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专题 03 分式【八大题型】
【人教版】
【题型1 分式有、无意义的条件】..........................................................................................................................2
【题型2 分式的值为0的条件】..............................................................................................................................4
【题型3 分式的基本性质的运用】..........................................................................................................................5
【题型4 分式的运算】..............................................................................................................................................6
【题型5 分式的化简求值】......................................................................................................................................8
【题型6 分式运算的实际应用】............................................................................................................................10
【题型7 分式中的规律探究】................................................................................................................................14
【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】...................................................................................................17
【知识点 分式】
1.分式的定义
A
一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式。
B
注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
2.分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A⋅C
=
B B⋅C
； （C≠0）。
3.分式的约分和通分
定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫
做分式的通分。
定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
4.分式的乘除
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a c a⋅c
⋅ =
①乘法法则：
b d b⋅d
。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
a c a d a⋅d
÷ = ⋅ =
②除法法则：
b d b c b⋅c
。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方： 。分式乘方要把分子.分母分别乘方。
④整数负指数幂： 。
5.分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减： ；
②异分母分式的加法： 。
注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
【题型1 分式有、无意义的条件】
1
【例1】（2023·吉林·统考中考真题）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
√x−2
A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2
【答案】B
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．
【详解】解：由题意可得x−2>0，
解得：x>2，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【变式1-1】（2023·湖北·统考中考真题）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
x−1 2x+1 2x−1 x+1
A． B． C． D．
2x+1 x+1 x−1 2x+1
【答案】B
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【分析】根据分式无意义分母为零即可判断．
x−1
【详解】A、当x＝−1时，分母2x＋1＝−1≠0，所以分式 有意义；故本选项不符合题意；
2x+1
2x+1
B、当x＝−1时，分母x＋1＝0，所以分式 无意义；故本选项符合题意；
x+1
2x−1
C、当x＝−1时，分母x-1=-2≠0，所以分式 有意义；故本选项不符合题意；
x−1
x+1
D、当x＝−1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式 有意义；故本选项不符合题意；
2x+1
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分
母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
⇔ √x+⇔5
【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
x
【答案】x≥−5且x≠0/x≠0且x≥−5
【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．
√x+5
【详解】∵式子 有意义，
x
∴x+5≥0且x≠0，
∴x≥−5且x≠0，
故答案为：x≥−5且x≠0．
【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件
是解题的关键．
1
【变式1-3】（2023·四川·统考中考真题）使式子 +√4−3x在实数范围内有意义的整数x有( )
√x+3
A．5个 B．3个 C．4个 D．2个
【答案】C
1
【详解】∵式子 +√4−3x在实数范围内有意义
√x+3
4
∴¿ 解得：−30且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0
【答案】D
【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出a的取值范围．
|a| 1
=
【详解】解：∵ ，
a−a2 a−1
|a| −a 1
= =
∴ ，
a−a2 −a(a−1) a−1
∴a<0，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出a的符号是解题关键．
【变式3-2】（2023·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的
是（ ）
2+x 2y 2y3 2y2
A． B． C． D．
x−y x2 3x2 (x−y) 2
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的
即是答案．
【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
2+3x 2+x
A、 ≠ ，错误；
3x−3 y x−y
6 y 2y
B、 ≠ ，错误；
9x2 x2
54 y3 2y3
C、 ≠ ，错误；
27x2 3x2
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
18 y2 2y2
D、 ＝ ，正确；
9(x−y) 2 (x−y) 2
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.
a2−2a+1
【变式3-3】（2023·安徽芜湖·统考二模）化简： ＝ ．
1−a2
1−a
【答案】
1+a
【分析】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
(1−a) 2
【详解】解：原式=
(1+a)(1−a)
1−a
= ，
1+a
1−a
故答案为： ．
1+a
【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解
因式．
【题型4 分式的运算】
4
【例4】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简 +x−2的结果是（ ）
x+2
x2 x x2
A．1 B． C． D．
x2−4 x+2 x+2
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
4
【详解】解： +x−2
x+2
4+(x+2)(x−2)
=
x+2
x2
= ．
x+2
故选D．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
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a+1 1
【变式4-1】（2023·贵州·统考中考真题）化简 − 结果正确的是（ ）
a a
1 1
A．1 B．a C． D．−
a a
【答案】A
【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．
a+1 1 a+1−1
【详解】解： − = =1，故A正确．
a a a
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．
( x+2 x−1 ) x−4
【变式4-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简： − ÷ = ．
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
1 1
【答案】 /
x−2 −2+x
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
( x+2 x−1 ) x−4
【详解】解： − ÷
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
(x+2)(x−2)−x(x−1) x(x−2)
= ×
x(x−2) 2 x−4
x2−4−x2+x x(x−2)
= ×
x(x−2) 2 x−4
1
= ；
x−2
1
故答案为： ．
x−2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
x2−9 x
【变式4-3】（2023·湖北·统考中考真题）关于式子 ÷ ，下列说法正确（ ）
x2+6x+9 x+3
A．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2
C．当00，故该说法不正确，不符合题意．
x
故选：A
【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对
分式进行化简．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除
法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘．
【题型5 分式的化简求值】
1 2 ab−a
【例5】（2023·福建·统考中考真题）已知 + =1，且a≠−b，则 的值为 ．
a b a+b
【答案】1
1 2 ab−a
【分析】根据 + =1可得b+2a=ab，即ab−a=b+a，然后将ab−a=b+a整体代入 计算即可．
a b a+b
1 2
【详解】解：∵ + =1
a b
b+2a
∴ =1，
ab
∴b+2a=ab，即ab−a=b+a．
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ab−a a+b
∴ = =1．
a+b a+b
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到ab−a=b+a是解答本题的关键．
a2−6a+9 ( 5 )
【变式5-1】（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值： ÷ a+2+ ，其中a是使
a−2 2−a
a−1
不等式 ≤1成立的正整数．
2
a−3 1
【答案】 ；−
a+3 2
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计
算即可．
a2−6a+9 ( 5 )
【详解】解： ÷ a+2+
a−2 2−a
(a−3) 2 [(2+a)(2−a) 5 ]
= ÷ +
a−2 2−a 2−a
(a−3) 2 4−a2+5
= ÷
a−2 2−a
(a−3) 2 2−a
= ⋅
a−2 (3+a)(3−a)
a−3
= ，
a+3
a−1
解不等式 ≤1得：a≤3，
2
∵a为正整数，
∴a=1，2，3，
∵要使分式有意义a−2≠0，
∴a≠2，
5 5
∵当a=3时，a+2+ =3+2+ =0，
2−a 2−3
∴a≠3，
1−3 1
∴把a=1代入得：原式= =− ．
1+3 2
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合
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运算法则，准确计算．
x−y ( 1 1 ) x
【变式5-2】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知 =2，求 + ÷ 的值．
y x−y x+ y (x−y) 2
【答案】1
x−y
【分析】由 =2可知x=3 y，然后对分式进行化简，进而问题可求解．
y
x−y
【详解】解：由 =2可知x=3 y，
y
( 1 1 ) x
∴ + ÷
x−y x+ y (x−y) 2
[ x+ y x−y ] x
= + ÷
(x−y)(x+ y) (x−y)(x+ y) (x−y) 2
2x (x−y) 2
= ×
(x+ y)(x−y) x
2(x−y)
=
x+ y
2(3 y−y)
=
3 y+ y
=1．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
( 2ab−b2 ) a−b
【变式5-3】（2023·四川成都·统考中考真题）若3ab−3b2−2=0，则代数式 1− ÷ ，的
a2 a2b
值为 ．
2
【答案】
3
【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得ab−b2，再将3ab−3b2−2=0变形，即可得到答案．
( 2ab−b2 ) a−b
【详解】解： 1− ÷ ，
a2 a2b
(a2−2ab+b2
)
a2b
= × ，
a2 a−b
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(a−b) 2 a2b
= × ，
a2 a−b
=ab−b2，
∵3ab−3b2−2=0，
∴3ab−3b2=2，
2
∴ab−b2=
，
3
2
故原式的值为 ，
3
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．
【题型6 分式运算的实际应用】
a
【例6】（2023·河北廊坊·统考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是 (b>a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了．用数学关系式可以表示为______．
(2)请证明（1）中的数学关系式．
m+a a
【答案】(1) >
m+b b
(2)见解析
m+a
【分析】（1）先表示出入m(m>0)克糖后，糖水的浓度为： ，根据糖水变甜，浓度变大，得出
m+b
m+a a
> ；
m+b b
（2）理由作差法进行证明即可．
m+a
【详解】（1）解：再往杯中加入m(m>0)克糖后，糖水的浓度为： ，
m+b
∵糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，
m+a a
∴ > ；
m+b b
m+a a
故答案为： > ．
m+b b
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m+a a b(m+a) a(m+b)
（2）证明： − = −
m+b b b(m+b) b(m+b)
mb+ab−ma−ab
=
b(m+b)
mb−ma
=
b(m+b)
m(b−a)
= ，
b(m+b)
∵b>a>0，m>0，
∴m(b−a)>0，b(m+b)>0，
m(b−a)
∴ >0，
b(m+b)
m+a a
∴ > ．
m+b b
【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计
算．
【变式6-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是
边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种
植基地是边长为(a−1)米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的
单位面积产量更高？
【答案】“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高，见解析
【分析】先表示出两种茉莉花的单位面积产量，利用求差法比较大小即可．
．
300
【详解】根据题意，“飘香1号”茉莉花单位面积产量为
kg/m2
，“飘香2号”茉莉花单位面积产
a2−12
300
kg/m2
量为 ．
(a−1) 2
300 300 300(a−1)−300(a+1) −600
∵ − = = <0，
a2−12 (a−1) 2 (a−1) 2(a+1) (a−1) 2(a+1)
∴“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【变式6-2】（2023·江苏·统考中考真题）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加
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300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，
现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油
价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．
(1)用含 x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，
2xy x+ y
【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为 元/升；小张两次加油的平均单价为 元/升
x+ y 2
(2)小王的加油方式更省钱，见详解；
【分析】（1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可；
（2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于
0则费用一样；
【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为：
300+300 2xy
=
300 300 x+ y元/升；
+
x y
设小张油箱加满能加a升．
ax+ay x+ y
小张两次加油的平均单价为 = 元/升；
a+a 2
2xy x+ y 4xy−(x+ y) 2 −(x−y) 2
（2）解： − = = ，
x+ y 2 2(x+ y) 2(x+ y)
∵2(x+ y)>0，−(x−y) 2≤0，
−(x−y) 2 2xy x+ y
∴当x= y时， =0，即 = ，
2(x+ y) x+ y 2
两种加油方式的平均单价相同；
当x≠ y时，
−(x−y) 2 2xy x+ y
即 <0，即 < ，
2(x+ y) x+ y 2
小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用；作差法比较两个实数的大小：对于任意两个实数a，b，若a－b＞
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0则a＞b；若a－b=0则a=b；若a－b＜0则a＜b．
【变式6-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．
（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全
程所用的时间．
1
（2）若甲从A地出发，先以 V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A
2
地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地?
（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为(100−ax)
100−ax
千米，乙距离终点为(100−bx)千米．分式 对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满
100−bx
足的条件．
【答案】（1）4.5小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是a=b．
【分析】（1）根据“时间=路程÷速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；
100−ax
（3）设 =k，从而可得100−100k+(kb−a)x=0，再根据无关型问题求解即可得．
100−bx
100 100
【详解】（1）由题意得：t= ÷20+ ÷25，
2 2
=2.5+2，
=4.5（小时），
答：走完全程所用的时间为4.5小时；
100 100
2 2 100 25 125
（2）甲走完全程所用的时间为 + = + = ，
1 2V V V V
V
2
100
乙走完全程所用的时间为 ，
V
100 125
因为 < ，
V V
所以乙先到；
100−ax
（3）设 =k，则100−ax=k(100−bx)，
100−bx
整理得：100−100k+(kb−a)x=0，
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100−ax
∵分式 对一切有意义的x值都有相同的值，
100−bx
∴k的值与x的取值无关，
∴kb−a=0，即a=kb，
∴100−100k=0，
解得k=1，
∴a=b，
故a，b应满足的条件是a=b．
【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．
【题型7 分式中的规律探究】
【例7】（2023·安徽·中考真题）观察以下等式：
1 0 1 0
第1个等式： + + × =1，
1 2 1 2
1 1 1 1
第2个等式： + + × =1，
2 3 2 3
1 2 1 2
第3个等式： + + × =1，
3 4 3 4
1 3 1 3
第4个等式： + + × =1，
4 5 4 5
1 4 1 4
第5个等式： + + × =1，
5 6 5 6
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．
1 5 1 5 1 n−1 1 n−1
【答案】（1） + + × =1；（2） + + ⋅ =1，证明见解析．
6 7 6 7 n n+1 n n+1
【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；
（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证．
1 5 1 5
【详解】（1）观察可知第6个等式为： + + × =1，
6 7 6 7
1 5 1 5
故答案为： + + × =1；
6 7 6 7
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1 n−1 1 n−1
（2）猜想： + + × =1，
n n+1 n n+1
1 n−1 1 n−1 n+1+n(n−1)+n−1 n(n+1)
证明：左边= + + × = = =1，
n n+1 n n+1 n(n+1) n(n+1)
右边=1，
∴左边=右边，
∴原等式成立，
1 n−1 1 n−1
∴第n个等式为： + + × =1，
n n+1 n n+1
1 n−1 1 n−1
故答案为 + + × =1．
n n+1 n n+1
【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键．
2 3 10 15 26
【变式7-1】（2023·山东·中考真题）观察下列各式：a = ,a = ,a = ,a = ,a = ,⋯， 根据
1 3 2 5 3 7 4 9 5 11
其中的规律可得a = （用含n的式子表示）．
n
n2+(−1) n+1
【答案】
2n+1
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依
次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子
是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
n2+(−1) n+1
【详解】解：由分析得a = ，
n 2n+1
n2+(−1) n+1
故答案为：a =
n 2n+1
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，
并进行推导得出答案．
x 2 2
【变式7-2】（2023·湖北恩施·统考一模）对于正数x，规定f (x)= ，例如：f (2)= = ，
1+x 1+2 3
1 1
3 3 (1) 2 1 (1) 3 1
f (3)= = ，f = = ，f = = …利用以上的规律计算：
1+3 4 2 1 3 3 1 4
1+ 1+
2 3
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( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1)
f +f +f +⋯+f +f (1)+f (2)+⋯+f (2021)+f (2022)+f (2023)= ．
2023 2022 2021 2
4045
【答案】
2
1
x (1) x x
【分析】根据f (x)= ，得到f (x)+f = + =1，即可得到答案；
1+x x 1+x 1
1+
x
x
【详解】解：∵f (x)= ，
1+x
1
(1) x x 1 1
∴f (x)+f = + =1，f (1)= = ，
x 1+x 1 1+1 2
1+
x
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1)
∴f +f +f +⋯+f +f (1)+f (2)+⋯+f (2021)
2023 2022 2021 2
1 4045
+f (2022)+f (2023)= +2022= ，
2 2
4045
故答案为： ；
2
1
(1) x x
【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到f (x)+f = + =1．
x 1+x 1
1+
x
【变式7-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：
12+22+32 22+32+52
① =2， ② =2，
12+22+2 22+32+6
32+42+72 42+52+92
③ =2， ④ =2，
32+42+12 42+52+20
…… ……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.
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62+72+132
【答案】(1) =2
62+72+42
n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
(2) =2；证明见解析
n2+(n+1) 2+n(n+1)
【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是n2，
(n+1) 2，分子第三项是(2n+1) 2，分母第三项是n(n+1)，根据此规律写出第6个等式即可；
（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可．
62+72+132
【详解】（1）解：第6个等式为 =2；
62+72+42
62+72+132
故答案为： =2．
62+72+42
n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
（2）解：第n个等式为 =2，
n2+(n+1) 2+n(n+1)
n2+n2+2n+1+4n2+4n+1
左边=
n2+n2+2n+1+n2+n
6n2+6n+2
=
3n2+3n+1
2(3n2+3n+1)
=
3n2+3n+1
=2=右边．
n2+(n+1) 2+(2n+1) 2
故答案为： =2．
n2+(n+1) 2+n(n+1)
【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用
一个统一的式子表示出分式的规律．
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【题型8 与分式运算有关的新定义问题探究】
A
JX
【例8】（2023·浙江杭州·模拟预测）规定一种新的运算“❑ ”，其中A和B是关于x的多项式，
x→+∞ B
A A
当A的次数小于B的次数时．❑ JX =0；当A的次数等于B的次数时，❑ JX 的值为A、B的最高
x→+∞ B x→+∞ B
A 2
次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，❑ JX 不存在，例如：❑ JX =0，
x→+∞ B x→+∞ x−1
❑ JX x2+2 = 1 ，若 A = ( 2− 3 ) ÷ 4x2−10x ，则❑ JX A 的值为 ．
x→+∞ 2x2+3x−1 2 B x−1 x2−1 x→+∞ B
1
【答案】
2
【分析】根据已知条件，化简分式即可求出答案．
A 3 4x2−10x
【详解】解：∵ =(2− )÷
B x−1 x2−1
2x−2−3 2x(2x−5)
=( )÷
x−1 (x+1)(x−1)
2x−5 (x+1)(x−1) x+1
=( )× =
x−1 2x(2x−5) 2x
x+1
= ，
2x
∵A的次数等于B的次数，
A 1
∴ JX = ，
B 2
x→+∞
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．
|a b| a b
【变式8-1】（2023·河北·统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算： = − ，按照此规定，
c d d c
| x −1|
化简的结果为（ ）
x+1 x+1
x+1 x+1
A．x2 B． C． D．1
x x−1
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【答案】D
【分析】根据题目规定的运算法则来进行计算，然后化简即可．
|a b| a b
【详解】解：∵ = − ,
c d d c
| x −1| x −1 x+1
∴ = − = =1,
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
故选：D．
【点睛】本题考查了新定义运算，充分理解题目规定的运算法则来进行计算是解此题的关键．
【变式8-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互
为“N⊕分式”．
3 3x
例如.分式 与 互为“三⊕分式”．
x+1 1+x
12+x
(1)分式 与_____互为“六⊕分式”；
3+2x
a 2b
(2)若分式 与 互为“一⊕分式”（其中a，b为正数），求ab的值；
a+4b2 a2+2b
5x 5x
(3)若正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“五⊕分式”．
x+ y2 x2+ y
6+11x
【答案】(1)
3+2x
1
(2)ab=
2
(3)见解析
12+x
【分析】（1）根据新定义，用6− 即可求解；
3+2x
a 2b
（2）根据定义可得 + =1，根据分式的加减进行计算，即可求解；
a+4b2 a2+2b
（3）根据题意首先利用倒数关系，将x、y进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判
断．
12+x 18+12x−12−x 6+11x
【详解】（1）解：依题意，6− = = ，
3+2x 3+2x 3+2x
12+x 6+11x
∴分式 与 互为“六⊕分式”，
3+2x 3+2x
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6+11x
故答案为： ；
3+2x
a 2b
（2）解：∵分式 与 互为“一⊕分式”
a+4b2 a2+2b
a 2b
∴
+ =1
a+4b2 a2+2b
a(a2+2b)+2b(a+4b2)
即 =1
(a+4b2)(a2+2b)
∴a3+2ab+2ab+8b3=a3+2ab+4a2b2+8b3，
即4a2b2=2ab，
∵a，b为正数
1
∴ab=
2
（3）∵正数x，y互为倒数，
∴xy=1
5
5x 5 y 5x x 5x3 5 5(x3+1)
∴
+ = + = + = =5
x+ y2 x2+ y x+ 1 x2+ 1 x3+1 x3+1 x3+1
x2 x
5x 5x
∴分式 与 互为“五⊕分式
x+ y2 x2+ y
【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键．
【变式8-3】（2023·四川·统考中考真题）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的
x+1 x−1+2 x−1 2 2
和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： = = + =1+ ，
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
2x−3 2x+2−5 2x+2 −5 −5 x+1 2x−3
= = + =2+ ，则 和 都是“和谐分式”．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x−1 x+1
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：_____________（填序号）；
x+1 2+x x+2 y2+1
① ② ③ ④
x 2 x+1 y2
a2−2a+3 a2−2a+3
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： =
a−1 a−1
_____________+________________；
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3x+6 x−1 x2−1
(3)应用：先化简 − ÷ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
x+1 x x2+2x
【答案】(1)①③④
2
(2)a−1，
a−1
(3)x=−3时，当该式的值为整数．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐个进行判断即可；
（2）将分子改写为a2−2a+1+2，根据完全平方公式和分式的运算法则，即可化为“和谐分式”；
（3）先根据分式混合运算法则，以及题目所给“和谐分式”，将原分式化简，再根据x和该分式的值为整
数，得出符合条件的x的值即可．
x+1 x 1 1
【详解】（1）解：① = + =1+ ，故①是“和谐分式”，符合题意；
x x x x
2+x 2 x x x
② = + =1+ ，∵ 不是分式，∴②不是“和谐分式”，不符合题意；
2 2 2 2 2
x+2 x+1+1 x+1 1 1
③ = = + =1+ ，故③是“和谐分式”，符合题意；
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
y2+1 y2 1 1
④ = + =1+ ，故④是“和谐分式”，符合题意；
y2 y2 y2 y2
故答案为：①③④；
a2−2a+3 a2−2a+1+2 (a−1) 2+2 (a−1) 2 2 2
（2）解： = = = + =a−1+ ，
a−1 a−1 a−1 a−1 a−1 a−1
2
故答案为：a−1， ；
a−1
3x+6 x−1 x2−1
（3）解： − ÷
x+1 x x2+2x
3(x+1)+3 x−1 (x+1)(x−1)
= − ÷
x+1 x x(x+2)
3(x+1) 3 x−1 x(x+2)
= + − ×
x+1 x+1 x (x+1)(x−1)
3 x+2
=3+ −
x+1 x+1
【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1−x
=3+ ，
x+1
x+1−2
=3−
x+1
x+1 2
=3− +
x+1 x+1
2
=3−1+
x+1
2
=2+ ，
x+1
∵原式值为整数，x为整数，
∴x+1能被2整数，且x+1为整数，
∴x+1=1,−1,2,−2，
解得：x=0,−2,1,−3，
∵x+1≠0,x−1≠0,x≠0,x+2≠0，
∴x≠−1,1,0,−2，
∴x=−3，
∴x=−3时，当该式的值为整数．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则，
以及理解题目所给“和谐分式”的定义．
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