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专题 30 概率的核心知识点精讲
1．会借助树状图和列表法计算简单事件发生的概率．
2．了解大量重复试验时频率可以作为简单事件发生概率的估计值．
3．通过概率的计算,解决一些简单的实际问题.
考点1：事件类型
必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1
考点2 ：概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，
记为P(A) ．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ．
2. 求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出
来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通
过用列表法和树形图法来辅助枚举法。
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不
重不漏地列出所有可能的结果时使用。
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，
为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。
考点3：频率与概率
1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数
2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率
3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个
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常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。
【题型1：事件的类型及其发生可能性的大小】
【典例1】（2023•武汉）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A．点数的和为1 B．点数的和为6
C．点数的和大于12 D．点数的和小于13
【答案】B
【解答】解：A、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
B、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
C、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（2023•徐州）下列事件中的必然事件是（ ）
A．地球绕着太阳转
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．天空出现三个太阳
D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】A
【解答】解：地球绕着太阳转是必然事件，所以A符合题意；
射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以B不符合题意；
天空出现三个太阳是不可能事件，所以C不符合题意；
经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意．
故选：A．
【变式1-2】（2023•营口）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【答案】A
【解答】解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，故A符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
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故选：A．
【变式1-3】（2022•辽宁）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是6
C．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
D．从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
【答案】D
【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故A不符合题意；
B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故B不符合题意；
C、任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件，故C不符合题意；
D、从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【题型2：概率的求法】
【典例2】（2023•广东）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木
工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为 ．
故选：C．
【变式2-1】（2023•哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外
无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋子是黑棋子的有10种结果，
所以其概率为 ＝ ，
故选：D．
【变式2-2】（2023•娄底）从 ，3.1415926，3. ， ， ，﹣ ， 中随机抽取一个数，此数是
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无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从 ，3.1415926，3. ， ， ，﹣ ， 中随机抽取一个数，抽到的无理数的有
， 这2种可能，
∴抽到的无理数的概率是 ，
故选：A．
【变式2-3】（2023•内蒙古）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n．若点A的
坐标记作（m，n），则点A在双曲线y＝ 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：（1，2），
（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它们出现的可能性相等，
点A坐标在双曲线 y＝ 上有2种情况：（2，3），（3，2），
所以，这个事件的概率为 P＝ ＝ ．
故选：A．
【题型3：用频率估计概率】
【典例3】（2023•恩施州）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植
成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
成活的频率
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【答案】C
【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，
故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9．
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故选：C．
【变式3-1】（2023•鞍山）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口
袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球
200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 3 个．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可得，
口袋中红球的个数约为：12× ＝3（个）．
故答案为：3．
【变式3-2】（2023•扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000
数n
发芽的 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794
频数m
发芽的 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931
频率
（精确
到
0.001）
这种绿豆发芽的概率的估计值为 0.9 3 （精确到0.01）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在 0.93左右，所以
可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【变式3-3】（2023•锦州）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同．经
多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为 1 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意知，盒子中球的总个数为5÷0.25＝20（个），
所以盒子中红球的个数为20﹣5＝15（个），
故答案为：15．
【题型4：概率的应用】
【典例4】（2023•河南）为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推
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荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级
学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，
∴这两个年级选择的影片相同的概率为 ＝ ，
故选：B．
【变式4-1】（2023•山西）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想
的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不
放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ．
【答案】 ．
【解答】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
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共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【变式4-2】（2023•青岛）为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算
经》（依次用A、B、C表示）三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下
的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有
《九章算术》的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中抽取两本书中有《九章算术》的结果数为4种，
所以抽取两本书中有《九章算术》的概率＝ ＝ ．
【变式4-3】（2023•内江）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动
（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；
E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，
并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 20 0 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角 ＝ 5 4 度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列
α
表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】见试题解答内容
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【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
∴C的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
故答案为：200，
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中圆心角 ＝360°× ＝54°，
故答案为：54；
α
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为 ＝ ．
一．选择题（共9小题）
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．打开电视，正在播放《大国工匠》
【答案】B
【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，故A不符合题意；
B、13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，是必然事件，故B符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故C不符合题意；
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D、打开电视，正在播放《大国工匠》，是随机事件，故D不符合题意；
故选：B．
2．综合实践小组在课堂进行摸球试验．一个不透明的盒子中装入红、白两种颜色的小球（除颜色外其他
都相同）共30个，摸出一球记录后放回，多次重复后发现摸到红色小球的频率稳定在0.3左右，则盒子
中红色小球的个数可能是（ ）
A．12 B．21 C．9 D．15
【答案】C
【解答】解：设盒子中红色小球的个数有x个，
由题意得 ＝0.3，
解得：x＝9．
故选：C．
3．三根电线，其中只有两根电线通电，接上小灯泡能正常发光，小明从三根电线中，随意选择两根电线，
接上小灯泡的正负极，能发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设三根电线分别为a，b，c，当接上a，b时，小灯泡正常发光，
从三根电线中，随意选择两根电线，共有a，b；a，c；b，c三种可能，
其中满足题意的只有一种，
∴能发光的概率是 ，
故选：B．
4．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一
个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．
请你估计这个口袋中有（ ）个红球．
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：根据题意得：
10× ＝6（个），
答：估计这个口袋中有6个红球．
故选：C．
5．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印
在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重
复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为
（ ）
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A．8 B．12 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为20×0.6＝12．
故选：B．
6．从1至12这些自然数中任意抽取一个数，抽取到的数字是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从1至12这些自然数中是3的倍数的数有3、6、9、12，
所以任意抽取一个数，抽取到的数字是3的倍数的概率＝ ＝ ．
故选：D．
7．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，
那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为 ，不符合题意；
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B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为 ，符合题意；
C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小小明随机出的是“石头”的概率为 ，不符合题意；
D、袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率 ，不符合
题意；
故选：B．
8．从思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门参加考试，选到地理的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：将思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选到地理的结果有：AB，BA，BC，BD，CB，DB，共6种，
∴选到地理的概率为 ．
故选：D．
9．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人
中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次 80 229 392 779 1251 1562
数
“有2个人同月过生日”的频 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
率
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76
【答案】C
【解答】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是
0.78．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
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10．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从袋中任意摸
出一个小球为红球的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有4个红球、3个黄球和1个黑球，
∴从袋中任意摸出一个小球为红球的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
11．袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，除颜色外其他均相同．从袋子中任意取出一个球，取到黄
球的可能性大小是 ．
【答案】 ．
【解答】解：∵袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，
∴从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性＝ ＝ ．
故答案为： ．
12．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，
指针恰好指向白色扇形的概率为 （指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向
白色扇形），则黑色扇形的圆心角∠AOB＝ 45 ° ．
【答案】45°．
【解答】解：由题意知黑色扇形的圆心角∠AOB＝360°×（1﹣ ）＝45°，
故答案为：45°．
13．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为 3m的正方形，使不
规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能
的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数 0.25附近，由此可估计
不规则区域的面积是 m2．
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【答案】 ．
【解答】解：根据题意可估计不规则区域的面积是3×3×0.25＝ （m2），
故答案为： ．
三．解答题（共2小题）
14．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸
球试验，将球摚匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中
的一组统计数据：
摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000
摸到白球的 0.748 0.751 0.754 0.747 0.750 0.749
频率
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 0.7 5 ．（精确到0.01）
（2）试估算口袋中白球有 3 个．
（3）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋
中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
【答案】（1）0.75；
（2）3；
（3） ，理由见解析．
【解答】解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；
故答案为：0.75
（2）由（1）得摸到白球的概率率为0.75，
所以可估计口袋中白球有4×0.75＝3（个）；
故答案为：3
（3）将第一个口袋中3个白球分别记为白 ，白 ，白 ，画树状图如下：
1 2 3
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共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种．
∴两个球颜色相同的的概率为 ．
15．由天府新区管委会主办，四川天府新区太平街道承办的“莓好世界．莓好相约”四花卉（果类）生态
旅游节暨天府新区第十八届冬草莓节在2023年12月9日举行．某校九年级三班助农兴趣小组针对本班
级同学，就新区草莓节的关注程度进行了调查统计，将调查结果分为不关注，关注，比较关注，非常关
注四类（分别用A，B，C，D表示），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据图表信息，解答下列问题：
（1）九年级三班一共 4 0 人，其中B类所对应的圆心角为 36 ° ．
（2）九年级一共有600名学生，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的有多少人．
（3）为了能够更好的宣传新区草莓节，现从非常关注草莓节的甲乙丙丁四名学生中任选两人撰写宣传
稿，请用树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率．
【答案】（1）40；36°．
（2）约120人．
（3） ．
【解答】解：（1）九年级三班共有的人数为16÷40%＝40（人）．
B类所对应的圆心角为360°× ＝36°．
故答案为：40；36°．
（2）选择A类的人数为40× ＝12（人），
∴选择D类的人数为40﹣12﹣4﹣16＝8（人），
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600× ＝120（人）．
∴估计九年级学生选择D类的约有120人．
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选到甲和乙的结果有2种，
∴恰好选到甲和乙的概率为 ＝ ．
一．选择题（共7小题）
1．三个不透明的口袋中各有三个相同的乒乓球，将每个口袋中的三个乒乓球分别标号为1，2，3．从这三
个口袋中分别摸出一个乒乓球，出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：画树状图得：
∵共有27种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号相同，并且三个标号符合三角形三边关系的有 15种
结果，
∴出现的数字正好是等腰三角形三边长的概率是 ＝ ．
故选：B．
2．在如图所示的电路中，随机闭合开关S 、S 、S 中的两个，能让灯泡L 发光的概率是（ ）
1 2 3 1
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A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L 发光的有2种情况，
1
∴能让灯泡L 发光的概率为 ＝ ．
1
故选：B．
3．现有5张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“ ”，2张卡片正面上的图案是“ ”，它们除
此之外完全相同．把这5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：3张卡片正面上的图案是“ ”分别用A、B、C表示，2张卡片正面上的图案是“
”分别用a、b表示，
根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，其中这两张卡片正面图案相同的有8种，
则这两张卡片正面图案相同的概率是 ＝ ；
故选：B．
4．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取
在阴影部分的概率是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设DF的长为2h，
则正六边形的面积为3AF•h，
阴影部分的面积为AF•h，
∴这个点取在阴影部分的概率是 ，
故选：B．
5．在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的 2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意
摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，
∴两次摸出的数字之和为奇数的概率为 ＝ ，
故选：C．
6．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，
他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长
方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），
他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为
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（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8 cm2 D．9cm2
【答案】B
【解答】解：假设不规则图案的面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为20cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，
小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上： ，
解得：x＝7，
∴不规则图案的面积大约为7cm2，
故选：B．
7．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②
是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴
影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的 ，
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故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．
故选：C．
二．填空题（共3小题）
8．将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无
其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字
组成“强国”的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：用树状图表示所有可能出现的情况有：
共有12种等可能出现的情况，其中组成“强国”的有2种，
∴P组成强国＝ ＝ ．
故答案为： ．
9．如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且∠EOF＝90°，随机地往图中投一粒米，
则米粒落在图中阴影部分的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设正方形为ABCD，故点O作OH⊥BC于点H，作OG⊥AB于点G，
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∵∠EOG+∠GOF＝90°，∠GOF+∠FOH＝90°，
∴∠EOG＝∠HOF，
∵∠OGE＝∠OHF＝90°，OH＝OG，
∴△OGE≌△OHF（AAS），
∴S△OGE ＝S△
OHF
，
∴S阴影 ＝S正方形OGBH ＝ S正方形ABCD ，
在正方形中，满足点E、F分别在正方形的边上（此处采用极限思想），且∠EOF＝90°的图形如图所示：
因此EOF的面积是正方形总面积的 ，因此米粒落在图中阴影部分的概率是 ．
10．如图是两个可以自由转动的转盘A、B，转盘分成3个大小相同的扇形，甲乙两个人做游戏，游戏规则：
转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜：数字之和为奇数时乙
获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，甲获胜的概率是 ．
【答案】 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之和为偶数的结果有5种，
∴甲获胜的概率是 ，
故答案为： ．
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三．解答题（共2小题）
11．甲、乙两个不透明的盒子里分别装有3张卡片，其中甲盒里3张卡片分别标有数字1、2、3；乙盒里3
张卡片分别标有数字4、5、6，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．
（1）从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是 ；
（2）从甲盒、乙盒里各随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法，求抽到的两张卡片上标有数字
之和不大于7的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）从甲盒里随机抽取一张卡片，抽到的卡片上标有数字为偶数的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两张卡片的数字之和不大于7 的结果有6种，
∴抽到的两张卡片上标有数字之和不大于7的概率为 ＝ ．
12．我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，
B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统
计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 20 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 72
度，图中m的值为 4 0 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知 A等级
中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
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【答案】（1）20，72，40．
（2）见解析．
（3） ．
【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为 ；
C等级所占的百分比为 ，
所以m＝40，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
男 女1 女2
男 女1、男 女2、男
女1 男、女1 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
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所以恰是一男一女的概率为 ．
1．（2023•绍兴）在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出
1个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是： ＝ ，
故选：C．
2．（2023•襄阳）襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是75%，则“明天襄阳某
地下雨”这一事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【解答】解：明天襄阳某地下雨的可能性是75%，是说“明天襄阳某地下雨”的可能性较大，但也不一
定会下雨，因此是随机事件，
故选：C．
3．（2023•丹东）在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋
中任意摸出一个球是红球的概率为 ，则袋中黑球的个数为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解答】解：由题意可得，
黑球的个数为：3÷ ﹣3
＝3×4﹣3
＝12﹣3
＝9，
故选：D．
4．（2023•东营）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非
物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．
小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称
图形又是中心对称图形的概率是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵第2图和第4图既是轴对称图形又是中心对称图形，
∴小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率＝ ．
故选：C．
5．（2023•苏州）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘 1次，当转盘停止转动时，指
针落在灰色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵圆被等分成4份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为 ＝ ．
故选：C．
6．（2023•安徽）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过 1，则称该三位数为“平稳
数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：
123、132、213、231、312、321，
其中恰好是“平稳数”的有123、321，
所以恰好是“平稳数”的概率为 ＝ ，
故选：C．
7．（2023•临沂）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名
同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名
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女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝ ＝ ．
故选：D．
8．（2023•河北）有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，
则抽到的花色可能性最大的是（ ）
A． （黑桃）B． （红心）C． （梅花） D． （方块）
【答案】B
【解答】解：∵抽到黑桃的概率为 ，抽到红心的概率为 ，抽到梅花的概率为 ，抽到方块的概率为
，
∴抽到的花色可能性最大的是红心，
故选：B．
9.（2023•赤峰）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽
签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：把植树、种花、除草三个劳动项目分别记为A、B、C，
画树状图如下：
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共有9种等可能的结果，其中九年一班和九年二班恰好都抽到种花的结果有1种，
∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是 ，
故选：D．
10．（2023•郴州）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．
从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵从袋子中随机摸出1个球共有10种等可能结果，其中是红球的有7种结果，
∴从袋子中随机取出一个球，是红球的概率为 ．
故选： ．
11．（2022•桂林）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾
在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，
正面朝上的概率是 0. 5 ．
【答案】0.5．
【解答】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右，
∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5．
故答案为：0.5．
12．（2023•广州）甲、乙两位同学相约打乒乓球．
（1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余
下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率；
（2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么
甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
【答案】（1） ；
（2）公平，理由见解答．
【解答】解：（1）画树状图如下：
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一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果，
∴P（乙选中球拍C）＝ ；
（2）公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果，
∴P（甲先发球）＝ ，
P（乙先发球）＝ ，
∵P（甲先发球）＝P（乙先发球），
∴这个约定公平．
13．（2023•随州）中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心
理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不
完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 80 人，条形统计图中m的值为 16 ，扇形统计图中“非常了
解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 90 ° ；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”
的总人数为 4 0 人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心
理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵基本了解的有40人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有40÷50%＝80（人），
条形统计图中m的值为：80﹣20﹣40﹣4＝16，
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扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为： ＝90°，
故答案为：80，16，90°；
（2）可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为：800× ＝40人），
故答案为：40；
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴P（恰好抽到2名女生）＝ ．
28
