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专题 16 二次函数的应用【十大题型】
【题型1 方案选择问题】..........................................................................................................................................1
【题型2 拱桥问题】..................................................................................................................................................7
【题型3 隧道问题】................................................................................................................................................12
【题型4 喷泉问题】................................................................................................................................................18
【题型5 球类飞行轨迹问题】................................................................................................................................24
【题型6 空中跳跃轨迹问题】................................................................................................................................29
【题型7 最大利润问题】........................................................................................................................................35
【题型8 图形运动问题】........................................................................................................................................41
【题型9 图形面积问题】........................................................................................................................................55
【题型10 现实生活问题】........................................................................................................................................60
【知识点 二次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1 方案选择问题】
【例1】（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000
元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进
价多20元．
(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．
该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m(50≤m≤150)只，若两种风筝能全部售出，求
销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
【答案】(1)一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
(2)当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
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【分析】（1）设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为(x+20)元，根据“用20000元采购A
型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍”列分式方程，解之即可求解；
（2）设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得w=−2(m−30) 2+13800，利用二次函数的性质即可求
解．
【详解】（1）解：设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为(x+20)元，
20000 8000
根据题意得 = ×2，
x+20 x
解得x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+20=80+20=100，
答：一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；
（2）解：设销售这批风筝的利润为w元，
根据题意得：w=[2(130−m)−100]m+(120−80)(300−m)=−2m2+120m+12000，
整理得w=−2(m−30) 2+13800，
∵−2<0，50≤m≤150
∴当m=50时，w取得最大值，最大值为13000，此时130−m=130−50=80，
答：当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出
分式方程；（2）利用二次函数的性质求出最大利润．
【变式1-1】（2023·河北邯郸·校考三模）九年级某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长
的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等
腰直角三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，如图所示，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．面积都一样
【答案】C
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【分析】根据二次函数的性质，分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
【详解】解：方案1：设AD=x米，则AB=(8−2x)米，
则菜园面积=x(8−2x)=−2x2+8x=−2(x−2) 2+8，
当x=2时，此时菜园最大面积为8平方米；
方案2：如图，AB=AC=4，
1
∵S = AB⋅AC=8，
△ABC 2
∴菜园面积为8平方米；
8
方案3：半圆的半径为 米，
π
(8) 2
π×
∴此时菜园最大面积 π 32（平方米）
= =
2 π
32
∵ >8，
π
∴方案3的菜园面积最大，
∴在三种方案中，最佳方案是方案3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、圆的面积、等腰三角形的性质，根据题意计算三个方案的边长及半
径是解本题的关键．
【变式1-2】（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇
签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利
0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：
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销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20− m2 ，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
【答案】(1)y =0.4x，y =0.2x+0.3；
1 2
(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；
当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；
(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；
（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；
（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．
【详解】解：（1）由题意得y =0.4x，
1
在直角坐标系中描出以(x,y)坐标的对应点，易得y 的图象成一条直线，
2
设y =kx+b，则¿，
2
解得¿，
∴y =0.2x+0.3．
2
（2）当y = y ，则0.4x=0.2x+0.3，
1 2
解得x=1.5；
∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当
进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．
（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润：
w=0.4m+0.2n+0.3 =0.4m+0.2
(
20−
1 m2)
+0.3，
2
即w=−0.1m2+0.4m+4.3 =−0.1(m−2) 2+4.7，
当m=2时，n=18，w有最大值，
答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，
求出解析式．
【变式1-3】（2023·四川达州·模拟预测）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩
形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立
平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(00.5，
∴这艘船能安全通过，
故答案为：能．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意，利用函数图象的性质解决问题是解题的关键．
【题型3 隧道问题】
【例3】（2023·山东·统考中考真题）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，
1
宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=− x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水
6
17
平距离为3m，到地面OA的距离为 m．
2
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否
安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那
么两排灯的水平距离最小是多少米？
【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，
6
理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是4√3m．
【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根
据解析式求出顶点坐标；
（2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y
的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；
（3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值．
( 17)
【详解】解：（1）由题知点B(0,4),C 3, 在抛物线上
2
所以¿，
解得¿，
1
∴y=− x2+2x+4，
6
b
∴当x=− =6时，y=10
2a
1
∴抛物线解析式为y=− x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10米；
6
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））
22
当x=2或x=10时，y= >6，
3
所以可以通过；
1
（3）令y=8，即− x2+2x+4=8，可得x2−12x+24=0，解得x =6+2√3，x =6−2√3
6 1 2
x −x =4√3
1 2
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
答：两排灯的水平距离最小是4√3m
【变式3-1】（2023·陕西·统考中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表
示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直
角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点
A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
9
【答案】(1)y=− (x−5) 2+9
25
5√3 5√3
(2)A(5− ,6),B(5+ ,6)
3 3
【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点P(5,9)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，
9
将(0,0)代入，得0=a(0−5) 2+9．解之，得a=− ．
25
9
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−5) 2+9．
25
9
（2）令y=6，得− (x−5) 2+9=6．
25
【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5√3 5√3
解之，得x = +5,x =− +5．
1 3 2 3
5√3 5√3
∴A(5− ,6),B(5+ ,6)．
3 3
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时
求出二次函数的解析式是关键．
【变式3-2】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和
长方形构成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为
x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向
行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5米，
才能安全B通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2+10
6
(2)这辆特殊货车不能安全通过隧道
【分析】（1）抛物线顶点坐标为D(6,10)，设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10,，把点B的坐标代入
即可；
（2）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的横坐标为x=6+1+4，代入（1）
所得解析式，判断是否大于6.5即可．
【详解】（1）解：根据题意，顶点D的坐标为D(6,10)，点B的坐标为(0,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+10，
把点B(0,4)代入得：36a+10=4，
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1
解得：a=− ，
6
1
即所求抛物线的解析式为：y=− (x−6) 2+10；
6
（2）根据题意，假设货车在右侧车道行驶，则其最右侧点的横坐标为：x=6+2÷2+4=11时，
1 35
y=− (11−6) 2+10= <6+0.5，
6 6
∴不能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车不能安全通过隧道．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程度
较高．
【变式3-3】（2023·北京朝阳·清华附中校考模拟预测）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横
断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程
人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，
EF= y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0
(1)根据
上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式
y=a(x−h) 2+k(a<0)；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的
函数的图像．
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(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道
顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
1
【答案】(1)6，y=− (x−4) 2+6．
8
(2)见解析
(3)隧道需标注的限高应为4.5米
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在x=4时y取得最大值，然后运用待定系数法求出函数解析式
即可；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标，画出函数图像即可；
（3）令x=1，求得相应的y值，结合到隧道顶面的距离不小于0.35米,可得汽车最高点距地面的距离即可
解答．
【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知，当x=4时，y有最大值6，
设y=a(x−4) 2+6(a<0)
∵D的坐标为(0,4)
1
∴4=a(0−4) 2+6(a<0)，解得a=−
8
1
∴y=− (x−4) 2+6．
8
1
故答案为：6，y=− (x−4) 2+6．
8
（2）解：根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标,画出图像如图所示：
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1
（3）解：令x=1，可得y=− (1−4) 2+6=4.875
8
隧道需标注的限高应为4.875−0.35=4.5（米）．
答：隧道需标注的限高应为4.5米．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用、数形结合、待定系数法等知识点，理清题中的数
量关系、求得函数解析式是解题的关键．
【题型4 喷泉问题】
【例4】（2023·吉林长春·统考中考真题）2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产
大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际
民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两
条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，
两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防
车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距
地面 米．
【答案】19
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x=0求平移后的抛物
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线与y轴的交点即可．
【详解】解：由题意可知：
A(−40,4)、B(40,4)、H(0,20)，
设抛物线解析式为：y=ax2+20，
将A(−40,4)代入解析式y=ax2+20，
1
解得：a=− ，
100
x2
∴y=− +20，
100
x2
消防车同时后退10米，即抛物线y=− +20向左（右）平移10米，
100
(x+10) 2
平移后的抛物线解析式为：y=− +20，
100
令x=0，解得：y=19，
故答案为：19．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移
动前后抛物线的解析式．
【变式4-1】（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，某小区的景观池中安装一雕塑OA，OA=2米，喷
出两股水流，两股水流可以抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线（图中的C ，C ）的部分图象，两条抛
1 2
物线的形状相同且顶点的纵坐标相同，且经测算发现抛物线C 的最高点（顶点）C距离水池面2.5米，且
2
与OA的水平距离为2米．
(1)求抛物线C 的解析式；
2
(2)求抛物线C 与x轴的交点B的坐标；
1
(3)小明同学打算操控微型无人机在C ，C 之间飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活
1 2
动范围不小于0.5米，设无人机与OA的水平距离为m，求m的取值范围．
1 1
【答案】(1)y=− x2+ x+2；
8 2
1 1
(2)y=− x2− x+2，(−2+2√5，0)；
8 2
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1
(3) ≤m≤6
2
b
【分析】（1）由题意可知C 过点A(0,2)和点C(2,2.5)，且− =2，代入解析式可求得解析式；
2 2a
1
（2）两条抛物线的形状相同且顶点的纵坐标相同且C 经过点(0,2)，设C 的解析式为y=− x2+bx+c，
1 1 8
代入相关数据即可求得解析式，再根据题意进行取舍即可；
（3）无人机的横坐标为x，根据题意列出不等式− 1 x2+ 1 x+2− ( − 1 x2−x+2 ) ≥0.5，求解即可．
8 2 8
【详解】（1）解：由已知可得：C 过点A(0,2)和点C(2,2.5)，设其解析式为y=ax2+bx+c，
2
b
代入两点，由C的横坐标为− =2可得，
2a
¿，解得：¿，
1 1
故C 的解析式为：y=− x2+ x+2；
2 8 2
（2）解：∵两条抛物线的形状相同，
1
∴设C 的解析式为y=− x2+b x+c ，
1 8 1 1
1
已知C 经过点(0,2)，故C 的解析式为y=− x2+b x+2①，
1 1 8 1
∵顶点的纵坐标相同，
∴C 的顶点的横坐标为4b ，代入①，
1 1
1
可得：− ⋅(4b ) 2+b ⋅4b +2=2.5，
8 1 1 1
1
解得：b =± ，
1 2
1 1 1 1
故C 的解析式为y=− x2+ x+2②或y=− x2− x+2③，
1 8 2 8 2
b
由图可知C 的终点的横坐标小于0，而②中− =2>0不合题意，故舍去②，
1 2a
1 1
令将y=0代入y=− x2− x+2，
8 2
解得x=−2+2√5或−2−2√5（舍去），
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故B点的坐标为(−2+2√5，0)；
（3）解：由题意可得：− 1 m2+ 1 m+2− ( − 1 m2− 1 n+2 ) ≥0.5，
8 2 8 2
1
解得：m≥ ，
2
1 1
又∵− m2+ m+2≥0.5，
8 2
解得：m≤6，
1
∴ ≤m≤6．
2
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键．
【变式4-2】（2023·广东深圳·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学校考模拟预测）如图1，一个圆形喷水
池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物
线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是
7
y=−x2+2x+ (x≥0)．
4
(1)柱子OA的高度是多少米？若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在
池外？
(2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为Rt△BCD
形状，其中BC边在地面上，点C离柱子的距离为2.1米，∠CBD=90°，灯孔P在CD边上，灯孔P离地面
1
的距离为 米，若水流恰好落在灯孔P处，求tan∠DCB的值．
2
7 (√11 )
【答案】(1)柱子OA的高度为 米，水池的半径至少要 +1 米才能使喷出的水流不至于落在池外
4 2
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4
(2)
5
【分析】（1）柱子OA的高度即为抛物线与y轴交点的纵坐标，令二次函数解析式中的x=0即可求解；令
y=0，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可；
1
（2）把y= 代入解析式即可求出点P的横坐标，过点P作PE⊥BC于点E，可求出PE,CE的值，在
2
Rt△PCE中即可求tan∠DCB的值．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线与y轴的交点的纵坐标的值即为柱子OA的高度，
7
∴当x=0时，y= ，
4
7
∴柱子OA的高度为 米，
4
水池的半径指的是OB的长度，
7 7
∴在y=−x2+2x+ 中，当y=0时，−x2+2x+ =0，
4 4
√11 √11
∴x = +1，x =1− ，
1 2 2 2
又∵x>0，
√11
∴x= +1，
2
(√11 )
∴水池的半径至少要 +1 米才能使喷出的水流不至于落在池外．
2
1 1 7
（2）解：灯孔P离地面的距离为 米，即点P的纵坐标为 ，且点P在抛物线y=−x2+2x+ (x≥0)的图
2 2 4
像上，
1 7 1 5 1
∴当y= 时，−x2+2x+ = ，解得x = ，x =− (舍去)，
2 4 2 1 2 2 2
(5 1)
∴P , ，
2 2
如图所示，过点P作PE⊥BC于点E，
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(5 )
∴∠CEP=90°，E ,0 ，
2
∵点C离柱子的距离为2.1米，
5 2 1
∴CE=OE−OC= −2.1= ，且PE= ，
2 5 2
2
PE 5 4
∴在Rt△PCE中，tan∠DCB= = = ．
CE 1 5
2
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质与实际应用的综合，掌握从实际问题中抽象出二次函数模型，三
角形函数的计算方法等知识是解题的关键．
【变式4-3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的
周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物
处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩
大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷
水池水柱的最大高度．
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1
【答案】(1)y=− (x+3) 2+5(−82.44，
3
∴球不能射进球门；
1
（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=− (x−2−m) 2+3，
12
1
把点(0,2.25)代入得2.25=− (−2−m) 2+3，
12
解得m =−5（舍去），m =1，
1 2
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，
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熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式5-2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．
如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间
5
的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为 m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
3
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平
距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
4 8 5
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设y=a(x−3) 2+3，
5
∵y=a(x−3) 2+3经过点(0， )，
3
5
∴ =a(0−3) 2+3
3
4
解得∶a=− ,
27
4 4 8 5
∴y=− (x−3) 2+3=− x2+ x+ ，
27 27 9 3
4 8 5
∴y关于x的函数表达式为y=− x2+ x+ ；
27 9 3
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
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4 8 5 4 8 5
∵对于二次函数y=− x2+ x+ ，当y=0时，有− x2+ x+ =0
27 9 3 27 9 3
∴4x2−24x−45=0，
15 3
解得∶x = ， x =− (舍去)，
1 2 2 2
15
∵ >6.70，
2
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题
的关键．
【变式5-3】（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站
在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高
点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建
立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关
系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O
在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）
【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；
1
（2）当y＝0时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2＝8.4，即
50
可求解．
【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
1
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣ ，
50
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1
故抛物线的表达式为：y＝﹣ （x﹣7）2+2.88；
50
1
当x＝9时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
50
1
当x＝18时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，
50
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
1
当y＝0时，y＝﹣ （x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
50
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝6√2＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.
【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二
次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此
题的关键.
【题型6 空中跳跃轨迹问题】
【例6】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中
的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如
图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水
面的距离为7m．
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(1)求y关于x的函数表达式；
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
(2)运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+√11)m．
【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为x=1，经过点(0，10)，(3，7)，利用待定系数法即可求解；
（2）令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，经过点(0，10)，(3，7)，
设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，
∴¿，解得¿，
∴y关于x的函数表达式为y=−x2+2x+10；
（2）解：令y=0，则−x2+2x+10=0，
解得x=1±√11（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1+√11)m．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析
式是解题的关键．
【变式6-1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月
4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥
会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一
气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v 沿水平方向跳出，
0
若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，
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因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且
sin37°=0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
1
(2)y=− x2
160
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．在Rt△OBD中，利用
sin37°求出OD即可；
（2）利用勾股定理求出BD，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；
（3）将x=−60代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作BD⊥y轴于点D．
在Rt△OBD中，OD=AB⋅sin37°=150×0.6=90(m)，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）解：在Rt△OBD中，BD=√AB2−OD2=√1502−902=120(m)，
∴B(−120,−90)，
由题意抛物线顶点为(0,0)，经过(−120,−90)．
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设抛物线的解析式为y=ax2，
则有−90=a×(−120) 2，
1
∴a=− ，
160
1
∴抛物线的解析式为y=− x2 ．
160
（3）解：当x=−60时，y=−22.5，
∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【点睛】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自变
量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．
【变式6-2】（2023·河南南阳·校考三模）某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周
末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10
名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他
们持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直
方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O
的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为1.75m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳
下的距离均为0.5m，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
1 1 2
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2（或y=− x2+ x+1）
25 25 5
(2)能够达到比赛的要求，见解析
【分析】（1）根据题意，抛物线顶点为(5,2)，过点A(0,1)，用待定系数法可得函数解析式；
1
（2）结合（1）令y=1.75得− (x−5) 2+2=1.75，x=7.5或x=2.5，根据(7.5−2.5)÷0.5+1=11，可
25
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知在绳下可以站11人，故九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【详解】（1）设大绳所在抛物线的解析式为y=a(x+h) 2+k
由题意得顶点坐标为(5,2)，则抛物线解析式为y=a(x−5) 2+2，
1
将点A(0,1)代入y=a(x−5) 2+2可得，a=− ，
25
1 1 2
∴所求的抛物线的解析式是y=− (x−5) 2+2（或y=− x2+ x+1）；
25 25 5
1
（2）当y=1.75时，− (x−5) 2+2=1.75，
25
解得x =2.5，x =7.5，
1 2
(7.5−2.5)÷0.5+1=11（人）
则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
【变式6-3】（2023·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E
的坐标为(−1,−10)，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个
(3 9 )
规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 , ．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，
4 16
必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条
抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由．
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(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点，且EM=7,EN=9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线
解析式为y=(x−h) 2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M,N两点），请直接写出k的取值范围．
( 3) 2 9
【答案】(1)y=− x− + ；(4,−10)
4 16
(2)不会失误，见解析
(3)−14≤k≤−11
( 3) 2 9
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a x− + ，(0,0)代入解析式，得a=−1，进而可得空中运动
4 16
( 3) 2 9 ( 3) 2 9
时对应抛物线的解析式为y=− x− + ，令y=−10，则−10=− x− + ，求出满足要求的x，
4 16 4 16
进而可得B点坐标．
( 3) 2 9
（2）由题意知，当距点E水平距离为4米时，对应的横坐标为4−1=3．将x=3代入y=− x− +
4 16
9 9
中，得y=− ．根据10− =5.5>5，判断作答即可．
2 2
（3）由题意知，当抛物线经过点M时，k最大．由EM=7，可知M(6,−10)，由B(4,−10)，可得
4+6
h= =5，此时抛物线解析式为y=(x−5) 2+k，将点B(4,−10)代入得k=−11，由题意知，当经过点
2
N时，k最小，同理可求得k=−14，进而可得k的取值范围．
( 3) 2 9
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a x− + ，
4 16
将(0,0)代入解析式，得a=−1，
( 3) 2 9
∴空中运动时对应抛物线的解析式为y=− x− + ，
4 16
( 3) 2 9
令y=−10，则−10=− x− + ，
4 16
5
解得x =− （舍去），x =4，
1 2 2
∴B的坐标为(4,−10)．
（2）解：当距点E水平距离为4米时，对应的横坐标为4−1=3．
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( 3) 2 9 9
将x=3代入y=− x− + 中，得y=− ．
4 16 2
9
∵10− =5.5>5，
2
∴该运动员此次跳水不会失误．
（3）解：由题意知，当抛物线经过点M时，k最大．
∵EM=7，
∴M(6,−10)．
∵B(4,−10)，
4+6
∴h= =5，
2
此时抛物线解析式为y=(x−5) 2+k，
将点B(4,−10)代入得k=−11，
由题意知，当经过点N时，k最小．
同理可求得k=−14，
∴−14≤k≤−11．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识
的熟练掌握与灵活运用．
【题型7 最大利润问题】
【例7】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，
据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统
计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的
基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共
100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次增加x个，第二次冰墩墩售完后的利润为y元．
(1)用含x的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润y；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
1 40
【答案】(1)y=− x2+ x+1500
3 3
(2)购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润
最大，最大利润是1802元
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x
【分析】（1）由题意第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少 元，根据利润=一个
3
利润×数量，即可求得第二次冰墩墩售完后的的利润y；
（2）由题意知，第二次购买雪容融的数量为100−(50+x)=(50−x)个，根据两种玩偶销售利润的和得关
于x的函数式，然后求最大值即可．
x
【详解】（1）由题意，第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少 元，则第二次冰墩
3
( x)
墩售完后的的利润y= 30− (50+x)；
3
1 40
整理得：y=− x2+ x+1500．
3 3
（2）第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，第二次购买雪容融的数量为100−(50+x)=(50−x)个，
∴第二次售卖两种玩偶的销售利润
1 40 1 25
w= y+5(50−x)=− x2+ x+1500+250−5x=− x2+ x+1750,
3 3 3 3
1( 15) 2 625
∴w=− x− + +1750,
3 2 12
由题意知，x为正整数，所以当x=12或13时，w最大，最大值为1802；
当x=12时，50+x=62，50-x=38；当x=13时，50+x=63，50-x=37；
即购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润
最大，最大利润是1802元．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意
是解题的关键．
【变式7-1】（2023·湖北咸宁·统考模拟预测）“樱花红陌上，邂逅在咸安”，为迎接我区首届樱花文化旅
游节，某工厂接到一批纪念品生产订单，要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设
第x天（0288时，即可获得奖励，当0288，即有：W =−20x+520>288，解得：10≤x<11.6，去除第10天重复计算的奖励，问题得解．
【详解】（1）解：结合图象，分段计算，
当10≤x≤15时，P=40，
当0288时，即可获得奖励，
当0288时，有2288，
即有：W =−20x+520>288，
解得：10≤x<11.6，
即此时可以获得奖励为：20×2=40（元），
∵第10天重复计算，
∴总计获得的奖励为：160+40−20=180（元）．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一
次函数解析式等知识，明确题意，正确得出函数关系，是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023·湖北孝感·统考三模）2022年2月20日，北京冬奥会顺利闭幕，冬奥会带来了冰雪消
费热．最美志愿者陈老师决定购进“冰墩墩”和“雪容融”两种纪念品进行销售，已知每件“冰墩墩”比
每件“雪容融”的进价高30元，用1500元购进“冰墩墩”的数量和用600元购进“雪容融”的数量相同．
经市场调查，整理出“冰墩墩”的售价x（元/件）与销量y（件）的关系如表：
售价x
50≤x≤60 600)，△PAQ的面积为S(cm2 )．
(1)当点P与点C重合时，t=________s；
(2)求S与t之间的函数关系式；
(3)当CP=CQ时，直接写出t的值．
7
【答案】(1)
2
(2)S=¿
(3)2或4
【分析】（1）先计算出点P与点C重合时运动的路程，再根据运动速度即可求出运动时间；
（2）分情况讨论：当06，
20−x−(x−6)
∵ >0，
2
∴x<13，
∴642，
4
169
∴乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是
m2
．
4
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是根据题意，正确的列出二次函数表达式．
【变式9-3】（2023·福建·统考中考真题）空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一
个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方
米．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的
矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析．
【分析】（1）按题意设出AD，表示AB构成方程；
（2）根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．
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100−x
【详解】解：（1）设AD=x米，则AB= 米
2
x(100−x)
依题意得， ＝450
2
解得x=10，x=90
1 2
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得：
x(100−x) 1
S= ＝− (x−50) 2+1250，0＜x＜a
2 2
∵0＜a＜50
∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大
1
当x=a时，S =50a- a2
最大 2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
x(100+a−2x) a 2 a 2 a
S= ＝−[x−(25+ )] +(25+ ) ，a≤x＜50+
2 4 4 2
a 100
当a＜25+ ＜50时，即0＜a＜ 时，
4 3
a a 10000+200a+a2
则x=25+ 时，S =（25+ ）2= ，
4 最大 4 16
a 100
当25+ ≤a，即 ≤a＜50时，S随x的增大而减小
4 3
a(100+a−2a) 1
∴x=a时，S最大= =50a− a2 ，
2 2
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100 10000+200a+a2 1 (3a−100) 2
综合①②，当0＜a＜ 时， -（50a− a2 ）= ＞0
3 16 2 16
10000+200a+a2 1
＞50a− a2 ，
16 2
10000+200a+a2
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为 平方米
16
100
当 ≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
3
100 a 10000+200a+a2
∴当0＜a＜ 时，围成长和宽均为（25+ ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为 平
3 4 16
方米；
100 a 1
当 ≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50- ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（50a− a2 ）平方
3 2 2
米．
【点睛】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解题的关键是注意分类讨
论变量大小关系．
【题型10 现实生活问题】
【例10】（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，
10
其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y=
x
的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当
甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2米．
(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于
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OP 1
45°，且由于实际场地限制， ≥ ，请直接写出OD长度的取值范围．
OD 2
1
【答案】(1)y=− (x−5) 2+2
2
16
(2) 米
3
(3)7≤OD≤12
【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的
顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2
米．据此可求出解析式；
（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；
（3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可．
【详解】（1）解：依题意，B点到地面的距离为2米，
10
设B点坐标为(x，2)，代入 y= ，
x
解得x=5，
∵C点距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为√2 米，
∴C的坐标 (√2+5，1)，
由题意得：B(5，2)，
故设滑道BCD所在抛物线的解析式为 y=a(x−5) 2+2，
将C的坐标(√2+5，1)代入，得 a(√2+5−5) 2+2=1，
1
解得：a=− ，
2
1
则 y=− (x−5) 2+2；
2
1
（2）令y=0，− (x−5) 2+2=0，
2
解得：x =7,x =3 (不合题意，舍去)，
1 2
10
又将 y=6 代入 y= ，
x
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5
解得 x= ，
3
5 16
甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离为 7− = (米)．
3 3
（3）根据上面所得B (5，2)，D (7，0)时，此时∠BDO=45°，
则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7，
OP 1
又∵ ≥ ，
OD 2
∴OD≤2OP=12，
∴7≤OD≤12．
∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二
次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
【变式10-1】（2010·甘肃兰州·中考真题）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小
明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距
较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.
【答案】0.5
【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．
【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
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由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)
设函数解析式为y=ax2+bx+c
把A. B. C三点分别代入得出c=2.5
同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1
解得a=2，b=−4，c=2.5.
∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.
∵2>0
∴当x=1时,y =0.5米．
min
【变式10-2】（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线
1
y= x2 的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．
100
(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多
少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米
的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
【答案】(1)22米
(2)14.75米
【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；
（2）以点D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物线
的解析式为y= 1 x2− 3 x+20，直线DE的解析式为y= 1 x，设M ( m, 1 m2− 3 m+20 )
100 10 5 100 10
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( 1 )
(0
