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10.4 双曲线（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2022·潮州二模）若点P是双曲线 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，
则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例1-2】（2022·成都模拟）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，点P在双曲线C的右
支上，当 时， 面积为（ ）．
A． B． C． D．
【例1-3】（2022常州期中）已知双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，点
，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（2021河北月考）已知方程 表示双曲线，则实数 的取值范围为（
）
A． B．C． 或 D． 或
【一隅三反】
1．（2022高三上·广东开学考）“k<2”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·运城模拟）已知双曲线 的左右焦点 ， ， 是双曲线上一点， ，则
（ ）
A．1或13 B．1 C．13 D．9
3．（2022红塔月考）已知 是双曲线 的左焦点，点 ， 是双曲线右支上
的动点，则 的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
4（2022广东）已知 ， 分别是双曲线 的左､右焦点，若P是双曲线左支上的点，且
.则 的面积为（ ）
A．8 B． C．16 D．考点二 双曲线的离心率及渐近线
【例2-1】（2022龙岗期中）双曲线 的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2022长春月考）在 中， ， .若以A，B为焦点的双
曲线经过点C，则该双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
【例2-3】（2022·重庆市模拟）已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，
点 在 轴上， 为等边三角形，且线段 的中点恰在双曲线C上，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
【一隅三反】
1．（2022·湖南模拟）已知O是坐标原点，F是双曲线 的右焦点，过双曲
线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线交于A点，若以F为圆心的圆经过点A，
O，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·广西开学考）已知 ， 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且；则C的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（202怀仁期末）设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线右
支上存在一点 ，使 （ 为坐标原点），且 ，则双曲线的离心率为（
）
A． B． C． D．
4（2022德州月考）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，曲线
上一点 到 轴的距离为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022辽宁期中）（多选）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，
是双曲线上一点，若 ，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．2
考点三 双曲线的标准方程
【例3-1】（2022·海宁模拟）已知双曲线C的渐近线方程为 ，且焦距为10，则双曲线C的
标准方程是（ ）A． B．
C． 或 D． 或
【例3-2】（2022·河西模拟）已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线上的一
点 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·河南模拟）已知双曲线 的一条渐近线过点 ， 是
的左焦点，且 ，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
2（2021高三上·宁波期末）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线， 且它们的离心率
不相同， 则下列方程中有可能为双曲线 的标准方程的是（ ）
A． B． C． D．
3（2022南山期末）已知双曲线C过点 且渐近线为 ，则双曲线C的方程是
（ ）A． B． C． D．
4．（2022商丘）若方程 表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021肇东月考）以 ， 为焦点且过点 的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【例4-2】（2022·全国·专题练习）若过点 的直线 与双曲线 : 的右支相交于不同两点，
则直线 斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·安徽）直线 与双曲线 没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线 的一个顶点为A，过点A的直线
与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A． B． C． D．
考点五 弦长与中点弦
【例5-1】（2021·江西省）已知双曲线x2－y2＝a2（a＞0）与直线y＝ x交于A、B两点，且｜AB｜＝2
，则a ＝_____
【例5-2】（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线 的离心率为 ，直线 与
交于 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，则 与 的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2021·全国·高二课时练习）已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，
若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 过左焦点 作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，则b的值是
（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·山东烟台·三模）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于
A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为 ，过F的直线
l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为 ，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
5．（2022·四川省）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（ ，0）．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．
