文档内容
2025 年高考数学二轮复习测试卷（广东专用）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】设 ，
则
则 ，整理得 ，故 ，得 的虚部为1．
故选：C．
2．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，解得 .
故选：C.
3．四川耙耙柑以果肉饱满圆润，晶莹剔透等特点深受民众喜爱，某耙耙柑果园的质检员对刚采摘下来的耙耙柑采用随机抽样的方式对成筐的耙耙柑进行质检，记录下了8筐耙耙柑中残次品的个数为5，7，6，
3，9，4，8，10，则该组样本数据的第30百分位数为（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】A
【解析】残次品的个数由小到大排列为：3，4，5，6，7，8，9，10，
由 ，得该组样本数据的第30百分位数为5.
故选：A.
4．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，则 ，又 ，
则 .
故选：C
.
5．设各项均为正数的等比数列 的公比为 ，且 ，则“ 为递减数列”是“ ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意得， 且 ，
∴ .
若 为递减数列，则 ，故 ，充分性成立.若 ，则 ，故 ， 为递减
数列，必要性成立.
所以“ 为递减数列”是“ ”的充分必要条件.
故选：C.
6．已知椭圆C： 的一个焦点为F，C上不与F共线的两点A，B满足 周长的最大值
为12，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的另一个焦点为 ,根据椭圆的定义 ，
周长为 ,即 ，
当 三点共线时，周长取最大值，此时 ,所以 ，
解得 ，又已知 ，根据 可得 ，
离心率 .
故选：D
7．已知正四棱台 的上､下底面边长分别为 和 ，且 ，则该棱台的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对正四棱台 ，连接 ，取 中点分别为 ，连接 ，如下所示：
因为 为正四棱台，则四边形 均为正方形，且 垂直于上下底面，
，
易知 // ， ，故四边形 为平行四边形，则 // ，且 ，
因为 ，则 ，又 ，且 ，
由 ，即 ，解得 ；
由 面 ， 面 ，则 ；
则 ，
又正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，
故正四棱台 的体积 .
故选：B.
8．已知函数 且 ），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】 关于原点对称的函数为 ，
所以 与 的图象交点个数至少有3对，
若 ，画出 与 的图象，如下：
显然只有1个交点，不合要求，
若 ，画出 与 的图象，如下：
需满足 ，解得 ，
故实数 的取值范围是 .
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 ， ，故A错误；
因为 ， ， ， ，
所以 ，所以 ，故B正确；
因为 ， ，
但y与1的大小不确定，故无法判断 与 的大小，故C错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：BD
10．某高中开展一项课外实践活动，参与活动并提交实践报告可以获得学分，且该校对报告的评定分为两
个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，
则下一次评定为合格的概率为 ，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为 ．已知小李参加了3次
课外实践活动，则（ ）
A．“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”是互斥事件
B．若小李第一次评定为不合格，则小李获得0.4学分的概率为
C．若小李第一次评定为合格，则小李第三次评定为合格的概率为
D．“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”相互独立
【答案】AB
【解析】A项，事件“小李第一次评定合格”与“小李第一次评定不合格”不可能同时发生，所以互斥，
故A正确；B项，若第一次评定为不合格，设事件 “第 次评定为合格”， .
则事件“小李获得0.4学分”即事件 ，
由概率乘法公式得，
，故B正确；
C项，若第一次评定为合格，设事件 “第 次评定为合格”， “第 次评定为不合格”， .
则由全概率公式得，
，故C错误；
D项，由C项知 ；
若第一次评定为不合格，设事件 “第 次评定为合格”， “第 次评定为不合格”， .
由全概率公式可得
；
即 ；
所以 ，即第一次评定是否合格对第三次评定合格的概率有影响，
故“小李第一次评定合格”与“小李第三次评定合格”不相互独立，故D错误.
故选：AB.
11．已知曲线 ．点 ， ，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线C不存在点P，使得
B．曲线C关于原点对称
C．直线 与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向 作垂线，垂足分别为A，B，则【答案】ACD
【解析】当 时，曲线 ，即 ，即第一象限是双曲线的一部分；
当 时，曲线 ，即 ，即第四象限不存在图象；
时，曲线 ，即 ，即第二象限是椭圆的一部分；
时，曲线 ，即 ，即第三象限是双曲线的一部分；
画出图形如下：
对于A，满足 的点是在双曲线的下支，此时 ，可得双曲线方程 ，
而根据前面讨论可知，方程 曲线上的点只能在第一象限和方程 曲线上的点在第二象限，
肯定都不满足 ，
而方程 曲线上的点在第三象限，但这条双曲线与方程 曲线是共渐近线双曲线，
因此它们没有交点，所以满足 的双曲线的下支点在第三象限也不存在，而第四象限没有图象，
即一定不存在点P，使得 ，故A正确；
对于B，由图可得曲线C不关于原点对称，故B错误；
对于C，一三象限曲线的渐近线方程为 ，所以直线 与曲线C没有交点，故C正确；对于D，设 ，设点 在直线 上，点 在直线 ，
则由点到直线的距离公式可得
， ，
所以 ，
又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，
代入曲线方程可得 ，故D正确；
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ， ，则 ．
【答案】
【解析】由 得 ，又因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
则 ．
故答案为：
13．甲乙二人参加一种游戏：在一副扑克牌中取出5张数字分别为3，4，5，6，7的牌，随后两人分别从
其中随机取走一张．甲声称：我不知道谁牌上的数字更小，乙思考片刻后，作出了与甲同样的判断．在二
人的判断均准确的前提下，甲推断出了乙手中牌上的数字，其为 ．
【答案】5
【解析】依题意，由甲判断知，甲手中牌上的数字不可能是最大和最小数字，即甲手中牌上的数字是4，
5，6之一，
而乙听到甲的判断后作出判断，于是乙手中牌上的数字不可能为4和6，所以甲推断出了乙手中牌上的数字是5.
故答案为：5
14．已知定义域为 的函数 的导函数为 ，若函数 和 均为偶函数，且
，则 .
【答案】2
【解析】因为 为偶函数，则 ，即 ，
又因为 为偶函数，则 .
由 ，求导得 ，即 ，
所以 ，则 ，
所以 是以4为周期的周期函数.
由 ，可得 ，即 ，则 ，
，所以 ，
所以 .
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
某地教育局为提升教师的业务能力，从当地中学教师中随机选取100人参加教学技能比赛，统计他们
的得分（满分100分），其得分在各区间的人数比例如下表.规定得分不低于80分的为优秀教师.
得分
区间
人数 0.2 0.3 0.2
比例 5 5 0
(1)求 的值并求参赛教师为优秀教师的频率；(2)以频率估计概率，若在当地中学教师中随机选取3人，其中优秀教师的人数记为 ，求 的分布列
与期望.
【解析】（1）由表可知， ，解得 ，
参赛教师为优秀教师的频率为 ；
（2）由(1)可知，当地中学教师是优秀教师的概率为0.3，
的取值可能为0，1，2，3，
， ，
， ，
的分布列为
0 1 2 3
0 0 0 0
.343 .441 .189 .027
.
或写成由 ，得 .
16．（15分）
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ．
(1)求角 ；
(2)若 是线段 的中点，且 ，求 ；
(3)若 为锐角三角形，求 的周长的取值范围．
【解析】（1）由题及正弦定理可知： ，
，
又 ， ，
， ，
， .（2）由（1）及余弦定理得： ，即 ，①
又因为 ，则 ，
所以 ，②
由 得： ，
所以 ．
（3）由（1）得 ，则 ，即 ，
由正弦定理可知 ， ，
所以 ．
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
即 ， ，则 ，即 ，
则 ，故 的周长的取值范围为 ．
17．（15分）
已知函数 ， .
(1)若 ，求曲线y=f (x)在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若 和 有相同的最小值，求 的值.
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以，曲线 在点 处的切线方程 ，即 ．
（2）函数 的定义域为 ，
所以， ，
所以，当 时， 在 上恒成立，函数 在 上单调递增，
当 时， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
综上，当 时，增区间为 ，无减区间；
当 时， 减区间为 ，增区间为 .
（3）由（2）知，当 时， 在 上单调递减， 在 单调递增.
所以，
因为 ， 得 ，
所以，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递
增，
所以， ，
因为 和 有相同的最小值，
所以 ，即 ，
令 ， ，
令 ， ，所以，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以， 在 上单调递增，
因为 ，
所以， 等价于
即 的值为 .
18．（17分）
空间直角坐标系 中，点 ，过点 的直线 与过点 的直线 的倾斜角之和
为π，且 与平面xOy内的抛物线 交于A，B两点， 与x轴交于F，D为z轴正半轴一点，且
，（ ， 均在平面xOy内）
(1)若 的倾斜角为 ，求二面角 的余弦值；
(2)求三棱锥 体积的最大值．
【解析】（1）若 的倾斜角为 ，则 重合， ，
由题意直线 的倾斜角也为 ，
如图空间直角坐标系中，
，
则 ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ；
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ；
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
由图观察知 为锐角，故二面角 的余弦值为 .
（2）由题意可知，直线 的斜率不为 ，
设直线 ，设 ，
联立 消 得 ，
则 ， ，又 ，
设直线 与 轴交于 ， ，则 ，
又直线 ，直线 与直线 的倾斜角之和为π，且直线 过 ，
则 与x轴交于 ，
则 .
设 ，由 ，则 ，
则
，
且当 时， ，
故三棱锥 体积的最大值为 .
19．（17分）
对于数列 ， ，其中 ，对任意正整数 ，都有 ，则称数列 为数列 的
“ -接近数列”.已知 为数列 的“ -接近数列”，且 ， .
(1)当 时，若 ，求 ， 的值；
(2)当 时，若 ，是否存在正整数 ，使得 ？如果存在，请求出 的最小值；
如果不存在，请说明理由；
(3)当 时，若 为无穷等差数列，公差为 ，证明：“数列 为等差数列”的充要条件是“
”.
【解析】（1）由题可得 ， ， ，
， ，
所以 或3， 或7.（2）当 为奇数时， ，此时 随着 的增加而变小，
， ，可得 ；
当 为偶数时， ，此时 随着 的增加而变大，
， ，可得 .
故
，
当 为奇数时，令 ，
所以 ，即 ， ， ， ， ，故 ；
当 为偶数时，令 ，
所以 ，无解.
综上， .
（3）证明：①若 ，由题意得对于任意正整数 ，均有 ，且 ，
则 ， ，
从而 ，即 .
因为 ， ，所以 ，即 .
因此 为等差数列，且公差也为 .
②若 为等差数列，设公差为 .
，
又 ，
即 ，亦即 对任意正整数 都成立，
当 时， ，所以 .
又 ，所以 .
因此，“数列 为等差数列”的充要条件是“ ”.
