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专题 13 一次函数的应用【十大题型】
【题型1 行程问题】..................................................................................................................................................1
【题型2 工程问题】..................................................................................................................................................7
【题型3 最大利润问题】........................................................................................................................................12
【题型4 分配问题】................................................................................................................................................17
【题型5 分段计费问题】........................................................................................................................................22
【题型6 调运问题】................................................................................................................................................28
【题型7 计时问题】................................................................................................................................................32
【题型8 几何问题】................................................................................................................................................38
【题型9 体积问题】................................................................................................................................................46
【题型10 现实生活问题】........................................................................................................................................50
【知识点 一次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1 行程问题】
【例1】（2023·江苏·统考中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到
达乙地卸装货物用时30min，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速
度为70km/h．两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图像如图所示．
(1)请解释图中点A的实际意义；
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(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
(2)y=−70x+330
(3)2.8小时
【分析】（1）根据点A的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出B(3.5,85)，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象，可得点A的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
1
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min，则点B的横坐标为3+ =3.5，
2
1 1
此时慢车继续行驶 小时，则快车与慢车的距离为120−70× =120−35=85，
2 2
∴B(3.5,85)
设直线AB的表达式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
∴直线AB的表达式为y=−70x+330
（3）解：设快车去乙地的速度为a千米/小时，则3(a−70)=120，
解得：a=110
∴甲乙两地的距离为110×3=330千米，
设快车返回的速度为v千米/小时，根据题意，
1 ( 1)
×(v+70)=330− 3+ ×70
2 2
解得：v=100，
1
330− ×100
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需 2 （小时）
=2.8
100
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．
【变式1-1】（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队
官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进
行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研
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学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用
时间t（h）的函数关系如图2所示．
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1)s=40t+20，a=2
1
(2) h
3
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将s=100，代入解析式求出a的值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两
段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=kt+b，由图象可知，直线过点
(0,20)，(1,60)，
∴¿，解得：¿，
∴s=40t+20；
当s=100时：100=40t+20，解得：t=2，
∴a=2；
（2）由图象可知，军车的速度为：60÷1=60km/h，
4
∴军车到达仓库所用时间为：80÷60= h，
3
1
从仓库到达基地所用时间为：(100−80)÷60= h，
3
4 1 1
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2− − = h．
3 3 3
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题
的关键．
【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑
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电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽
略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程
y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【答案】(1)300，800
(2)y=800x−2400（3≤x≤6）
6 18
(3) 分钟， 分钟，6分钟
11 5
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进
而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距
600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
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（2）解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵y=kx+b过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴¿，
解得：¿，
∴直线FG的解析式为：y=800x−2400，
自变量x的取值范围是3≤x≤6；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
6
解得：t= ；
11
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
18
解得：t= 或6，
5
6 18
答：出发 分钟或 分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
11 5
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路
匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止，已知P、Q两地相距
200km，设乙行驶的时间为t(h)，甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如
图所示．请解决以下问题：
(1)由图象可知，甲比乙晚出发______h．图中线段BC所在直线的函数解折式为 ．
(2)设甲的速度为v km/h，求出v 的值．
1 1
(3)根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）．
【答案】(1)1；y=15t−40
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(2)v =40
1
(3)见解析
【分析】（1）观察图象可知乙在点A时甲才出发得出甲比乙迟出发1h，然后设线段BC所在直线的函数
解析式为y=kt+b代入B、C的坐标求解析式即可；
（2）设乙的速度为v km/h，根据时间×速度=距离，列出方程组求解即可；
2
（3）根据（2）求得的速度，算出甲没出发前甲乙的距离、乙到达终点时甲乙相距最远的时间和距离、乙
最后到达终点使用的时间，把这些数据补全到图中即可.
【详解】（1）观察图象可知乙在点A时甲才出发，
∴甲比乙迟出发1h；
设线段BC所在直线的函数解析式为y=kt+b
8
代入点B( ,0),C(5,35)
3
得：¿
解得：k=15,b=−40
∴线段BC所在直线的函数解析式为：y=15t−40；
（2）设乙的速度为v km/h，
2
由题意得：¿，
解得¿，
∴v =40 (km/h)；
1
（3）根据（2）可知甲的速度为40km/h，乙的速度为25km/h
∴甲没出发前，乙开了25km
∴总共用时为：200÷25=8(h)
当甲到达终点时甲乙两人相距最远，200÷40+1=6(h)
此时甲乙两人相距最远的距离为：200−25×6=50(km)
将上面的数据标记到图上，如下图所示：
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【点睛】本题主要考查一次函数的应用，找出题中的等量关系是关键.
【题型2 工程问题】
【例2】（2023·四川成都·一模）哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从
伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的
载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：
车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆）
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)两种货车各有多少辆？
(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于
120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小
货车前往鹤岗地．
【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方
程组即可求解；
（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关
系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确
定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得
16x+10（20-x）=248，
解得x=8，
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20-x=20-8=12．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-
a），运往鹤岗地的小货车是（3+a），
w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]
=70a+10850，
则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）；
根据题意得：16a+10（9-a）≥120，
解得a≥5，
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8 且为整数．
∴a=5，6，7，8，共有4种方案，
∵w=70a+10850，
k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，W最小．
答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆
小货车前往鹤岗地．
【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的
变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动
场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
工程
每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元）
队
甲 x+300 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的
施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
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【答案】(1)x的值为600
(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等列出分式方程
解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再
由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于1500m2列出不等式即可得到答案．
1800 1200
【详解】（1）解：由题意列方程，得 = ．
x+300 x
方程两边乘x(x+300)，得1800x=1200x(x+300)．
解得x=600．
检验：当x=600时，x(x+300)≠0．
所以，原分式方程的解为x=600．
答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元．
则w=3600a+2200(22−a)=1400a+48400．
∵ (600+300)a+600(22−a)≥15000，
∴ a≥6．
∵1400>0，
∴ w随a的增大而增大．
∴当a=6时，w取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点
是解题的关键．
【变式2-2】（2023·吉林·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长
度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘
的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
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(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】(1)30
(2)y=3x+120(300，
∴当a=30时，w最小，最小为15×30+5400=5850（元），
( 1 )
当400，则w随m的增大而增大，
∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根
据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
【变式3-2】（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，
绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆
干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
3
(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，该特产
2
店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店
获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
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(2)有3种进货方案：豆干购进78件，则豆笋购进122件；豆干购进79件，则豆笋购进121件；豆干购进80
件，则豆笋购进120件
(3)购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进(200−n)件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取
整数，即可求得进货方案；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为W =−5n+4000，根据一次函数的
性质即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则¿，解得¿，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进(200−n)件，
¿ ，
解得78≤n≤80，
∴n=78时，200−n=122，即豆干购进78件，则豆笋购进122件，
n=79时，200−n=121，即豆干购进79件，则豆笋购进121件，
n=80时，200−n=120，即豆干购进80件，则豆笋购进120件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则W =(55−40)n+(80−60)(200−n)
=−5n+4000（78≤n≤80且n为整数），
∵−5<0，
当78≤n≤80时，W随n的增大而减小，
∴当n=78时，W取最大值，为W =−5×78+4000=3610．
此时，购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函
数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
【变式3-3】（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超
市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
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乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要
470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不
大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售
完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范
围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，
利润
乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率= ）不低于16%，求m的最大值．
本金
【答案】(1)¿
(2)y=¿
(3)1.2
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，根据题意分
两种情况：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分别表示出总利润即可；
利润
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（利润率= ）不低于16%列出不等式求
本金
解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：¿，
解得¿；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，
∴当30≤x≤60时，
y=(20−14)x+(23−19)(100−x)=2x+400；
当600，∴w随m的增大而增大，
∴当m=18时，w =18×70+1200=2460（元）．
最小
此时B种绿化树的数量为24−18=6（棵）．
答：购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元．
【点睛】本题考查了二元一次的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，熟练找出等量
关系和不等关系是解题的关键．
【变式4-3】（2023·黑龙江鸡西·统考二模）针对新冠疫情作积极防控，某公司计划生产A，B两种消毒产
品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料4千克；生产一箱
B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料
3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
(1)求甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元；
(2)现公司用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且不低于8760元，求符合生产条件的生产方案
有哪几种；
(3)在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，生产一箱B产品需加工费50元，则应选择哪种
生产方案，使生产这80箱产品的成本最低，最低成本是多少元（成本=材料费+加工费）？
【答案】(1)甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克
(2)符合生产条件的生产方案有3种．方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；方案二：生产A产品41箱，
B产品39箱；方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
(3)应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成本为
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12340元
【分析】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克．根据“购买甲、乙两种材料各
1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．”列方程组，解方程组即
可得到答案；
（2）求出生产1箱A产品所需材料费和生产1箱B产品所需材料费，设生产A产品m箱，则生产B产品
(80−m)箱．依题意得到关于m的不等式组，求出不等式组的整数解，写出方案即可；
（3）设生产这80箱产品的成本为w元，根据题意得到w的一次函数表达式，根据一次函数的性质结合
（2）中的方案得到答案．
【详解】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克．
依题意，得¿
解得¿，
答：甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克．
（2）生产1箱A产品所需材料费为20×3+40=100（元），
生产1箱B产品所需材料费为20×2+40×2=120（元）．
设生产A产品m箱，则生产B产品(80−m)箱．
依题意，得¿
解得40≤m≤42．
又m为整数，
∴m可以取40，41，42．
∴符合生产条件的生产方案有3种．
方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；
方案二：生产A产品41箱，B产品39箱；
方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
（3）设生产这80箱产品的成本为w元．
根据题意，得w=(100+40)m+(120+50)(80−m)=−30m+13600．
∵−30<0，
∴w随m的增大而减小．
∴当m=42时，w取得最小值，最小值为−30×42+13600=12340（元）．
答：应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成本
为12340元．
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【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，读懂题
意，正确列出一元一次不等式组和一次函数是解题的关键．
【题型5 分段计费问题】
【例5】（2023·吉林白山·校联考一模）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公
司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函
数图象如图所示．
(1)月用电量为50度时，应交电费______元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月用电量为150度时，应交电费______元．
【答案】(1)30
(2)当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
(3)130
【分析】（1）通过观察可知，月用电量小于或等于100度时，每度收费0.6元，据此计算即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）把x=150代入解析式即可得到答案．
60
【详解】（1）解：月用电量为50度时，应交电费：50× =30（元），
100
故答案为：30；
（2）解：当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵点（100，60），（200，200）在函数y=kx+b的图象上，
∴¿，
解得¿，
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即当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
（3）解：当x=150时，y=1.4×150-80=130，
即月用电量为150度时，应交电费130元．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解
析式的步骤是解题关键．
【变式5-1】（2023·陕西西安·校考二模）某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过3km时，计价器保持
在8.5元；当行驶里程超过3km时，计价器开始变化，行驶里程x（km）与车费y（元）之间的关系如图所
示．
(1)当行驶里程超过3km时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为28.5元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】(1)y=2x+2.5(x>3)
(2)13km
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把y=28.5代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由图象得出租车的起步价是8.5元．
当x>3时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由函数图象过点(3,8.5),(6,14.5)，
得¿解得¿
故当行驶里程超过3km时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2.5(x>3)．
（2）解：∵28.5>8.5，
∴令y=28.5，即28.5=2x+2.5，解得x=13．
答：这位乘客乘车的里程是13km．
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【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
【变式5-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓
励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元．
表1 某地居民用电计费方式
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量180度（含180 月用电量180度至300度（含300度） 月用电量300度以上的部分，
度），以下每度价格0.55元 的部分，每度比第一档提价a元 每度比第一档提价0.30元
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户
家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2 20户家庭7月份用电量统计表
12
用电量（度） 160 200 260 320
0
户数 2 3 6 7 2
【答案】(1)a的值为0.1
(2)y=¿
(3)中位数和众数分别是112元、151元
【分析】（1）根据梯度计费方式计算7月份电费可得到和a相关的方程，解方程即可；
（2）根据梯度计费方式分别列出三个档位电费的等量关系即可；
（3）先根据中位数计算方法算出中位数，然后根据数值代入对应函数关系式计算即可．
【详解】（1）由题意得，180×0.55+(280−180)×(0.55+a)=164，解得a=0.1，
即a的值为0.1；
（2）当0≤x≤180，y=0.55x；
当180300 y=180×0.55+(300−180)×(0.55+0.1)+(x−300)×(0.55+0.3)=0.85x−78，
综上，y与x的函数关系式为y=¿；
（3）根据表2可知，将20户家庭用电量由小到大排序，最中间两个数均为200度，
所以这20户家庭用电量的中位数为200度，
应缴纳电费为0.65×200−18=112（元）；
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20户家庭用电量的众数应为260度，所以应缴纳电费0.65×260−18=151（元）．
【点睛】本题主要考查一次函数实际应用，根据表格计费方式列出等量关系式解题的关键．
【变式5-3】（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价
格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户
每月的用水费y(元)与每户每月的用水量x(立方米)之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价
每立方米多0.96元；方案二如图2表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、
三级的用水价格之比为1：1.5：2(精确到0.01元)．
级数 水量基数(m3) 调整后的价格（元/m3）
第一级 0~15（含15） 2.61
第二级 15~25（含25） 3.92
第三级 25以上 n
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？
(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费b(用a
的代数式表示)；
(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明
理由．
【答案】(1)每立方米1.84元
(2)m=140，y=2.8x (x≥0)
(3)现行的：b=1.84a；方案一：b=2.8a；方案二：当0≤a≤15，b=2.61a；当1525时，b=5.22a−52.15
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(4)小明会赞同采用方案二，理由见解析
【分析】（1）用总价92元除以每月的用水量50立方米即可得出答案；
（2）根据方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元先得出现行的用水价，即可再求得m的值，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx，代入即可求得；
（3）分别根据每月的每立方米用水价格计算该月的水费b；
（4）根据小明家的平均月用水量估计每月的用水费哪一种更合算即可．
【详解】（1）92÷50=1.84，
故现行的用水价是每立方米1.84元；
（2）1.84+0.96=2.8，
m=2.8×50=140，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx (x≥0)，
则140=50k，
∴k=2.8，
∴y=2.8x(x≥0)；
（3）现行的：b=1.84a；
方案一：b=2.8a；
方案二：∵第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2，
∴n=2.61×2=5.22，
当0≤a≤15，b=2.61a；
当1525时，b=5.22(a−25)+15×2.61+10×3.92=5.22a−52.15；
（4）小明会赞同采用方案二，理由如下：
小明家的月平均用水量：(13×1+14×2+15×4+16×3)÷10=14.9 <15，
当0≤a≤15时，水价为2.61元，此时方案一的水价为2.8元，
所以他可能会赞同方案二．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出自变量与因变量的关系式．
【题型6 调运问题】
【例6】（2023·黑龙江·校联考一模）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需
一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖
掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资
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0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元．设从A调往甲地x台挖掘机，
A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．
(1)用含x的代数式填写下表：
甲地 乙地
A
x
省
B
省
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有几种调运方案？哪种调运方案的总耗资最少？
【答案】(1)27−x，28−x，x−3
(2)y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27）
(3)两种；从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台，从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台．
【分析】（1）根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及A、B两省挖掘机台数用未知数表示出分配方案；
（2）利用x就可以表示出A省，B省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，得到函数解析式；
（3）总耗资不超过16.2万元，即可得到关于x的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：从A调往甲地x台挖掘机，甲地需要27台，则从B省调（27−x）台到甲地；因为A
省共28台挖掘机，已经调往甲地x台挖掘机，则还剩（28−x）台调往乙地，乙地需要25台，已经从A
省调（28−x）台到乙地，B省共24台挖掘机，从B省调（27−x）台到甲地后还剩
24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地，
故答案为：27−x，28−x，x−3．
（2）解：由题意得：y＝0.4x＋0.3（28−x）＋0.5（27−x）＋0.2（x−3），
即：y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27），
故y与x之间的函数关系式为：y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27）．
（3）解：依题意得：−0.2x＋21.3≤16.2，
解得：x≥25.5，
又∵3≤x≤27，且x为整数，
∴x＝26或27，
∴要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：
方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B省往甲地调运1台，往乙地调运23台，
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0.4×26＋0.3×2＋0.5×1＋0.2×23＝16.1（万元）；
方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台，
0.4×27＋0.3×1＋0.2×24＝15.9（万元），
∵15.9＜16.1，
∴调运方案二的总耗资最少．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用及调运方案问题，根据已知表示出从B省调（27−x）台到甲地
后还剩24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地是解题关键．
【变式6-1】（2023·河南南阳·校联考三模）进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，
我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨
第一次 3 2 24
第二次 2 5 38
(1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资；
(2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数
w和m的关系式．
【答案】(1)甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
(2)w=−2m+60．
【分析】（1）根据3辆甲种货车与2辆乙种货车分别装满共运输24吨物资，2辆甲种货车与5辆乙种货车
分别装满共运输38吨物资，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种货车每次装满分别
能运输多少吨物资；
（2）甲种货车m辆，则乙种货车(10−m)辆，即可可以写出w与m之间的函数关系式．
【详解】（1）解：设甲种货车每次装满能运输x吨物资，乙种货车每次装满能运输y吨物资，
依题意得¿，
解得，¿，
答：甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
（2）解：甲种货车m辆，则乙种货车(10−m)辆，
w=4m+6(10−m)=−2m+60，
即w与m之间的函数关系式为w=−2m+60．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方
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程组和一次函数关系式．
【变式6-2】（2023·湖北武汉·统考二模）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，
乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂
运往A地的有x台设备（x为整数）．
A地 B地
甲
7 10
厂
乙
10 15
厂
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地
__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它
不变，且10，
∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小，
60−x≥0；70−x≥0；x−30≥0
∴30≤x≤60．
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∴当x=30时，y有最小值910．
∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元．
（3）解：y=(7+m)x+10(60−x)+10(70−x)+(15−2m)(x−30)
=(2−m)x+850+60m．
当m=2时，无论怎么安排，运费都是9万7千元；
当10，y随x的增加而增加，当x=30时，运费最低=910+30m（百元）；
当2
