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专题 13 一次函数的应用【十大题型】
【题型1 行程问题】..................................................................................................................................................1
【题型2 工程问题】..................................................................................................................................................7
【题型3 最大利润问题】........................................................................................................................................12
【题型4 分配问题】................................................................................................................................................17
【题型5 分段计费问题】........................................................................................................................................22
【题型6 调运问题】................................................................................................................................................28
【题型7 计时问题】................................................................................................................................................32
【题型8 几何问题】................................................................................................................................................38
【题型9 体积问题】................................................................................................................................................46
【题型10 现实生活问题】........................................................................................................................................50
【知识点 一次函数的应用】
在研究有关函数的实际问题时，要遵循一审.二设.三列.四解的方法：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系；
第2步：设自变间的关系设满量。根据各个量之足题意的自变量；
第3步：列函数。根据各个量之间的关系列出函数；
第4步：求解。求出满足题意的数值。
【题型1 行程问题】
【例1】（2023·江苏·统考中考真题）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到
达乙地卸装货物用时30min，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速
度为70km/h．两车之间的距离y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图像如图所示．
(1)请解释图中点A的实际意义；
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(2)求出图中线段AB所表示的函数表达式；
(3)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】(1)快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
(2)y=−70x+330
(3)2.8小时
【分析】（1）根据点A的纵坐标最大，可得两车相距最远，结合题意，即可求解；
（2）根据题意得出B(3.5,85)，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（3）先求得快车的速度进而得出总路程，再求得快车返回的速度，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象，可得点A的实际意义为：快车到达乙地时，慢车距离乙地还有120km
1
（2）解：依题意，快车到达乙地卸装货物用时30min，则点B的横坐标为3+ =3.5，
2
1 1
此时慢车继续行驶 小时，则快车与慢车的距离为120−70× =120−35=85，
2 2
∴B(3.5,85)
设直线AB的表达式为y=kx+b
∴¿
解得：¿
∴直线AB的表达式为y=−70x+330
（3）解：设快车去乙地的速度为a千米/小时，则3(a−70)=120，
解得：a=110
∴甲乙两地的距离为110×3=330千米，
设快车返回的速度为v千米/小时，根据题意，
1 ( 1)
×(v+70)=330− 3+ ×70
2 2
解得：v=100，
1
330− ×100
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需 2 （小时）
=2.8
100
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程，根据函数图象获取信息是解题的关键．
【变式1-1】（2023·浙江宁波·统考中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队
官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进
行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研
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学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用
时间t（h）的函数关系如图2所示．
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．
【答案】(1)s=40t+20，a=2
1
(2) h
3
【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，将s=100，代入解析式求出a的值即可；
（2）先求出军车的速度，然后分别求出军车到达仓库，和从仓库出发到达基地的时间，用总时间减去两
段时间即可得解．
【详解】（1）解：设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=kt+b，由图象可知，直线过点
(0,20)，(1,60)，
∴¿，解得：¿，
∴s=40t+20；
当s=100时：100=40t+20，解得：t=2，
∴a=2；
（2）由图象可知，军车的速度为：60÷1=60km/h，
4
∴军车到达仓库所用时间为：80÷60= h，
3
1
从仓库到达基地所用时间为：(100−80)÷60= h，
3
4 1 1
∴部队官兵在仓库领取物资所用的时间为2− − = h．
3 3 3
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题
的关键．
【变式1-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑
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电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽
略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程
y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【答案】(1)300，800
(2)y=800x−2400（3≤x≤6）
6 18
(3) 分钟， 分钟，6分钟
11 5
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进
而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距
600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
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（2）解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵y=kx+b过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴¿，
解得：¿，
∴直线FG的解析式为：y=800x−2400，
自变量x的取值范围是3≤x≤6；
（3）解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
6
解得：t= ；
11
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
18
解得：t= 或6，
5
6 18
答：出发 分钟或 分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
11 5
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
【变式1-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路
匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达Q地后均停止，已知P、Q两地相距
200km，设乙行驶的时间为t(h)，甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如
图所示．请解决以下问题：
(1)由图象可知，甲比乙晚出发______h．图中线段BC所在直线的函数解折式为 ．
(2)设甲的速度为v km/h，求出v 的值．
1 1
(3)根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）．
【答案】(1)1；y=15t−40
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(2)v =40
1
(3)见解析
【分析】（1）观察图象可知乙在点A时甲才出发得出甲比乙迟出发1h，然后设线段BC所在直线的函数
解析式为y=kt+b代入B、C的坐标求解析式即可；
（2）设乙的速度为v km/h，根据时间×速度=距离，列出方程组求解即可；
2
（3）根据（2）求得的速度，算出甲没出发前甲乙的距离、乙到达终点时甲乙相距最远的时间和距离、乙
最后到达终点使用的时间，把这些数据补全到图中即可.
【详解】（1）观察图象可知乙在点A时甲才出发，
∴甲比乙迟出发1h；
设线段BC所在直线的函数解析式为y=kt+b
8
代入点B( ,0),C(5,35)
3
得：¿
解得：k=15,b=−40
∴线段BC所在直线的函数解析式为：y=15t−40；
（2）设乙的速度为v km/h，
2
由题意得：¿，
解得¿，
∴v =40 (km/h)；
1
（3）根据（2）可知甲的速度为40km/h，乙的速度为25km/h
∴甲没出发前，乙开了25km
∴总共用时为：200÷25=8(h)
当甲到达终点时甲乙两人相距最远，200÷40+1=6(h)
此时甲乙两人相距最远的距离为：200−25×6=50(km)
将上面的数据标记到图上，如下图所示：
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【点睛】本题主要考查一次函数的应用，找出题中的等量关系是关键.
【题型2 工程问题】
【例2】（2023·四川成都·一模）哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从
伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的
载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表：
车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆）
大货车 620 700
小货车 400 550
(1)两种货车各有多少辆？
(2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于
120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？
【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆．
(2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小
货车前往鹤岗地．
【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方
程组即可求解；
（2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关
系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确
定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案．
【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得
16x+10（20-x）=248，
解得x=8，
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20-x=20-8=12．
答：大货车用8辆，小货车用12辆．
（2）设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-
a），运往鹤岗地的小货车是（3+a），
w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]
=70a+10850，
则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）；
根据题意得：16a+10（9-a）≥120，
解得a≥5，
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8 且为整数．
∴a=5，6，7，8，共有4种方案，
∵w=70a+10850，
k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=5时，W最小．
答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆
小货车前往鹤岗地．
【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的
变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动
场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
工程
每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元）
队
甲 x+300 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的
施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
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【答案】(1)x的值为600
(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【分析】（1）根据题意甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等列出分式方程
解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再
由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于1500m2列出不等式即可得到答案．
1800 1200
【详解】（1）解：由题意列方程，得 = ．
x+300 x
方程两边乘x(x+300)，得1800x=1200x(x+300)．
解得x=600．
检验：当x=600时，x(x+300)≠0．
所以，原分式方程的解为x=600．
答：x的值为600．
（2）解：设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元．
则w=3600a+2200(22−a)=1400a+48400．
∵ (600+300)a+600(22−a)≥15000，
∴ a≥6．
∵1400>0，
∴ w随a的增大而增大．
∴当a=6时，w取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点
是解题的关键．
【变式2-2】（2023·吉林·统考中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长
度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘
的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
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(1)甲组比乙组多挖掘了__________天．
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】(1)30
(2)y=3x+120(30<x≤60)
(3)10天
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x
的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲
组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
60−30=30（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为y=kx+b，
将(30,210)和(60,300)两个点代入，可得¿，
解得¿，
∴y=3x+120(30<x≤60)
300−210
（3）解：甲组每天挖 =3（米）
60−30
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210
甲乙合作每天挖 =7（米）
30
∴乙组每天挖7−3=4（米），乙组挖掘的总长度为30×4=120（米）
设乙组己停工的天数为a，
则3(30+a)=120，
解得a=10，
答：乙组已停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解
题的关键．
【变式2-3】（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老
旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调研
发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15
元/m2．
(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式；
(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲
乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？
【答案】(1)y=¿
(2)甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少为
5625元
【分析】（1）根据题意分当0<x≤40时和当40<x≤100时，分别求解即可得到解答；
（2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为(360−a)m2，根据题意求出a的范围，再结合题
意分情况讨论即可．
【详解】（1）解：当0<x≤40时，y=30，
当40<x≤100时，设y=kx+b，
把(40，30)，(100，15)代入y=kx+b得：¿，
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解得¿，
1
∴y=− x+40，
4
∴y=¿；
（2）解：设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为(360−a)m2，
∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴ ¿，
解得30≤a≤90，
当30≤a≤40时，w=30a+15(360−a)
=15a+5400，
∵15>0，
∴当a=30时，w最小，最小为15×30+5400=5850（元），
( 1 )
当40<a≤90时，w=a − a+40 +15(360−a)
4
1
=− (a−50) 2+6025，
4
1
∵− <0，对称轴为直线a=50，且|40−50|<|90−50|，
4
1
∴a=90时，w取最小值，最小为− ×(90−50) 2+6025=5625（元），
4
∵5625<5850，
∴当a=90时，w取最小值，最小为5625元，
此时360−a=270，
答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少为
5625元．
【题型3 最大利润问题】
【例3】（2023·山东青岛·统考中考真题）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，
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但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种
T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)2880元
(2)①W =−4m+3000(50≤m≤150)；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数；
（2）①根据条件，可列W =(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)，整理即可；
②由①可知，W =−4m+3000(50≤m≤150)，一次函数W随m的增大而减小，当m=50时，W取最大值
计算出来和第一次获利比较即可．
【详解】（1）解：设购进A种T恤衫x件，购进B种T恤衫y件，根据题意列出方程组为：
¿，
解得¿，
∴全部售完获利=(66−45)×80+(90−60)×40=1680+1200=2880（元）．
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫(150−m)件，根据题意150−m≤2m，即m≥50，
∴W =(66−45−5)m+(90−60−10)(150−m)=−4m+3000(50≤m≤150)，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，W =−4m+3000(50≤m≤150)，
∵−4<0，一次函数W随m的增大而减小，
∴当m=50时，W取最大值，W =−4×50+3000=2800（元），
大
∵2800<2880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键．
【变式3-1】（2023·江苏扬州·统考中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某
商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比
乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按
单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，
那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
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【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得
20(x+11)+30x=2920，求解；
1 1
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则m≥ (40−m)，解得m≥13 ，
2 3
故最小整数解为m=14，w=4m+1920，根据一次函数增减性，求得最小值=4×14+1920=1976．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为(x+11)元，根据题意，得
20(x+11)+30x=2920
解得，x=54，
x+11=65，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
1 1
则m≥ (40−m)，解得m≥13 ，故最小整数解为m=14，
2 3
w=0.8×65m+(54−6)(40−m)=4m+1920，
∵4>0，则w随m的增大而增大，
∴m=14时，w取最小值，最小值=4×14+1920=1976．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根
据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
【变式3-2】（2023·四川达州·统考中考真题）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，
绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆
干进货价为340元．
(1)分别求出每件豆笋、豆干的进价；
3
(2)某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的 ，该特产
2
店有哪几种进货方案？
(3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店
获得利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件
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(2)有3种进货方案：豆干购进78件，则豆笋购进122件；豆干购进79件，则豆笋购进121件；豆干购进80
件，则豆笋购进120件
(3)购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元
【分析】（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进(200−n)件，根据不等关系列出不等式组，解不等式组，再根据n取
整数，即可求得进货方案；
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，求得W关于x的函数关系式为W =−5n+4000，根据一次函数的
性质即可求得总利润最大的进货方案．
【详解】（1）解：设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则¿，解得¿，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件．
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进(200−n)件，
¿ ，
解得78≤n≤80，
∴n=78时，200−n=122，即豆干购进78件，则豆笋购进122件，
n=79时，200−n=121，即豆干购进79件，则豆笋购进121件，
n=80时，200−n=120，即豆干购进80件，则豆笋购进120件．
（3）设总利润为W元，豆干购进n件，
则W =(55−40)n+(80−60)(200−n)
=−5n+4000（78≤n≤80且n为整数），
∵−5<0，
当78≤n≤80时，W随n的增大而减小，
∴当n=78时，W取最大值，为W =−5×78+4000=3610．
此时，购进豆干购进78件，则豆笋购进122件，获得最大利润为3610元．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合题，考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函
数的性质等知识，涉及分类讨论思想，属于常考题型．
【变式3-3】（2023·四川内江·统考中考真题）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超
市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示：
水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克）
甲 a 20
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乙 b 23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要
470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不
大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售
完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范
围；
(3)在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，
利润
乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率= ）不低于16%，求m的最大值．
本金
【答案】(1)¿
(2)y=¿
(3)1.2
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，根据题意分
两种情况：30≤x≤60和60≤x≤80，然后分别表示出总利润即可；
利润
（3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（利润率= ）不低于16%列出不等式求
本金
解即可．
【详解】（1）由题意列方程组为：¿，
解得¿；
（2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为(100−x)千克，
∴当30≤x≤60时，
y=(20−14)x+(23−19)(100−x)=2x+400；
当60<x≤80时，
y=(20−14)×60+(20−3−14)(x−60)+(23−19)(100−x)=−x+580；
综上所述，y=¿；
（3）当30≤x≤60时，y=2x+400，
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∴当x=60时，y取最大值，此时y=2×60+400=520（元），
当60<x≤80时，y=−x+580，
∴y<−60+580=520（元），
∴由上可得：当x=60时，y取最大值520（元），
520−3m×60−40m
∴由题意可得， ≥16%，
60×14+40×19
∴解得m≤1.2．
∴m的最大值为1.2．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正
确分析题目中的等量关系．
【题型4 分配问题】
【例4】（2023·湖南永州·校考二模）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买3
桶甲消毒液和2桶乙消毒液，则一共需要220元；若购买1桶甲消毒液和3桶乙消毒液，则一共需要190
元．
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量不超过乙消毒
液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出最少费用．
【答案】(1)每桶甲消毒液40元，每桶乙消毒液50元
(2)购买甲消毒液20桶，乙消毒液为10桶；最少费用为1300元
【分析】（1）等量关系式：购买3桶甲消毒液的费用+购买2桶乙消毒液的费用= 220元；购买1桶甲消毒
液的费用+购买3桶乙消毒液的费用= 190元；据此列方程组，即可求解．
（2）不等关系式：购买甲消毒液的数量≤ 2×购买乙消毒液的数量，W =购买甲消毒液的费用+购买乙消
毒液的费用，列出不等式及一次函数，再由一次函数的增减性，即可求解．
【详解】（1）解：设每桶甲消毒液x元，每桶乙消毒液y元，由题意得
¿，
解得：¿，
答：每桶甲消毒液40元，每桶乙消毒液50元．
（2）解：由题意得：
购买乙消毒液为（30−a）桶，则有
a≤2(30−a)，
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解得：a≤20，
∵a≥0，且a为整数，
∴0≤a≤20，且a为整数，
∴W =40a+50(30−a)
=−10a+1500
∵−10<0，
∴当a=20时，W最小，
∴W =−10×20+1500=1300（元），
30−a=30−20=10（桶）；
答：购买甲消毒液20桶，乙消毒液为10桶；最少费用为1300元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找出等量关
系、不等关系式列出相应的方程组、一次函数、不等式，会根据一次函数的增减性求最值是解题的关键．
【变式4-1】（2023·浙江湖州·统考一模）为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”
活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，则购
4
买篮球的个数比足球的个数少2个，已知足球的单价为篮球单价的 ．
5
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共60个，如果购买足球m（m≤45）个，总费用为w元，请写出w与m的函
数关系式；
(3)在（2）的条件下学校计划总费用不多于5200元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用
应为多少？
【答案】(1)篮球每个100元，足球每个80元；
(2)w=−20m+6000；
(3)足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到篮球、足球的单价，注意分式方程要
检验；
（2）根据题意，可以写出w与m的函数关系式；
（3）根据题意和一次函数的性质，可以求得如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少；
4
【详解】（1）设篮球每个x元，足球每个 x 元，
5
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800 800
= −2
由题意得： x 4 ，
x
5
解得：x=100，
经检验：x=100是原方程的解且符合题意，
4 4
则足球的单价为： x= ×100=80 （元），
5 5
答：篮球每个100元，足球每个80元；
（2）由题意得：w=80m+100（60−m）=−20m+6000，
即w与m的函数关系式为w=−20m+6000；
（3）由题意可得：−20m+6000≤5200，
解得：m≥40，
∴40≤m≤45，
由（2）得：w＝−20m+6000，
∵−20＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝45时，w取得最小值，
此时w＝5100元，60﹣m＝15，m＝45，
故购买足球45个，篮球15，费用最少为5100元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题
意，列出相应的分式方程，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式4-2】（2023·河南周口·校联考三模）某园区准备进行二次绿化，计划购进A，B两种绿化树，经调
查可知购进5棵A绿化树和10棵B种绿化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600
元．
(1)求A，B两种绿化树每棵的价格；
(2)若最终决定购买A，B两种绿化树共24棵，且A种绿化树的数正不少于B种绿化树数量的3倍，请你设
计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用．
【答案】(1)A种绿化树每棵的价格为120元，B种绿化树每棵的价格为50元
(2)购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元
【分析】（1）设A种绿化树每棵的价格为x元，B种绿化树每棵的价格为y元，根据两种购数方法：购进5
棵A绿化树和10棵B种绿化树共需1100元，购进10棵A种绿化树和8棵B种绿化树需1600元，可列二
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元一次方程，解答即可；
（2）设购买A种绿化树的数量为m棵，则购买B种绿化树的数量为(24−m)棵，根据A种绿化树的数正不
少于B种绿化树数量的3倍，列出不等式，解之，再设购买绿化树的总费用为w元，得到w关于m的一次
函数，利用一次函数的性质，即可得到费用最低的购买方案．
【详解】（1）解：设A种绿化树每棵的价格为x元，B种绿化树每棵的价格为y元，根据题意，得¿，解得
¿
答：A种绿化树每棵的价格为120元，B种绿化树每棵的价格为50元．
（2）解：设购买A种绿化树的数量为m棵，则购买B种绿化树的数量为(24−m)棵，
由题意得m≥3(24−m)，
解得m≥18．
设购买绿化树的总费用为w元，
由题意得w=120m+50(24−m)=70m+1200．
∵70>0，∴w随m的增大而增大，
∴当m=18时，w =18×70+1200=2460（元）．
最小
此时B种绿化树的数量为24−18=6（棵）．
答：购进18棵A种绿化树和6棵B种绿化树时，费用最低，最低费用是2460元．
【点睛】本题考查了二元一次的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，熟练找出等量
关系和不等关系是解题的关键．
【变式4-3】（2023·黑龙江鸡西·统考二模）针对新冠疫情作积极防控，某公司计划生产A，B两种消毒产
品共80箱，需购买甲、乙两种材料．已知生产一箱A产品需甲种材料3千克，乙种材料4千克；生产一箱
B产品需甲、乙两种材料各2千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料
3千克和乙种材料2千克共需资金140元．
(1)求甲、乙两种材料的单价分别为每千克多少元；
(2)现公司用于购买甲、乙两种材料的资金不超过8800元，且不低于8760元，求符合生产条件的生产方案
有哪几种；
(3)在（2）的条件下，若生产一箱A产品需加工费40元，生产一箱B产品需加工费50元，则应选择哪种
生产方案，使生产这80箱产品的成本最低，最低成本是多少元（成本=材料费+加工费）？
【答案】(1)甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克
(2)符合生产条件的生产方案有3种．方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；方案二：生产A产品41箱，
B产品39箱；方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
(3)应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成本为
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12340元
【分析】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克．根据“购买甲、乙两种材料各
1千克共需资金60元；购买甲种材料3千克和乙种材料2千克共需资金140元．”列方程组，解方程组即
可得到答案；
（2）求出生产1箱A产品所需材料费和生产1箱B产品所需材料费，设生产A产品m箱，则生产B产品
(80−m)箱．依题意得到关于m的不等式组，求出不等式组的整数解，写出方案即可；
（3）设生产这80箱产品的成本为w元，根据题意得到w的一次函数表达式，根据一次函数的性质结合
（2）中的方案得到答案．
【详解】（1）设甲种材料的单价为x元/千克，乙种材料的单价为y元/千克．
依题意，得¿
解得¿，
答：甲种材料的单价为20元/千克，乙种材料的单价为40元/千克．
（2）生产1箱A产品所需材料费为20×3+40=100（元），
生产1箱B产品所需材料费为20×2+40×2=120（元）．
设生产A产品m箱，则生产B产品(80−m)箱．
依题意，得¿
解得40≤m≤42．
又m为整数，
∴m可以取40，41，42．
∴符合生产条件的生产方案有3种．
方案一：生产A产品40箱，B产品40箱；
方案二：生产A产品41箱，B产品39箱；
方案三：生产A产品42箱，B产品38箱．
（3）设生产这80箱产品的成本为w元．
根据题意，得w=(100+40)m+(120+50)(80−m)=−30m+13600．
∵−30<0，
∴w随m的增大而减小．
∴当m=42时，w取得最小值，最小值为−30×42+13600=12340（元）．
答：应选择生产方案三，即生产A产品42箱，B产品38箱，此时生产这80箱产品的成本最低，最低成本
为12340元．
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【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用、二元一次方程组的应用等知识，读懂题
意，正确列出一元一次不等式组和一次函数是解题的关键．
【题型5 分段计费问题】
【例5】（2023·吉林白山·校联考一模）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公
司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函
数图象如图所示．
(1)月用电量为50度时，应交电费______元．
(2)当x≥100时，求y与x之间的函数关系式．
(3)月用电量为150度时，应交电费______元．
【答案】(1)30
(2)当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
(3)130
【分析】（1）通过观察可知，月用电量小于或等于100度时，每度收费0.6元，据此计算即可；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）把x=150代入解析式即可得到答案．
60
【详解】（1）解：月用电量为50度时，应交电费：50× =30（元），
100
故答案为：30；
（2）解：当x≥100时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
∵点（100，60），（200，200）在函数y=kx+b的图象上，
∴¿，
解得¿，
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即当x≥100时，y与x之间的函数关系式为y=1.4x-80；
（3）解：当x=150时，y=1.4×150-80=130，
即月用电量为150度时，应交电费130元．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上点的坐标特点，掌握待定系数法求函数解
析式的步骤是解题关键．
【变式5-1】（2023·陕西西安·校考二模）某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过3km时，计价器保持
在8.5元；当行驶里程超过3km时，计价器开始变化，行驶里程x（km）与车费y（元）之间的关系如图所
示．
(1)当行驶里程超过3km时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为28.5元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】(1)y=2x+2.5(x>3)
(2)13km
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）把y=28.5代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由图象得出租车的起步价是8.5元．
当x>3时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由函数图象过点(3,8.5),(6,14.5)，
得¿解得¿
故当行驶里程超过3km时，y与x之间的函数关系式为y=2x+2.5(x>3)．
（2）解：∵28.5>8.5，
∴令y=28.5，即28.5=2x+2.5，解得x=13．
答：这位乘客乘车的里程是13km．
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【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
【变式5-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓
励居民节约用电，某地采取表1的计费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元．
表1 某地居民用电计费方式
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量180度（含180 月用电量180度至300度（含300度） 月用电量300度以上的部分，
度），以下每度价格0.55元 的部分，每度比第一档提价a元 每度比第一档提价0.30元
(1)求出表1中a的值；
(2)设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；
(3)嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户
家庭缴纳电费的中位数和众数．
表2 20户家庭7月份用电量统计表
12
用电量（度） 160 200 260 320
0
户数 2 3 6 7 2
【答案】(1)a的值为0.1
(2)y=¿
(3)中位数和众数分别是112元、151元
【分析】（1）根据梯度计费方式计算7月份电费可得到和a相关的方程，解方程即可；
（2）根据梯度计费方式分别列出三个档位电费的等量关系即可；
（3）先根据中位数计算方法算出中位数，然后根据数值代入对应函数关系式计算即可．
【详解】（1）由题意得，180×0.55+(280−180)×(0.55+a)=164，解得a=0.1，
即a的值为0.1；
（2）当0≤x≤180，y=0.55x；
当180<x≤300，y=180×0.55+(x−180)×(0.55+0.1)=0.65x−18；
当x>300 y=180×0.55+(300−180)×(0.55+0.1)+(x−300)×(0.55+0.3)=0.85x−78，
综上，y与x的函数关系式为y=¿；
（3）根据表2可知，将20户家庭用电量由小到大排序，最中间两个数均为200度，
所以这20户家庭用电量的中位数为200度，
应缴纳电费为0.65×200−18=112（元）；
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20户家庭用电量的众数应为260度，所以应缴纳电费0.65×260−18=151（元）．
【点睛】本题主要考查一次函数实际应用，根据表格计费方式列出等量关系式解题的关键．
【变式5-3】（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）据悉，上海市发改委拟于今年4月27日举行居民用水价
格调整听证会，届时将有两个方案提供听证．如图1，射线OA、射线OB分别表示现行的、方案一的每户
每月的用水费y(元)与每户每月的用水量x(立方米)之间的函数关系，已知方案一的用水价比现行的用水价
每立方米多0.96元；方案二如图2表格所示，每月的每立方米用水价格由该月的用水量决定，且第一、二、
三级的用水价格之比为1：1.5：2(精确到0.01元)．
级数 水量基数(m3) 调整后的价格（元/m3）
第一级 0~15（含15） 2.61
第二级 15~25（含25） 3.92
第三级 25以上 n
图（2）
(1)写出现行的用水价是每立方米多少元？
(2)求图1中m的值和射线OB所对应的函数解析式，并写出定义域；
(3)若小明家某月的用水量是a立方米，请分别写出三种情况下(现行的、方案一和方案二)该月的水费b(用a
的代数式表示)；
(4)小明家最近10个月来的每月用水量的频数分布直方图如图3所示，估计小明会赞同采用哪个方案请说明
理由．
【答案】(1)每立方米1.84元
(2)m=140，y=2.8x (x≥0)
(3)现行的：b=1.84a；方案一：b=2.8a；方案二：当0≤a≤15，b=2.61a；当15<a≤25，
b=3.92a−19.65；当a>25时，b=5.22a−52.15
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(4)小明会赞同采用方案二，理由见解析
【分析】（1）用总价92元除以每月的用水量50立方米即可得出答案；
（2）根据方案一的用水价比现行的用水价每立方米多0.96元先得出现行的用水价，即可再求得m的值，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx，代入即可求得；
（3）分别根据每月的每立方米用水价格计算该月的水费b；
（4）根据小明家的平均月用水量估计每月的用水费哪一种更合算即可．
【详解】（1）92÷50=1.84，
故现行的用水价是每立方米1.84元；
（2）1.84+0.96=2.8，
m=2.8×50=140，
设射线OB所对应的函数解析式为y=kx (x≥0)，
则140=50k，
∴k=2.8，
∴y=2.8x(x≥0)；
（3）现行的：b=1.84a；
方案一：b=2.8a；
方案二：∵第一、二、三级的用水价格之比为1：1.5：2，
∴n=2.61×2=5.22，
当0≤a≤15，b=2.61a；
当15<a≤25，b=3.92(a−15)+15×2.61=3.92a−19.65；
当a>25时，b=5.22(a−25)+15×2.61+10×3.92=5.22a−52.15；
（4）小明会赞同采用方案二，理由如下：
小明家的月平均用水量：(13×1+14×2+15×4+16×3)÷10=14.9 <15，
当0≤a≤15时，水价为2.61元，此时方案一的水价为2.8元，
所以他可能会赞同方案二．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出自变量与因变量的关系式．
【题型6 调运问题】
【例6】（2023·黑龙江·校联考一模）某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需
一种大型挖掘机，甲地需要27台，乙地需要25台，A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖
掘机28台和24台，并将其全部调运往灾区，如果从A省调运一台挖掘机到甲地耗资0.4万元，到乙地耗资
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0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地耗资0.5万元，到乙地耗资0.2万元．设从A调往甲地x台挖掘机，
A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．
(1)用含x的代数式填写下表：
甲地 乙地
A
x
省
B
省
(2)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3)若总耗资不超过16.2万元，共有几种调运方案？哪种调运方案的总耗资最少？
【答案】(1)27−x，28−x，x−3
(2)y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27）
(3)两种；从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台，从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台．
【分析】（1）根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及A、B两省挖掘机台数用未知数表示出分配方案；
（2）利用x就可以表示出A省，B省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，得到函数解析式；
（3）总耗资不超过16.2万元，即可得到关于x的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：从A调往甲地x台挖掘机，甲地需要27台，则从B省调（27−x）台到甲地；因为A
省共28台挖掘机，已经调往甲地x台挖掘机，则还剩（28−x）台调往乙地，乙地需要25台，已经从A
省调（28−x）台到乙地，B省共24台挖掘机，从B省调（27−x）台到甲地后还剩
24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地，
故答案为：27−x，28−x，x−3．
（2）解：由题意得：y＝0.4x＋0.3（28−x）＋0.5（27−x）＋0.2（x−3），
即：y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27），
故y与x之间的函数关系式为：y＝−0.2x＋21.3（3≤x≤27）．
（3）解：依题意得：−0.2x＋21.3≤16.2，
解得：x≥25.5，
又∵3≤x≤27，且x为整数，
∴x＝26或27，
∴要使总耗资不超过16.2万元，有如下两种调运方案：
方案一：从A省往甲地调运26台，往乙地调运2台；从B省往甲地调运1台，往乙地调运23台，
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0.4×26＋0.3×2＋0.5×1＋0.2×23＝16.1（万元）；
方案二：从A省往甲地调运27台，往乙地调运1台；从B省往甲地调运0台，往乙地调运24台，
0.4×27＋0.3×1＋0.2×24＝15.9（万元），
∵15.9＜16.1，
∴调运方案二的总耗资最少．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用及调运方案问题，根据已知表示出从B省调（27−x）台到甲地
后还剩24−（27−x）＝（x−3）台调往乙地是解题关键．
【变式6-1】（2023·河南南阳·校联考三模）进入冬季以来，新冠肺炎疫情再次来袭．一方有难，八方支援，
我县某公司积极响应党的号召，帮助运送爱心物资，以下是两次载满的运输情况如下表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 运送物资总数/吨
第一次 3 2 24
第二次 2 5 38
(1)求甲乙两种货车每次载满分别能运送多少吨物资；
(2)如果用甲乙两种货车共10辆运送物资，其中甲种货车m辆，请表示出两种货车载满爱心物资的总吨数
w和m的关系式．
【答案】(1)甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
(2)w=−2m+60．
【分析】（1）根据3辆甲种货车与2辆乙种货车分别装满共运输24吨物资，2辆甲种货车与5辆乙种货车
分别装满共运输38吨物资，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两种货车每次装满分别
能运输多少吨物资；
（2）甲种货车m辆，则乙种货车(10−m)辆，即可可以写出w与m之间的函数关系式．
【详解】（1）解：设甲种货车每次装满能运输x吨物资，乙种货车每次装满能运输y吨物资，
依题意得¿，
解得，¿，
答：甲种货车每次装满能运输4吨物资，乙种货车每次装满能运输6吨物资；
（2）解：甲种货车m辆，则乙种货车(10−m)辆，
w=4m+6(10−m)=−2m+60，
即w与m之间的函数关系式为w=−2m+60．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方
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程组和一次函数关系式．
【变式6-2】（2023·湖北武汉·统考二模）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，
乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂
运往A地的有x台设备（x为整数）．
A地 B地
甲
7 10
厂
乙
10 15
厂
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地
__________台．
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它
不变，且1<m<4，请你探究总费用的最小值．
【答案】(1)(60−x)，(70−x)，(x−30)
(2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的数量关系填空即可；
（2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可；
（3）列出总费用函数关系式，对m的值进行分类讨论，利用一次函数增减性求解即可．
【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地(60−x)台；乙厂运往A地(70−x)台；
乙厂运往B地40−(70−x)=(x−30)台；
故答案为：(60−x)，(70−x)，(x−30)
（2）解：设运输费为y百元，依题意得
y=7x+10(60−x)+10(70−x)+15(x−30)
=2x+850，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小，
60−x≥0；70−x≥0；x−30≥0
∴30≤x≤60．
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∴当x=30时，y有最小值910．
∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元．
（3）解：y=(7+m)x+10(60−x)+10(70−x)+(15−2m)(x−30)
=(2−m)x+850+60m．
当m=2时，无论怎么安排，运费都是9万7千元；
当1<m<2时，2−m>0，y随x的增加而增加，当x=30时，运费最低=910+30m（百元）；
当2<m<4时，2−m<0，y随x增加而减小，当x=60时，运费最低=9万7千元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式，掌握并能运用一
次函数的性质．
【变式6-3】（2023·广东广州·模拟预测）6月份以来，猪肉价格一路上涨，为平抑猪肉价格，某省积极组
织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆，10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、
E两地的运输分别是18辆、10辆．已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别为200元和800元，从
B市到D、E两市的运费分别为300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别为400元和500元．若从
A、B两市都派x辆车到D市，当这28辆运输车全部派出时，
(1)求总运费W（元）与x（辆）之间的关系式，并写出x的取值范围；
(2)求总运费W最低时的车辆派出方案．
【答案】(1)W＝－800x+17200， 5≤x≤9；
(2)A派D市9辆，E市1辆；B派D市9辆，E市1辆；C派E市8辆
【分析】（1）根据题意可得，A市派（10－x）辆到E市，B市派（10－x）辆到E市，C市派（18－2x）
辆到D市，C市派（2x－10）辆到E市，再利用总运费=各路运费之和，即可得出可得出结论；
（2）由（1）中函数关系式W =−800x+17200和—次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，A市派（10－x）辆到E市，B市派（10－x）辆到E市，C市派（18－2x）
辆到D市，C市派（2x－10）辆到E市，
则W＝200x+800（10－x）+300x+700（10－x）+400（18－2x）+500（2x－10）
＝－800x+17200，
∵ 10－x≥0，18－2x≥0，2x－10≥0
∴ x≤10 ， x≤9， x≥5 ．
∴ 5≤x≤9．
（2）由（1） W＝－800x+17200，
∵ －800＜0，
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∴W随x增大而减小，
∴当x ＝9时
最大
W ＝－800×9+17200
最低
＝－7200+17200
＝10000，
∴10－x＝10－9＝1 ，18−2x＝18−2×9＝0，2x－10＝8，
∴总运费W最低时，A派D市9辆，E市1辆；B派D市9辆，E市1辆；C派E市8辆．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意表示出总运费是解题的关键．
【题型7 计时问题】
【例7】（2023·江西南昌·统考一模）沙漏又称“沙钟”，是我国古代一种计量时间的装置．它是根据均匀
的沙粒从一玻璃球漏到另一个玻璃球的数量来计量时间．其中上面玻璃球中沙粒完全流入下面玻璃球后立
即将沙漏倒置（倒置时间忽略不计），重新进行计时，周而复始．某课外数学小组观察发现：该沙漏上面
玻璃球沙粒剩余量y粒与流入时间t秒成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间在第3秒时，上面
玻璃球剩余沙粒1140粒，当流入时间在第9秒时，上面玻璃球剩余沙粒1020粒．
(1)求出上面玻璃球沙粒余量y粒与流入时间t（秒）之间的函数关系式；
(2)求沙漏恰好完成第一次倒置所需时间．
【答案】(1)y=−20x+1200(x≥0)
(2)60秒
【分析】（1）设一次函数的解析式y=kx+b，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，沙漏恰好完成第一次倒置，令y=0，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式y=kx+b．
将(3,1140)和(9,1020)分别代入．得
¿
解得¿．
∴y=−20x+1200(x≥0)．
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（2）解：∵沙漏恰好完成第一次倒置，
∴y=0．
即−20x+1200=0，解得x=60．
∴沙漏恰好完成第一次倒置的时间是60秒．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键．
【变式7-1】（2023·河南洛阳·统考模拟预测）如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，
水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x（小时）表示漏水时间，y
（厘米）表示壶底到水面的高度，y是x的一次函数．某次计时过程中，如表记录了四组数据，其中只有一
组数据记录错误，它是（ ）
组数 1 2 3 4
漏水时间x/h 1 2.5 4 5.5
壶底到水面的高度
13 9 7 4
y/cm
A．第1组 B．第2组 C．第3组 D．第4组
【答案】B
8 47
【分析】设y=kx+b，将(1,13)，(2.5,9)代入求出y=− x+ ，再将(4,7)，(5.5,4)代入解析式可得：第
3 3
一组数据或第二组数据错误，故将(4,7)，(5.5,4)代入y=kx+b可得解析式为：y=−2x+15，再将第一组
数据或第二组数据代入即可求出答案．
【详解】解：∵y是x的一次函数，故设y=kx+b，
将(1,13)，(2.5,9)代入可得：¿，解得：¿，
8 47
此时函数解析式为：y=− x+ ，
3 3
8 47
将(4,7)代入解析式可得：y=− ×4+ =5≠7，
3 3
8 47
将(5.5,4)代入解析式可得：y=− ×5.5+ =1≠4，
3 3
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∴可得出是第一组数据或第二组数据错误，
将(4,7)，(5.5,4)代入y=kx+b可得：¿，解得：¿，
∴函数解析式为：y=−2x+15，
将(1,13)代入解析式可得：y=−2×1+15=13，
将(2.5,9)代入解析式可得：y=−2×2.5+15=10≠9，
∴第二组数据错误．
故选：B
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是判断出第一组数据或第二组
数据错误．
【变式7-2】（2023·广东深圳·校联考二模）某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模
型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙
子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足
够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电
子秤读数，得到表1．
表1
沉沙时间x(h) 0 2 4 6 8
4
电子秤读数y（克） 6 18 30 54
2
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的
数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数
模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
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(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
【答案】(1)作图见解析
(2)在同一直线上．函数表达式为：y=6x+6
(3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克
(4)下午6:30
【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．
（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，
利用待定系数法求解函数表达式．
（3）根据（2）中的表达式可求出当x=9时，精密电子秤的读数．
（4）根据（2）中的表达式可求出当y=72时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间．
【详解】（1）解：如图所示
（2）
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解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像．
设一次函数表达式为：y=kx+b
将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得¿
解得¿
∴函数表达式为：y=6x+6
（3）解：由（2）可知函数表达式为：y=6x+6
∴当x=9时，y=60
∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．
（4）解：由（2）可知函数表达式为：y=6x+6
∴当y=72时，x=11
∵起始时间是上午7:30
∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自
变量或函数值是解决本题的关键．
【变式7-3】（2023·浙江绍兴·统考三模）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经
出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校STEAM社团在进行项目化学习时依据漏
刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型．该实验小组通过观察，记录水位h(cm)、时间t(min)的数
据，得到表格．
t（min） … 1 2 3 4 …
h（cm） … 1.6 2.0 2.4 2.8 …
为了描述水位h(cm)与时间t(min)的关系，现有以下三种函数模型供选择：h=kt+b(k≠0)，
k
h=at2+bt+c(a≠0)，h= (k≠0)．
t
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(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，
并画出这个函数的图象．
(2)当水位高度h为4.8cm时，求对应的时间t的值．
【答案】(1)h=0.4t+1.2，见解析
(2)9
【分析】（1）从表中数据可知，水位h(cm)与时间t(min)满足一次函数关系式，设水位h(cm)与时间
t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，再用待定系数法求解析式即可；
（2）利用（1）的关系式令h=21，求解t值即可．
【详解】（1）从表中数据以及描出的点的特征可知：每分钟水位增加的高度相同可知， 水位h(cm)与时
间t(min)满足一次函数关系式．
设水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，
代入表中任意两组数据得：
¿，
解得：¿，
∴h=0.4t+1.2，
∴水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2；
画出的函数图像如下：
（2）由（1）可知，水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1.2，
当h=4.8时， 4.8=0.4t+1.2
解得：t=9．
答：当水位h为4.8cm时，对应的时间为9min．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键．
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【题型8 几何问题】
1
【例8】（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D
3
4
是线段AB上一动点，点H是直线y=− x+2上的一动点，动点E(m，0)，F(m+3，0)，连接
3
BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 ．
39
【答案】
2
【分析】作出点C(3，−2)，作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，此时BE+DF的最小值为CD的长，利
(11 )
用解直角三角形求得F ，0 ，利用待定系数法求得直线CD的解析式，联立即可求得点D的坐标，过
3
点D作DG⊥y轴于点G，此时3BH+5DH的最小值是5DG的长，据此求解即可．
1
【详解】解：∵直线y=− x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
3
∴B(0，2)，A(6，0)，
作点B关于x轴的对称点B'(0，−2)，把点B'向右平移3个单位得到C(3，−2)，
作CD⊥AB于点D，交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD交x轴于点E，则四边形EFCB'是平行四边形，
此时，BE=B'E=CF，
∴BE+DF=CF+DF=CD有最小值，
作CP⊥x轴于点P，
则CP=2，OP=3，
∵∠CFP=∠AFD，
∴∠FCP=∠FAD，
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∴tan∠FCP=tan∠FAD，
PF OB PF 2
∴ = ，即 = ，
PC OA 2 6
2 (11 )
∴PF= ，则F ，0 ，
3 3
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则¿，解得¿，
∴直线CD的解析式为y=3x−11，
联立，¿，解得¿，
(39 7 )
即D ， ；
10 10
过点D作DG⊥y轴于点G，
直线y=− 4 x+2与x轴的交点为Q (3 ，0 ) ，则BQ=√OQ2+OB2= 5 ，
3 2 2
3
OQ 2 3
∴sin∠OBQ= = = ，
BQ 5 5
2
3
∴HG=BHsin∠GBH= BH，
5
(3 )
∴3BH+5DH=5 BH+DH =5(HG+DH)=5DG，
5
39 39
即3BH+5DH的最小值是5DG=5× = ，
10 2
39
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题．
【变式8-1】（2023·江苏泰州·校考三模）已知直线l过点A(0,−2)且平行于x轴，点B的坐标为(0,2)，将
直线l绕点B逆时钟旋转60°，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ．
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【答案】y=√3x−6
【分析】设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于D，
根据A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，可得△ABC是等边三角形，故AB=AC=BC=4，
1
∠BAC=60°，从而可得CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，记知C(2√3，0)，又∠CED=60°，可
2
4√3
求出E( ，−2)，再用待定系数法可得答案．
3
【详解】解：设A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，旋转后的直线交直线l于E，过C作CD⊥直线l于
D，如图：
∵A绕点B逆时针旋转60°的对应点为C，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵A(0,−2)，B(0,2)，
∴AB=AC=BC=4，∠BAC=60°，
∴∠CAD=30°，
1
∴CD= AC=2，AD=√3CD=2√3，
2
∴C(2√3，0)，
∵∠CED=60°，
CD 2√3
∴ED= = ，
√3 3
4√3
∴AE=AD−ED= ，
3
4√3
∴E( ，−2)，
3
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4√3
设直线CE解析式为y=kx+b，将C(2√3，0)，E( ，−2)代入得：
3
¿，
解得¿，
∴直线CE解析式为y=√3x−6；
故答案为：y=√3x−6．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换−旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线
上两个点的坐标．
【变式8-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）矩形OABC在平面直角坐标系如图所示，OA=12，
OC=24，点E、F分别是OA、OC上的动点，点E、F分别从A、O同时出发，沿OA、OC方向，分别以
每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向点O、C运动，当运动 秒时，EF∥AC；当EF⊥OB
时，直线EF的解析式为 ．
48
【答案】 6 y=−2x+
5
【分析】首先设当运动t秒时，EF∥AC，由此得AE=t，OF=2t，OE=12−t，再根据EF∥AC得
△OEF和△OAC相似，根据相似三角形的性质可求出t的值，当EF⊥OB时，△EOF∽△OCB，则有
OE OF
= ，再列方程求出t的值，然后再求出点E与点F的坐标，最后根据待定系数法可求出直线EF的解
OC BC
析式．
【详解】解：设当运动t秒时，EF//AC，
依题意得：AE=t，OF=2t，
∵四边形OABC为矩形，OA=12，OC=24，
∴OE=OA−AE=12−t，
∵EF∥AC，
∴△OEF∽△OAC，
∴OE:OA=OF:OC，
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即：(12−t):12=2t:24，
解得：t=6，
当EF⊥OB时，且∠EOF=90°，
∴∠OEF+∠EOB=90°,∠BOC+∠EOB=90°,
∴∠OEF=∠BOC,
又∠EOF=∠OCB=90°，
∴△EOF∽△OCB，
OE OF
则有 = ，
OC BC
12−t 2t
∴ =
24 12
12
∴t=
5
( 48) (24 )
∴点E的坐标为 0, ，点F的坐标为 ,0 ，
5 5
设直线EF的解析式为：y=kx+b，
( 48) (24 )
将点E 0, ，F ,0 代入y=kx+b，
5 5
得：¿，解得：¿，
48
∴直线EF的解析式为：y=−2x+ ．
5
48
故答案为：6，y=−2x+ ．
5
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，解答此题的关键是
熟练掌握系数法求一次函数的解析式，难点是根据相似三角形的性质求出点E，F的坐标．
【变式8-3】（2023·江苏南通·校考二模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B
的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,3)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接
AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，DQ的长为 ．
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5√10 5
【答案】 / √10
4 4
【分析】如图所示，作点A关于BC的对称点F，连接FP，过点Q作QG∥AF交PF于G，过点D作
DE∥GQ且DE=GQ，连接GE，BF，先证明△BOC是等腰直角三角形，得到∠ABC=45°，由轴对称
的性质可得FB=AB=4，∠FBC=∠ABC=45°，则∠ABF=90°，由此可得F(3,4)，AF=4√2，
△ABF是等腰直角三角形，则∠BAF=45°；设AF与y轴交于N，过点E作EM⊥y轴于M，证明
QG PQ PG 1 1 1
△PQG∽△PAF，得到 = = = ，则QG= AF=√2，PG= PF，DE=QG=√2，证明四
AF PA PF 4 4 4
√2
边形DQGE是平行四边形，得到DQ=EG；证明△MDE是等腰直角三角形，得到DM=ME= DE=1，
2
1 1 3
则E(1,−2)；由轴对称的性质可得PA=PF，则PG= PF= PA，GF= PA，故当FG+EG最小时，
4 4 4
3
AP+DQ最小，即3AP+4DQ最小，即当E、F、G三点共线时，3AP+4DQ最小，求出直线EF解
4
析式为y=3x−5，同理可得直线BC的解析式为y=−x+3，则当3AP+4DQ最小时点P的坐标为(2,1)，
5√10
利用勾股定理求出PF=√10，PE=√10，则DQ=EG=PE+PG= ．
4
【详解】解：如图所示，作点A关于BC的对称点F，连接FP，过点Q作QG∥AF交PF于G，过点D作
DE∥GQ且DE=GQ，连接GE，BF，
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∵A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OB=OC=3，AB=4，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵点F与点A关于直线BC对称，
∴FB=AB=4，∠FBC=∠ABC=45°，
∴∠ABF=90°，
∴F(3,4)，AF=√AB2+BF2=4√2，△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BAF=45°，
设AF与y轴交于N，过点E作EM⊥y轴于M，
∵AQ=3PQ，
1 3
∴PQ= PA，AQ= PA，
4 4
∵QG∥AF，
∴△PQG∽△PAF，
QG PQ PG 1
∴ = = = ，
AF PA PF 4
1 1
∴QG= AF=√2，PG= PF，
4 4
∴DE=QG=√2，
又∵DE∥GQ，
∴四边形DQGE是平行四边形，
∴DQ=EG，
∵DE∥GQ，AF∥GQ，
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∴DE∥AF，
∴∠EDM=∠ANO=90°−∠NAO=45°，
∴△MDE是等腰直角三角形，
√2
∴DM=ME= DE=1，
2
∴OM=2，
∴E(1,−2)；
由轴对称的性质可得PA=PF，
1 1
∴PG= PF= PA，
4 4
3
∴GF= PA，
4
3
∵要使3AP+4DQ最小，即要使 AP+DQ最小，
4
3
∴当FG+EG最小时， AP+DQ最小，即3AP+4DQ最小，
4
∴当E、F、G三点共线时，3AP+4DQ最小，
设直线EF解析式为y=kx+b，
∴¿，
∴¿，
∴直线EF解析式为y=3x−5，
同理可得直线BC的解析式为y=−x+3，
联立¿，解得¿，
∴当3AP+4DQ最小时点P的坐标为(2,1)，
∴PF=√(3−2) 2+(4−1) 2=√10，PE=√(1−2) 2+(−2−1) 2=√10，
1 √10
∴PG= PF= ，
4 4
5√10
∴DQ=EG=PE+PG= ，
4
5√10
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似三
角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定3AP+4DQ最小的情形是
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解题的关键．
【题型9 体积问题】
【例9】（2023·河北保定·统考一模）如图1，一个正方体铁块放置在高为90cm的圆柱形容器内，现以一定
的速度往容器内注水，注满容器为止．容器顶部离水面的距离y(cm)与注水时间x(min)之间的函数图象如
图2所示．
(1)求直线BD的解析式，并求出容器注满水所需的时间．
(2)求正方体铁块的体积．
【答案】(1)15min
(2)27000cm3
【分析】（1）待定系数法求出BD得解析式即可，令y=0时，求出x值；
（2）根据图像确定出正方形的高即可求解．
【详解】（1）解：设直线BD的解析式为y=kx+b，
将点(3,60)和(9,30)代入y=kx+b中，
得¿，解得¿，
∴直线BD的解析式为y=−5x+75．
令y=0，即−5x+75=0，解得x=15，
故容器注满水所需的时间为15min．
（2）解：由图像AB段可知正方体的高为90−60=30(cm)，
即正方体的边长为30cm，
故正方体的体积为30×30×30=27000(cm3)．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求解析式．
【变式9-1】（2023·陕西·统考一模）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了
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如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球量桶中水面升高 cm；
(2)求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的函数关系式；
(3)当量桶中水面上升至距离量桶顶部3cm时，应在量桶中放入几个小球？
【答案】(1)2；(2)y=2x+30；(3)放入8个小球．
【分析】（1）根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高 2cm；
（2）本题中关键是如何把图象信息转化为点的坐标，无球时水面高30cm，就是点（0，30）；3个球时水
面高为36，就是点（3，36），从而求出y与x的函数关系式．
（3）列方程可求出量筒中小球的个数．
【详解】(1)根据中间量筒可知，放入一个小球后，量筒中的水面升高（36-30）÷3=2cm．
故答案为2；
(2)设水面的高度y与小球个数x的表达式为y=kx+b．
当量筒中没有小球时，水面高度为30cm；当量筒中有3个小球时，水面高度为36cm，
因此，（0，30），（3，36）满足函数表达式，
则¿，
解，得¿．
则所求表达式为y=2x+30；
(3)由题意，得2x+30=49-3，
解，得x=8．
所以要放入8个小球．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，朴实而有新意，以乌鸦喝水的小故事为背景，以一次函数为模
型，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
【变式9-2】（2023·浙江绍兴·统考一模）将一块a×b×c(a<b<c)的长方体铁块（图1）平放在一个长方
体水槽底部（图2），现向水槽内匀速注水，直至注满水槽为止，因铁块在水槽内有3种不同的放置方式，
所以水槽内的水深h与注水时间t的函数关系用图象来反映，其全过程有三种不同的图象（图3，图4，图
5）（注：长度单位：厘米；时间单位：秒）
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（1）判断t 与t 的大小关系：t_________________t；
1 2 1 2
（2）水槽深度为_________________厘米；a=_________________厘米，b=_________________厘米；
（3）求铁块的体积．
【答案】（1）=；（2）10，6，9；（3）810cm3
【分析】（1）根据注水的速度相同且在槽内，得到注水总量相同，得到时间相等；
（2）分析图3与图4，当注水21s以后，水深6cm，当注水45s以后，水深9cm，当注水62s以后，水深
10cm，由a×b×c(a<b<c)，得出a=6，b=9，c≥10；
（3）根据注入水的体积与水槽的容积以及长方形的体积之间的关系，得到等量关系，算出结果．
【详解】解：（1）∵注水的速度相同且在槽内，
∴注水总量相同，
∴t =t ，
1 2
（2）从三个图形来看，h的最大值为10，所以水槽的深度为10cm，
由图3看，当注水21s以后，水深6cm，此时水面与铁块的上表面在同一平面内或者水面刚好淹至铁块的
上表面，所以a、b、c中有一个为6cm，
由图4看，当注水45s以后，水深9cm，此时水面与铁块的上表面在同一平面内或者水面刚好淹至铁块的
上表面，所以a、b、c中有一个为b=9cm，
由图5看，当注水62s以后，水深10cm，水面未淹铁块，所以a、b、c中有一个不小于10cm，
又因为a×b×c(a<b<c)，所以a=6，b=9，c≥10，
（3）设槽底面积为S，由图3可知，
V =(S−9c)×6+S×4
令注完时间为t，
V 10S−54c
∴v= = ，V =(S−9c)×6=6S−54c，
t t
由图3，当t=21s时，V =(S−9c)×6=6S−54c，
由图4，当t=45s时，V =9×(S−6c)=9S−54c，
10S−54c 10S−54c 10S−54c
∴ ×21=6S-54c， ×45=9S-54c， ×62=10S-540
t t t
解得：t=53s，c=15cm，
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∴V =6×9×15=810cm3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，关键在于仔细观察图形，明确注入水的体积与水槽的体积以及
长方体的体积之间的关系，然后根据注入水的速度，利用图3、图4列出方程求出水槽的底面积与c的关
系式．
【变式9-3】（2023·河北石家庄·校考一模）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时
水箱A中没有水，水箱B中盛满水．现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，直至水箱A注满
水为止．设注水t(min)，水箱A的水位高度为y (dm)，水箱B中的水位高度为y (dm)，根据图中数据解
A B
答下列问题（抽水水管的体积忽略不计）
（1）水箱A的容积为______；（提示：容积=底面积×高）
（2）分别写出y 、y 与t之间的函数表达式；
A B
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
【答案】（1）36dm3；（2）y =t(0≤t≤6)，y =−0.6t+6(0≤t≤6)；（3）水位高度差为2dm．
A B
【分析】（1）根据长方体的体积公式计算即可．
（2）根据“水箱A的水位高度＝注入水的体积÷水箱A的底面积”得出yA与t之间的函数表达式；“水箱
B中的水位高度＝6﹣流出水的体积÷水箱B的底面积”得出yB与t之间的函数表达式；
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，即水箱B中的水还剩下一半，根据（2）的结论可以分别求
出两水箱中水位的高度即可解答．
【详解】解:(1)水箱A的容积为：3×2×6＝36dm3．
故答案为：36dm3．
6t
（2）根据题意得：y = =t(0⩽t⩽6)；
A 2×3
6t
y =6− =−0.6t+6(0⩽t⩽6)；
B 2×5
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1
（3）当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，y = ×6=3，
B 2
即﹣0.6t+6＝3，解得t＝5；
当t＝5时，yA＝t＝5．
∴yA﹣yB＝5﹣3＝2．
答：当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为2dm．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握注水速度＝注水体积÷注水时间，圆柱体积＝圆柱的底面
积×圆柱的高，这两个公式为解题关键．
【题型10 现实生活问题】
【例10】（2023·河南周口·校联考三模）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓
慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示．(温
馨提示：当石块位于水面上方时，F =G ;当石块入水后，F =G −F ．)则以下说法正确
拉力 重力 拉力 重力 浮力
的是（ ）
A．当石块下降3cm时，此时石块在水里
3 25
B．当6≤x≤10时，F拉力(N)与x(cm)之间的函数表达式为F = x+
和 8 4
C．石块下降高度8cm时，此时石块所受浮力是1N
22
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时石块距离水底 cm
3
【答案】D
【分析】根据函数图象待定系数法求得线段AB的解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】由题图可知，石块下降到6cm时，石块正好接触水面，故选项A错误；
当6≤x≤10时，设AB所在直线的函数表达式为
F=kx+b(k≠0)，
则¿
解得¿
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3 25
∴F=− x+ ，故选项B错误；
8 4
当石块下降的高度为8cm时，即x=8时，
3 25 13
F=− ×8+ = ，
8 4 4
∵G =4N，
加水
13
∴F=4− =0.75N，故选项C错误；
4
3 25
当F=3，即3=− x+ ，
8 4
26
解得x= ，
3
26 22
∴石块距离水底的距离为16− = cm，
3 3
故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键．
【变式10-1】（2023·陕西榆林·校考三模）顶碗舞是我国一种非常有特色的民间舞蹈，舞蹈演员头顶若干
相同规格的碗还可以跳出优美的舞姿．如图，规格相同的某种碗整齐地摞在一起，高度y(cm)为碗的个数x
的一次函数．已知3个碗摞在一起的高度为10cm，5个碗摞在一起的高度为13cm．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)若某舞蹈演员可以顶12个这种碗，求此时碗摞在一起的高度．
【答案】(1)y=1.5x+5.5
(2)23.5cm
【分析】（1）由题意，设y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法其函数解析式即可得到答案；
（2）根据题意，当x=12时，求出y值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵高度y(cm)为碗的个数x的一次函数，
∴设y=kx+b(k≠0)，
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由题意知，x=3,y=10；x=5,y=13，
将点(3,10),(5,13)代入y=kx+b得¿，解得¿，
∴y与x之间的函数关系式为y=1.5x+5.5；
（2）解：当x=12时，y=1.5×12+5.5=23.5(cm)，
答：12个这种碗摞在一起的高度是23.5cm．
【点睛】本题考查一次函数解实际应用题，读懂题意，利用待定系数法求出函数解析式是解决问题的关键．
【变式10-2】（2023·陕西西安·校考模拟预测）杆秤是我国传统的计重工具，其历史由来已久．如图1，可
以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘上所放物体的重量．称重时，若记秤砣到秤纽的水平距离为x（厘
米），秤盘所放物体重量为y（斤），其部分对应数据如下表．
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x（厘米） 1 3 4 6 11 12
y（斤） 0.75 1.25 1.50 2.25 3.25 3.50
(1)在图2中，通过描点的方法，判断哪一组数据是错误的?
(2)据（1）的图象，选择合适的函数模型，并利用这种函数关系求当秤盘所放物体重量为5斤时秤砣到秤
纽的水平距离．
【答案】(1)见详解，第4组数据错误
1 1
(2)求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y= x+ ，当秤钩上所挂物重是5斤时，秤杆上秤砣到秤
4 2
纽的水平距离是18厘米
【分析】（1）先利用描点法画出图象，即可作答；
（2）选择合适的函数模型，利用待定系数法求解函数表达式即可；把y=5代入（1）中解析式求值即可．
【详解】（1）描点如图所示，
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结合图形可知，除了第4组数据不同外，其他组数据均在图中的直线上，
故第4组数据是错误的
（2）结合（1）上图可知，y（斤）与x（厘米）之间符合一次函数图象，
设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y=kx+b，
把x=1，y=0.75；x=4，y=1.5代入，
得¿，
解得：¿，
1 1
∴求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为y= x+ ；
4 2
1 1
当y=5时， x+ =5，
4 2
解得：x=18
∴当秤钩上所挂物重是5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是18厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知
识解决问题．
【变式10-3】（2023·云南保山·统考一模）公司小李驾驶一辆小车到M市出差，将车停在了M市一个停车
场里，该停车场收费标准如下表：
时段 收费标准 备注
07时—22时 停车3小时以内（含3小时）5元/辆·
（小车） 次，超过3小时，每小时加收3元． 持续几天停车，仅前3小时收费5元；超
白天
过3小时，不足1小时的按1小时计算收
停车
07时—22时 停车3小时以内（含3小时）10元/辆· 费．
（大车） 次，超过3小时，每小时加收5元．
22时—07时
无论停车时间长短10元/辆·次
（小车）
夜间
停车
22时—07时
无论停车时间长短20元/辆·次
（大车）
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（1）设小李白天停车时长为x小时，应交停车总费用为y元，请写出y与x的函数表达式；
（2）如果小李是4月23日上午10：05 时驾车进入停车（开始计时收费），至次日中午12：30时驾驶车
辆驶出停车场（收费计时结束），小李应交停车费多少元？
【答案】（1）y=¿；（2）小李应交停车费60元．
【分析】（1）根据题意，可以写出小李白天停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数
表达式；
（2）分段计算出白天停车时长约为18小时，另加一个晚上，利用（1）所得函数表达式即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得，当x≤3时，y=5；
当x＞3时，y=5+(x-3)×3=3x-4，
由上可得，函数表达式是：y=¿；
（2）由题意可得，10：05 至22时，共11时55分，
22时 至第二天07时，收费，10元/辆·次，
07时至12：30，共5时30分，
所以：白天共用时11时55分+5时30分=17时25分≈18小时，
即x=18，代入y=3x−4得：y=50(元)，
所以小李应交停车费10+50=60(元) ．
答：小李应交停车费60元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的费用和写出相应的函数关
系式．
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