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专题 30 概率的核心知识点精讲
1．会借助树状图和列表法计算简单事件发生的概率．
2．了解大量重复试验时频率可以作为简单事件发生概率的估计值．
3．通过概率的计算,解决一些简单的实际问题.
考点1：事件类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
考点2 ：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，
记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
2. 求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出
来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通
过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不
重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，
为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
考点3：频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个
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常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【题型1：事件的类型及其发生可能性的大小】
【典例1】（2023•武汉）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
【变式1-1】（2023•徐州）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【变式1-2】（2023•营口）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【变式1-3】（2022•辽宁）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
D．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
【题型2：概率的求法】
【典例2】（2023•广东）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木
工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（
）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023•哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外
无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
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A． B． C． D．
【变式2-2】（2023•娄底）从 ，3.1415926，3. ， ， ，﹣ ， 中随机抽取一个数，此数是
无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023•内蒙古）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n．若点A的
坐标记作（m，n），则点A在双曲线y＝ 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型3：用频率估计概率】
【典例3】（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植
成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
成活的频率
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【变式3-1】（2023•鞍山）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口
袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球
200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 个．
【变式3-2】（2023•扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
数n
发芽的 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
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频数m
发芽的 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
频率
（精确
到
0.001）
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
【变式3-3】（2023•锦州）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经
多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【题型4：概率的应用】
【典例4】（2023•河南）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推
荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级
学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想
的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不
放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
【变式4-2】（2023•青岛）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算
经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下
的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有
《九章算术》的概率．
【变式4-3】（2023•内江）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动
（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；
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E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，
并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角 ＝ 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列
α
表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
一．选择题（共9小题）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．打开电视，正在播放《大国工匠》
2．综合实践小组在课堂进行摸球试验．一个不透明的盒子中装入红、白两种颜色的小球（除颜色外其他
都相同）共30个，摸出一球记录后放回，多次重复后发现摸到红色小球的频率稳定在0.3左右，则盒子
中红色小球的个数可能是（ ）
A．12 B．21 C．9 D．15
故选：C．
3．三根电线，其中只有两根电线通电，接上小灯泡能正常发光，小明从三根电线中，随意选择两根电线，
接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一
个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．
请你估计这个口袋中有（ ）个红球．
A．2 B．3 C．6 D．8
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5．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印
在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重
复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为
（ ）
A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
6．从1至12这些自然数中任意抽取一个数，抽取到的数字是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，
那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
8．从思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门参加考试，选到地理的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人
中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次 80 229 392 779 1251 1562
数
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“有2个人同月过生日”的频 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76
二．填空题（共4小题）
10．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从袋中任意摸
出一个小球为红球的概率是 ．
11．袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，除颜色外其他均相同．从袋子中任意取出一个球，取到黄
球的可能性大小是 ．
12．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，
指针恰好指向白色扇形的概率为 （指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向
白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝ ．
13．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为 3m的正方形，使不
规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能
的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数 0.25附近，由此可估计
不规则区域的面积是 m2．
三．解答题（共2小题）
14．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸
球试验，将球摚匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中
的一组统计数据：
摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的 0.748 0.751 0.754 0.747 0.750 0.749
频率
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到0.01）
（2）试估算口袋中白球有 个．
（3）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋
中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
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15．由天府新区管委会主办，四川天府新区太平街道承办的“莓好世界．莓好相约”四花卉（果类）生态
旅游节暨天府新区第十八届冬草莓节在2023年12月9日举行．某校九年级三班助农兴趣小组针对本班
级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关
注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据图表信息，解答下列问题：
（1）九年级三班一共 人，其中B类所对应的圆心角为 ．
（2）九年级一共有600名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的有多少人．
（3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传
稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率．
一．选择题（共7小题）
1．三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3．从这三
个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．在如图所示的电路中，随机闭合开关S 、S 、S 中的两个，能让灯泡L 发光的概率是（ ）
1 2 3 1
A． B． C． D．
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3．现有5张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“ ”，2张卡片正面上的图案是“ ”，它们除
此之外完全相同．把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率
是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取
在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的 2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意
摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，
他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长
方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），
他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为
（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2
7．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②
是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴
影部分）的概率是（ ）
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A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
8．将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无
其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字
组成“强国”的概率是 ．
9．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，
则米粒落在图中阴影部分的概率是 ．
10．如图是两个可以自由转动的转盘A、B，转盘分成3个大小相同的扇形，甲乙两个人做游戏，游戏规则：
转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜：数字之和为奇数时乙
获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，甲获胜的概率是 ．
三．解答题（共2小题）
11．甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1、2、3；乙盒里3
张卡片分别标有数字4、5、6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是 ；
（2）从甲盒、乙盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有数字
之和不大于7的概率．
12．我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，
B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统
计图解答下列问题．
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（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为
度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知 A等级
中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
1．（2023•绍兴）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出
1个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023•襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某
地下雨”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
3．（2023•丹东）在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋
中任意摸出一个球是红球的概率为 ，则袋中黑球的个数为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
4．（2023•东营）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非
物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．
小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称
图形又是中心对称图形的概率是（ ）
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A． B． C． D．
5．（2023•苏州）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘 1次，当转盘停止转动时，指
针落在灰色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023•安徽）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过 1，则称该三位数为“平稳
数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023•临沂）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名
同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名
女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•河北）有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，
则抽到的花色可能性最大的是（ ）
A． （黑桃）B． （红心）C． （梅花） D． （方块）
9.（2023•赤峰）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽
签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A． B． C． D．
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10．（2023•郴州）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．
从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 ．
11．（2022•桂林）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾
在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，
正面朝上的概率是 ．
12．（2023•广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余
下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么
甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
13．（2023•随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心
理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不
完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，条形统计图中m的值为 ，扇形统计图中“非常了解”部
分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”
的总人数为 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心
理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
13
