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专题 24 与圆有关的位置关系的核心知识点精讲
1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．
2．知道三角形的内心和外心．
3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.
考点1：点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
考点2：直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
考点3：切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
∴ 是⊙ 的切线 O
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 M A N
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
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考点4：切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条
切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线
B
∴ ； 平分
O
P
考点5：三角形的内切圆和内心
A
（1）三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 2 。
1
r(a+b+c)
（3）S =2 ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 A D
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 O
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
B
【题型1：点、直线与圆位置关系的判定】
【典例1】（2023•宿迁）在同一平面内，已知 O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的
一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
⊙
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：如图，由题意得，OA＝2，OB＝3，
当点P在BO的延长线与 O的交点时，点P到直线l的距离最大，
此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5，
⊙
故选：B．
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1．（2022•六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（
）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【解答】解：根据直线与圆的位置关系可得，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系相交，
故选：B．
2．（2021•浙江）已知平面内有 O和点A，B，若 O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线
AB与 O的位置关系为（ ）
⊙ ⊙
A．相离 B．相交
⊙
C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【解答】解： O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
⊙
∴点A在 O外，点B在 O上，
∴直线AB与 O的位置关系为相交或相切，
⊙ ⊙
故选：D．
⊙
【题型2：切线的判定与性质】
【典例2】（2023•盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点， O恰好经过点A，
B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
⊙
（1）判断BC与 O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求 O的半径长．
⊙
⊙
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【答案】（1）BC与 O相切，理由见解答；
⊙
（2） O的半径长为 ．
【解答】解：（1）BC与 O相切，理由如下：
⊙
如图，连接OB，
⊙
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∴AD∥OB，
∵AD⊥CB，
∴OB⊥CB，
∵OB是 O的半径，
∴BC与 O相切；
⊙
（2）∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8，
⊙
∴AD＝ ＝6，
∵AD∥OB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵OA＝OB，
∴OB＝ ，
∴ O的半径长为 ．
⊙
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1．（2023•河南）如图，PA与 O相切于点A，PO交 O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝
⊙ ⊙
5，PA＝12，则CA的长为 ．
【答案】 ．
【解答】解：连接OC，
∵PA与 O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
⊙
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，
在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，
∴OP＝ ＝ ＝13，
∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，
∴ OA•AC+ OP•BC＝ OA•AP，
∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP，
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∴5AC+13BC＝5×12，
∴AC＝BC＝ ，
故答案为：
2．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC
相
切，切点为E，若 ，则sinC的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：连接DB、DE，设AB＝m，
∵ ＝ ，
∴CD＝3AB＝3m，
∵AD是 D的半径，AD⊥AB，
∴AB是 D的切线，
⊙
∵ D与BC相切于点E，
⊙
∴BC⊥DE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，
⊙
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD＝3m，
∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，
∵∠CED＝90°，
∴DE＝ ＝ ＝ m，
∴sinC＝ ＝ ＝ ，
故选：B．
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3．（2023•内蒙古）如图，AB是 O的直径，E为 O上的一点，点C是 的中点，连接BC，过点C的
直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
⊙ ⊙
（1）求证：PC为 O的切线；
（2）若PC＝2 ⊙BO，PB＝10，求BE的长．
【答案】（1）略；（2） ．
【解答】
（1）证明：连接OC，
∵点C是 的中点，
∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥DB，
∵PD⊥BD，
∴PD⊥CO，
∴PC为 O的切线；
（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，
⊙
∵PC＝2 BO＝2 r，
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∴OP＝ ＝3r，
∵PB＝10，
∴3r+r＝10，即r＝ ．
∵OC∥DB，
∴△PCO∽△PDB，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝ ，
∵AB是 O的直径，
∴AE⊥BD，
⊙
∴AE∥PD，
∴ ，
∴ ，
∴BE＝ ．
4．（2023•东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若∠C＝30°，⊙CD＝2 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2） 的长是 ．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
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∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是 O的半径，DE⊥OD，
∴DE是 O的切线．
⊙
（2）解：连接AD，
⊙
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2 ，
∴BD＝CD＝2 ，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD•tan30°＝2 × ＝2，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴ ＝ ＝ ，
∴ 的长是 ．
【题型3：三角形的外接圆和内切圆】
【典例3】（2021•毕节市）如图， O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点
F，交 O于点D，连接BD，BE．
⊙
（1）求证：DB＝DE；
⊙
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
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【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
又∵∠CAD与∠CBD所对弧为 ，
∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD．
∵∠BED＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
∴∠BED＝∠DBE，
故DB＝DE．
（2）解：∵∠D＝∠D，∠DBF＝∠CAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△BFD，
∴ ①，
∵DF＝4，AE＝3，设EF＝x，
由（1）可得DB＝DE＝4+x，
则①式化为 ，
解得：x ＝2，x ＝﹣6（不符题意，舍去），
1 2
则DB＝4+x＝4+2＝6．
1．（2023•攀枝花）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为 r2，则△ABC的面积为（ ）
π
A． rl B． rl C．rl D． rl
【答案】A
π π
【解答】解：如图，设内切圆 O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，
OD，
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∵AB切 O于E，
∴OE⊥AB，OE＝r，
⊙
∴S△AOB ＝ AB×OE＝ AB×r，
同理：S△BOC ＝ BC×r，
S△AOC ＝ AC×r，
∴S＝S△AOB +S△BOC +S△AOC ＝ AB×r+ BC×r+ AC×r＝ （AB+BC+AC）×r，
∵l＝AB+BC+AC，
∴S＝ lr，
故选：A．
2．（2020•济宁）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面
积是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A），
∴∠BDC＝90°+ ∠A＝90°+ ×60°＝120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝4，
∴DH＝2，BH＝2 ，
∵CD＝2，
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∴△DBC的面积＝ CD•BH＝ ＝2 ，
故选：B．
3．（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有
一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直
径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用
勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 6 步（注：
“步”为长度单位）．
【答案】6．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边为 ＝17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝ ＝3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
4．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半
圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
【答案】（1）见解答；
（2） ．
【解答】（1）证明 如图，连结OD，
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∵半圆O与AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODB＝∠OCB＝90°，
在Rt△ODB和Rt△OCB中，
∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），
∴BD＝BC；
（2）解 如图，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵Rt△ODB≌Rt△OCB，
∴ ，
在Rt△OBC中，
∵OC＝1，
∴ ，
在Rt△ABC中，
．
一．选择题（共8小题）
1．平面内，已知 O的半径是8cm，线段OP＝7cm，则点P（ ）
A．在 O外 B．在 O上 C．在 O内 D．不能确定
⊙
【答案】C
⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵平面内，已知 O的半径r是8cm，线段OP＝7cm，
∴r＞OP，
⊙
∴点P在 O内．
故选：C．
⊙
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2．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r，
∵三角形周长为12，面积为6，
∴ ×12r＝6，
解得r＝1．
故选：D．
3．如图，PA、PB、CD是 O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB
＝40°，则∠COD的度数为（ ）
⊙
A．50° B．60° C．70° D．75°
【答案】C
【解答】解：由题意得，连接OA、OC、OE、OD、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB＝DE，AC＝CE，
∵AO＝OE＝OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝ ∠AOB，
∵∠APB＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴∠COD＝70°．
故选：C．
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4．已知 O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与 O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
⊙ ⊙
【答案】A
【解答】解：∵ O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
⊙
∴直线l和 O相离，
∴直线l与 O没有公共点．
⊙
故选：A．
⊙
5．已知 O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则 O的半径可能为（ ）
A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm
⊙ ⊙
【答案】A
【解答】解：∵ O和直线l相交
∴d＜r
⊙
又∵圆心到直线l的距离为10cm
∴r＞10cm
故选：A．
6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（ ）
A．40° B．70° C．110° D．140°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝ ∠ABC＝35°，∠ICB＝ ∠ACB＝35°，
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∴∠IBC+∠ICB＝70°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝110°．
故选：C．
7．如图，AB与 O相切于点B，AO的延长线交 O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C的度数为（
）
⊙ ⊙
A．18° B．27° C．36° D．54°
【答案】B
【解答】解：连接OB，
∵AB切圆O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝54°，
∵∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠C＝ ∠AOB＝27°．
故选：B．
8．如图，AB为 O的直径，CD切 O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（
）
⊙ ⊙
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A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°
【答案】C
【解答】解：∵CD切 O于C，
∴OC⊥CD，
⊙
∴∠OCD＝90°，
∵CO＝CD，
∴∠COD＝∠D＝45°，
∵OA＝CO，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，
∴∠A＝22.5°．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
9．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作 M，当OM＝ 4 cm
时， M与OA相切．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作MH⊥OA于点H，如图，
当MH＝2cm时， M与OA相切，
因为∠O＝30°，
⊙
所以此时OM＝2MH＝4cm，
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即OM＝4cm时， M与OA相切．
⊙
10．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，过点C作 O的切线，交直径AB的延长线于点D，若
∠ABC＝65°，则∠D的度数是 4 0 度．
⊙ ⊙ ⊙
【答案】40．
【解答】解：连接OC，如图，
∵CD为 O的切线，
∴OC⊥CD，
⊙
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝65°
∴∠BCD＝∠OCD﹣∠OCB＝90°﹣65°＝25°，
∵∠OBC＝∠BCD+∠D
∴∠D＝65°﹣25°＝40°．
故答案为：40．
11．如图，PA，PB是 O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ 130 ° ．
⊙
【答案】130°．
【解答】解：∵PA，PB是 O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
⊙
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
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∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
故答案为130°．
12．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形木料，则可
裁圆形木料的最大半径为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∴圆形木料的最大半径＝ ＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共3小题）
13．如图，AB是 O的直径，C是 O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为
点D，且AC平分∠BAD．
⊙ ⊙
（1）求证：直线MN是 O的切线；
（2）若AD＝4，AC＝5，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠CAB＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥MN，
∴OC⊥MN，
∵OC为半径，
∴MN是 O切线；
⊙
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（2）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AB＝ ，
∴ O半径是 × ＝ ．
⊙
14．如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，D为AC的中点，过C作 O的切线交OD的延长线于E，
交AB的延长线于F，连EA．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：EA与 O相切；
（2）若CE＝3，CF＝2，求 O的半径．
⊙
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵EF为切线，
∴∠OCE＝90°，
∵D为AC中点，
∴OE⊥AC，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠EAC，
∵OA＝OC，
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∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC+∠EAC＝∠OCA+∠ECA＝90°，
即∠EAO＝90°，
∴EA为 O的切线；
⊙
（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵EF为切线，
∴∠BCF+∠BCO＝90°，且∠BCO＝∠CBA，
∴∠BCF＝∠CAF，
∴△BCF∽△CAF，
∴ ，
由（1）知EA为 O切线，则EA＝EC＝3，EF＝EC+FC＝5，
在Rt△AEF中，可求得AF＝4，
⊙
∴ ，解得BF＝1，
∴AB＝AF﹣BF＝3，
∴ O的半径为 ．
⊙
15．如图，已知，BE是 O的直径，BC切 O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点
A．
⊙ ⊙
（1）证明：CD是 O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
⊙
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【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OD，
∵ED∥OC，
∴∠COB＝∠DEO，∠COD＝∠EDO，
∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO，
∴∠COB＝∠COD，
在△BCO和△DCO中，
∴△BCO≌△DCO（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO，
∵BC为圆O的切线，
∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵OD为圆的半径，
∴CD为圆O的切线；
（2）解：∵CD，BC分别切 O于D，B，
∴CD＝BC，
⊙
∵AD2＝AE•AB，即22＝1•AB，
∴AB＝4，
设CD＝BC＝x，则AC＝2+x，
∵A2C＝AB2+BC2
∴（2+x）2＝42+x2，
解得：x＝3，
∴CD＝3．
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一．选择题（共6小题）
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（
）
A． B． C．16 D．32
【答案】B
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E点，OF⊥BC于F点，连接OA、OB，如图，
∵ O为△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF，OC平分∠ACB，
⊙
∴∠OCE＝∠OCF＝ ∠ACB＝45°，
∴OE＝ OC＝ ，
∴OD＝OF＝ ，
∵S△AOB +S△AOC +S△BOC ＝S△ABC ，
∴ × ×AB+ × ×AC+ × ×BC＝ × （AB+AC+BC），
∵AB+AC+BC＝16，
∴△ABC的面积＝ × ×16＝8 ，
故选：B．
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2．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图：
过O点作OD⊥AB，则AD＝ AB＝1，
∵∠OAD＝30°，
∴OD＝tan30°•AD＝ ．
故选：C．
3．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离
为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A．a B．b C．a+b D．a﹣b
【答案】C
【解答】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，
那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5
【答案】C
【解答】解：∵A（4，3），
∴ ，
∵原点O在圆A的外部，
∴R＜OA，即R＜5，
∵圆A与x轴相交，
∴R＞3，
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∴3＜R＜5，
故选：C．
5．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
【答案】C
【解答】解：∵圆心的坐标为（﹣3，4），
∴圆心与x轴距离为4，等于其半径4，
∴以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的关系为相切．
故选：C．
6．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（ ）
⊙
A．110° B．70° C．140° D．55°
【答案】B
【解答】解：连接OB、OA，如图，
∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P，
∵∠C＝55°，
∴∠AOB＝2∠C＝110°，
∴∠P＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
7．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：
“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容
纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 6 步．
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【答案】6．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边AB＝ ＝17，
∴内切圆直径＝8+15﹣17＝6（步），
故答案为：6．
8．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则 O的半径为 2 ．
⊙ ⊙
【答案】2 ．
【解答】解：连接OB，OP，
∵PA，PB分别与 O相切于A，B两点，
∴OB⊥PB，PO平分∠APB，
⊙
∵∠APB＝60°，
∴∠OPB＝ ∠APB＝30°，
∵tanOPB＝tan30°＝ ，
∴OB＝PB•tan30°＝6× ＝2 ．
∴ O的半径是2 ．
故⊙答案为：2 ．
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9．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，若 C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作 C的切线
PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ⊙． ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ，
∵BC＝AB＝AC＝2，
∴ ，
∵∠AEB＝90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵PQ切 O于点Q，CQ＝1，
∴PQ⊥CQ，
⊙
∴∠CQP＝90°，
∴ ，
∴当CP的值最小时，PQ的值最小，
∴当点P与点D重合时，CP的值最小，此时 ，
∴PQ最小＝ ，
故答案为： ．
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10．如图，已知 P的半径为1，圆心P在抛物线 上运动，当 P与x轴相切时，请写出所有符
合条件的点P的坐标为 （﹣ 2 ， 1 ），（ 2 ， 1 ），（ 0 ，﹣ 1 ） ．
⊙ ⊙
【答案】（﹣2，1），（2，1），（0，﹣1）．
【解答】解：设点P的坐标为（m，n），
∵点P在抛物线y＝ x2﹣1上，
∴n＝ m2﹣1，
∵ P的半径为1，
∴当 P与x轴相切时，n＝1或n＝﹣1，
⊙
⊙
当n＝1时，则 m2﹣1＝1，
解得m ＝﹣2，m ＝2；
1 2
当n＝﹣1时，则 m2﹣1＝﹣1，
解得m＝0，
∴点P的坐标为（﹣2，1）或（2，1）或（0，﹣1），
故答案为：（﹣2，1），（2，1），（0，﹣1）．
三．解答题（共3小题）
11．如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作 O，AE是 O的
直径，连接DE．
⊙ ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
⊙
（2）若sinC＝ ，AC＝6，求 O的直径．
⊙
【答案】见试题解答内容
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【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝DC，
∴∠C＝∠B，∠1＝∠C，
∴∠1＝∠B，
又∵∠E＝∠B，
∴∠1＝∠E，
∵AE是 O的直径，
∴∠ADE＝90°，
⊙
∴∠E+∠EAD＝90°，
∴∠1+∠EAD＝90°，即∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是 O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
⊙
∵DA＝DC，
∴CF＝ AC＝3，
在Rt△CDF中，∵sinC＝ ＝ ，
设DF＝4x，DC＝5x，
∴CF＝ ＝3x，
∴3x＝3，解得x＝1，
∴DC＝5，
∴AD＝5，
∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AE＝ ，
即 O的直径为 ．
⊙
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的 O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接
DE．
⊙
（1）求证：DE与 O相切；
⊙
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（2）连接OC交DE于点F，若 O的半径为3，DE＝4，求 的值．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OE、BE，如图所示：
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴DE＝ BC＝CD，
∴∠DEC＝∠ACB，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∴∠AEO+∠DEC＝90°，
∴∠OED＝90°，
∴OE⊥DE，
∵OE为 O的半径，
∴DE与 O相切；
⊙
（2）连接OD，如图所示：
⊙
∵DE＝ BC＝4，
∴BC＝8，
∵AB＝2×3＝6，
∴AC＝ ，
∵∠ABC＝90°，
∴BC与 O相切，根据切割线定理得：BC2＝CE•AC，
⊙
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∴CE＝ ，
∵O是AB的中点，D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，OD＝ AC＝5，
∴△ODF∽△CEF，
∴ ．
13．如图，AB 是 O 的直径，BC 交 O 于点 D，E 是 的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，∠ACB＝
2∠EAB．
⊙ ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
⊙
（2）若cosC＝ ，AC＝6，求BF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接AD，如图，
∵E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠EAB＝∠EAD，
∵∠ACB＝2∠EAB，
∴∠ACB＝∠DAB，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
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∴∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∵OA为 O的半径，
∴AC是 O的切线；
⊙
（2）解：作FH⊥AB于H，如图，
⊙
在Rt△ACD中，∵cosC＝ ＝ ，
∴CD＝ ×6＝4，
在Rt△ACB中，∵cosC＝ ＝ ，
∴BC＝ ×6＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，
∵∠EAB＝∠EAD，即AF平分∠BAD，
而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD＝FH，
设BF＝x，则DF＝FH＝5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB＝∠C，
在Rt△BFH中，∵cos∠BFH＝cosC＝ ＝ ，
∴ ＝ ，解得x＝3，
即BF的长为3．
1．（2020•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝ ，以点B为圆心，r为半径作 B，当
r＝3时， B与AC的位置关系是（ ）
⊙
⊙
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A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴AC＝4，
∴BC＝ ＝3，
∵r＝3，
∴BC＝r＝3，
∴ B与AC的位置关系是相切，
故选：B．
⊙
2．（2023•湘西州）如图，AB为 O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与 O相切，切点分别为
C，D．若AB＝10，PC＝12，则sin∠CAD等于（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，
∵PC，PD与 O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，PC＝PD，OP平分∠CPD，
⊙
∴OP⊥CD，
∴ ＝ ，
∴∠COB＝∠DOB，
∵ ，
∴∠COB＝∠CAD，
∵AB＝10，
∴AO＝OC＝OB＝5，
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∵OC＝5，PC＝12，
在Rt△OCP中，
，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
3．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以
1cm为半径的 O与直线a相切，则OP的长为 3 cm 或 5 cm ．
⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴ O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
⊙
当点O在点H的左侧， O与直线a相切时，如图1所示：
⊙
OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧， O与直线a相切时，如图2所示：
⊙
OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴ O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
⊙
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4．（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到 O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则 O
的半径是 6. 5 cm 或 2. 5 cm ．
⊙ ⊙
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4+9＝13（cm），
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），
∴半径r＝2.5cm．
综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．
故答案为：6.5cm或2.5cm．
5．（2023•黑龙江）如图，AB是 O的直径，PA切 O于点A，PO交 O于点C，连接BC，若∠B＝
28°，则∠P＝ 3 4 °．
⊙ ⊙ ⊙
【答案】34．
【解答】解：∵PA切 O于点A，
∴∠OAP＝90°，
⊙
∵∠B＝28°，
∴∠AOC＝2∠B＝56°，
∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，
故答案为：34．
6．（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的 O是△ABC的内切圆，连接OB、
⊙
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OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含 的式子表示）
π
【答案】 ．
【解答】解：∵∠A＝80°， O是△ABC的内切圆，
π
⊙
∴∠DOE＝180°﹣（ ）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝130°，
∴S扇形DOE ＝ ＝ （cm2），
故答案为： ．
7．（2023•鄂州）如图，AB为 O的直径，E为 O上一点，点C为 的中点，过点C作CD⊥AE，交
AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求 O的半径长．
⊙
⊙
【答案】（1）证明见解析；
（2）2.5．
【解答】（1）证明：连接OC，
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∵点C为 的中点，
∴ ，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠ADC＝∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，
即OC⊥DF，
又OC为 O的半径，
∴CD是 O的切线；
⊙
（2）解：连接CE，BC，
⊙
由（1）知CD是 O的切线，
∴CD2＝DE•AD，
⊙
∵DE＝1，DC＝2，
∴AD＝4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得 ，
在Rt△DCE中，由勾股定理得 ，
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∵点C是 的中点，
∴ ，
∴EC＝BC＝ ，
∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
由勾股定理得 ，
∴ O的半径长是2.5．
8．（2023•辽宁）如图，AB是 O的直径，点C，E在 O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长
⊙
线上，且∠AFE＝∠ABC．
⊙ ⊙
（1）求证：EF与 O相切；
⊙
（2）若BF＝1，sin∠AFE＝ ，求BC的长．
【答案】（1）详见解答；
（2） ．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE，
∵∠CAB＝2∠EAB，
∴∠CAB＝∠FOE，
又∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∴∠CAB+∠ABC＝90°＝∠FOE+∠AFE，
∴∠OEF＝90°，
即OE⊥EF，
∵OE是半径，
∴EF是 O的切线；
（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r+1，
⊙
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∵sin∠AFE＝ ＝ ＝ ，
∴r＝4，
∴AB＝2r＝8，
在Rt△ABC中，sin∠ABC＝ ＝sin∠AFE＝ ，AB＝8，
∴AC＝ ×8＝ ，
∴BC＝ ＝ ．
9．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的 O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC
于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
⊙
（1）求证：PE是 O的切线；
⊙
（2）若 ，BP＝4，求CD的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）CD的长为 ．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠OAE＝∠DAE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠DAE＝∠OEA，
∴OE∥AD，
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∵ED⊥AC，
∴OE⊥PD，
∵OE是 O的半径，
∴PE是 O的切线；
⊙
⊙
（2）解：∵ ＝ ，BP＝4，OB＝OE，
∴ ＝ ，
∴OE＝2，
∴AB＝2OE＝4，
∴AP＝AB+BP＝8，
在Rt△APD中，sin∠P＝ ＝ ，
∴AD＝ AP＝ ，
∵AB为 O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠AEC，
⊙
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4﹣ ＝ ，
∴CD的长为 ．
10．（2023•朝阳）如图，以△ABC的边AB为直径作 O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，
∠CDF＝∠ABD．
⊙
（1）求证：DF是 O的切线；
⊙
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（2）若 ＝ ，tan∠CDF＝ ，BC＝ ，求 O的半径．
⊙
【答案】（1）证明过程见解答；
（2） O的半径为 ．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
⊙
∵AB是 O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDF+∠CDF＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠CDF＝∠ABD，
∴∠ODB＝∠CDF，
∴∠ODB+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF⊥OD，
∵OD是 O的半径，
∴DF是 O 的切线；
⊙
（2）解：如图，连接AE，
⊙
∵ ＝ ，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AB是 O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
⊙
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC，
∵tan∠CDF＝ ，∠CDF＝∠ABD，
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∴tan∠ABD＝ ，
在Rt△ABD中， ＝ ，
设AD＝4x，则BD＝3x，
∴AB＝ ＝5x，
∴AC＝5x，
∴CD＝x，
在Rt△BDC中，BD2+CD2＝BC2，
∴（3x）2+x2＝（ ）2，
∴x＝1，
∴5x＝5，
∴AB＝5，
∴OA＝ ，
∴ O的半径为
⊙
42
