，等边对等角
在Rt△AGP中，∠AGB=∠GAP+∠GPA=2∠GPA，
∵∠AGB=2∠CFD，
∴∠GPA=∠CFD，
∵∠GPA=∠CFD，∠CNF=∠AMP=90°，CN=AM，
∴△CFN≌△APM(AAS)，
∴AP=CF=2√5，
∵CH∥AB，
∴∠ABC=∠HCQ=60°，
又∵KQ⊥BC，
∴∠CKQ=180°−90°−60°=30°，
在Rt△CKQ中，CQ= 1 CK，KQ=√CK2−CQ2= √ CK2− (1 CK ) 2 = √3 CK，
2 2 2
设MP=a，则GM=GP−PM=5−a，
在Rt△AMP中，AM2=AP2−M P2=(2√5) 2 −a2，
在Rt△AMG中，AM2=AG2−GM2=52−(5−a) 2，
∴AP2−M P2=AG2−GM2，
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即(2√5) 2 −a2=52−(5−a) 2，
解得：a=2，
∴MP=2，
∴AM=√(2√5) 2 −22=4，
1 √3
设CK=b，则CQ= b，KQ= b，
2 2
KQ √3
在Rt△BKQ中，tan∠CBE= = ，
BQ 5
5 5
∴BQ= KQ= b，
√3 2
∴BK=√BQ2+KQ2= √ (5 b ) 2 + (√3 b ) 2 =√7b，
2 2
5 1
∴BC=BQ−CQ= b− b=2b，
2 2
即BC=AB=AC=CH=2b，
1
∴CK= CH，
2
又∵△ACH是等边三角形，
∴AK⊥CH，即∠AKH=90°，
在Rt△ACK中，AK=√AC2−CK2=√(2b) 2−b2=√3b，
∵CH∥AB，∴∠AKH=∠KAB=90°，
1 1
在△ABK中，S = ×BK⋅AM= ×AB⋅AK，
△ABK 2 2
1 1
即 ×√7b⋅4= ×2b⋅√3b
2 2
2√21
解得：b= ，
3
2√21
∴CK= ，
3
4√21
即BC=AB=2CK= ，
3
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4√21
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，
三角形的外角性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，等边
三角形三线合一的性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据等边三角形的性质和锐角三角函数作出辅
助线构建直角三角形．
【题型13 网格中解直角三角形】
【例13】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、
B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
1 √2 √5 2√5
A． B． C． D．
2 2 5 5
【答案】C
【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角
的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得．
【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝√12+12=√2，
AE＝√22+22=2√2，
AB=√32+12=√10．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
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∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
BE √2 √5
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝ = = ．
AB √10 5
√5
∴cos∠APD＝ ．
5
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
【变式13-1】（2023·福建·统考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，
则sin∠BAC= ．
3
【答案】
5
【分析】过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，只需求得BE即可求得sin∠BAC．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，
由图可得，AB=√10，AC=√10，BC=2，AD=3，
1 1
∵S = ⋅AD⋅BC= ⋅AC⋅BE，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×3×2= ×√10BE，
2 2
3√10
∴BE= ，
5
3√10
BE 5 3．
∴sin∠BAC= = =
AB √10 5
3
故答案为： ．
5
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【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形．要注意直角三角函数的性质进行解题，本题易错
点在于学生误认为sin∠BAC=2sin∠BAD．
【变式13-2】（2023·湖北武汉·统考三模）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做
格点，A，C两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；
(2)在图中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；
4
(3)在图中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG= ．
7
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【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据网格特点先作线段AB的中点D，然后作AC的垂线，交AC于点E，根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半，即可得出AD=DE；
（2）连接BC，利用正方形网格确定BC中点，然后连接点A与中点，延长，利用网格及矩形的对角线即
可确定点F；
（3）根据网格的特点将线段AC绕点A逆时针旋转90°，然后利用网格使得两个相似三角形的比为4:3，
连接点C与交点交AB于点G，则点G即为所求．
【详解】（1）解：解：如图所示，点D,E即为所求；
（2）如图所示：CF即为所求；
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（3）如图所示：点G即为所求；
【点睛】本题考查了正切的定义，无刻度直尺作图，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，正方形的性质，
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键．
【变式13-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、
∠β如图所示，则sin(α+β)=（ ）
2√7 √7 √2 √3
A． B． C． D．
7 7 2 2
【答案】A
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出
∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设
等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=√3a，利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义即可得
出答案．
【详解】解：连接DE，如图所示：
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在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°×a=√3a，
∴AD=√AE2+DE2=√ (2a) 2+(√3a) 2=√7a，
AE 2a 2√7
∴sin(α+β)= = = ．
AD √7a 7
故选：A
【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于
∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
【题型14 在坐标系中解直角三角形】
【例14】（2016·江苏无锡·统考一模）如图坐标系中，O(0，0) ，A(6，6√3)，B(12，0)．将△OAB沿直线
24
CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则CE ∶DE的值是 ．
5
7
【答案】
8
【分析】过A作AF⊥OB于F，先证得△AOB是等边三角形，可得∠AOB=∠ABO=60°，再由折叠的性质可
得△CEO∽△DBE，设CE=a，则CA=a，CO=12﹣a，ED=b，则AD=b，OB=12﹣b，结合相似三角形的性质，
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即可求解。
【详解】解：过A作AF⊥OB于F，
∵A（6，6√3），B（12，0），
∴AF=6√3，OF=6，OB=12，
∴BF=6，
∴OF=BF，
∴AO=AB，
AF
∵tan∠AOB= =√3，
OF
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将△OAB沿直线线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED=∠OAB=60°，
∴∠OCE=∠DEB，
∴△CEO∽△DBE，
OE CE CD
∴ = = ，
BD ED EB
设CE=a，则CA=a，CO=12﹣a，ED=b，则AD=b，OB=12﹣b，
24
5 a，
=
12−b b
∴24b=60a﹣5ab ①，
12−a a
=
36 b，
5
∴36a=60b﹣5ab ②，
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②﹣①得：36a﹣24b=60b﹣60a，
a 7
∴ = ，
b 8
7
即CE：DE= ．
8
7
故答案为：
8
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握解直角三角形，
相似三角形的判定和性质，图形的折叠是解题的关键。
【变式14-1】（2023·安徽·模拟预测）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，
边AB，AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如
图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B点的坐标为 ，点C的坐标 ．
(4√3−3 3√3+4)
【答案】 (2√3,2) ,
2 2
【分析】根据旋转的性质求解．
【详解】解：∵AB=4，在x轴正半轴上，
∴图1中B坐标为（4，0），
在图2中过B作BE⊥x轴于点E，那么OE=4×cos30°=2√3，BE=2，
在图2中B点的坐标为（2√3，2）；
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易知图1中点C的坐标为（4，3），
在图2中，设CD与y轴交于点M，作CN⊥y轴于点N，那么∠DOM=30°，OD=3，
∴DM=3•tan30°=√3，OM=3÷cos30°=2√3，
那么CM=4-√3，易知∠NCM=30°，
4−√3 4√3−3
∴MN=CM•sin30°= ，CN=CM•cos30°= ，
2 2
3√3+4
则ON=OM+MN= ，
2
4√3−3 3√3+4
∴图2中C点的坐标为（ ， ）．
2 2
【点睛】此题主要考查了旋转性质的应用，旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，注意构造
直角三角形求解．
【变式14-2】（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(0,3)，点B在x轴上．
(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不
写作法；
k 4
(2)若函数y= 的图象经过点M，且sin∠OAB= ，求k的值．
x 5
【答案】(1)见详解
(2)k=3
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【分析】整体分析：
（1）直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等；
4
（2）根据OA=3，sin∠OAB= 求出B的坐标，再由M是AB的中点，求点M的坐标.
5
【详解】（1）解：如图所示：作AB的垂直平分线，垂足为M，点M，即为所求；连结OM，
点M为AB中点，
∴AM=BM，
∵△AOB为直角三角形，
∴OM=AM=BM，
∴点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，
4
（2）解：∵sin∠OAB= ，
5
∴设OB=4x，AB=5x，
由勾股定理可得：32+（4x）2=（5x）2，
解得：x=1，
∴OB=4，由B（4，0），
3
由作图可得：M为AB的中点，则M的坐标为：（2， ）．
2
∴k=3
【点睛】本题考查尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握尺规作图，直角
三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理是解题关键．
15
【变式14-3】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y=kx−
2
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3
交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠OAB= ．
4
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式
（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，
∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．
3 15 15 75
【答案】（1）y= x− ；（2）S=− t+ ；（3）（6，12）．
4 2 4 2
【分析】（1）先根据解析式求出点B坐标，再用三角函数求出点A坐标，代入解析式即可；
（2）用t表示点P的纵坐标，利用三角形面积公式列出函数解析式即可；
（3）根据S=15求出点P坐标，得出∠AOP+∠BPO=2∠ADO=90°，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于
F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），根据勾股定理列出方程即可．
15 15 15
【详解】解：（1）当x=0时，y=− ，点B的坐标为（0，− ），OB= ，
2 2 2
3
∵tan∠OAB= ，
4
OB 3 15 15 3
∴ = ，OA=10，A点坐标为（10，0），代入y=kx− 得，0=10k− ，解得，k= ，
OA 4 2 2 4
3 15
直线AB的解析式为y= x− ；
4 2
3 15 3 15
（2）把点P的横坐标t代入y= x− 得，y= t− ，
4 2 4 2
∵点P在线段AB上，
1 3 15 15 75
∴S= ×10×(− t+ )，即S=− t+ ；
2 4 2 4 2
15 75 3 15
（3）当S=15时，15=− t+ ，解得，t=6，代入y= t− 得，y=−3，
4 2 4 2
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点P的坐标为（6，-3），
15
∵点B的坐标为（0，− ），
2
√ 15 2 15
∴BP= 62+(−3+ ) = ，
2 2
∴BP=OB，
∴∠BOP=∠BPO，
∠AOP+∠BPO=∠BOP+∠AOP=90°，
∵∠AOP+∠BPO=2∠ADO，
∴∠ADO=45°，
作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），
OE=√OF2+EF2=√5b，AF=10-b，
∵AE2=EF2+AF2，AE2=OA2−OE2
∴102−(√5b) 2=(2b) 2+(10−b) 2，解得，b =0（舍去），b =2，
1 2
则点E坐标为（2，4），AE=DE= √42+82=4√5，
OD= 2√5+4√5=6√5，
∵点D坐标为（a，2a），
∴a2+4a2=180，解得，a =6，a =-6（舍去），
1 2
D点坐标为（6，12）．
【点睛】本题考查了一次函数的综合，解题关键是求出函数解析式，利用函数图象上点的坐标，根据勾股
定理列出方程．
【题型15 解直角三角形的相关计算】
【例15】（2023·江西·校联考二模）在矩形ABCD中， AB=2√3，AD=6，点E是AD上，且AE=2，
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点F是矩形ABCD边上一个动点，连接EF，若EF与矩形ABCD的边构成30°角时，则此时EF=
．
4√3 8√3
【答案】 或4或
3 3
【分析】分点F在AB，BC，CD，AD上分别画图计算，点F在AB上时，存在两种情况：∠AEF=30°
或∠AFE=30°；当F在BC上时没有成立的点F，当F在CD上时有∠≝=30°，分别解直角三角形可得结
论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
分两种情况：
①如图1，当∠AEF=30°时，
AE 2 4√3
在Rt△AEF中，EF= = = ；
cos∠AEF cos30° 3
如图2，当∠AFE=30°时，
AE 2
在Rt△AEF中，EF= = =4；
sin∠AEF sin30°
②如图3，当∠≝=30°时，ED=6−2=4，
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DE
EF=
在Rt△≝¿中， 4 8√3 ，
cos∠≝¿= = ¿
cos30° 3
4√3 8√3
综上所述，，EF的长是 或4或 ．
3 3
4√3 8√3
故答案为： 或4或 ．
3 3
【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，分情况讨论正确画图是解本题的关键．
【变式15-1】（2023·江苏南通·三模）如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形OABC．若
AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（ ）
1 1
A． +1 B．sin2α+1 C． +1 D．cos2α+1
sin2α cos2α
【答案】A
AB 1
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解Rt△ABO得到OB= = ，再在
sinα sinα
Rt△OBC中，由勾股定理得OC2=BC2+OB2= ( 1 ) 2 +12= 1 +1．
sinα sin2α
AB 1
【详解】解：在Rt△ABO中，OB= = ，
sinα sinα
在Rt△OBC中，
由勾股定理得OC2=BC2+OB2= ( 1 ) 2 +12= 1 +1，
sinα sin2α
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故选：A．
【变式15-2】（2023·安徽·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，对角线AC，
BD相交于点O，OE∥AD交CD于点E，且∠BOE=135°．
(1)求证：AB=AD．
(2)如图2，延长DB至点F，连接FC，且FC=FO．
①求证：FO2=FB⋅FD；
②若BD=3FB，求sin∠BAC的值．
【答案】(1)证明见解析
√5
(2)①证明见解析；②
5
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识：
（1）由平角定义求出∠DOE=45°,由平行线的性质得∠ADB=∠DOE=45°，由三角形内角和定理求
出∠ABD=∠ADB=45°，最后由等角对等边可得结论；
FB FC
（2）①△FBC∽△FCD得 = ，即FC2=FB⋅FD，由FC=FO替换可得结论；②②由BD=3FB
FC FD
求得FD=4FB，由FO2=FB⋅FD得FO=2FB,由△FBC∽△FCD得
BC FB 1 √5
= = ．在Rt△BCD中可求sin∠BDC= ，再根据圆周角定理可得结论
CD FC 2 5
【详解】（1）证明：∵∠BOE=135°,
∴∠DOE=180°−∠BOE=45°．
∵OE∥AD,
∴∠ADB=∠DOE=45°．
∵∠BAD=90°,
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD．
（2）解：①∵在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,
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∴点A,B,C,D在以BD为直径的圆上．
∴∠ABD=∠ACD=∠ADB=∠ACB=45°．
又FC=FO，
∴∠FCO=∠FOC，
即∠FCB+45°=∠FDC+45°，
∴∠FCB=∠FDC．
又∵∠F=∠F,
∴△FBC∽△FCD．
FB FC
∴ = ，即FC2=FB⋅FD．
FC FD
又∵FC=FO,
∴FO2=FB⋅FD．
②∵BD=3FB,
∴FD=4FB．
由①可知FO2=FB⋅FD,
∴FO2=4FB2，
∴FO=2FB,
FB 1
∴ = ,
FC 2
FB 1
∴ = ．
FC 2
由①可知△FBC∽△FCD,
BC FB 1
∴ = = ．
CD FC 2
设BC=x，则CD=2x,
∵∠BCD=90°,
∴BD=√x2+(2x) 2=√5x，
BC x √5
∴sin∠BDC= = = ．
BD √5x 5
由A,B,C,D四点共圆知∠BAC=∠BDC，
√5
∴sin∠BAC=sin∠BDC= ．
5
【变式15-3】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，
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BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE=BF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
3
(2)若EF=6,cos∠ABC= ，
5
①求BF的长；
②求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析
10
(2)①BF=5；②⊙O的半径为
3
【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
1
（2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求得CF=CE= EF=3,∠F=∠ABC，在
2
Rt△BCF中，利用余弦的意义解答即可；②在Rt△ABC中，利用余弦的意义解答即可求得AB，则半径
可求．
【详解】（1）证明：∵BC=DC，
∴B´C=D´C，
∴∠A=∠CBD，
∵BE=BF，
∴∠BEC=∠F．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠F+∠A=90°．
∴∠ABF=90°，
∴OB⊥BF，
∵OB是圆的半径，
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∴BF是⊙O的切线；
（2）解：①由（1）得：BE=BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥EF，
1
∴CF=CE= EF=3，
2
∵∠ABC+∠CBF=90°,∠CBF+∠F=90°，
∴∠F=∠ABC，
在Rt△BCF中，
CF
∵cos∠F= ，
BF
3
∴BF=CF÷ =5；
5
②在Rt△BCF中，BC=√BF2−CF2=4，
在Rt△ABC中，
BC 3
∵cos∠ABC= = ，
AB 5
20
∴AB= ．
3
10
∴⊙O的半径为 ．
3
【点睛】本题主要考查了圆的切线的的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定
理，熟练掌握上述性质是解题的关键．
【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】
【例16】（2023·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，
AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
√3 √3
A． B． C．√3 D．2√3
4 2
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【答案】C
√3 √3
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG= DO，BH= BO，再利用四边
2 2
形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
√3
∴DG= DO，
2
√3
同理可得：BH= BO，
2
1 1
S ABCD= ×AC×DG+ ×AC×BH
四边形 2 2
1 √3
= ×AC× ×（DO+BO）
2 2
=√3，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不
规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
【变式16-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠BAC=∠BDE=90°，
AB=AC，∠DBC=30°，且点B，C，E在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD、AD，若
BD=BC，DE=8．则AD的长为 ．
【答案】12−4√3/−4√3+12
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【分析】先证明AD∥BE，由此得到∠DAC=∠ACB，可见△ADC的∠DAC、边AC、∠ACD都是确
定的，因此可通过解△ADC求出AD长．
【详解】解：如图，分别过点A、D作AM⊥BE，DN⊥BE，则AM∥DN，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，由∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，∠DBC=30°可得：
∠ABC=∠ACB=45°，∠E=60°，
∵BD=BC，∠DBC=30°，
∴∠BCD=∠BDC=75°，
∴∠ACD=30°，
在Rt△DBE中，BD=DE⋅cot∠DBC=8⋅cot30°=8√3，
∴BC=8√3，
在Rt△ABC中，AB=BC⋅cos∠ABC=8√3⋅cos45°=4√6，
∴AC=4√6，
分别解Rt△ABM和Rt△DEN，可得AM=4√3，DN=4√3，
∴AM=DN，
又AM∥DN，
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
解△ADC，
过点D作DH⊥AC，
由于∠DAC=45°，∠ACD=30°，故可设DH=k，则AH=k，AD=√2k，HC=√3k，
由于AC=4√6，故得到√3k+k=4√6，解得k=6√2−2√6，
∴AD=√2k=12−4√3．
【点睛】本题重点考查了解直角三角形的相关知识．在直角三角形中，知道了除直角外的两个元素（至少
有一个元素是边），就可以求出这个直角三角形的其他三个元素．如果没有直角三角形，有时需要构造直
角三角形．本题中的△ADC的∠DAC、边AC、∠ACD经过分析可知都是确定的，故可“化斜为直”，
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构造直角三角形是解题的关键．
【变式16-2】（2023·浙江金华·统考一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC
方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达
点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】B
【分析】设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，分别求出当b=0时和当b≠0时，阴影部分的面积，由此即可判
断．
【详解】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c，
过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB；
过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB；
1
∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S = acsinB；
阴 2
1 1 1
当b≠0时，S =S -S = （a+b）（c-b）sinB- （c-a-b）sinB= acsinB，
阴 △BEF △BDG 2 2 2
∴运动过程中，阴影部分的面积不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中
考选择题中的压轴题．
【变式16-3】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，
AB=√3,BC=4，点E，F分别是AD,CD的三等分点，连接BE,BF,EF，若四边形ABCD的面积9，则
△BEF的面积是 ．
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10
【答案】
3
1 2
【分析】先求S = BC⋅AM，再求S =S -S ；通过△≝∽△DAC求相似比是 ，即
△ABC 2 △ACD 四 边 形ABC△DABC 3
S 1 1
可得到 △≝¿=( 3 2)2 ×S △DAC ¿ ；通过面积关系得到S △ABE = 3 S △ABD ，S △BCF = 3 S △BCD ，那么
1 1 1
S +S = S + S = S ，即可得到S =S -S 即可得到
△ABE △BCF 3 △ABD 3 △BCD 3 四边形ABCD △BEF 四边形ABCD △≝¿-(S △ABE +S △BCF )¿
答案．
【详解】解：连接AC，作AM⊥BC,交BC的延长线于点M,连接BD．
∵∠ABC=120°
∴∠ABM=180°-120°=60°
∵AB=√3
3
∴AM=AB⋅sin60°=
2
1 1 3
∴S = BC⋅AM= ×4× =3
△ABC 2 2 2
∴S =S -S =9−3=6
△ACD 四边形ABCD △ABC
2 2
∵DE= AD，DF= CD，∠D=∠D
3 3
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2
∴△≝∽△DAC，相似比是
3
S
∴ △≝¿=(2)2
×S =
4
×6=
8
¿
（相似三角形面积比等于相似比的平方）
3 △DAC 9 3
1
∵△ABE与△ABD中底边AE= AD，高相等
3
1
∴S = S
△ABE 3 △ABD
1
∵△BCF与△BCD中底边CF= CD，高相等
3
1
∴S = S
△BCF 3 △BCD
1 1 1 1
∴S +S = S + S = S = ×9=3
△ABE △BCF 3 △ABD 3 △BCD 3 四边形ABCD 3
S =S -S
∴ △BEF 四边形ABCD 8 10
△≝¿-(S +S )=9- -3= ¿
△ABE △BCF 3 3
10
故答案是 ．
3
【点睛】此题主要考查了三角形面积的运算、利用特殊三角函数值解三角形、相似的判定和性质，作出恰
当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．
【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】
【例17】（2023·山西朔州·校联考一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今
世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑
中占有突出的地位．已知“应县木塔”的高度AB为67.3米，塔前“女神雕像”的高度CD为10.3米，木塔
与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，
采用了如下测量方案（如图所示）：
①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台E，测得“木塔”顶部A的仰角为30°，测得“雕像”
顶部C的仰角为45°；
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②测得测角仪的高度EF为1.3米；
③测得点B,F,D在同一条直线上，AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，垂足分别是B,F,D．
求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD．（结果精确到0.1米，参考数据：√3≈1.7）
【答案】121.2米
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，过点E作MN∥BD，交AB于
M，交CD于M，构造矩形MBFE，NDFE，MBDN，再利用三角函数解Rt△AME和Rt△CNE即可．
【详解】解：如图，过点E作MN∥BD，交AB于M，交CD于M，
∵ AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，MN∥BD，
∴ MN⊥AB，MN⊥CD，
∴四边形MBFE，NDFE，MBDN均为矩形，
∴ MB=DN=EF=1.3，BD=MN，
∴ AM=AB−MB=67.3−1.3=66，CN=CD−DN=10.3−1.3=9．
在Rt△AME中，∠AEM=30°，
AM 66
ME= = =66×√3≈112.2
∴ tan30° √3 ，
3
在Rt△CNE中，∠CEN=45°，
CN 9
∴ ME= = =9，
tan45° 1
∴ BD=MN=ME+EN=112.2+9=121.2，
即“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD约为121.2米．
【变式17-1】（2023·陕西西安·校考一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于
唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方
案：如图所示，当小港站在点A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角
为60°、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出小雁塔的高度CD．（参考数据：√3≈1.73，结果
精确到0.1m）
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【答案】43.4m
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设CD=xm，先解Rt△ADC得到AC=√3xm，再解
√3 √3
Rt△BDC得到BC= xm，进而建立方程√3x− x=50，解方程即可得到答案．
3 3
【详解】解：设CD=xm，
在Rt△ADC中，∠ACD=90°，∠A=30°，
CD x
∴AC= = =√3xm，
tanA tan30°
在Rt△BDC中，∠BCD=90°，∠CBD=60°，
CD x √3
∴BC= = = xm，
tanCBD tan60° 3
∵AB=50m，
√3
∴√3x− x=50，
3
解得x≈43.4，
∴CD≈43.4m，
∴小雁塔的高度CD约为43.4m．
【变式17-2】（2023·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机
测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为
60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D
处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
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(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面BC的高度．
【答案】(1)75；60
(100 )
(2) √3+10 米
3
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求∠APD，过点A作AE⊥DC于点E，再利用三角形内角和求∠ADC；
（2）在Rt△AED中，∠DAE=30°求出DE的长度再根据CD=DE+EC计算即可；
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE即可．
【详解】（1）过点A作AE⊥DC于点E，
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由题意得：∠MPA=60°,∠NPD=45°,∠DAE=30°,
∴∠APD=180°−∠MPA−∠NPD=75°
∠ADC=90°−∠DAE=60°
（2）由题意得：AE=BC=100米，EC=AB=10．
在Rt△AED中，∠DAE=30°，
√3 100
∴DE=AE⋅tan30°=100× = √3(米)，
3 3
100
∴CD=DE+EC= √3+10(米)
3
(100 )
∴楼CD的高度为 √3+10 米．
3
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，
则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10(米)
∵MN∥AE，
∴∠PAF=∠MPA=60°．
∵∠ADE=60°，
∴∠PAF=∠ADE．
∵∠DAE=30°，
∴∠PAD=30°．
∵∠APD=75°，
∴∠ADP=75°．
∴∠ADP=∠APD．
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∴AP=AD．
∴△APF≌△DAE（AAS）．
∴PF=AE=100．
∴PG=PF+FG=100+10=110(米)
∴无人机距离地面BC的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯
角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
【变式17-3】（2023·四川眉山·统考一模）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中
AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船
M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为
30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的
背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成这项
工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）
【答案】(1)两渔船M，N之间的距离约为20米
(2)需要填筑的土石方为43200立方米
【分析】（1）在Rt△PEN中，由等腰直角三角形的性质解得PH的长，在Rt△PEM中，由正切定义解得
ME的长，最后利用线段的和差解答；
（2）过点D作DG⊥AB于G，利用坡度的定义解得AG，GH的长，继而解得AH的长，最后根据三角形面
积公式解答．
【详解】（1）解：由题意得∠E＝90°，∠PME=α=31°，∠PNE=β=45°，PE＝30米．
在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，
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PE
在Rt△PEM中，tan31°=
ME
30
∴ME≈ =50（米）．
0.60
∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米）
答：两渔船M，N之间的距离约为20米
（2）如图，过点D作DG⊥AB于G，坝高DG＝24米，
∵背水坡AD的坡度i＝1：0.25，
∴DG：AG＝1：0.25，
∴AG＝24×0.25＝6（米），
∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，
∴DG∶GH＝1∶1.75，
∴GH＝24×1.75＝42（米）
∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米）
1 1
∴S = AH⋅DG= ×36×24=432（平方米）
ΔADH 2 2
∴需要填筑的土石方为432×100＝43200（立方米）
答：需要填筑的土石方为43200立方米．
【点睛】本题考查仰角的定义及坡度、正切定义等知识，是重要考点，要求学生能借助构造直角三角形并
解直角三角形，掌握相关知识是解题关键．
【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】
【例18】（2023·山东泰安·统考模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游
人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P 处的临皋亭和
1
P 处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；
2
当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 处与遗爱
1
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亭P 处之间的距离为 ．（计算结果保留根号）
2
【答案】（800√2−400√6）m
【分析】如图，作PM⊥AC于M，设PM＝x，在两个直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与
1 1
CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得PM的长，进一步求得AP 的长，作BN⊥AP 于N，在两个
1 1 2
直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与PN，求得PN，从而求得PP．
2 1 1 2
【详解】解：作PM⊥AC于M，
1
设PM＝xm，
1
在Rt△PAM中，∵∠PAB＝45°，
1 1
∴AM＝PM＝xm，
1
在Rt△PCM中，∵∠PCA＝30°，
1 1
∴MC=√3PM=√3xm，
1
∵AC＝1000 m，
∴x+√3=1000，解得x＝500（√3−1）（m），
∴PM＝500（√3−1）m，
1
P M
= 1 =
∴PA √2 500（√6−√2）m，
1
2
作BN⊥AP 于N，
2
∵∠PAB＝45°，∠PBA＝75°，
2 2
∴∠P＝60°，
2
在Rt△ABN中，
∵∠PAB＝45°，AB＝600 m
1
√2
∴BN＝AN= AB＝300√2（m），
2
∴PN＝500（√6−√2）﹣300√2=（500√6−800√2） （m），
1
在Rt△PBN中，
2
∵∠P＝60°，
2
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√3 √3
∴PN= BN= ×300√2=100√6 （m），
2 3 3
∴PP＝100√6−（500√6−800√2）＝（800√2−400√6） （m）．
1 2
故临摹亭P 处与遗爱亭P 处之间的距离是（800√2−400√6）m，
1 2
故答案为：（800√2−400√6）m．
【点睛】本题考查解直角三角形解决实际问题，解决问题的关键是构造直角三角形解决问题．
【变式18-1】（2023·河南商丘·统考一模）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高
速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得
AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长
度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73）．
【答案】273.7米
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据三角函数求出BE、AE的长，四边形BEFC
是矩形，所以BE=CF，再在直角△DFC，利用三角函数求出DF的长，再根据BC=EF=AD−AE+DF
即可求出BC的长．
【详解】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
则四边形BEFC是矩形，
∴BE=CF，BC=EF，
∵∠BAD=60°，AB=100，
∴AE=50，BE=50√3，
∴CF=50√3，
∵∠DCF=55°，
∴DF=CF•tan55°≈123.695，
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∴BC=EF=AD−AE+DF≈200−50+123.695=273.695≈273.7（米），
答：桥BC的长度约为273.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角的定义．
【变式18-2】（2023·四川达州·统考一模）深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自
然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距
深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一
级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达
到或超过六级，则称受台风影响．
（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？
（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？
3
（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈ ，cos42°≈
4
29 9
，tan42°≈ ）
40 10
【答案】（1）会受影响，见解析；（2）7级；（3）3√11．
【分析】（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，利用解直角三角形确定AD的值，与影响半径180千米比较，
作出判断；
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（2）这次台风最大风力为：12﹣（AD÷30）（级）；
（3）利用垂径定理，计算出影响的距离，除以风速即为影响时间．
【详解】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
3
∵sin43°≈ ，，AC＝200千米，
4
3
∴CD＝AC•sin43°≈200× ＝150（千米），
4
∵城市受到的风力达到或超过六级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为30×（12﹣6）＝180（千米），
∵150（千米）＜180（千米），
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（150÷30）＝7（级）．
答：受到台风影响的最大风力为7级；
（3）如图以C为圆心，180为半径作⊙C交AB于E、F．
则CE＝CF＝180．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2×√1802−1502＝60√11（千米）．
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∴台风影响该市的持续时间：t＝60√11÷20＝3√11（时）；
答：台风影响该城市的持续时间为3√11小时．
【点睛】本题考查了解直角三角形，垂线段最短原理，垂径定理，熟练将生活问题转化为解直角三角形模
型和圆的模型计算是解题的关键．
【变式18-3】（2023·陕西西安·校考一模）如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有
一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西60°的方向上，且测得
B、C两处的距离为20√2海里．
(1)求A、C两处的距离；
(2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度
沿DC方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西15°方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时
间．（结果保留根号）
【答案】(1)A、C两处的距离为20海里；
√7
(2)救援船到达C处所用的时间为 小时．
4
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用
以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过C作CE⊥AB于点E，由含30°角的直角三角形的性质得CE=10√2海里，再由等腰直角三角形的
性质即可得出结论；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，由锐角三角函数定义得AF=15海里，DF=15√3海里，则
CF=AC−AF=5海里，再由勾股定理求出CD的长，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1，过C作CE⊥AB于点E，
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由题意得：BC=20√2海里，∠CBE=90°−60°=30°，∠CAE=90°−45°=45°，
1 1
∴CE= BC= ×20√2=10√2（海里），△AEC是等腰直角三角形，
2 2
∴AC=√2CE=√2×10√2=20（海里），
答：A、C两处的距离为20海里；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥AC于点F，
在Rt△ADF中，AD=30海里，∠DAF=45°+15°=60°，
1
∴AF=AD⋅cos∠DAF=30× =15（海里），
2
√3
DF=AD⋅sin∠DAF=30× =15√3（海里），
2
∴CF=AC−AF=20−15=5（海里），
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CD=√DF2+CF2=√(15√3) 2+52=10√7（海里），
√7
∴10√7÷40= （小时），
4
√7
答：救援船到达C处所用的时间为 小时．
4
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【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】
【例19】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，
无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上
方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知AB的坡度为1:√3且长为
300米，无人机飞行距离CD为60米，求无人机离地面的高度BD的长．（参考数据：√3≈1.7）
【答案】345米
√3
【分析】作CE⊥AF于E，根据坡度，得到tan∠ABM= ，推出∠BAF=∠ABM=30°，进而求出
3
BF,AF的长，利用AE=AF−EF，求出AE的长，再在直角三角形AEC中，求出CE的长，再根据
BD=BF+DF，即可得解．
【详解】解：如图，作CE⊥AF于E，由题意，可知：四边形CEFD为矩形，
∴EF=CD=60米，DF=CE，
√3
∵AB的坡度为1:√3，即：tan∠ABM=
3
∴∠BAF=∠ABM=30°，
1
又∵AB=300米，则BF= AB=150（米），AF=√3BF=150√3（米），
2
∴AE=AF−EF=150√3−60（米）
在Rt△AEC中，∠CAE=45°，
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则CE=AE=150√3−60（米），
∴DF=150√3−60（米），
∴BD=DF+BF=150√3−60+150≈345（米）
答：无人机离地面的高度约为345米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造
直角三角形．
【变式19-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）小华和小源利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所
示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC
的坡度为1:0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB为 米．（结果精确到0.1）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）
【答案】222.9
【分析】过D作DH⊥AB于点H，过点C作CR⊥DH于点R，设AB=x米，则AH=(x−130)米，构建
方程求解即可．
【详解】解：过D作DH⊥AB于点H，过点C作CR⊥DH于点R，
设AB=x米，则AH=(x−130)米，
∵AB:BC=1:0.75，
∴BC=RH=0.75x米，BH=CR=130米，
CR 130
在Rt△DCR中，DR= = =65米，
tan63.5° 2
AH
∵tan∠ADH=
DH
x−130
∴ =0.4
65+0.75x
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解得x≈222.9，
∴AB=222.9米，
故答案为：222.9．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式19-2】（2023·山西大同·校联考一模）国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树
场馆群，是我国首座符合国际标准的冬奥会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲
线完美融合，因此，被形象地称为“雪如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交
相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔
1635米，大跳台与标准台水平相距BC=32米，大跳台坡角∠AUM=27°，标准台坡角∠BUM=26°．
求大跳台与标准台出发点落差AC是多少？（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.89，tan26°≈0.49；
sin27°≈0.45，cos27°≈0.88，tan27°≈0.51，结果保留整数．）
【答案】大跳台与标准台出发点落差AC约为21米．
【分析】先求解AM=1771−1635=136，过B作BH⊥MU于H，而AM⊥MU，BC⊥AM，可得四
边形BHMC是矩形，可得BC=MH=32，BH=CM，再分别求解UM，BH，从而可得答案．
【详解】解：∵大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，
∴AM=1771−1635=136，
过B作BH⊥MU于H，而AM⊥MU，BC⊥AM，
∴四边形BHMC是矩形，
∴BC=MH=32，BH=CM，
∵∠AUM=27°，∠AMU=90°，AM=136，
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AM 136
∴UM= ≈ ≈266.7，
tan27° 0.51
∴UH=MU−MH=266.7−32=234.7，
∵∠BUM=26°，
∴BH=HU⋅tan26°≈234.7×0.49≈115，
∴CM=BH=115，
∴AC=AM−CM=136−115=21；
∴大跳台与标准台出发点落差AC约为21米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线构建直角三角形是解
本题的关键．
【变式19-3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如
下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:√3的斜坡AB前进20√7m
到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底
3 4 3
部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，计算结果用
5 5 4
根号表示，不取近似值）．
【答案】古树DE的高度为(40−10√3)m
【分析】延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，根据斜面AB的坡度为i=2:√3，设BF=2x，
则AF=√3x，根据勾股定理得出(2x) 2+(√3x) 2=(20√7) 2 ，求出BF=40(m)，证明四边形BFDG为矩形，
40√3
得出DG=BF=40m，根据三角函数求出CG= (m)，EG=10√3(m)，最后求出结果即可．
3
【详解】解：延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：
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则∠AFB=∠BFD=90°，
∵斜面AB的坡度为i=2:√3，
∴设BF=2x，则AF=√3x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：BF2+AF2=AB2，
即(2x) 2+(√3x) 2=(20√7) 2 ，
解得：x=20，负值舍去，
即BF=2×20=40(m)，
∵BC为水平方向，DE为竖直方向，
∴∠BGD=90°，
∵∠BFD=∠FDG=∠BGD=90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴DG=BF=40m，
∵∠DCG=60°，
BG 40 40 40√3
∴在Rt△DCG中，CG= = = = (m)，
tan∠DCG tan60° √3 3
∵∠ECG=37°，
40√3 40√3 3
∴在Rt△ECG中，EG=CG×tan∠ECG= ×tan37°= × =10√3(m)，
3 3 4
∴DE=DG−EG=(40−10√3)m．
答：古树DE的高度为(40−10√3)m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数
的定义．
【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】
【例20】（2023·浙江温州·校联考二模）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴
壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身
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AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壶嘴EF=150cm，且CD∥AB，EF∥BC，DE=3AE，则
sin∠FED= ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，
FD∥l，则此时出水口F到桌面的距离为 cm．
4 200√3
【答案】 √2
9 3
【分析】过点D作DG∥BC，交AB于点G，过点A作AH⊥DG，利用勾股定理求出EH即可得出
2
sin∠FED= sin∠ADH= √2，再由当FD∥l，过D点作DQ⊥l，垂足为Q，过F点作FM⊥AD，
9
垂足为M，构造Rt△FDM，Rt△ADQ，解三角形即可。
【详解】解：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G，过点A作AH⊥DG，
∵CD∥AB，
∴四边形BCDG是平行四边形，
∴BG=CD=40cm，DG=BC=120cm，
∴AG=AB−BG=80cm
∴AH2=AD2−DH2=AG2−HG2，
∴1202−(120−HG) 2=802−HG2，
80
解得：HG= (cm)（负值已舍去）
3
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160 280
∴AH= √2(cm)，DH= (cm)，
3 3
160 280
√2
∴ AH 3 4 ， 3 7
sin∠ADH= = = √2 cos∠ADH= =
AD 120 9 120 9
∵EF∥BC，DG∥BC，
∴EF∥DG，
∴∠ADH=∠FED
4
∴sin∠FED=sin∠ADH= √2，
9
7
cos∠FED=cos∠ADH=
9
当FD∥l，过D点作DQ⊥l，垂足为Q，过F点作FM⊥AD，垂足为M，
4 200
∴FM=AFsin∠FED=150× √2= √2(cm)，
9 3
7 350
EM=AFcos∠FED=150× = (cm)，
9 3
∵DE=3AE，AD=120cm，
∴DE=90(cm)，
350 80
∴DM= −90= (cm)，
3 3
√ 200 2 80 2
∴在Rt△FDM中，FD=√FM2+DM2= ( √2) +( ) =40√6，
3 3
∵FD∥l，
∴∠QAD=∠MDF，
∴sin∠QAD=sin∠MDF，
FM DQ
∴ = ，
FD AD
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200
√2
∴ 3 DQ，
=
40√6 120
200√3 200√3
∴DQ= (cm)，即则此时出水口F到桌面的距离为 cm．
3 3
4 200√3
故答案为① √2，② ．
9 3
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添
加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式20-1】（2023·浙江温州·统考二模）图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B，F，H
为固定点，支杠CF，HG可分别绕着点F，H旋转，点C，G分别在AB，BD上移动．AB=BD=25 cm，
CF=BF=10 cm，HG=16 cm，当支点C与点A的距离为9 cm时，则点D到AB的距离为
cm，此时，再移动支点G，当点F与点G重合时，D、E两点的水平距离是垂直距离的两倍，则DH=
cm．
【答案】 15 3√5+2√19/2√19+3√5
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，则DM∥FN，勾股定理求得FN=6，
根据题意得出CN=8，根据sin∠DBM=sin∠FBN即可求解；
FN 6 3
（2）由（1）可得tan∠ABD= = = ，过点D作DP∥AB，过点E作EP⊥DP于点P，过点F作
NB 8 4
FS⊥DP于S，过点F作FQ⊥DH于点H，交DP于点S，则∠EDP=∠TFS，∠SDF=∠DBA依题意，
1 SF 3
tan∠EDP= ，tan∠SDF= = ，得出DS=12,FS=9，在Rt△TSF中，求得TF,在Rt△DQT中,
2 DS 4
3√5
设TQ=a,DQ=2a，则DT=√5a，进而得出DQ=3√5，QT= ，在Rt△QFH中勾股定理求得QH，
2
最后根据DH=DQ+QH，即可求解．
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【详解】解：（1）如图所示，过点D作DM⊥AB于M，过点F作FN⊥AB于N，则DM∥FN，
∵AB=BD=25，CF=BF=10，CA=9，
1
∴CN=NB= (AB−AC)=8,
2
在Rt△FNB中，FN=√FB2−BN2=6
∵∠DBM=∠FBN
∴sin∠DBM=sin∠FBN，
DM FN
∴ =
DB FB
DB×FN 25×6
∴DM= = =15，
FB 10
故答案为：15．
FN 6 3
（2）由（1）可得tan∠ABD= = =
NB 8 4
如图所示，
过点D作DP∥AB，过点E作EP⊥DP于点P，过点F作FS⊥DP于S，过点F作FQ⊥DH于点H，交
DP于点S，
∵∠EDS+∠QTD=∠STF+∠TFS，∠QTD=∠STF
∴∠EDP=∠TFS，
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1
依题意，tan∠EDP=
2
∵DP∥AB
∴∠SDF=∠DBA
SF 3
∴tan∠SDF= = ，
DS 4
设SF=3k，则DS =4k，
在Rt△DSF中，DF=5k
∵DF=DB−FB=25−10=15，
∴k=3，
∴DS=12,FS=9，
1
∵tan∠EDP= ，∠EDP=∠TFS
2
ST 1
∴ =
SF 2
1 9
∴TS= FS=
2 2
9 15
∴DT=DS−TS=12− =
2 2
9√5
在Rt△TSF中，TF=√T S2+SF2=√5TS=
2
1 DT
在Rt△DQT中，tan∠EDP=tan∠QDT= =
2 QD
设TQ=a,DQ=2a
∴DT=√5a
15
∴ 2 3√5
a= =
√5 2
3√5
∴DQ=3√5，QT=
2
3√5 9√5
在Rt△QFH中，QF=QT+TF= + =6√5，FH=HG=16，
2 2
∴ QH=√H F2−QF2=√162−(6√5) 2=√76=2√19
∴DH=DQ+QH=3√5+2√19，
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故答案为：3√5+2√19．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键．
【变式20-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，
当张角∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11cm，此时用眼舒适度不太理想．小组
成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角∠A'OB=108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为
理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：
sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32）
【答案】此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为21cm
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．利用平角定义先
求出∠AOC=30°，然后在Rt△ACO中，利用锐角三角函数的定义求出AO的长，从而求出A'O的长，
再利用平角定义求出∠A'OD的度数，最后在Rt△A'DO中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵∠AOB=150°，
∴∠AOC=180°−∠AOB=30°，
在Rt△ACO中，AC=11cm，
∴AO=2AC=22cm，
由题意得：AO=A'O=22cm，
∵∠A'OB=108°，
∴∠A'OD=180°−∠A'OB=72°，
∴∠OA'D=90°−∠A'OD=18°，
在Rt△A'DO中，A'D=A'O⋅cos∠OA'D=A'O⋅cos18°≈22×0.95=21cm，
∴此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为21cm．
【变式20-3】（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）
所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档AC与CD的长分别为42.0cm，42.0cm，且它们互相垂
直，∠CAB=76°，AD∥BC，求车链横档AB的长，（结果保留整数．参考数据：sin76°≈0.97，
cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）
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【答案】35cm
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，过点B作
BE⊥AC于E，先证明∠CAD=∠CDA=45°，再由平行线的性质得到∠ACB=∠CAD=45°；设
AE=xcm，则CE=(42−x)cm，解Rt△ABE得到BE≈4xcm，解Rt△CBE得到BE=(42−x)cm，由此
42
建立方程得到4x=42−x，解方程得到AE= cm，再解Rt△ABE求出AB的长即可．
5
【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥AC于E，
∵AC=DC，AC⊥DC，
∴∠CAD=∠CDA=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD=45°，
设AE=xcm，则CE=(42−x)cm，
在Rt△ABE中，BE=AE⋅tan∠BAE=AE⋅tan76°≈4xcm，
在Rt△CBE中，BE=AE⋅tan∠BCE=CE⋅tan45°=(42−x)cm，
∴4x=42−x，
42
解得x= ，
5
42
∴AE= cm，
5
42
在Rt△ABE中， AE AE 5 ，
AB= = ≈ =35cm
cos∠BAE cos∠76° 0.24
∴车链横档AB的长为35cm．
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97
