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专题 07 分式方程及其应用【八大题型】
【题型1 由分式方程的解求参数】..........................................................................................................................2
【题型2 解分式方程】..............................................................................................................................................4
【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】.....................................................................................................4
【题型4 由分式方程的取值范围求参数】..............................................................................................................7
【题型5 由实际问题抽象出分式方程】..................................................................................................................9
【题型6 分式方程的应用与函数的综合运用】...................................................................................................11
【题型7 中考最热考法之以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用】...............................................17
【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】.......................................................21
【知识点 分式方程及其应用】
1.定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解法
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的
根。
3.分式方程与实际问题
解有关分式方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
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【题型1 由分式方程的解求参数】
2kx+3 7 4k
【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程 − = 的方程恰好有一个实数解，求k的
x−1 x2−x x
值及方程的解．
7 9 2 1 1 7 8
【答案】k=0,x= 或k= ，x= ；k=− 或x=4或k=2，x= 或k= ，x=
3 4 3 4 4 4 7
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k=0，为一元二次方程，即k≠0，
分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为Δ=0 (方程有等根，满足方程恰好有一个实数解)，若
Δ>0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．
【详解】解：两边同乘x2−x,得2kx2+(3−4k)x+4k−7=0，
7
若k=0，3x−7=0，x= ，
3
若k≠0，由题意，知Δ=(3−4k) 2−8k(4k−7)=0，
9 1
解得k = ，k =− ，
1 4 2 4
9 2 1
当k = 时，x =x = ，当k =− 时，x =x =4，
1 4 1 2 3 2 4 1 2
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
1
当x =1时，k=2，x = ，
1 2 4
7 8
当x =0时，k= ，x = ．
1 4 2 7
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程
的特点及题目的条件分类讨论．
m 1
【变式1-1】（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程 − =3的解，那么实数m的值为
2−x x−2
（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
【答案】B
【分析】将x=1代入方程，即可求解．
m 1
【详解】解：将x=1代入方程，得 − =3
2−1 1−2
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解得：m=2
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．
【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）下列分式方程中，解为x=−1的是（ ）
4 1 x+1 2 1 2 1
A． = B． =0 C． + =0 D． − =0
x−1 x x2−1 x−1 x+2 x+1 x+2
【答案】C
【分析】根据方程解的意义，使方程左右两边相等的式子值叫方程的解，分别代入判断即可．
【详解】当x=−1时，
4 1
A． = 中，左边=−2，右边=−1，A不符合题意；
x−1 x
x+1
B． =0中，x2−1=0，分母等于0，分式无意义，B不符合题意；
x2−1
2 1
C． + =0中，左边=−1+1=0=右边，C符合题意；
x−1 x+2
2 1
D． − =0中，分母x+1=0，D不符合题意．
x+1 x+2
故答案是：C
【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是正确理解分式方程解的意义，做题时要考虑分母是
否为0的情况．
【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若关于x的不等式组¿无解，且关于y的分式方程
5−ay 3
−1= 有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
2−y y−2
A．10 B．12 C．16 D．14
【答案】B
【分析】先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a的取值范围，然后求得分式方程
的解，根据解为整数，且y−2≠0，即可求得满足条件的所有整数a的值．
【详解】¿
解不等式①，得
x≤1．
解不等式②，得
x>a−1．
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因为关于x的不等式组¿无解，可得
a−1≥1．
解得
a≥2．
5−ay 3
解关于y的分式方程 −1= ，得
2−y y−2
6
y= ．
a−1
6 6
∵ 为整数，a≥2， −2≠0,
a−1 a−1
∴a=2或a=3或a=7．
∴满足条件的所有整数a的和=2+3+7=12．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤
是解题的关键．
【题型2 解分式方程】
【例2】（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
x结果
2 n
代数
式
3x+1 7 b
2x+1
a 1
x
5
【答案】 −2
2
2x+1 2x+1
【分析】把x=2代入得 =a，可求得a的值；把x=n分别代入3x+1=b和 =1，据此求解即可．
x x
【详解】解：当x=n时，3x+1=b，即3n+1=b，
2x+1 2×2+1 5
当x=2时， =a，即a= = ，
x 2 2
2x+1 2n+1
当x=n时， =1，即 =1，
x n
解得n=−1，
经检验，n=−1是分式方程的解，
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∴b=3×(−1)+1=−2，
5
故答案为： ；−2
2
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
2 1 1
【变式2-1】（2023·四川·中考真题）关于x的分式方程 − = 的解是 ．
x−1 x+1 1−x
【答案】x=−2
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
2 1 1
【详解】解： − =
x−1 x+1 1−x
两边乘(x+1)(x−1)得到，2x+2−(x−1)=−(x+1)，
解得x=−2，
检验：把x=−2代入(x+1)(x−1)得：(−2+1)×(−2−1)=3≠0，
∴x=−2是原方程的解．
故答案为：x=−2．
【点睛】此题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
x 3
【变式2-2】（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程： −1= ．
x+1 x−1
1
【答案】−
2
【分析】方程两边同时乘以(x+1)(x−1)，将分式方程化为整式方程，再求解即可．
x 3
【详解】 −1=
x+1 x−1
x 3
(x+1)(x−1) −1×(x+1)(x−1)= (x+1)(x−1)
x+1 x−1
(x−1)x−(x+1)(x−1)=3(x+1)
x2−x−x2+1=3x+3
−4x=2
1
x=− ，
2
1
经检验，x=− 是原方程的根，
2
1
故原方程的解为：x=− ．
2
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【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方程
时，要将所求的解代入原方程进行检验．
x x−3
【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程 − =1过程如下：
x−2 2−x
小丁：
小迪：
解：去分母，得
解：去分母，得x+(x−3)=1
x−(x−3)=x−2
去括号得x+x−3=1
去括号，得x−x+3=x−2
合并同类项得2x−3=1
合并同类项，得3=x−2
解得x=2
解得x=5
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解
∴原方程的解是x=5
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的
解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得x+(x−3)=x−2，
去括号，得2x−3=x−2，
解得，x=1，
经检验：x=1是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【题型3 由分式方程无解或存在增根求参数】
x m
【例3】（2023·黑龙江·统考中考真题）若分式方程 − =2有增根，则m的值为（ ）
x−1 1−x
A．1 B．−1 C．2 D．−2
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程，令分母x−1=0，代入整式方程计算m的值．
x m
【详解】因为 − =2，
x−1 1−x
去分母得：x+m=2(x−1)，
解得：m=x−2
x m
因为分式方程 − =2有增根，
x−1 1−x
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所以x−1=0，即：x=1是方程增根，
所以m=x−2=−1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．
【变式3-1】（2023·河北石家庄·校联考一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不
? 1
清楚： +3= .
x−2 2−x
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方
程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.
【详解】（1）方程两边同时乘以(x−2)得
5+3(x−2)=−1
解得 x=0
经检验，x=0是原分式方程的解.
（2）设？为m，
方程两边同时乘以(x−2)得
m+3(x−2)=−1
由于x=2是原分式方程的增根，
所以把x=2代入上面的等式得
m+3(2−2)=−1
m=−1
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程
的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即
可求得相关字母的值．
1 ax−2
【变式3-2】（2023·黑龙江鸡西·校考二模）若关于x的分式方程 + =1有解，则a的取值范围是
x−2 2−x
（ ）
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3 3
A．a≠ B．a≠−1 C．a=−1 D．a≠ 且a≠−1
2 2
【答案】D
【分析】先解分式方程得到−(a+1)x=−5，再根据分式方程有解，进行求解即可．
1 ax−2
【详解】解： + =1
x−2 2−x
去分母得：1−(ax−2)=x−2，
去括号得：1−ax+2=x−2，
移项得：−ax−x=−2−2−1，
合并同类项得：−(a+1)x=−5，
1 ax−2
∵关于x的分式方程 + =1有解，
x−2 2−x
∴¿，
∴¿，
3
∴a≠ 且a≠−1，
2
故选D．
【点睛】本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到−(a+1)x=−5是解题的关键．
2y+a 2a
【变式3-3】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）若关于y的分式方程 + =5有解，
y−4 4−y
且关于x的一元一次不等式组¿有解且至多有2个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】26
2y+a 2a a+2
【分析】根据分式方程 + =5有解，确定a≠8，根据¿有解且至多有2个整数解，4＜ ≤6，
y−4 4−y 2
确定计算即可．
2y+a 2a
【详解】∵解分式方程 + =5，
y−4 4−y
20−a
解得：y= ，
3
∵y≠4，
∴a≠8，
x+3 2+3x a+2
∵ ≤ 的解集为x≥4；3x−20，
2
解得，m<6，
实数m的取值范围是：m<6且m≠2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无
解的判断方法是解题的关键．
m
【变式4-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程 =1，对于方程的解，甲、乙两人有以
x+6
下说法：甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当m>6时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错
【答案】B
【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根据参数的取值范围求解即可．
m
【详解】 =1
x+6
去分母得，m=x+6，
解得x=m−6，
要使分式方程有解，x+6≠0，
∴m−6+6≠0，
∴m≠0，
∴当m<4时，m−6<4−6，
∴x<−2，
∴当m<4，且m≠0时，方程的解是负数，故甲说法错误；
当m>6时，m−6>6−6，
∴x>0，
∴乙说法正确．
故选：B．
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【点睛】本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最
简公分母等于0的根叫做分式方程的增根．
【变式4-3】（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组¿的解集为x<−2，且关于y的分式方程
a+2 y+2
+ =2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
y−1 1−y
【答案】13
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得a≤5，再解分式方程可得a>−2且a≠1，
从而可得−20且 −1≠0，
3 3
解得a>−2且a≠1，
∴−21.25
∴人行道宽度设计达标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征
等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
【变式6-2】（2023·内蒙古·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进
价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
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(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的
豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A
厂家购买应付y 元，去B厂家购买应付y 元，其函数图象如图所示：
1 2
①分别求出y ，y 与x之间的函数关系；
1 2
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元
(2)①y =32x（x≥0且x为整数）；y =¿；②购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼
1 2
盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算
【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为(a+10)元，列分式方程求解即可；
（2）①根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；②由y = y 得32x=28x+300，解得x=75，
1 2
结合图象即可得解．
【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为(a+10)元
2000 2500
=
a a+10
方程两边乘a(a+10)，得2000(a+10)=2500a
解得a=40
检验：当a=40时，a(a+10)≠0
∴a=40是原方程的解
a+10=50
答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元．
（2）解：①y =40×80%x=32x（x≥0且x为整数）
1
当0≤x≤25且x为整数时，y =40x
2
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当x>25且x为整数时，y =1000+(40x−1000)×70%=28x+300
2
∴y =¿
2
②当x>25且x为整数，
y = y 时32x=28x+300
1 2
x=75
由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家
购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算．
【点睛】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量关
系列分式方程是解题的关键．
【变式6-3】（2023·四川凉山·统考一模）某班家委会讨论决定购买A，B两种型号的口罩供班级学生使用，
已知A型口罩每包价格a元，B型口罩每包价格比A型少4元，180元钱购买的A型口罩比B型口罩少12包．
(1)求a的值．
(2)经与商家协商，购买A型口罩价格可以优惠，其中每包价格y（元）和购买数量x（包）的函数关系如图
所示，B型口罩一律按原价销售．
①求y关于x的函数解析式；
②若家委会计划购买A型、B型共计100包，其中A型不少于30包，且不超过60包．问购买A型口罩多
少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元？
【答案】(1)10
(2)①y=¿，②购买A型口罩50包时，购买口罩的总金额最少，最少为700元
【分析】（1）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到a的值；
（2）①根据函数图象中的数据，可以得到y关于x的函数解析式；
②根据题意和①中的结果，可以得到购买A型口罩多少包时，购买口罩的总金额最少，最少为多少元．
【详解】（1）解：由题意可得，
180 180
− =12，
a−4 a
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解得，a =10,a =−6，
1 2
经检验，a =10,a =−6是原分式方程的解，
1 2
但a =−6不符合题意，舍去，
2
∴a=10．
（2）解：①由图象可得，
当050时，y=8，
由上可得，y与x的函数关系式为y=¿；
②设购买A型口罩x包，则购买B型口罩(100−x)包，购买的总金额为W元，
当30≤x≤50时，
W =x(−0.1x+13)+6(100−x)
=−0.1(x−35) 2+722.5，
∴当x=50时，W取得最小值，此时W =700，
当500，
∴W随着x的增大而增大，
∴7000，
∴当m≥52时，y随x的增大而减小，
∵m≥55，
∴当m=55时，W取最大，此时W =−10×（55−52）2+1440=1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【点睛】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
【变式7-1】（2023·山西吕梁·统考一模）随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界
第一，解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至6C的
快速充电方案已经开始逐步落地．据测试数据显示，使用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程（汽车
所能行驶的路程）比采用4C技术提高了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采
用4C充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟，求采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程
为多少公里？
【答案】60公里
【分析】设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为
(1+50%)x公里，根据题意，列出分式方程，求解验根即可．
【详解】解：设采用4C充电技术，每分钟充电量的续航里程为x公里，则采用6C充电技术的续航里程为
(1+50%)x公里，
480 400
根据题意，得 = −2，
(1+50%)x x
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解，
当x=40时，(1+50%)x=60，
答：采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为60公里．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系，列出分式方程是解题的关键．
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【变式7-2】（2023·云南昭通·统考一模）瑞兔迎春，福满万家吉祥物“兔圆圆”拉开2023央视总台兔年
春晚的帷幕．竖直的耳朵、微昂的脑袋、挺起的胸脯等设计巧思，彰显出奋进向上的精气神，某商店用
1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，所购数量是
第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元．
(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？
(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于1150元，则每个“兔
圆圆”玩具的标价至少是多少元？
【答案】(1)50个
(2)41元
【分析】（1）设商店第一次购进“兔圆圆”玩具x个，则第二次购进2x个，然后根据每个“兔圆圆”玩
具的价格比第一次购进的价格贵了5元列出方程进行求解即可；
（2）设每个“兔圆圆”玩具的标价为m元，先求出两次一共购进“兔圆圆”玩具的个数，然后根据利润=
售价×销售量−成本列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设商店第一次购进“兔圆圆”玩具x个，则第二次购进2x个，
1500 3500
根据题意，得 +5= ，
x 2x
解得x=50，
经检验，x=50是原方程的根，且符合题意，
答：商店第一次购进“兔圆圆”玩具50个；
（2）解：设每个“兔圆圆”玩具的标价为m元，
50+50×2=150（个），
根据题意，得150m−1500−3500≥1150，
解得m≥41，
∴每个“兔圆圆”玩具的标价至少为41元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系
和不等关系是解题的关键．
【变式7-3】（2023·河南安阳·统考一模）京东发布的《2023春节假期消费趋势》显示：消费者春节期间购
物品类更加多元，也在节日之外更“日常化”，其中预制菜成交额同比增长超6倍．春节期间，某超市分
别用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，已知B类预制菜礼盒每盒进价比A类预制
菜礼盒每盒便宜20元，A，B两类预制菜礼盒每盒的售价分别是130元和120元．
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(1)求A，B两类预制菜礼盒的进价各是多少元；
(2)第一次进的货很快销售一空，该超市决定第二次购进A，B两类预制菜礼盒共30盒，且购进的A类预制
菜礼盒数量不少于B类预制菜礼盒数量的2倍，该超市第二次如何进货才能在销售完该次所进预制菜礼盒
后，获得最大利润？并求出最大利润（此处指销售第二次所进预制菜礼盒的利润）．
【答案】(1)A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；
(2)购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元．
【分析】（1）设每盒A类预制菜礼盒的进价是x元，则每盒B类预制菜礼盒的进价是(x−20)元，根据数
量=总价÷单价，结合用2000元和1600元购进A，B两类同等数量的预制菜礼盒，即可得出关于x的分式方
程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A类预制菜礼盒m盒，总利润为w元，根据购进的A类预制菜礼盒数量不少于B类预制菜礼
盒数量的2倍，求出m的取值范围，再表示出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大
利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设每盒A类礼盒的进价是x元，则每盒B类礼盒的进价是(x−20)元，
2000 1600
依题意得： = ，
x x−20
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴x−20=80，
答：A，B两类预制菜礼盒的进价各是100元和80元；
（2）解：设购进A类预制菜礼盒m盒，则购进B类预制菜礼盒(30−m)盒，总利润为w元，
根据题意得m≥2(30−m)，
解得m≥20，
w=(130−100)m+(120−80)(30−m)=−10m+1200，
∵−10<0，
∴w随着m的增大而减少，
当m=20时，w取得最大值，最大值为1000元，
30−20=10（盒），
答：购进A类预制菜礼盒20盒，则购进B类预制菜礼盒10盒，所获利润最大，最大利润为1000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是根据题意列
出方程或不等式或函数解析式去求解．
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【题型8 中考最热考法之以数学文化为背景考查分式方程的实际应用】
【例8】（2023·安徽·校联考三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，
倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为
6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6210文能买多少株椽？
【答案】46株
【分析】根据单价=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x
的分式方程，解之即可．
【详解】解：设6210文能买x株椽，
6210
依题意，得：3(x−1)= ，
x
解得：x=46或x=-45（舍），
经检验：x=46是原方程的解，
∴6210文能买46株椽．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式8-1】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我
国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至
不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，
当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
100
【答案】 里
3
【分析】设善行者走x里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设善行者走x里时就追上了不善行者，
x−10 100−10−20
根据题意， =
x 100
100
解得x=
.
3
100
答：善行者走 里时追上了不善行者.
3
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式8-2】（2023·山东·统考中考真题）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著
作《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，
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但卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一
2
种货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得6 个克罗索．”
3
(1)试问这两名农妇各带来多少个鸡蛋？
(2)试问这两名农妇卖出的鸡蛋价格一样吗？
【答案】(1)第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
(2)两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样．
【分析】（1）根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求解．
（2）分别计算出单价比较．
【详解】（1）解：设第一个农妇带来x个鸡蛋，第二个妇女带了（100﹣x）个．由题意得：
2
6
15 3
⋅x= (100−x)
100−x x
解得：x＝40，
检验：当x＝40时，x（100﹣x）≠0，符合题意．
100﹣x＝60．
答：第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
（2）解：第一个农妇的鸡蛋价格为：15÷60＝0.25（元），
2 1
第二个农妇的鸡蛋价格为：6 ÷40 = （元）．
3 6
∴两个农妇卖出的鸡蛋价格不一样．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，理解题意列出方程是求解本题的关键．
【变式8-3】（2023下·山西·八年级统考阶段练习）张丘建，我国南北朝时期（约公元5世纪）著名的数学
家，著有《张丘建算经》．一次宴会上，张丘建出了一道题：“现有一只鹿向西跑，当猎人追至A处时，
与鹿所在的B处还差36步（古代：1里=300步）；鹿突然向北跑，此时骑马的猎人就沿着AD追去，追了
50步至D处与鹿所在的位置C处还差10步（点A、C、D在同一直线上）．如果此鹿不向北转，而继续向
西跑，猎人需要追多远才能追上此鹿？”，已知单位时间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定
值，请解答这个问题．
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【答案】如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿．
【分析】先求出BC的长, 设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追x步才能追上此鹿,根据单位时
间内鹿跑的路程和猎人骑马追赶的路程的比值是定值，列方程求解即可.
【详解】解：由题意可知，AB=36步，AD=50步，CD=10步，且AB⊥BC．
由勾股定理，得BC=√AC2−AB2=√602−362=48．
设如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追x步才能追上此鹿．
x−36 48
根据题意，列方程，得 = ．
x 50
解得x=900．
经检验，x=900是原方程的解，且符合题意．
答：如果此鹿不向北转，而继续向西跑，猎人需要追900步才能追上此鹿．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，根据等量关系得出方程是解答本题的关键，注意分式方程一定要检
验．
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