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专题 06 分式及应用的核心知识点精讲
1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感．
2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力
与代数恒等变形能力．
3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．
【题型1：分式方程及其解法】
【典例1】（2023•凉山州）解方程： ＝ ．
【答案】x＝2．
【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝2，
去括号得：x2﹣x＝2，
移项得：x2﹣x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x＝2或x＝﹣1，
将x＝2代入原方程，原方程左右相等，
∴x＝2是原方程的解．
将x＝﹣1代入，使分母为0，
∴x＝﹣1是原方程的增根，
∴原方程的解为：x＝2
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1．（2023•山西）解方程： ．
【答案】x＝ ．
【解答】解：由题意得最简公分母为2（x﹣1），
∴原方程可化为：
2+2x﹣2＝3．
∴x＝ ．
检验：把x＝ 代入2（x﹣1）＝1≠0，且原方程左边＝右边．
∴原方程的解为x＝ ．
2．（2023•陕西）解方程： ．
【答案】x＝﹣ ．
【解答】解：原方程两边同乘x（x+5）去分母得：2x2﹣x（x+5）＝（x+5）2，
去括号得：2x2﹣x2﹣5x＝x2+10x+25，
移项，合并同类项得：﹣15x＝25，
解得：x＝﹣ ，
经检验，x＝﹣ 是分式方程的解，
故原方程的解为：x＝﹣ ．
3．（2022•眉山）解方程： ＝ ．
【答案】x＝4．
【解答】解： ＝ ，
方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：
2x+1＝3（x﹣1），
解这个整式方程得：
x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，
∴x＝4是原方程的解．
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4．（2022•西宁）解方程： ﹣ ＝0．
【答案】x＝7．
【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：
4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．
去括号得：
4x﹣4﹣3x﹣3＝0，
移项，合并同类项得：
x＝7．
检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的根．
∴x＝7．
【题型2：分式方程的应用】
【典例2】（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型
机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数
相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，
满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【答案】（1）每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；（2）购买A型
机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
【解答】解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得： ，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；
（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，
由题意得： ，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
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∴w随m的增大而减小，
∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，
∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．
1．（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦
煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作 3000个“伽瑶”玩偶摆件，
为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的 1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平
均每天制作多少个摆件？
【答案】200个摆件．
【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，
根据题意，得 ，
解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，
答：原计划平均每天制作200个摆件．
2．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者
购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30
个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲： ＝ +30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．
乙： ＝1.6× ，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．
则甲所列方程中的x表示 B 型玩具的单价 ，乙所列方程中的x表示 A 型玩具的数量
（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多
少个？
【答案】（1）B型玩具的单价；A型玩具的数量；
（2）116个．
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【解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x
表示A型玩具的数量；
故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量；
（2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个，
根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350，
a≤116 ，
∴整数a最大值是116，
答：最多可购进A型玩具116个
3．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某
中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进 A，B两款文化衫，
每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相
同．
（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求
有几种购买方案？
（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发
现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）共有6种购买方案；
（3）m＝5．
【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50．
答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；
（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，
根据题意得： ，
解得：275≤y≤280，
又∵y为正整数，
∴y可以为275，276，277，278，279，280，
∴共有6种购买方案；
（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）
y+300（40﹣m），
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∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴w的值与y值无关，
∴m﹣5＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
4．（2023•泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽
子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节
后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20
元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）10元；
（2）该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【解答】解：（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为x元，
根据题意，得 ，
解得x＝10或x＝﹣12（舍去），
经检验，x＝10是原分式方程的根，且符合题意，
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，总利润为w元，
根据题意，得12m+10（400﹣m）≤4600，
解得m≤300，
w＝（20﹣12）m+（16﹣10）（400﹣m）＝2m+2400，
∵2＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝300时，w取得最大值，最大利润为2×300+2400＝3000（元），
答：该商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元．
【题型3：与分式方程的解有关的问题】
【典例 3】（2023•黑龙江）已知关于 x的分式方程 +1＝ 的解是非负数．则 m的取值范围是
（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：m+x﹣2＝﹣x，
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解得：x＝ ，
由分式方程的解是非负数，得到 ≥0，且 ﹣2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2，
故选：C
1．（2023•齐齐哈尔）如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0
C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
【答案】D
【解答】解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，
移项，合并同类项得：x＝m+1，
∵原分式方程的解是负数，
∴m+1＜0，且m+1+1≠0，
解得：m＜﹣1且m≠﹣2，
故选：D．
2．（2023•淄博）已知x＝1是方程 的解，那么实数m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【解答】解：将x＝1代入方程，得： ﹣ ＝3，
解得：m＝2．
故选：B．
3．（2023•巴中）关于x的分式方程 + ＝3有增根，则m＝ ﹣ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程两边同乘（x﹣2）得：x+m﹣1＝3（x﹣2），
由题意得：x＝2是该整式方程的解，
∴2+m﹣1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
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1．（2023秋•乐亭县期中）解方程 去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
【答案】B
【解答】解：解方程 去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
2．（2023秋•株洲期中）分式方程 的解是（ ）
A．x＝﹣9 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：原方程去分母得：7（x+3）＝2（2x﹣3），
去括号得：7x+21＝4x﹣6，
移项，合并同类项得：3x＝﹣27，
系数化为1得：x＝﹣9，
经检验，x＝﹣9是分式方程的解，
故选：A．
3．（2022秋•朔城区期末）若关于x的分式方程 无解，则n＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【答案】A
【解答】解： ，
去分母，得 x+x+2＝n﹣1，
合并同类项、系数化为1，得 ，
由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，
即有 ，解得n＝﹣1．
故选：A．
4．（2023秋•冷水滩区校级期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分
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同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多 15，结
果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意得： ＝ +240，
故选：A．
5．（2022秋•天河区校级期末）已知关于x的方程 有增根，则a的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．﹣5
【答案】D
【解答】解：∵方程有增根，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
，
x＝3（x﹣5）﹣a，
x＝3x﹣15﹣a，
把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，
故选：D．
6．（2024•辽宁模拟）解分式方程 时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这
个整式是（ ）
A．x B．x﹣1 C．x（x+1） D．x（x﹣1）
【答案】D
【解答】解：将 两边同时乘以x（x﹣1）即可得到一个一元一次方程，
故选：D．
7．（2022秋•五常市期末）若关于x的方程 无解，则m的值为 0 或 4 ．
【答案】0或4．
【解答】解： ，
2（2x+1）＝mx，
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4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
①分式方程没有意义时，
x＝0或﹣ ，
此时m＝0，
②整式不成立时，
4﹣m＝0，
∴m＝4，
故答案为：0或4．
8．（2023秋•新田县期中）甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟
可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要 1 0 分钟可以注满全池．
【答案】10．
【解答】解：设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c
分钟，d分钟．
根据题意得： ，
三式相加得：2（ ）＝ ，
∴ ＝ ，
则四管齐开，需要10分钟可以注满全池．
故答案为：10．
9．（2023秋•岱岳区期中）解方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1）x＝2；
（2）无解．
【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，
解得：x＝2，
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经检验x＝2是增根，分式方程无解．
10．（2023秋•平南县期中）今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，
第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个．
（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？
【答案】（1）50元；
（2）1700元．
【解答】解：（1）设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，
根据题意得： ，
解得：x＝50，
经检验：x＝50是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的每个吉祥物的进价为50元；
（2）70×（ ）﹣3000×2＝1700（元），
答：该商店两次购进吉祥物的总利润为1700元．
11．（2023秋•南县期中）《非机动车管理办法》规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．
某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用 5400元再购进一批头盔，第二
批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．第一批头盔进货单价多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+10）元，
根据题意得： ＝3× ，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意．
答：第一批头盔进货单价为80元．
12．（2023秋•兴宾区期中）某公司接到制作15000件冰墩墩的订单，为了尽快完成任务，该公司实际每
天制作冰墩墩的件数是原计划每天制作件数的1.5倍，结果提前10天完成任务．
（1）求原计划每天制作多少件冰墩墩？
（2）该公司原计划每天支付给工人的总工资是1000元，实际每天支付给工人的总工资比原计划增长了
20%，完成任务后，该公司实际支付的工资与原计划相比多还是少？多或者少的具体数额是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设原计划每天制作x件冰墩墩，则实际每天制作1.5x件冰墩墩，
根据题意得： ﹣ ＝10，
解得：x＝500，
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经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天制作500件冰墩墩；
（2）完成任务后，该公司原计划支付的工资总额为1000× ＝1000×30＝30000（元）；
该公司实际支付的工资总额为1000×（1+20%）× ＝1200×20＝24000（元）．
∵24000＜30000，30000﹣24000＝6000（元），
∴公司实际支付的工资比原计划少了，少了6000元．
答：该公司实际比原计划少支付工资6000元．
1．（2023 秋•大渡口区校级期中）若关于 x 的方程 有正整数解，且关于 x 的不等式组
有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ﹣ 4 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：方程 的解为x＝ ，
根据题意，得 ，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．
∵不等式 的解集为﹣5≤x＜ ，且只有3个整数解，
∴﹣3＜ ≤﹣2，解得﹣7＜a≤1．
综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，
∴a＝﹣3，﹣1．
∵﹣3﹣1＝﹣4，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣4
故答案为：﹣4．
2．（2023秋•祁阳县期中）a为何值时，关于x的方程 + ＝ 无解？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由原方程得：2（x+2）+ax＝3（x﹣2），
整理得：（a﹣1）x＝﹣10，
（i）当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解；
（ii）当a﹣1≠0，原方程有增根x＝±2，
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当x＝2时，2（a﹣1）＝﹣10，即a＝﹣4；
当x＝﹣2时，﹣2（a﹣1）＝﹣10，即a＝6，
即当a＝1，﹣4或6时原方程无解．
（1）1﹣ ＝
（2） ﹣ ＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解；
（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
3．（2023•新化县模拟）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一
名检测员的20倍．若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时．
（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？
（2）现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件．该厂调配了2台检测机和30名
检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设一名检测员每小时检测零件x个，由题意得：
﹣ ＝3，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是分式方程的解，
20x＝20×5＝100，
答：一台零件检测机每小时检测零件100个；
（2）设该厂再调配a台检测机才能完成任务，由题意得：
（2×100+30×5）×7+100a×（7﹣3）≥3450，
解得：a≥2.5，
∵a为正整数，
∴a的最小值为3，
答：该厂至少再调配3台检测机才能完成任务．
4．（2022秋•代县期末）为缓解忻州至太原段的交通压力，促进两市经济发展．山西省委决定修建“太忻
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大道”，现“太忻大道”正在建设中．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工 30天
完成该项工程的 ，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
【答案】（1）乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；
（2）乙队至少施工18天才能完成该项工程．
【解答】解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
∵甲队单独施工30天完成该项工程的 ，
∴甲队单独施工90天完成该项工程，
根据题意可得：
+15（ + ）＝1，
解得：x＝30，
检验得：x＝30是原方程的根，
答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程；
（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：
×36+y× ≥1，
解得：y≥18，
答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．
5.（2023•兴庆区校级模拟）宁夏中宁县素有“枸杞之乡”的美誉，某商场从中宁县枸杞批发市场购进甲、
乙两种不同价位的枸杞，甲种枸杞共用了2000元，乙种枸杞共用了2400元．已知乙种枸杞每千克进价
比甲种枸杞每千克进价多8元，且购进的甲、乙两种枸杞的数量相同．
（1）求甲、乙两种枸杞每千克的进价．
（2）该商场将购进的甲、乙两种枸杞进行销售，甲种枸杞的销售单价为60元，乙种枸杞的销售单价为
88元．销售过程中发现甲种枸杞销量不好，商场决定：甲种枸杞销售一定数量后按原销售单价的七折
销售；乙种枸杞销售单价不变，要使两种枸杞全部售完共获利不少于 2460元，问甲种枸杞按原销售单
价至少销售多少千克？
【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）20件．
【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得， ＝ ，
解得 x＝40．
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
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（2）甲乙两种商品的销售量为 ＝50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则，
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
6．（2022•南岗区校级一模）某中学为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中故事书的单价比文学
书的单价多4元，用1200元购买的故事书与用800元购买的文学书数量相等．
（1）求去年购买的文学书和故事书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，故事书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买文
学书和故事书共200本，且购买文学书和故事书的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多
少本文学书？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设去年文学书单价为x元，则故事书单价为（x+4）元，根据题意得：
，
解得：x＝8，
经检验x＝8是原方程的解，当x＝8时x+4＝12，
答：去年文学书单价为8元，则故事书单价为12元．
（2）设这所学校今年购买y本文学书，根据题意得．
8×（1+25%）y+12（200﹣y）≤2120，
y≥140，
∴y最小值是140；
答：这所中学今年至少要购买140本文学书．
7．（2022春•大观区校级期末）已知，关于x的分式方程 ＝1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程 ＝1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程 ＝1的解为整数时，求b的值．
【答案】（1）x＝ ；（2） 或b＝5；（3）b可取3、29、55、185这四个数．
【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得 ，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
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2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x＝ ，
检验：把x＝ 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝ ．
答：分式方程的解是x＝ ．
（2）把a＝1代入分式方程 得 ，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即 ，方程无解；
②当11﹣2b≠0时， ，
时，分式方程无解，即 ，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即 ，b＝5．
综上所述， 或b＝5时，分式方程 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴ ，
∵ ，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
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由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
8．（2022春•宁波期末）我们把形如x+ ＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x ＝a，x ＝b的方程
1 2
称为“十字分式方程”．
例如x+ ＝4为十字分式方程，可化为x+ ＝1+3，∴x ＝1，x ＝3．
1 2
再如x+ ＝﹣6为十字分式方程，可化为x+ ＝（﹣2）+（﹣4），∴x ＝﹣2，x ＝﹣4．
1 2
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若x+ ＝﹣5为十字分式方程，则x ＝ ﹣ 2 ，x ＝ ﹣ 3 ．
1 2
（2）若十字分式方程x﹣ ＝﹣2的两个解分别为x ＝m，x ＝n，求 的值．
1 2
（3）若关于x的十字分式方程x﹣ ＝﹣k﹣1的两个解分别为x ，x （k＞0，x ＞x ），求
1 2 1 2
的值．
【答案】（1）﹣2：﹣3
（2）﹣
（3）﹣
【解答】解：（1）x+ ＝﹣5可化为x+ ＝（﹣2）+（﹣3），
∴x ＝﹣2，x ＝﹣3．
1 2
（2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2，
∴ +
＝
＝
＝
＝﹣ ．
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（3）原方程变为x﹣2﹣ ＝﹣k﹣3，
∴x﹣2+ ＝k+（﹣2k﹣3）
∴x ﹣2＝k，x ﹣2＝﹣2k﹣3，
1 2
∴ ＝
＝﹣ ．
1．（2023•海南）分式方程 ＝1的解是（ ）
A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣5
【答案】A
【解答】解：去分母，得1＝x﹣5，
移项，得﹣x＝﹣5﹣1，
合并同类项，得﹣x＝﹣6，
系数化为1，得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴方程的解是x＝6．
故选：A．
2．（2023•大连）解方程 去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x
【答案】B
【解答】解：分式方程的两侧同乘（x﹣1）得：1﹣3（x﹣1）＝﹣3x．
故选：B．
3．（2023•淄博）为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的重要讲话精神，某学校
组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动．已知初一植树900棵与初二植树1200棵
所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树350棵．求初一年级平均每小时植树多少棵？设初一年级
平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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【答案】D
【解答】解：设初一年级平均每小时植树x棵，根据题意可得：
，
故选：D．
5．（2023•日照）若关于x的方程 ﹣2＝ 的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣ B．m＜
C．m＞﹣ 且m≠0 D．m＜ 且m≠
【答案】D
【解答】解： ﹣2＝ ，
去分母得，2x﹣4（x﹣1）＝3m，
整理得，2x﹣4x+4＝3m，
解得，x＝ ，
∵分式方程的解为正数，
∴4﹣3m＞0且 ，
∴m＜ 且m≠ ．
故选：D．
6．（2023•重庆）若关于x的不等式组 的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程 + ＝2
的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 1 3 ．
【答案】13．
【解答】解：解不等式组 ，
得： ，
∵原不等式组的解集为：x＜﹣2，
∴﹣ ≥﹣2，
∴a≤5，
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解分式方程 + ＝2，
得y＝ ，
∵y＞0且y≠1，
∴ ＞0且 ≠1，
∴a＞﹣2且a≠1，
∴﹣2＜a≤5，且a≠1，
∴符合条件的整数a有：﹣1，0，2，3，4，5，
∴﹣1+0+2+3+4+5＝13．
故答案为：13．
7．（2023•广西）解分式方程： ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解： ，
方程两边同乘x（x﹣1）得：2x＝x﹣1，
移项解得：x＝﹣1．
将x＝﹣1代入x（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣1是原分式方程的解．
8．（2023•连云港）解方程 ＝ ﹣3．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2），
去括号得：2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6，
移项得：2x﹣3x+3x＝5﹣3+6，
合并同类项得：2x＝8，
把x的系数化为1得：x＝4，
检验：把x＝4代入最简公分母x﹣2＝4﹣2＝2≠0，
故原分式方程的解为：x＝4．
9．（2022•河南）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综
合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗
开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，用300元在市场上购买的A种
菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A
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种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．
求本次购买最少花费多少钱．
【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）本次购买最少花费2250元．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得： ＝ +3，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴m≤100﹣m，
解得m≤50，
设本次购买花费w元，
∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，
∵﹣9＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元），
答：本次购买最少花费2250元．
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