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第 34 讲 概率
目 录
一、考情分析 二、知识建构
考点一 概率的相关概念
题型01 事件的分类
题型02 判断事件发生可能性的大小
题型03 理解概率的意义
题型04 判断几个事件概率的大小关系
考点二 概率的计算方法
题型01 根据概率公式计算概率
题型02 根据概率作判断
题型03 已知概率求数量
题型04 列举法求概率
题型05 画树状图法/列表法求概率
题型06 几何概率
题型07 由频率估计概率
题型08 用频率估计概率的综合应用
题型09 放回实验概率计算方法
题型10 不放回实验概率计算方法
题型11 游戏公平性
题型12 概率的应用
题型13 概率与统计综合
考点要求 新课标要求 命题预测
能通过列表、画树状图等 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年
概率的相
方法列出简单随机事件所有可能的 都会考查，是广大考生的得分点，分值为10分左右，预
关概念
结果，以及指定随机事件发生的所 计2024年各地中考还将出现. 该专题考题的类型也比较
有可能结果，了解随机事件的概 的固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概
概率的计 率. 率的基本定义和简单计算;综合考察时会和统计图表类问
算方法 知道通过大量重复试验， 题结合，作为最后一问，考察概率的树状图或者列表分
析. 因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审
可以用频率估计概率.
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题时要多加注意即可.
考点一 概率的相关概念
1. 概率的定义及计算公式
概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，
记为P(A).
概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
随 机 事 件 出 现 的 次数
概率公式： P(随机事件)= .
所 有 可 能 出 现 的 结 果数
2.确定事件与随机事件
定义 事件发生的概率
确 必然 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生， P(必然事件)=1
定 事件 这些事情称为必然事件。
事 不可能 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发 P(不可能事件)=0
件 事件 生，这些事情称为不可能事件。
不确定事件 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 0＜P(随机事件)＜1
（随机事件） 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。
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题型01 事件的分类
【例1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论．
【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件．
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断．
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
【答案】D
【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）下列事件是必然事件的是（ ）
A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
【变式1-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭
合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机
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事件的是（ ）
A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【答案】B
【分析】观察电路发现，闭合A,B或闭合C,D或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合1个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合4个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合2个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合3个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．
故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关
键．
【变式1-4】（2024·福建福州·校考一模）下列事件中是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯
C．平面内不共线的三点确定一个圆
D．任意画一个三角形，其内角和是540°
【答案】B
【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意；
B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意；
C．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定
条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
题型02 判断事件发生可能性的大小
【例2】（2022·广东中山·统考一模）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．
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比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样
的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法
中正确的是（ ）
A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大
C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同
【答案】D
【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小．
1
【详解】解：每个数字抽到的概率都为： ，
3
故小星抽到每个数的可能性相同．
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键．
【变式2-1】（2021·河北唐山·统考一模）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸
出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可．
1
【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性= ；
10
2 1
第二个袋子摸到红球的可能性= = ；
10 5
5 1
第三个袋子摸到红球的可能性= = ；
10 2
6 3
第四个袋子摸到红球的可能性= = ．
10 5
故选：D．
【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比，
难度适中．
【变式2-2】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，
每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．10
【答案】D
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【分析】根据摸到红球的可能性最大可得袋子里红球的个数最多，从而可得0<m<8，由此即可得．
【详解】解：因为从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大，
所以袋子里红球的个数最多，
所以0<m<8，
所以在四个选项中，m的值不可能是10，
故选：D．
【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，根据事件发生的可能性的大小求出m的取值范围是解题关
键．
【变式2-3】（2023·贵州贵阳·校考一模）将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4四个
数字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（ ）
A．数字大于2的卡片B．数字小于2的卡片
C．数字大于3的卡片 D．数字小于4的卡片
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性进行分析即可．
【详解】将4张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4四个数字，随机抽出一张，共有4种情
况，且出现数字为1，2，3，4的可能性相等
其中抽出数字大于2的卡片有2种情况；抽出数字小于2的卡片有1种情况；抽出数字大于3的卡片有1种
情况；抽出数字小于4的卡片有3种情况，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了判断事件发生的可能性的大小．熟练掌握判断事件发生的可能性的大小是解题的关键．
判断事件发生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大为 100%，不可能事件的
可能性最小为0，随机事件的可能性有大有小，其发生可能性介于0－100%．在随机事件中，要想判断
随机事件发生的概率就要列举出随机事件中可能出现的各种结果，其中包含的结果数多的事件发生的
可能性大．所以平时要多加练习如何列举全随机事件中包含的各种结果，如果少列举一种都会造成错
误结果．
题型03 理解概率的意义
【例3】（2022·广东深圳·校考一模）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P，
则（ ）
A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1
【答案】C
【分析】根据不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0而小于1，必然事件的概率为1，即可判断．
【详解】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，
都和前12人中的一个人同一个月过生日
∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件，
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即这一事件发生的概率为P=1．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键．
【变式3-1】（2022·安徽芜湖·统考一模）县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为90%，下列理
解正确的是（ ）
A．明天千岛湖镇下雨的可能性较大
B．明天千岛湖镇有90%的地方会下雨
C．明天千岛湖镇全天有90%的时间会下雨
D．明天千岛湖镇一定会下雨
【答案】A
【分析】概率是表示事件发生可能性大小的量，据此解得此题即可．
【详解】解：千岛湖镇明天下雨概率是90%，表示千岛湖镇明天下雨的可能性很大，但不是将有90%的地
方下雨，不是90%的时间下雨，也不是明天肯定下雨，
故选：A．
【点睛】此题考查概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
【变式3-2】（2022·河北石家庄·校联考一模）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下
列判断正确的是（ ）
A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次
B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次
C．连续掷2n次时，正面朝上一定会出现n次
D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5
【答案】D
【分析】根据概率的意义即可得出答案．
【详解】解：A. 连续掷2次时，正面朝上有可能出现，还有可能不出现，故选项A判断不正确；
B. 连续掷100次时，正面朝上不一定会出现50次，故选项B判断不正确；
C. 连续掷2n次时，正面朝上不一定会出现n次，故选项C判断不正确；
D. 当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5，正确，故选项D符合题意，
故选：D
【点睛】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．
【变式3-3】（2023·山西晋城·统考一模）在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代
物，但下列物品不能做替代物的是（ ）
A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌(一张黑桃，一张红桃)
C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉
【答案】D
1
【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为 ；若用其它物体代替只要此
2
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1
物体只能出现这两种情况且概率为 即可．
2
1
【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为 ，能作替代物，故不符合
2
题意；
1
B、两张扑克牌(1张黑桃，1张红桃)，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为 ，
2
与抛硬币一样，故不符合题意；
C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意；
D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考．
题型04 判断几个事件概率的大小关系
【例4】（2021·福建福州·福州三牧中学校考二模）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色
外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球
的可能性大，则红球的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上
【答案】D
【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案．
【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，
∴红球的个数比白球个数多，
∴红球个数满足6个或6个以上，
故选D．
【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可．
【变式4-1】（2023·广东云浮·统考二模）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的
事件是（ ）
A．朝上一面的点数大于2 B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数 D．朝上一面的点数是3的倍数
【答案】A
【分析】分别利用概率公式计算每个选项的概率后比较即可得出答案
4 2
【详解】解：选项A的概率 =
6 3
1
选项B的概率
6
3 1
选项C的概率 =
6 2
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2 1
选项D的概率 =
6 3
2 1 1 1
由 > > >
3 2 3 6
故选：A
【点睛】本题考查概率公式的应用，解题的关键是能准确找出所求情况数与总情况数
【变式4-2】（2020·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）桌子上有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯
75%的酒精，3杯双氧水，从6个杯子中随机取出1杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ．
（填序号 即可）①取到75%的酒精；②取到双氧水；③没有取到75%的酒精；④取到84消毒液．
【答案】③②①④
【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目．
【详解】∵有6杯同样型号的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯双氧水，
2 1
∴①取到75%的酒精的概率是 = ；
6 3
3 1
②取到双氧水的概率是 = ；
6 2
4 2
③没有取到75%的酒精的概率是 = ；
6 3
1
④取到84消毒液 ；
6
∴按事件发生的可能性从大到小排列：③②①④；
故答案为：③②①④．
【点睛】本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情
况数之比．
考点二 概率的计算方法
公式法 m
P（A）= ，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
n
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列
举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
【注意事项】
列举法 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.
2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等.
3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图
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法.
画树状图法求概率的步骤：
画树状图法 1) 明确试验由几个步骤组成；
2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果；
3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解.
当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
列表法 列表法求概率的步骤：
1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格；
2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值；
m
3）利用概率公式P(A)= ，计算出事件的概率．
n
通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示
用频率估计 出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率.
概率的方法 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等
时，一般通过统计频率来估计概率．
1. 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地
列出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法. 当试验包含三步或三步以上时，不能
用列表法，用画树状图法比较方便.
2. 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确.
题型01 根据概率公式计算概率
【例1】（2023·广西·模拟预测）书架上有2本数学书、1本物理书．从中任取1本书是物理书的概率为（
）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【答案】B
【分析】根据概率公式直接求概率即可；
【详解】解：一共有3本书，从中任取1本书共有3种结果，
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选中的书是物理书的结果有1种，
1
∴从中任取1本书是物理书的概率= .
3
故选： B．
【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、1个白球，它们除
颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ）
3 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 3 4
【答案】A
【分析】根据概率公式计算，即可求解．
3 3
【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球为红球的概率是 = ．
3+1 4
故选：A
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可
能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
【变式1-2】（2023·广西·模拟预测）老师从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选
中甲同学的概率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
5 4 3 4
【答案】B
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找到全部情况的总数以及符合条件的情况，两者的比值就是其发
生的概率的大小．
【详解】解：根据题意可得：从甲、乙，丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，总数是4个人，
1
符合情况的只有甲一个人，所以概率是P= ，
4
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
m
A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= ．
n
【变式1-3】（2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘
自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇
数的概率是 ．
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3
【答案】
5
【分析】由题意知，一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，标有奇数的三角形
有3个，用奇数的个数除以数字的总数即为这个数是一个奇数的概率．
【详解】解：一个质地均匀的正五边形转盘被分成5个形状大小相同的三角形，上面分别标有奇数的三角
3
形有3个，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数，这个数是一个奇数的概率是：3÷5= ．
5
3
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查概率的求法与运用．一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
m
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= ．
n
题型02 根据概率作判断
【例2】（2020·北京·一模）一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，每个球除颜色外都相
同．任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率相同，下列m与n的关系一定正确的是（ ）
A．m=n=8 B．n−m=8 C．m+n=8 D．m−n=8
【答案】C
【分析】先根据概率公式得出：任意摸出一个球，是黄球的概率与不是黄球的概率（用含m、n的代数式
表示），然后由这两个概率相同可得m与n的关系．
【详解】解：∵一个不透明的袋中装有8个黄球，m个红球，n个白球，
8 m+n
∴任意摸出一个球，是黄球的概率为： ，不是黄球的概率为： ，
8+m+n 8+m+n
∵是黄球的概率与不是黄球的概率相同，
8 m+n
∴ ＝ ，
8+m+n 8+m+n
∴m+n＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，属于基础题型，解题时注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式2-1】（2015·河北石家庄·统考一模）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“ ”的概率
是0.5，则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A，B之间，电流能够正常通过的概率是 ．
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3
【答案】
4
【分析】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为
0.25，进而由概率的意义可得一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率．
【详解】解：根据题意，某一个电子元件正常工作的概率为0.5，即某一个电子元件不正常工作的概率为
0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25(正常正常，正常不正常，不正常正常，不正常不正常)
故一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率=1-0.25=0.75
故答案为：0.75．
【点睛】本题考查了等可能事件的概率，于基础题，到的知识点为：电流正常通过的概率=1-电流不能正常
通过的概率．
【变式2-2】（2023·福建厦门·统考一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无
1
其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为 的事件： ．
3
【答案】摸出红球
【分析】根据概率公式确定答案即可．
1
【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是 ．
3
故答案为：摸出红球．
【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键．
题型03 已知概率求数量
【例3】（2023·广东·统考二模）一个不透明的口袋中装有n个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入
两个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则
n的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】A
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为0.1，由此根据概率计算公
式建立方程求解即可．
2
【详解】解：由题意得， =0.1，
n+2
解得n=18，
经检验，n=18是原方程的解，
故选：A．
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【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率
值是解题的关键．
【变式3-1】（2023·山东临沂·统考一模）一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它
1
差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为 ，则这个箱子中黄球的个数为 个．
4
【答案】15
【分析】设黄球的个数为x个，根据概率计算公式列出方程，解出x即可．
【详解】解：设黄球的个数为x个，
5 1
=
x+5 4
解得：x=15，
检验：将x=15代入x+5=20，值不为零，
∴x=15是方程的解，
∴黄球的个数为15个，
故答案为：15．
【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
【变式3-2】（2018·四川成都·成都外国语学校校考一模）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，
3
发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为 ”，则这个袋中白球大约有 个．
4
【答案】2
【分析】根据已知概率与概率公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球(6+n)个，
3
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为 ，
4
6 3
∴ = ，
6+n 4
解得：n=2（经检验符合题意）．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．注意方
程思想的应用．
【变式3-3】（2020·辽宁鞍山·统考一模）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜
色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有
20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 ．
【答案】24
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入
手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，
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20 4
∴白球所占的比例为：1− = ，
100 5
x 4
设袋子中共有白球x个，则 = ，
6+x 5
解得：x=24，
经检验：x=24是原方程的解，
故答案为：24．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
【变式3-4】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，
具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，
将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断
重复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 26 38 50 127 197 251
摸到白球的频率
m 0.260 0.253 0.250 0.254 0.246 0.251
n
(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为
___________（精确到0.01）；
(2)试估算盒子里有多少个白球？
(3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小
球”的概率．
【答案】(1)0.25
(2)1
1
(3)
2
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，
根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，
据此可得．
（2）设盒子里有x个白球，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案；
（3）先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出“摸到两个颜色相同小球”的结果数，然后根
据概率公式求解．
【详解】（1）从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为0.25；
故答案为：0.25；
x
（2）设盒子里有x个白球，根据题意，得： =0.25，
4
解得：x=1，
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∴盒子里有1个白球．
（3）随机摸出两球的树状图如下：
共有12种等可能结果，而“摸到的两个球是颜色相同的小球”6种结果，
6 1
“摸到两个颜色相同小球”的概率是 = ．
12 2
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固
定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概
率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
题型04 列举法求概率
【例4】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主
要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随
机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
1 3 1 2
A． B． C． D．
3 8 2 3
【答案】B
【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解．
【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，
共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种，
3
∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 ，
8
故选：B
【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键．
【变式4-1】（2023·广东佛山·校考一模）宋代程颢的《秋月》有四句古诗如下：
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①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 18 24 64
【答案】C
【分析】本题是排序古诗相当于简单随机事件中的“不放回”事件，求出总的可能为24，第一次调整可能
1
占其中一种，第一次就调整正确的可能性大小是 ．
24
【详解】解：这首诗四句随机排列的顺序共有24种情况：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，
①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，
③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，
④②③①，④③①②，④③②①因为这24种情况出现的可能性大小相等，正确的顺序只有一种④②①③，
1
故第一次就调整正确的可能性大小是 ．
24
故答案选：C
【点睛】本题是考查等可能概型的概率计算公式计算概率，熟练掌握简单随机事件概率的计算方法进行求
解是解决本题的关键．当出现可能结果多种时，用树状图辅助列出所有可能出现的结果．
【变式4-2】．（2021·山东潍坊·校考二模）现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，
可以组成三角形的概率为 ．
2
【答案】
5
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.
【详解】五根木棒，任意取三根共有10种情况：
3、5、8
3、5、10
3、5、13
3、8、10
3、8、13
3、10、13
5、10、13
5、8、10
5、8、13
8、10、13
其中能组成三角形的有：
①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；
②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；
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③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；
④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；
所以有4种方案符合要求，
4 2
故能构成三角形的概率是P= = ，
10 5
2
故答案为： .
5
【点睛】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考
虑要全面，不能重复也不能遗漏.
题型05 画树状图法/列表法求概率
【例5】（2023·山东济南·统考一模）为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽
取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ）
1 1 3 5
A． B． C． D．
2 4 4 12
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生
的概率．
【详解】解：画树状图得：
∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
6 1
∴P（抽到甲）= = ．
12 2
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式5-1】（2022·广东深圳·校考一模）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的
概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
12 6 3 2
【答案】B
【分析】利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为7
的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率．
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【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
1
6 7 8 9 11 12
0
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为7的结果数为
6 1
6，故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是： =
36 6
故选：B．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所
有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
【变式5-2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球
面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任
意摸出1个球，记下数字．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
1
【答案】(1)
3
4
(2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为
9
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【详解】（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
1
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是
3
1
故答案为： .
3
（2）解：画树状图如下：
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共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：
(1，1)，(1，3)，(3，1)，(3，3)，共4种，
4
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为 .
9
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【变式5-3】（2023·陕西宝鸡·统考一模）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西
瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为
15kg的概率．
2
【答案】(1)
5
1
(2)见解析，
5
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率
公式计算．
2
【详解】（1）解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ，
5
2
故答案为： ；
5
（2）解：列表如下：
第二
个 6 6 7 7 8
第一个
1
6 12 13 14
3
1
6 12 13 14
3
7 13 13 14 15
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1
7 13 13 15
4
1
8 14 14 15
5
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种．
4 1
∴P= = ．
20 5
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果
求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，从而求出概率．
【变式5-4】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相
等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上
的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________．
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树
状图法求满足a+b<0的概率．
1 2
【答案】(1) ；
3 3
1
(2)满足a+b<0的概率为 ．
3
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
1
【详解】（1）解：转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是 ；
3
2
转盘乙指针指向正数的概率是 ．
3
1 2
故答案为： ； ．
3 3
（2）解：列表如下：
乙
-1 -6 8
甲
-4 -5 -10 4
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5 4 -1 13
7 6 1 15
由表知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有3种结果，
3 1
∴满足a+b<0的概率为 = ．
9 3
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
题型06 几何概率
【例6】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜
色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正
方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形
OAB（阴影部分）的概率是（ ）
π π √10π √5π
A． B． C． D．
12 24 60 60
【答案】A
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，OB=√32+12=√10，
90·π×10 5π
∴阴影部分面积为： = ，
360 2
5π
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是 2 π ，
=
30 12
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求
事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
【变式6-1】（2022·福建漳州·统考模拟预测）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落
在白色区域的概率为( )
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1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 5 5
【答案】A
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是
几何概率．
【详解】解：设正六边形边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，如图所示：
360°
∵正六边形的内角为180°− =120°，
6
1 √3
∴在Rt ΔACD中，∠ADC=90°,∠CAD=60°,AC=a，则AD= a,CD= a，
2 2
∴BC=2CD=√3a，
√3 3
∴在Rt ΔBCE中，∠BEC=90°,∠BCE=60°,BC=√3a，则CE= a,BE= a，
2 2
1 1 1 3
则灰色部分面积为3S =3× BC⋅AD=3× ×√3a× a= √3a2 ，
ΔABC 2 2 2 4
1 √3 3 3√3
白色区域面积为2S =2× CE⋅BE= a× a= a2 ，
ΔBCE 2 2 2 4
3
所以正六边形面积为两部分面积之和为
√3a2
，
2
3
√3a2
4 1
飞镖落在白色区域的概率P= = ，
3 2
√3a2
2
故选：A．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．
【变式6-2】（2022·福建龙岩·统考一模）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），
小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围
起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上
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或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计
不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2 B．7m2 C．8m2 D．9m2
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形
的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
x
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
20
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，
小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
x
综上有： =0.35，解得x=7．
20
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解
题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
【变式6-3】（2020·浙江衢州·统考模拟预测）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，
指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 8
【答案】A
【分析】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．
120 1
【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是： = ．
360 3
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故选：A．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率的求法是解题关键．
【变式6-4】（2022·贵州毕节·统考模拟预测）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割
成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被
涂色的概率为（ ）
4 2 8 20
A． B． C． D．
27 9 27 27
【答案】B
【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面只
有一个面涂有颜色，有6种结果，根据几何概率及其概率的计算公式，即可求解．
【详解】解：解：由题意，在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm的
小正方体，
在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有
一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，
可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，
满足条件的事件是取出的小正方体表面有一个面都涂色，有6种结果，
6 2
所以所求概率为 = ．
27 9
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
【变式6-5】（2023·湖南株洲·校考模拟预测）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在
某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ．
4
【答案】
9
【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，
4
∴它最终停留在阴影区域的概率是 ．
9
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4
故答案为：
9
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可
能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
【变式6-6】（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E
在线段BC上，OF⊥OE交CD于点F，小明向正方形内投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是
．
1
【答案】
4
1
【分析】由正方形的性质求得△OCE≌△ODF，从而得出阴影面积=△ODC面积= 正方形面积，再由几何
4
概率计算求值即可；
【详解】解：ABCD是正方形，则OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∠EOF=∠COD，则∠EOF-∠FOC=∠COD-∠FOC，
∴∠EOC=∠FOD，
∴△OCE≌△ODF（ASA），
∴△OCE面积等于△ODF面积，
1
∴阴影面积=△ODC面积= 正方形面积，
4
1
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ，
4
1
故答案为： ；
4
【点睛】本题考查了正方形的性质，几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和
整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示．
题型07 由频率估计概率
【例7】（2020·浙江绍兴·统考模拟预测）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出
现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
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A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【答案】C
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行
判断．
1
【详解】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为 ，不符
4
合题意；
1
B、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为 ，不符合题意；
6
1
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是 ，符合题意；
3
1
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为 ，不符合题意，
2
故选C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
【变式7-1】（2023·山东青岛·模拟预测）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外
都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，
共摸了100次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为 ．
【答案】6
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可．
75
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为8× =6（个）．
100
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率，用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
【变式7-2】（2023·江苏扬州·校考二模）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出
100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各
捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是
鱼池（填甲或乙）
【答案】甲
【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数
即可得到结论．
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【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
5 100
鱼的概率近似= = ，解得x＝2000；
100 x
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
10 100
鱼的概率近似= = ，解得y＝1000；
100 y
∵2000>1000，
∴可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等
量关系．
【变式7-3】（2023·广东佛山·统考一模）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某
种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是
这种幼树移植过程中的一组统计数据：
1000
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 15000 20000
0
幼树移植成活数
87 893 4485 7224 8983 13443 18044
（棵）
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1）
【答案】0.9
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这
个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，
∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，
故答案为：0.9．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
【变式7-4】（2023·福建三明·统考一模）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数 20 80 100 200 400 800 1000
射中九环以上次数 18 68 82 166 330 664 832
射中九环以上的频
0.90 0.85 0.82 0.83 0.825 0.83 0.832
率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“中九环以上”的概率约是 .（精确到0.01）
【答案】0.83
【分析】根据大量的试验结果稳定在0.83左右即可得出结论．
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【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83．
故答案为：0.83．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左
右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个
固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
题型08 用频率估计概率的综合应用
【例8】（2022·福建·二模）不透明袋子中装有红、黄小球各若干个，这些球除颜色外无其他差别．把“从
袋子中随机摸出一个小球”作为试验，每次试验后，将摸出的小球放回摇匀，再进行下一次试验．试验数
据显示：大量重复试验后，摸出红球的频率越来越稳定于0.2，则下列对于袋子中球的数量的估计，最合
理的是（ ）
A．红球有2个 B．黄球有10个
C．黄球的数量是红球的4倍 D．黄球和红球的数量相等
【答案】C
【分析】设袋子中球的总数为n，则红球的个数为0.2n，黄球的个数为n-0.2n=0.8n，进而可得答案．
【详解】解：设袋子中球的总数为n，则由题意可得，
红球的个数为0.2n，黄球的个数为n-0.2n=0.8n，
因为n的值不确定，所以唯一能确定的是黄球的数量是红球的4倍，
故选C
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确掌握频率的求法是解题的关键．
【变式8-1】（2015·河北·模拟预测）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，
绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6
【答案】D
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【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行
判断．
1
【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是 ，不符合题意；
3
13 1
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 = ，不符合题意；
52 4
1
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率是 ，不符合题意；
3
1
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是6的概率是 ≈0.17，符合题意；
6
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能
性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
【变式8-2】（2023·北京朝阳·统考二模）某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下：
射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500
射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455
射中靶心的频率
m 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91
n
下列说法正确的是（ ）
A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90
B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90
C．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次
D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次
【答案】A
【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解：依题意得击中靶心频率为0.90，
A、该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90，该选项说法正确；
B、该选手射箭80次，射中靶心的频率可能超过0.90，该选项说法错误；
C、该选手射箭400次，射中靶心的次数可能超过360次，该选项说法错误；
D、该选手射箭1000次，射中靶心的次数不一定为910次，该选项说法错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决
问题．
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【变式8-3】（2020·江苏扬州·统考模拟预测）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如
图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中
黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在
0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
【答案】2.4
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可；
【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%，
∴黑色部分的面积约为：4×60%=2.4cm2，
故答案为2.4cm2．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．
【变式8-4】（2023·江苏徐州·统考一模）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行
“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成
员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了
调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
频
组别 睡眠时间分组 频率
数
A t<6 4 0.08
B 6≤t<7 8 0.16
C 7≤t<8 10 a
D 8≤t<9 21 0.42
E t≥9 b 0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a=________，b=________；
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（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是________°；
（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向
学校提出一条合理化的建议．
【答案】（1）0.2,7；（2）72；（3）144人；（4）建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作
业．
频数
【分析】（1）按照频率= 进行求解，根据组别A的频数和频率即可求得本次调查的总人数，再
总 体数 量
频数
按照公式频率= 进行求解，即可得到a，b的值；
总体数量
（2）根据（1）中所求得的a的值，即可得到其在扇形中的百分比，此题得解；
（3）根据频率估计概率，即可计算出该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；
（4）根据（3）中结果，即可知道该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，根据实际情况提出建议．
频数 4
【详解】（1）根据组别A，本次调查的总体数量= = =50，
频率 0.08
频数 10
∴组别C的频率= = =0.2，
总体数量 50
∴组别E的频数=频率×总体数量=0.14×50=7，
∴a=0.2，b=7；
（2）∵（1）中求得a的值为0.2，
∴其在扇形中的度数=360°×0.2=72°；
（3）组别A和B的频率和为：0.08+0.16=0.24，
∴八年级学生中睡眠不足7小时的人数=600×0.24=144（人）；
（4）根据（3）中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，
课后少布置作业．
频数
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握频率= ，解答本题的关键是掌握
总体数量
频率、频数和总体数量的关系．
题型09 放回实验概率计算方法
【例9】（2017·河北·模拟预测）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，小颖做摸球试
验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．
如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
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(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到0.1），假如小李摸一次球，
小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
3
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在 ，需要往盒子里再放入多少个白球？
5
【答案】(1)0.5，0.5
(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个
(3)10个
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已
知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．
（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有40×0.5=20（个），则黑颜色的球有40−20=20（个）；
20+x 3
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，依题意得， = ，计算求解，然后作答即可．
40+x 5
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近0.5，假如小李摸一次球，小
李摸到白球的概率为0.5，
故答案为：0.5，0.5；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有40×0.5=20（个），
黑颜色的球有40−20=20（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有20个；
（3）解：设需要往盒子里再放入x个白球，
20+x 3
依题意得， = ，
40+x 5
5(20+x)=3(40+x)，
解得，x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，
∴需要往盒子里再放入10个白球．
【变式9-1】（2024·福建南平·统考一模）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1，3，4，5 的
小球．它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒
子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 y．
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(1)列出表示点(x,y)的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数y=5x的图象上的概率．
【答案】(1)(1,1)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，
(5,3)，(5,4)，(5,5)
1
(2)
16
【分析】本题主要考查用概率公式求概率以及用列表法或画树状图法求概率：
（1）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果．
（2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出答案即可．
【详解】（1）解：列表如下：
1 3 4 5
1 (1,1) (1,3) (1,4) (1,5)
3 (3,1) (3,3) (3,4) (3,5)
4 (4,1) (4,3) (4,4) (4,5)
5 (5,1) (5,3) (5,4) (5,5)
共有16种不同的结果：(1,1)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,4)，
(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,4)，(5,5)；
（2）解：∵共有16种情形，其中落在一次函数y=5x的图象上有1种，即点(1,5)，
1
∴落在一次函数y=5x的图象上的概率为 ．
16
【变式9-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）一个不透明的箱子里装有1枚黑棋子和若干枚白棋子，这些
棋子除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的棋子摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回箱子里，
1
通过大量重复试验后，发现摸到黑棋子的频率稳定于 ．
3
(1)请你估计箱子里白棋子的数量；
(2)若一个不透明的袋子里装有2枚黑棋子和1枚白棋子，从箱子和袋子里各随机摸出一枚棋子，请用树状
图或列表法求摸出的两枚棋子颜色不同的概率．
【答案】(1)2个
5
(2)
9
1
【分析】（1）设白棋子有x个，根据多次摸棋子试验后发现，摸到黑棋子的频率稳定在 左右可估计摸到
3
1
黑棋子的概率为 ，据此利用概率公式列出关于x的方程，解之即可；
3
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
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1
【详解】（1）解：∵通过多次摸白棋子试验后发现，摸到黑棋子的频率稳定在 左右，
3
1
∴估计摸到黑棋子的概率为 ，
3
设白棋子有x个，
1 1
根据题意，得： = ，
1+x 3
解得x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
∴估计箱子里白棋子的个数为2；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中摸出的两枚棋子颜色不同的结果数为5，
5
则摸出的两枚棋子颜色不同的概率为 ．
9
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
【变式9-3】（2021·广东清远·一模）为庆祝党的二十大胜利召开，阳光中学举行作文比赛，题目有“科技
托起强国梦”“家乡的新变化““时代赋予我们的使命”．比赛时，将这三个作文题目写在三张无差别不
透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，然后参赛学生依次抽取：乐乐先从中随机抽取一张卡
片，放回后洗匀，再由贝贝从中随机抽取一张卡片，……，每人所抽取到的卡片题目均为自己此次参赛作
文的题目．
(1)贝贝抽中题目“家乡的新变化“的概率是 ．
(2)请用画树状图或列表的方法表示出乐乐和贝贝两人抽取的所有可能的结果，并求出他俩抽中不同题目的
概率．（三个作文题目分别用字母A，B，C表示）
1
【答案】(1)
3
2
(2)
3
【分析】（1）根据概率的计算公式求解即可．
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（2）先画出树状图，列出所有可能结果，再从中找出他俩抽中不同题目的所有结果，再根据概率的计算
公式计算即可．
1
【详解】（1）（1）贝贝抽中题目“家乡的新变化”的概率是 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）树状图如图所示：
6 2
共有9种等可能的情况数，其中他俩抽中不同题目的有6种，所以他俩抽中不同题目的概率为 = ．
9 3
【点睛】本题主要考查了概率的计算．如果一个实验由n中等可能的结果，事件A包含其中的m中结果，
m
那么事件A发生的概率为：P(A)= ．掌握概率的计算方法是解题的关键．
n
题型10 不放回实验概率计算方法
【例10】（2023·江苏盐城·校考二模）盐城地处黄海之滨，市域内海洋滩涂资源丰富，滩涂面积占江苏省
滩涂总面积近70%，被誉为“东方湿地之都”．黄海湿地文化是盐城身份认同、文化自信的重要载体，丹
顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬“湿地吉祥三宝”更是世界闻名．为保护与宣传这“三宝”，某校生物兴趣小组设计
了3张环保宣传卡片，正面分别绘有丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬图案，除此之外卡片完全相同．
(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为
_____；
(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请
用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率．
1
【答案】(1)
3
1
(2)
3
【分析】（1）利用概率公式可直接得出答案；
（2）利用列表或画树状图的方法表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公
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式求解．
1
【详解】（1）解：由题意知，恰好是“麋鹿”的概率为 ，
3
1
故答案为： ；
3
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有6种等可能的情况，其中恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的情况有2种，
2 1
= ，
6 3
1
因此抽取的卡片正面图案恰好是“丹顶鹤”和“勺嘴鹬”的概率是 ．
3
【点睛】本题考查列表或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图表示出所有等可能的情况，
做到不重复、不遗漏．
【变式10-1】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）中国一中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，
让千年古都再次聚焦世界的目光．也让每一个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分
别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球
(1)若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为 ；
(2)从袋中任取一个小球，不放回．搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法（汉字
不分先后顺序）求出取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．
1
【答案】(1)
6
1
(2)
5
【分析】（1）根据概率计算公式即可求解；
（2）运用画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式即可求解．
【详解】（1）解：∵“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球，任取一球，
1
∴取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为 ，
6
1
故答案为： ．
6
（2）解：画树状图如下：
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所有等可能的情况有30种，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的情况
有6种，
6 1
∴取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率为 = ．
30 5
【点睛】本题主要考查概率的计算，运用画树状图或列表法求随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关
键．
【变式10-2】（2022·广东湛江·校联考二模）在一个不透明的布袋中，有红，白两种颜色的小球，这些球
2
除颜色外都相同，其中白球1个，现从中任意摸出一个红球的概率为 ．
3
(1)求袋中红球的个数为___________．
(2)搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．请用树状图或表格求两次都
摸到红球的概率．
【答案】(1)2
1
(2)
3
【分析】（1）设有x个红球，根据摸出红球的概率列式计算即可；
（2）运用树状图或表格法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法计算即可．
【详解】（1）解：设有x个红球，
x 2
∴ = ，解得，x=2，
1+x 3
∴袋中红球的个数为2个，
故答案为：2．
（2）解：画树状图为（两个红球分别表示为红1，红2）：
共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，
2 1
∴两次都摸到红球的概率为 = ．
6 3
【点睛】本题主要考查概率的计算方法，运用树状图或表格法求随机事件的概率，掌握以上知识是解题的
关键．
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【变式10-3】（2023·吉林白山·校联考二模）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为1、2、
2、3，将这四张扑克牌背面，朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．
请用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率．
1
【答案】
3
【分析】先画树状图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的结果有4
种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图所示
共有12种可能的结果，其中抽取的这两张牌的版面数字之和为偶数的有4种，所以抽取的这两张牌的版面
4 1
数字之和为偶数的概率为 = ．
12 3
【点睛】本题考查的是树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或
两步以上完成的事件．
【变式10-4】（2023·江苏连云港·统考一模）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，
盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
(1)搅匀后从中摸出1个盒子，则摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率 ；
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回)，再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，用列表法或画树状图法求2
次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接)．
1
【答案】(1)
3
2
(2)见解析，
3
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概
率公式计算可得．
【详解】（1）解：搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
1
所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为 ；
3
（2）解：画树状图如下：
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由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
4 2
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为 = ．
6 3
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
对于“放回”和“不放回”的题目，易错点在于不知道如何判断是“放回”还是“不放回”，只要
判断正确，然后结合树状图等方法就能迎刃而解：如，过红绿灯、选择直行、左、右转弯等，就属于
放回这类问题，他们有共同特征就是每一次都有同样多的选择；从几个人里选两个人参加活动、一次
性选择两个物品等，属于不放回问题，他们的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别
注意同时抽取，也是表示抽出来不放回．做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多
的选择还是少了一种选择以正确判断是“放回”还是“不放回”．
题型11 游戏公平性
【例11】（2022·北京西城·统考二模）如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙”）一
定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ．
【答案】 乙 e，f．
【分析】（1）乙首次也取走3个球，但必须相邻，有两种取法，分类讨论即可判断；
（2）分乙取三个球和乙取二个球两种情况讨论，再在乙取二个球的情况下，再分乙取c，d，乙取d，e，
乙取e，f，三种情况讨论；当乙取e，f时，再分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c，d的3个球，
∴还剩下a，⋯，e，f，g，h，
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又∵乙首次也取走3个球，但必须相邻，
∴乙可以取e，f，g或f，g，h，
若乙取e，f，g，只剩下a，⋯，h，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取f，g，h，只剩下a，⋯，e，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
枚答案为：乙；
（2）∵甲首次取走a，b二个球，还剩下c，d，e，f，g，h，
①若乙取三个球:
若乙取c，d，e或f，g，h，那么剩下的球是连着的，故若甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取d，e，f，此时甲取g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，g，此时甲取d，则c，h，不相邻，则甲胜；
②若乙取二个球:
若乙取c，d，此时甲取f，g，那么剩下e，h，不相邻，则甲胜；
若乙取d，e，此时甲取f，g，则c，h，不相邻，则甲胜；
若乙取e，f，
此时甲取c，d或g，h，则乙胜；
若甲取c或d，那么乙取g或h，则乙胜；
若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下2个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取e，f，
故答案为：e，f．
【点睛】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜．
【变式11-1】（2023·云南·模拟预测）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、
王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，
均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做
游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，
4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随
机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】游戏对双方都公平
【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解．
【详解】解：所有可能的结果如下：
乙
1 2 3 4 5
甲
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1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果．
5 1
∴P（小冰获胜）= =
10 2
5 1
P（小雪获胜）= =
10 2
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
【变式11-2】（2021·云南昆明·校联考一模）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张
入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面
积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可
以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析
【分析】画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解．
【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下：
如图，
∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种，
3 1
∴P（紫色）= = ，
6 2
∴这个游戏对双方公平．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，
否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键．
【变式11-3】（2020·云南昆明·统考一模）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同
的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．
（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；
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（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，
若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则
对双方是否公平．
2
【答案】(1)P(摸出白球)＝ ；(2)这个游戏规则对双方不公平.
3
【分析】(1)根据A袋中共有3个球 ，其中2个是白球，直接利用概率公式求解即可；
(2)列表得到所有等可能的结果，然后分别求出小林获胜和小华获胜的概率进行比较即可.
【详解】(1)A袋中共有3个球，其中有2个白球，
2
∴P(摸出白球)＝ ；
3
(2)根据题意，列表如下：
红1 红2 白
白1 (白1，红1) (白1，红2) (白1，白)
白2 (白2，红1) (白2，红2) (白2，白)
红 (红，红1) (红，红2) (红，白)
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种，
4 5
∴P(颜色相同)＝ ，P(颜色不同)＝ ，
9 9
4 5
∵ ＜ ，
9 9
∴这个游戏规则对双方不公平.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．
题型12 概率的应用
【例12】（2022·福建·校联考一模）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方
案中选择一种：
方案一：购物每满200元减66元；
方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中
有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为w，w的
值和享受的优惠如表所示．
w的值 2 6 10
实际付
8折 7折 6折
款
(1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率；
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(2)若某顾客的购物金额为a元（200<a<300），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时a
的取值范围．
2
【答案】(1)
3
(2)220<a<300
【分析】（1）列出表格，得到所有的等可能的结果，根据概率公式即可得结果．
（2）根据题意分别表示出顾客按方案一、方案二需要支付的金额，然后根据选择方案二更优惠列出不等
式，即可求解．
【详解】（1）解：列表如下：
1 1 5 5
1 （1，1） （1，5） （1，5）
1 （1，1） （1，5） （1，5）
5 （5，1） （5，1） （5，5）
5 （5，1） （5，1） （5，5）
由上表可知共有12种结果，并且他们发生的可能性相等，其中和为6的有8种．
8 2
∴该顾客选择方案二的抽奖方式获得7折优惠的概率为 = ；
12 3
（2）解：依题意知200<a<300，
所以该顾客可按方案二抽奖一次．
1 2
选择方案二时，由（1）可知，该顾客获得“8折”优惠的概率为 ，获得“7折”优惠的概率为 ，获得
6 3
1
“6折”优惠的概率为 ，
6
1 2 1
∴方案二的平均打折数为8× +7× +6× =7．
6 3 6
选择方案一时，该顾客需要支付(a−66)元．
∴依题意可得：a−66>0.7a，
解得：a>220．
∴当220<a<300时，该顾客选择方案二更优惠．
【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求概率以及概率的应用和一元一次不等式，解题的关键是注意
用树状图或列表法列出所有的等可能的结果时，做到不重复、不遗漏，以及熟记求简单等可能性事件的概
率=所求情况数与总情况数之比．
【变式12-1】（2022·山西·山西大附中校考一模）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有
奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
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方案二：是得到一次摇奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘
除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割
线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
指针指向 两红 一红一蓝 两蓝
礼金券
18 9 18
（元）
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指
针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为
实惠．
5
【答案】(1)
9
(2)方案一，见解析；
【分析】（1）根据列表法（或画树状图法）求指针分别指向一红区和一蓝区的概率即可；
（2）根据（1）的树状图求出方案二的平均收益即可判断；
【详解】（1）解：由题可知，转盘A中红色区域的圆心角的度数是蓝色区域的圆心角的度数的2倍，转盘
B中蓝色区域的圆心角的度数是红色区域的圆心角的度数的2倍，故可画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的情况，其中两个转盘指针一个指向红色区域、一个指向蓝色区域的情况
有5种，
5
∴P(一红区和一蓝区)=
9
（2）由（1）中的树状图可知，指针指向两个红色区域有2种情况，指向两个蓝色区域也有2种情况 ，
2 2
∴P(两个红区)= ，P(两个蓝区)= ，
9 9
2 5 2
∴方案二的平均收益为： ×18+ ×9+ ×18=13，
9 9 9
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∵13<20，
∴若只考虑获得最多的礼品券，选择方案一更加实惠；
【点睛】本题主要考查列表法（或画树状图法）求概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．
【变式12-2】（2021·江苏无锡·校联考一模）一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共
7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动
转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内
部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，
棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止．
（1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率；
（2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率．
1 1
【答案】（1）P（指针指向4）＝ ；（2）P（转动转盘两次能通过游戏）＝ ．
4 8
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案．
【详解】（1）∵转盘被分成4个大小相等的扇形，
1
∴P（指针指向4）＝ ．
4
（2）列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
通过游戏是恰好到达终点即两次指针所指扇形区域数字之和为7，
由表可得共有16种等可能的结果，其中和为7的结果有2种，
2 1
∴P（转动转盘两次能通过游戏）＝ = ．
16 8
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，进而求出概率．
【变式12-3】（2020·新疆·统考二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一
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关.第一道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有
用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
1
【答案】（1） ；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析
9
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果
数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用
“求助卡“．
【详解】解: （1）列树状图如下:
共有9种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有1个，
1
所以小新顺利通过第一关的概率为
9
（2）建议小明在第二题使用“求助卡”，
若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下:
1
此时小新顺利通过第一关的概率为
8
1 1
因为 > ，
8 9
所以建议小新在第二题使用“求助卡”
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符
合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
题型13 概率与统计综合
【例13】（2022·安徽·校联考模拟预测）2021年，中国科技取得10项重大突破，其中4项和安徽有关，分
别是A．“人造太阳”刷新世界纪录；B．“九章2.0”和“祖冲之2.0”的出现；C．光存储时间达1小时；
D．证明凯勒几何核心猜想．为调查学生对这4项科技最想了解的情况，某校对九年级部分学生进行了随
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机调查（每人只能选一个），根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列
问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为________；扇形统计图中，D部分扇形所对应圆心角的度数是________；
将条形统计图补充完整；
(2)该校九年级共有800名学生，按照此调查结果，估计最想了解C项目的学生人数；
(3)在所调查的学生中随机抽取甲、乙两名学生，求恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率．
【答案】(1)40人，36°，补充的图形见解析
(2)120人
2
(3)
65
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，画条形统计图，求简单事件的概率，先列出所
有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的
概率．
（1）根据B类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；用360°乘以D类别人数所占比例即可；根据
四种类别人数人数之和等于总人数求出C类别人数即可补全图形；
（2）用800乘最想了解C项目的学生人数即可求出；
（3）列举得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参加这次调查的学生总人数为18÷45%=40（人），
4
扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是360°× =36°，
40
了解C项目的学生人数为40−18−12−4=6（人），
补充完整的统计图如下：
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故答案为：40人，36°；
6
（2）解：800× =120（人），
40
答：最想了解C项目的学生人数是120人．
（3）解：每个人都有被选上的可能，第一个人是甲，共40种可能，甲最想了解A项目的有12人、第二次
选乙，还有39人，共40×39种等可能的结果，其中恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的结果是
12×4 2
12×4种，所以恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率为 = ．
40×39 65
2
答：恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率为 ．
65
【变式13-1】（2023·浙江绍兴·校联考模拟预测）某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为
“防诈、反诈”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了
解”、“ B．比较了解”、“ C．基本了解”、“ D．不太了解”四个等级，将所得数据进行整理后，
绘制成如图两幅不完整的统计图表，请你结合图表中的信息解答下列问题：
等级 A B C D
频数 110 50 36 n
频率 0.55 m 0.18 0.02
m n
(1)表中 的值为 ， 的值为 ；
(2)扇形统计图中，等级B所对应的扇形的圆心角是 °；
(3)若该校从甲、乙、丙、丁四人中随机选取两人参加市里的比赛，求甲、乙两人恰好同时选中的概率．
【答案】(1)0.25、4
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(2)90
1
(3)P=
6
【分析】本题考查了频率分布表及糊阿树状图法求概率；
（1）先根据“非常了解”的频数及其频率求得总人数，再由频率=频数÷总数求解可得；
（2）用360°乘以“非常了解”的频率可得；
（3）根据树状图求概率．
【详解】（1）解： ∵本次调查的总人数为110÷0.55=200，
∴m=50÷200=0.25、n=200×0.02=4，
故答案为：0.25、4；
（2）等级为“非常了解”的学生在扇形统计图中所对应的扇形的圆心角的度数360°×0.25=90°；
故答案为：90；
（3）树状图如下：
2 1
共有12种等可能的结果，其中符合条件的有2种，所以甲、乙两人恰好同时选中的概率P= = ．
12 6
【变式13-2】（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）在加强对中小学生“双减”和“五项管理”政策下，
某校为了了解在教学改革模式下九年级期末数学成绩，随机抽取40名学生抽测，满分为50分，并将测试
成绩分成五档：A档：40≤x≤50；B档：30≤x<40；C档：20≤x<30；D档：10≤x<20；E 档：
0≤x<10，绘制频数分布图如下，已知在20≤x<30这一组的具体得分（单位：分）是20、26、22、27、
28、26、 26、26、24、29、27、21、28、27．
(1)在20≤x<30这一组成绩数据中，中位数为 ，众数为 ，并补全频数分布直方图；
(2)若成绩不低于40分为优秀，该校九年级有1800名学生，则该校九年级期末数学成绩优秀的学生约有多
少名？
(3)该校举办“一帮一”活动，在A档中随抽取两名学生，在E档随抽取两名学生，则该4名同学中随机抽
取2名学生，恰好抽出一名A档学生和一名E档学生的概率是多少？
【答案】(1)26，26，图见解析
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(2)180名
2
(3)
3
【分析】（1）先把20≤x<30这一组的数据重新排序，再根据中位数与众数的含义求解中位数与众数，由
总人数减去已知各组人数可得D组人数，再补全图形即可；
（2）由总人数1800乘以不低于40分的占比，从而可得答案；
（3）先列表得到所有等可能的结果数，再确定符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：在20≤x<30这一组的具体得分（单位：分）是20、26、22、27、28、26、 26、26、
24、29、27、21、28、27．
重新排列如下：20、21、22、24、26、26、 26、26、27、27、27、28、28、29．
排在第7个，第8个数分别为：26，26，
1
∴中位数为： (26+26)=26，出现次数最多的数是26，
2
∴众数是26；
而D组人数为：40−5−4−10−14=7，
补全频数分布直方图如下：
4
（2）1800× =180（名），
40
答：该校九年级期末数学成绩优秀的学生约有180名，
（3）设4名同学代号分别为A ,A ,E ,E ，由题意列表如下：
1 2 1 2
A A E E
1 2 1 2
A —— (A ,A ) (A ,E ) (A ,E )
1 1 2 1 1 1 2
A (A ,A ) —— (A ,E ) (A ,E )
2 2 1 2 1 2 2
E (E ,A ) (E ,A ) —— (E ,E )
1 1 1 1 2 1 2
E (E ,A ) (E ,A ) (E ,E ) ——
2 2 1 2 2 2 1
共有12种等可能情况，恰好抽出一名A档和一名E档学生的可能性有8种，故恰好抽出一名A档学生和一
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8 2
名E档学生的概率是 ，即 ．
12 3
【点睛】本题考查的是从频数分布表中获取信息，中位数，众数的含义，利用样本估计总体，利用画树状
图与列表法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
【变式13-3】（2023·辽宁铁岭·统考一模）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智
慧启发，让人滋养浩然之气．”河南省实验中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，学校文学社
为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统
计图表：阅读时间在40≤x<60范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表：
人数
课外阅读时间x（min） 等级
0≤x<20 D 3
20≤x<40 C a
40≤x<60 B 8
x≥60 A b
结合以上信息回答下列问题：
(1)统计表中的a=______；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
(2)阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是______min；根据调查结果，请你估计全校600名同学课外
阅读时间不少于40min的人数有______人；
(3)A等级学生中只有一名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获和体会的报告，用列
举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)5；144
(2)40；360
1
(3)
2
【分析】（1）由调查的学生人数乘以C组所占的比例得出a的值，再由360°乘以B组所占的比例即可；
（2）由众数的定义得出众数，再用样本估计总体列式计算即可；
（3）画树状图，共有12种情况，其中恰好选择一名男生和女生的情况有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：a=20×25%=5，
8
统计图中B组对应扇形的圆心角度数为：360°× =144°
，
20
故答案为：5，144；
（2）阅读时间在40≤x<60范围内的数据的众数是40 min，
∵b=20−3−5−8=4，
8+4
∴估计全校800名同学课外阅读时间不少于40 min的人数为：600× =360（人），
20
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故答案为：40，360；
（3）样本中A等级学生人数b=20−3−5−8=4（人），即1女3男，从这4人随机选取2人，所有等可
能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中1男1女的有6种，
6 1
∴恰好选择一名男生和一名女生的概率为 = ．
12 2
【点睛】本题考查了频数分布表、众数、扇形统计图、树状图法求概率及用样本估计总体，熟练掌握数据
分析中的基本定义，理解概率的算法是解决本题的关键．
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