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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第七章 统计与概率
7.2 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 事件与概率 ☆☆ 数学中考中，有关概率的部分，每年考查1道题,分
值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题的其
中一种形式考查。难度不大，只要掌握概率的几种
计算方法就能获得满意的分数。但在解答里出现求
考点2 概率的计算 ☆☆☆
概率问题，一般是结合统计图综合考查，所以各种
统计图的意义要理解，对数据分析要熟练。
☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1 事件与概率
（一）确定事件和随机事件
1. 确定事件：确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括：
（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中_____会发生的事件．
（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件．
2. 随机事件：在一定条件下，可能____也可能不发生的事件，称为随机事件．
3. 随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可
能性的大小有可能_____．
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会
的大小．要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样．所谓判
断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题．
（二）概率
1. 概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的____，称为随机事
件A发生的概率，记为P(A) ．
2. 频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把
这一频率的_____作为该事件发生的概率的估计值．
3. 确定事件和随机事件的概率之间的关系：
（1）确定事件概率：
①当A是必然发生的事件时，P(A)=②当A是不可能发生的事件时，P(A)=（2）确定事件和随机事件
的概率之间的关系：
4. 古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限____个；②在一次
试验中，各种结果发生的可能性_____．我们把具有这两个特点的试验称为古典概型．
5. 计算概率的公式
P（A）= ，其中n为所有事件的_____，m为事件A发生的________．
【易错点提示】几何概型求法
一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝ ，解这类题除了
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掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算．
考点2 概率的计算
1. 用直接列举法求概率
（1）直接列举法：. 即把事件可能出现的结果______列出.
（2）直接列举法比较适合用于最多涉及_____个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种
数比较少的等可能性事件.
（3）随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与“一个随机事件先
后两次发生”的结果是一样的.
2. 用列表法求概率
（1）列表法：当一次试验要涉及____个因素，并且可能出现的结果数目______时，应不重不漏地列
出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
（2）列表格方法
【注意】在何种情况下求解概率使用列表格法的归纳总结
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列
出所有可能结果，通常采用列表法。
3. 利用画树状图法求概率
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（1）画树状图法：当一次试验要涉及____个或_____的因素时，按事件发生的次序，列出事件可能
出现的结果. 通常采用画树状图来求事件发生的概率．
（2）树状图的画法
如一个试验中涉及2个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况.则其树
形图如图。
（3）画树状图法求概率的步骤、适用范围、注意事项：
4. 利用频率估计概率
（1）利用频率估计概率。在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳
定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
（2）在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试
验称为模拟实验。
（3）随机数。在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随
机产生的数据称为随机数。
【易错点提示】概率与频率的关系
概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。
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考点1 事件与概率
【例题1】（2024贵州省）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为
0.4，下列说法正确的是（ ）
A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中
C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次
【对点变式练 1】（2024 湖北孝感一模）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是
（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
【对点变式练2】（2024辽宁一模）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无
其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
【例题2】 （2024深圳）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些
物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷
雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、
霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽
到的节气在夏季的概率为（ ）
A. B. C. D.
【对点变式练1】（2024上海一模）某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百
丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（
）
A. B. C. D.
【对点变式练2】（2024天津一模）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得
到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，求米粒落在阴影部分的概率。
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考点2 概率的计算
【例题3】（2024福建省）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数 2，3，5中，随机选取
两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【例题4】 （2024江苏盐城）在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议间学们利
用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动．
A．新四军纪念馆（主馆区）；
B．新四军重建军部旧址（泰山庙）：
C．新四军重建军部纪念塔（大铜马），
小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站．
（1）小明选择基地A的概率为________：
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率．
【对点变式练1】 （2024山东济宁一模）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项
目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好
都抽到种花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【对点变式练2】（2024云南一模）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳
远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目
的概率是（ ）
A. B. C. D.
【例题5】（2024江苏扬州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）．
【对点变式练1】（2024新疆一模）甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一
结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
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A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
【对点变式练2】（2024宁夏一模）某批羽毛球的质量检验结果如下：
抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200
优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128
优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940
小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的
是（ ）
A．如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动
B．从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品
C．从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只
D．从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内
考点1. 事件与概率
1. （2024武汉市）小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事
件是（ ）
A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件
2. （2024湖北省）下列各事件是，是必然事件的是（ ）
A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3 B. 某同学投篮球，一定投不中
C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯 D. 画一个三角形，其内角和为
3. （2024江苏连云港）下列说法正确的是（ ）
A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
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的
C. 小强一次掷出3颗质地均匀 骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
4. （2024辽宁）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外
都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为 的是（ ）
A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球
5. （2024广西）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中
随机取出1个球，取出白球的概率是（ ）
A. 1 B. C. D.
6. （2024湖北省）中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰
好是赵爽的概率是______．
7. （2024四川成都市）盒中有 枚黑棋和 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出
一枚棋子，如果它是黑棋的概率是 ，则 的值为______．
考点2. 概率的计算
1. （2024甘肃临夏）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上
制作了 ， ， ， 四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中 卡片的概率是______；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变
化的概率．
2. （2024黑龙江大庆）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”
是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点
中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是（ ）
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A. B. C. D.
3. （2024河北省）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有 ，除正面的代数式不同外，
其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当 时，求取出的卡片上代数式
的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表
格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
4. （2024河南省）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧
经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随
机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
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5. （2024黑龙江齐齐哈尔）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、
羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名
学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. （2024广州）善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对
， 两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：
分）：
75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
组
组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1）求 组同学得分的中位数和众数；
（2）现从 、 两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好
来自同一组的概率．
7. （2024甘肃威武）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有
数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上
的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
8. （2024贵州省）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过
7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到
10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
的
（1）男生成绩 众数为______，女生成绩的中位数为______；
（2）判断下列两位同学的说法是否正确．
（3）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请
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用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率．
9.（2024江苏扬州） 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、
瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动．
（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______；
（2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，
求小明和小亮选到相同景区的概率．
10. （2024山东烟台）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海
军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了
解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，
将数据分成四组（A组： ；B组： ；C组： ；D组： ），并绘制
了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；
（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所
抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
11. （2024黑龙江绥化）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体
操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学
生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活
动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
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（1）参加本次问卷调查的学生共有______人．
（2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展
示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
考点1. 事件与概率
1. 一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，
下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球
B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球
D．至少有2个球是白球
2. 如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、
D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关
C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
3. 如图，掷两枚质地均匀、大小完全相同的骰子，则下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷得的点数和为5 B．掷得的点数和为9
C．掷得的点数和大于15 D．掷得的点数和小于13
4. 某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇
到绿灯的概率是（ ）
1 1 1 5
A． B． C． D．
2 4 3 12
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5. 在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中有5个红球，
1
4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为 ，则随机摸出一个黄球的概率为（ ）
3
1 1 5 1
A． B． C． D．
4 3 12 2
考点2. 概率的计算
1. 从有理数−1，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线y=−x+1上的概率是
（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 5 4 3
2. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰
色区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 ，
则点 落在阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将
△FPM与△ECD涂成阴影．假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为
．
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5. 斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于NBA金州勇士队，下表是库里一段时
间内在罚球线上训练投篮的结果记录：
罚球总数 400 1000 1600 2000 2887
命中次数 348 893 1432 1802 2617
罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906
根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为 （精确到0.1）
6. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数 ， ， ， ，5.06006000600006……（相邻两
个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀
后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.在物理实验课上，同学们用三个开关、两个灯泡、一个电源、一个电阻及若干条导线连接如图所
示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ．
8. 用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为__________．
9.周至县历史悠久，山川秀丽，风景名胜与文物古迹颇多，人文和自然景观十分丰富，汉家离宫唐
家园林，星罗棋布．小刚和小强两人准备从A．楼观台国家森林公园，B．黑河国家森林公园，C．
沙河湿地公园，D．终南山鼓楼观景区中各自任意选择一景点游玩．
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楼观台国家森林公园 黑河国家森林公园沙河湿地公园 终南山鼓楼观景区
(1)小刚选择的景点是“沙河湿地公园”的概率为 ；
(2)请用列表法或画树状图的方法求两人选择的景点不同的概率．
10. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从 ， ，
三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择 景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择 景点的概率．
11. 元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是
《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没・逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从
《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，
《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素
影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y．
(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求(x,y)所有可能出现的结果总数；
(2)求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
12. 豫剧，又叫河南梆子、河南讴、土梆子等，是发源于河南省的一个戏曲剧种．如图，豫剧爱好
者小华购买了《豫剧》特种邮票1套3枚，第1枚《花木兰》，第2枚《七品芝麻官》，第3枚《朝
阳沟》，并计划把其中的两枚送给好朋友乐乐和妙妙．小华将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面
完全相同），先让乐乐从中随机抽取一枚（不放回），再让妙妙从中随机抽取一枚，则妙妙抽到第
三枚《朝阳沟》的概率是（ ）
1 1 2 1
A． B． C． D．
6 9 9 3
15
