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专题 17 等腰三角形的核心知识点精讲
1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．
3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．
考点1：等腰三角形的性质与判定
1. 等腰三角形的两个底角度数相等
2. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简
性质
写成“等腰三角形三线合一”）
3. 等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴
1. 有两条边相等的三角形的等腰三角形
判定
2. 有两个角相等的三角形是等腰三角形
面积公式 ，其中a是底边常，hs是底边上的高
考点2：等边三角形的性质与判定
1. 三条边相等
2. 三个内角相等，且每个内角都等于60°
3. 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴
性质
1. 三条边都相等的三角形是等边三角形
2. 三个角相等的三角形是等边三角形
判定
3. 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形
面积公式 是等边三角形的边长，h是任意边上的高
考点3 ：线段垂直平分线
（1）线段垂直平分线的作图
1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点；
2. 作直线 CD，CD 为所求直线
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（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
【题型1：等腰三角形的性质和判定】
【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC长为半径画弧，两弧
相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则
△ABD的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
1.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．70° B．45° C．35° D．50°
2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2+ +|c﹣3 |＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
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【题型2：等边三角形的性质和判定】
【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交
BC的延长线于点E，则∠DEC＝（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（
）
A．80° B．70° C．60° D．50°
2．（2022•张家界）如图，点 O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝ ，则△AOB与
△BOC的面积之和为（ ）
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A． B． C． D．
3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若
OM⊥ON，则OC的最大值是 ．
【题型3：线段的垂直平分线】
【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周
长是 ．
1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为 度．
2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若
AB＝4，则DC的长是 ．
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3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于
点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 ．
一．选择题（共9小题）
1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边 AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（
）
A．30° B．20° C．25° D．15°
3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居
民小区的距离相等，那么生活超市应建在（ ）
A．AB，AC两边中线的交点处
B．AB，AC两边高线的交点处
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C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处
D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处
4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点
F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
6．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则
BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则BC
长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝
140°，则∠EAF的度数为（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
9．如图，P是等边△ABC的边 AC 的中点，E为BC 边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为
（ ）
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A．20° B．25° C．30° D．35°
二．填空题（共6小题）
10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC
于点E，则∠EBC的度数是 度．
11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC
＝7，BC＝4，则BD的长为 ．
12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝ °．
13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则
PE+PF的长度和为 ．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为
．
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15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝
CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
三．解答题（共3小题）
16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求
∠CDE的度数．
17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢
慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM
＝PN，CM＝CN．
（1）求证：PC垂直平分MN；
（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．
18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，
连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
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（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
一．选择题（共5小题）
1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度
数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被
覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，
点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运
动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
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4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接
DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（
）
A．0.8cm2 B．1cm2 C．1.2cm2 D．不能确定
二．填空题（共4小题）
6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为
cm．
7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，
若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 ．
8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交
AB于O，则：
①DB＝AE；
②∠AMC＝∠DNC；
③△MCE是等腰三角形；
④△MCN是等边三角形；
⑤∠AOD＝60°．
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其中，正确的有 ．
9．如图，四边形 ABCD，AD＝1， ，BC＝3，点 E 为 AB 的中点，连接 DE、CE，使得
∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为 ．
三．解答题（共2小题）
10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填
“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE
DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解
答过程）．
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长
为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀
速移动．
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当它们的速度都是 1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点 P的运动时间为 t
（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
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1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作
弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的
长是（ ）
A．6 B．3 C．1.5 D．1
2．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F
沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC
于点E，则∠EBC＝ ．
12
