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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第六章 图形的变化
6.4 视图与投影
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三视图与投影 ☆☆☆ 数学中考中，有关视图与投影的部分，每年考
查1道题,属于必考知识点，难度不大，难度系
数0.7，分值为3分，通常以选择题的形式考
查。对于这部分的复习需要学生熟练掌握三视
考点2 几何体的平面展开图 ☆
图概念和区分，理解投影的类型及其区别，对
几何体的平面展开图通过强化训练就会化难为
易。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
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夯实基础
考点1. 三视图与投影
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物体在光线的照射下，会在某个平面 (地面或墙壁)上留下它的_____，这就是投影现
象。
(2) 平行投影：_____光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影。
(3) 中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从_____发出的，像这样的光线所形成的投影
称为中心投影。
(4) 平行投影与中心投影的区别与联系：
2.正投影
(1) 概念：投影线_____于投影面产生的投影叫做正投影．
(2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的____、____完全相同．
【方法指导】A. 根据两种物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两种物体
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的顶端和其影子的顶端的连线是平行还是相交，若平行则是在阳光下的投影，若相交则是在灯光下
的投影．
B. 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的
方向也发生变化，但光源、物体的影子始终在物体的两侧．
C. 物体的投影分为中心投影和平行投影．
3.三视图
(1) 三视图的概念
将三个投影面展开在一个平面内，得到这个物体的一张三视图.
1）主视图：从___面看得到的视图叫做主视图．
2）左视图：从____面看得到的视图叫做左视图．
3）俯视图：从___面看得到的视图叫做俯视图．
【注意】在三种视图中，主视图反映物体的长和高，左视图反映了物体的宽和高，俯视图反映了物
体的长和宽．
(2) 三视图的画法：
①确定主视图的_____，画出主视图；
②在主视图____下方画出俯视图，注意与主视图长对正；
③在主视图正____方画出左视图，注意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点划线表示对称轴.
注意：不可见的轮廓线，用____线画出.
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【易错提示】①画三视图要注意三要素：主视图与俯视图长度相等；主视图与左视图高度相等；左
视图与俯视图宽度相等．简记为“主俯长对正，主左高平齐，左俯宽相等”．
②注意实线与虚线的区别：能看到的线用实线，看不到的线用虚线．
(3)常见几何体的三视图：
(4) 由三视图确定几何体：
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧
面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形．
(5) 由三视图确定几何体的面积和体积：
①先根据给出的三视图确定立体图形，并确定立体图形的长、宽、高、底面半径等；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
考点2 几何体的平面展开图
1. 展开图：将立体图形沿某几条____剪开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图
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形的展开图。
2. 几何体展开图规律如下：
（1）沿多面体的棱将多面体剪开成平面图形,若干个平面图形也可以____一个多面体；
（2）同一个多面体沿不同的棱剪开,得到的平面展开图是不一样的,就是说:同一个立体图形可以有多
种_____的展开图。
3．常见几何体的展开图
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
【易错提示】正方体的展开图
正方体有11种展开图，分为四类：
第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如图10；
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第四类，两排各有三个，也只有1种，如图11．
考点1. 三视图与投影
【例题1】（2024福建省）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【变式练1】（2024武汉一模）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（
）
A. B.
C. D.
【变式练2】（2024贵州遵义一模）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（
）
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A. B. C. D.
【变式练3】（2024四川眉山一模）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【变式练4】（2024内蒙古呼和浩特一模）图中几何体的三视图是（ ）
A. B. C. D.
【变式练5】（2024山东潍坊一模）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何
体的表面积是（ ）
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A．20π B．18π C．16π D．14π
【例题2】（2024黑龙江绥化）下列叙述正确的是（ ）
A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【变式练1】（2024河北石家庄一模）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子
的图形的可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式练2】（2024河南郑州一模）小华家客厅有一张直径为 高为 的圆桌 有一盏灯
到地面垂直距离 为 圆桌的影子为 ，则点 到点 的距离为_______．
【变式练3】（2024浙江杭州一模）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，
把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是
BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则
AB=_________m．
考点2. 几何体的平面展开图
【例题3】（2024江苏盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么
在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
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A. 湿 B. 地 C. 之 D. 都
【变式练1】（2024黑龙江大庆一模）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且
有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（ ）
A B C D
【变式练2】（2024吉林长春一模）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为
5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是 ．（结果保留π）
【变式练3】（2024沈阳一模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
考点1 三视图与投影
1. （2024甘肃威武）如图所示，该几何体的主视图是（ ）
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A. B. C. D.
2. （2024广西）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力
时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024河北省）如图是由 个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024四川成都市）如图所示的几何体是由 5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是
（ ）
A. B. C. D.
5. （2024山东威海）下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯
视图完全相同的是（ ）
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A. B. C. D.
6. （2024四川广元）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
7. （2024甘肃临夏）马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一
件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A. 主视图和左视图完全相同 B. 主视图和俯视图完全相同
C. 左视图和俯视图完全相同 D. 三视图各不相同
8. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体
左视图与俯视图的面积和是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9·
9. （2024黑龙江绥化）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，
那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
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A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
考点2 几何体的平面展开图
1. （2024青海省）生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024江苏常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江苏扬州）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体
4. （2024江西省）如图是 的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展
开图的方法有（ ）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
5. （2024四川德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋
代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图
所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了
“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样．则在A、B、C处依次写上的字可以是（
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）
A. 吉 如 意 B. 意 吉 如 C. 吉 意 如 D. 意 如 吉
6. （2024四川广安）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，下图是它的一种展
开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A. 校 B. 安 C. 平 D. 园
7. （2024福建省）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用它
制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展
开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
（1）直接写出 的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应
选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
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A． B．
C． D．
（3）
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为 的
正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型
号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸
上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡
纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④
本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；
⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
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考点1 三视图与投影
1. 如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列图形中，主视图和左视图一样的是（ ）
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A. B. C. D.
4. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
5．下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
6. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
7.下列几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
A.四面体 B．圆锥 C．球 D．圆柱
8. 某种零件模型如图所示，该几何体（空心圆柱）的俯视图是( )
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A. B. C. D.
9. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
12. 我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的
侧面积（单位：平方米）是（ ）
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A．7.2 B．11.52 C．12 D．13.44
13. 如π图是一个几何体的三视图，π根据图中所标数据计π算这个几何体的体积为（π ）
A．12 B．18 C．24 D．30
14. 一π个长方体π的三视图π如图所示π，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
15．把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（ ）
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥
16. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图，则所需的小正方体的个
数最多是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
17. 把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是图中的( )
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A． B． C． D．
18．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上
的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地
面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A． 米 B．12米 C． 米 D．10米
19. 数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长
为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．
20．如图，小明在A时测得旗杆的影长是2米，B时测得旗杆的影长是8米，两次的日照光线恰好
互相垂直，则旗杆的高度是______米．
21. 一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.
(1) 求影子AB 的长度 (如图①)；
1 1
(2) 若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长AB (如图②)．
2 2
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22．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆
CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在
太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电
线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小
组的同学计算出了电线杆的高度．
(1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的；
(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．
23. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在
阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4
米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，
EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
24．如图所示，某校墙边有甲、乙两根木杆，如果乙木杆的影子刚好不落在墙上，
AB＝5 m，BC＝3 m
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影；
(2)若同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．
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考点2 几何体的平面展开图
1.如图所示的是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；
(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短
路程．
2．欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、
航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E
（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体
图形
顶点数V 4 6 8
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棱数E 6 12
面数F 4 5 8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：______________．
3．研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB
相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线 AB与CC′所
成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4
和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
22
