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专题 09 函数初步的核心知识点精讲
1．会画平⾯直⾓坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．
2．掌握坐标平⾯内点的坐标特征．
3．了解函数的有关概念和函数的表⽰⽅法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进⾏分析．
4．能确定函数⾃变量的取值范围，并会求函数值.
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【题型1：平面直角坐标系中点的坐标】
【典例1】（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所
在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）
【答案】A
【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．
故选：A．
1．（2023•盐城）在平面直角坐标系中，点A（1，2）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】解：∵点A（1，2）的横坐标和纵坐标均为正数，
∴点A（1，2）在第一象限．
故选：A．
2．（2023•大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是
（ ）
A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b）
【答案】D
【解析】解：∵a+b＞0，ab＞0，
∴a＞0，b＞0，
A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
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B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2022•青海）如图所示，A（2 ，0），AB＝3 ，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴
于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3 ，0） B．（ ，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣3 ，0）
【答案】C
【解析】解：∵A（2 ，0），AB＝3 ，
∴OA＝2 ，AC＝AB＝3 ，
∴OC＝AC﹣OA＝3 ﹣2 ＝ ，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（﹣ ，0）．
故选：C．
4．（2022•广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
【答案】A
【解析】解：将点（1，1）向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为（3，1），
故选：A．
【题型2：确定自变量取值范围】
【典例2】（2023•黄石）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x≠1 C．x≥0且x≠1 D．x＞1
【答案】C
【解析】解：由题意可得x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故选：C．
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1．（2023•牡丹江）函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞1
【答案】B
【解析】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：B．
2．（2023•西藏）函数 中自变量x的取值范围是 x ≠ 5 ．
【答案】x≠5．
【解析】解：由题意可得：x﹣5≠0，
即x≠5，
故答案为：x≠5．
3．（2023•齐齐哈尔）在函数 中，自变量x的取值范围是 x ＞ 1 且 x ≠ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：已知函数为y＝ + ，
则x﹣1＞0，且x﹣2≠0，
解得：x＞1且x≠2，
故答案为：x＞1且x≠2．
【题型3：函数及其图像】
【典例3】（2023•自贡）如图1，小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽
毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离 y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误
的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
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C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【答案】D
【解析】解：A、由图象得：小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，故A选项不符合题意；
B、由图象可知：小亮从羽毛球馆到报亭的平均速度为：（1.0﹣0.4）÷（45﹣37）＝0.075（千米/分）
＝75（米/分），故B选项不符合题意；
C、由图象知报亭到小亮家的距离是0.4千米，即400米，故C选项不符合题意；
D、由图象知小亮打羽毛球的时间是37﹣7＝30（分钟），故D选项符合题意；
故选：D
1．（2023•浙江）如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图
象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：D．
2．（2023•广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露
出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数 y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：
s）之间的函数关系的大致图象是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，F拉+F浮 ＝G，
此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数不变；
当铁块逐渐露出水面的过程中，F拉+F浮 ＝G，
此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数逐渐增大；
当铁块完全露出水面之后，F拉 ＝G，
此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数不变．
综上，弹簧测力计的读数先不变，再逐渐增大，最后不变．
故选：A．
3.（2023•恩施州）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O
的左侧距离中点O25cm（L ＝25cm）处挂一个重9.8N（F ＝9.8N）的物体，在中点O的右侧用一个弹
1 1
簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：
N）满足FL＝F L ，以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象
1 1
大致是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：根据杠杆原理可得，F•L＝25×9.8，
∵把弹簧秤与中点O的距离L记作x，弹簧秤的示数F记作y，
∴xy＝245（0＜x≤50）；
∵5×49＝245，
7×35＝245，
∴图象经过点（35，7），故选项C不符合题意；
∵F是L的反比例函数，
∴选项A、D不符合题意；
故F关于L的函数图象大致是选项B．
故选：B．
1．（2023•韶关一模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】解：点P坐标为（﹣2，1），即横坐标为负数，纵坐标为正数，则它位于第二象限，
故选：B．
2．（2023•望城区模拟）已知第三象限的点P（﹣4，﹣5），那么点P到x轴的距离为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5
【答案】D
【解析】解：点P（﹣4，﹣5）到x轴的距离为|﹣5|＝5．
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故选：D．
3．（2023•柯城区校级一模）在平面直角坐标系中，点 M（m﹣1，2m）在x轴上，则点M的坐标是（
）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（0，﹣1）
【答案】B
【解析】解：点M（m﹣1，2m）在x轴上，则2m＝0，
解得m＝0，
∴M（﹣1，0），
故选：B．
4.（2023•成武县校级一模）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
【答案】D
【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+1≥0且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣1且x≠2．
故选：D．
5．（2023•两江新区一模）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油
量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0.2t B．Q＝40﹣0.2t C．Q＝0.2t+40 D．Q＝0.2t﹣40
【答案】B
【解析】解：由题意得：流出油量是0.2t，
则剩余油量：Q＝40﹣0.2t，
故选：B．
6．（2023•东莞市校级一模）如图，将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管
沿大容器内壁匀速注水，则水杯内水面的高度 h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象大致
为（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】B
【解析】解：当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高度前，水杯内水面的高度为0，故选项
A、C不合题意；
当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高后，水杯内水面的高度逐渐增大，当水杯内水面的高度
达到水杯高度时，水杯内水面的高度不再增加，故选项B符合题意，选项D不合题意．
故选：B．
7.（2023•灌云县校级三模）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 x ≠ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：当x﹣2≠0，即x≠2时，函数y＝ 有意义．
故答案为：x≠2．
9．（2023•定西模拟）声音在空气中的传播速度v（m/s）与温度t（℃）的关系如表：
温度（℃） 0 5 10 15 20
速度v（m/s） 331 336 341 346 351
则速度v与温度t之间的关系式为 v ＝ t +33 1 ；当t＝30℃时，声音的传播速度为 36 1 m/s．
【答案】v＝t+331，361．
【解析】解：由图中所给数据，得
速度﹣温度＝331，即v﹣t＝331，即v＝t+331．
当t＝30℃时，代入v＝t+331，得v＝30+331＝361．
故答案为：v＝t+331，361．
8．（2023•杏花岭区校级模拟）如图，我国传统计重工具杆秤的应用方便了人们的生活，某兴趣小组为探
究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x（x≥4）厘米与秤钩所挂物体质量y千克之间的关系，进行了6次称
重，如表为称重时所记录的一些数据．
x 4 12 16 24 28 36
y 0 1 1.5 2.5 3 4
根据表格中的数据，写出y关于x的函数表达式： y ＝ x ﹣ （ x ≥ 4 ） ．
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【答案】y＝ x﹣ （x≥4）．
【解析】解：由表格中前两组数据，中间两组数据，最后两组数据可知：x的值每增加8，对应的y值
就增加1，
那么可设y＝ x+b，
∵当x＝4时，y＝0，
∴ ×4+b＝0，
解得：b＝﹣ ，
即y关于x的函数表达式为：y＝ x﹣ （x≥4），
故答案为：y＝ x﹣ （x≥4）．
9．（2023•浦东新区校级模拟）已知函数f（x）＝2x﹣x2，则f（3）＝ ﹣ 3 ．
【答案】﹣3．
【解析】解：∵f（x）＝2x﹣x2，
∴f（3）＝2×3﹣32＝﹣3，
故答案为：﹣3．
10．（2022•宁波模拟）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物
送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，如图是她本次去舅舅家
所用的时间与小红离家的距离的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小红家到舅舅家的路程是 150 0 米，小红在商店停留了 4 分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少米/分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店
停留了4分钟．
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故答案为：1500，4；
（2）根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，
故小红在12﹣14分钟最快，速度为 ＝450（米/分）；
（3）本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了：1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700（米）．
1．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（ ）
A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数
C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5
【答案】C
【解析】解：∵AB∥x轴，
∴b＝5，a≠﹣1，
故选：C．
2．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是边BC的中点，点F是对角线BD上一动点，设FD的
长为x，EF与CF长度的和为y．图②是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的
右端点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：连接AF，
∵在菱形ABCD中点A与点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴y＝EF+CF＝EF+AF，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段AE的长，
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由图②可知此时x＝4，即F D＝4，在菱形中点E是边BC的中点，
1
可得AE⊥BC，EA⊥AD，
∵∠A＝120°，AB＝AD，
∴∠ADB＝30°，
∴BC＝AD＝ ，
∵AD∥BC，
∴△ADF ∽△EBF ，
1 1
∴ ，
∴ ， ，
∴BD＝F B+F D＝6，
1 1
当点F和点B重合时，此时x取值最大值6，y＝EF+CF＝EB+CB＝ ，
∴点Q的坐标为 ．
故选：D．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，动点P从A点出发，沿折线A﹣C﹣B以每秒5个单
位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作PD⊥AB于点D，则△APD的面积y与点P运动的时
间x之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝ ＝ ＝25，
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①当0≤x≤3时，点P在AC边上，如图所示：
此时AP＝5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDA＝90°＝∠C，
∵∠CAB＝∠DAP，
∴△CAB∽△DAP，
∴ ＝ ＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝3x，PD＝ ＝ ＝4x，
∴y＝ AD•PD＝ ×3x×4x＝6x2；
②当3＜x≤7时，点P在BC边上，如图所示：
此时BP＝35﹣5x，
∵PD⊥AB，
∴∠PDB＝90°＝∠C，
∵∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴PD＝ ＝ ＝21﹣3x，BD＝ ＝ ＝28﹣4x，
∴AD＝AB﹣BD＝25﹣（28﹣4x）＝4x﹣3，
∴y＝ AD•PD＝ （4x﹣3）（21﹣3x）＝﹣6x2+ x﹣ ．
故选：C．
4．已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的
路径匀速运动，相应的△HAF的面积S（cm2）关于时间t（s）的关系图象如图2，已知AF＝8cm，则下
列说法正确的有几个（ ）
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①动点H的速度是2cm/s；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm2时，点H的运动时间是3.75s和10.25s．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】解：当点H在AB上时，如图所示，
AH＝xt （cm），
S△HAF ＝ ×AF×AH＝4xt（cm2），
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在BC上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，
∴S△HAF ＝ ×AF×AB，此时三角形面积不变，
当点H在CD上时，如图所示，HP是△HAF的高，C，D，P三点共线，
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S△HAF ＝ ×AF×HP，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在DE上时，如图所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，
S△HAF ＝ ×AF×EF，此时三角形面积不变，
当点H在EF时，如图所示，
S△HAF ＝ ×AF×HF，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得0≤t≤5时，点H在AB上，
S△HAF ＝4xt＝4•5x＝40（cm2），
∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），
∴动点H的速度是2cm/s，
故①正确，
5≤t≤8时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时8﹣5＝3（s），
∴BC＝2×3＝6（cm），
故②错误，
8≤t≤12时，当点H在CD上，三角形面积逐渐减小，
∴动点H由点C运动到点D共用时12﹣8＝4（s），
∴CD＝2×4＝8（cm），
∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm），
在D点时，△HAF的高与EF相等，即HP＝EF，
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∴S△HAF ＝ ×AF×EF＝ ×8×2＝8（cm2），
故③正确，
12≤t≤b，点H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴动点H由点D运动到点E共用时2÷2＝1（s），
∴b＝12+1＝13，
故④错误．
当△HAF的面积是30cm2时，点H在AB上或CD上，
点H在AB上时，S△HAF ＝4xt＝8t＝30（cm2），
解得t＝3.75（s），
点H在CD上时，
S△HAF ＝ ×AF×HP＝ ×8×HP＝30（cm2），
解得HP＝7.5（cm），
∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），
∴从点C运动到点H共用时2.5÷2＝1.25（s），
由点A到点C共用时8s，
∴此时共用时8+1.25＝9.25（s），
故⑤错误．
故选：A．
5．如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P
的坐标为 （ 3 ， 0 ）或（ 9 ， 0 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：如图，设P点坐标为（x，0），
根据题意得 •4•|6﹣x|＝6，
解得x＝3或9，
所以P点坐标为（3，0）或（9，0）．
故答案为：（3，0）或（9，0）．
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6．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中的箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点（2，2）第2次
运动到点A（4，0），第3次接着运动到点（6，1）……按这样的运动规律，经过第2018次运动后动点
P的坐标是 （ 403 6 ， 0 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（2，
2），
第2次接着运动到点（4，0），第3次接着运动到点（6，1），
∴第4次运动到点（8，0），第5次接着运动到点（10，2），…，
∴横坐标为运动次数的2倍，经过第2018次运动后，动点P的横坐标为4036，
纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮，
∴经过第2018次运动后，72÷4＝18，
故动点P的纵坐标为0，
∴经过第2018次运动后，动点P的坐标是（4036，0）．
故答案为（4036，0）
8．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
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【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）如图所示：
（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E．
∴四边形DOEC的面积＝3×4＝12，△BCD的面积＝ ＝3，△ACE的面积＝ ＝4，
△AOB的面积＝ ＝1．
∴△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB的面积
＝12﹣3﹣4﹣1＝4．
（3）当点p在x轴上时，△ABP的面积＝ ＝4，即： ，解得：BP＝8，
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；
当点P在y轴上时，△ABP的面积＝ ＝4，即 ，解得：AP＝4．
所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．
所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）或（10，0）或（﹣6，0）．
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9．如图，自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形填写下表：
链条节数（节） 2 3 4
链条长度（cm） 4. 2 5. 9 7. 6
（2）如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式；
（3）如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由80节这样的链条组成，那么这根链条完成连接（安
装到自行车上）后，总长度是多少cm？
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）根据图形可得出：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8＝4.2，
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2＝5.9，
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3＝7.6．
故答案为：4.2，5.9，7.6；
（2）由（1）可得x节链条长为：y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8；
∴y与x之间的关系式为：y＝1.7x+0.8；
（3）因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短 0.8，故这辆自行车链条的总长为1.7×80＝
136厘米，
所以80节这样的链条总长度是136厘米．
10．如图（1），在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），过C作CB⊥x轴，且满足（a+b）2+
＝0．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若
不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）∵（a+b）2≥0， ≥0，
∴a＝﹣b，a﹣b+4＝0，
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∴a＝﹣2，b＝2，
∵CB⊥AB
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（2，2）
∴三角形ABC的面积＝ ×4×2＝4；
（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB＝∠ABD，
∴∠3+∠4+∠5+∠6＝90°，
过E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，
∴∠AED＝∠1+∠2＝ ×90°＝45°；
（3）存在．理由如下：
设P点坐标为（0，t），
当点P在直线AC的上方时，则有S△APO +S梯形OPCB ﹣S△ABC ＝S△ABC ，
∴ ×2×t+ ×（2+t）×2﹣4＝4，
∴t＝3
当点P在直线AC的下方时，同法可得t＝﹣1，
∴P点坐标为（0，3）或（0，﹣1）．
1．（2023•丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】解：∵m2+1＞0，
∴点P（﹣1，m2+1）在第二象限．
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故选：B．
2．（2021•邵阳）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了
一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．
结合图象，判断下列结论正确的是（ ）
A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
【答案】A
【解析】解：A．由横坐标看出，小明修车时间为20﹣5＝15（分钟），故本选项符合题意；
B．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2100米，故本选项不合题意；
C．由横坐标看出，小明修好车后花了30﹣20＝10（min）到达学校，故本选项不合题意；
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2100﹣1000）÷10＝110（米/分钟）＝ （m/s），故本
选项不合题意；
故选：A．
3．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（
）
A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）
【答案】D
【解析】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），
∴AB＝6，AB∥x轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，
同理可得AD∥BC∥y轴，
∵点C（3，﹣1），
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∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
4．（2021•青海）新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲
自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是
奋力直追，最后同时到达终点．用S 、S 分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象
1 2
中与故事情节相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A．此函数图象中，S 先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意；
2
B．此函数图象中，S 第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过
2
它，于是奋力直追”不符，不符合题意；
C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意；
D．此函数图象中，S 先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意．
1
故选：C．
5．（2023•衢州）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点 A的坐标为（0，1），点B的
坐标为（2，2），则点C的坐标为 （ 1 ， 3 ） ．
【答案】（1，3）．
【解析】解：如图：由A的坐标为（0，1），点B的坐标为（2，2），坐标可确定原点位置和坐标系：
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由图可得C（1，3），故答案为：（1，3）．
6．（2023•连云港）画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点 O按逆
时针方向依次画出与正半轴的角度分别为 30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了
“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，
60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 （ 3 ， 150 ° ） ．
【答案】（3，150°）．
【解析】解：∵点D与圆心的距离为3，射线OD与x轴正方向之间的夹角为150°，
∴点D的坐标为（3，150°）．
故答案为：（3，150°）．
7．（2021•西宁）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（2，﹣1），若AB∥y轴，且AB＝9，则点B
的坐标是 （ 2 ， 8 ）或（ 2 ，﹣ 1 0 ） ．
【答案】（2，8）或（2，﹣10）．
【解析】解：∵AB与y轴平行，
∴A、B两点的横坐标相同，
又AB＝9，
∴B点纵坐标为：﹣1+9＝8，或﹣1﹣9＝﹣10，
∴B点的坐标为：（2，8）或（2，﹣10）；
故答案为：（2，8）或（2，﹣10）．
8．（2023•达州）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 x ＞ 1 ．
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【答案】x＞1．
【解析】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣1≠0，
即x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
9．（2022•烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），
DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数
图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，
▱
∵3＝2FH，
∴FH＝ ，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝ ＝ ，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝2 ，
故答案为：2 ．
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10．（2021•牡丹江）春耕期间，市农资公司连续8天调进一批化肥，并在开始调进化肥的第七天开始销售．
若进货期间每天调进化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个公司的化肥存量 s
（单位：吨）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该公司这次化肥销售活动（从开始进
货到销售完毕）所用的时间是 1 0 天．
【答案】10．
【解析】解：调入化肥的速度是30÷6＝5（吨/天），
当在第6天时，库存物资应该有30吨，在第8天时库存20吨，
所以销售化肥的速度是 ＝10（吨/天），
所以剩余的20吨完全售出需要20÷10＝2（天），
故该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是8+2＝10（天）．
故答案为：10．
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