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第29讲 二项式定理
【知识点总结】
一、二项式定理
(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b+…+Cran−rbr +…+Cna0bn (n∈N¿)
n n n n .
展开式具有以下特点：
（1）项数：共
n+1
项.
C0,C1,C2,…，Cn
（2）二项式系数：依次为组合数 n n n n.
（3）每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幂、 b 的升幂排列展开.特别地，
(1+x) n =1+C1x+C2x2 +…+Cnxn
n n n .
二、二项式展开式的通项（第r+1项）
T =Cran−rbr (r=0,1,2,3,…,n.) Cr
二项式展开的通项为 r+1 n .其中 n的二项式系数.令变量（常用x）取1，
T
可得 r+1的系数.
注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通
项公式时要注意以下几点：
Cran−rbr
①分清 n 是第r+1项，而不是第r项；
②在通项公式 T r+1 =Cr n an−rbr 中，含 T r+1 ,Cr n ,a,b,r,n 这6个参数，只有 a,b,r,n 是独立的，在未知r,n的
情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n和r.
三、二项式展开式中的系数
（1）二项式系数与项的系数
C0,C1,C2,…，Cn
a,b (2+x)
n
二项式系数仅指 n n n n而言，不包括字母 所表示的式子中的系数.例如：
xr T =Cr2n−rxn Cr xr
的展开式中，含有 的项应该是 r+1 n ，其中 n叫做该项的二项式系数，而 的系数应该是
Cr2n−r
xr
n （即含 项的系数）.
（2）二项式系数的性质
① 在 二 项 式 展 开 式 中 ， 与 首 末 两 端 “ 等 距 离 ” 的 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 ， 即
C0 =Cn,C1 =Cn−1,C2 =Cn−2 Cr =Cn−r
n n n n n n ，…， n n .
②二项展开式中间项的二项式系数最大.
n
2
+1
2
Cn
如果二项式的幂指数n是偶数，中间项是第 项，其二项式系数 n 最大；如果二项式的幂指数n+1 n+1
n−1 n+1
+1
2 2 C 2 C 2
n是奇数，中间项有两项，即为第 项和第 项，它们的二项式系数 n 和 n 相等并且最大.（3）二项式系数和与系数和
①二项式系数和 .
奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，
.
②系数和
求所有项系数和，令 ；求变号系数和，令 ；求常数项，令 。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
（多选题）例2.（2022·全国·高三专题练习）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）若 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式的常数
项为___________.
例4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 的展开式的二项式系数和比 的展开式的
二项式系数和大992，则在 的展开式中，二项式系数最大的项为________．
例5．（2022·全国·高三专题练习） 除以 的余
数是____．
设复数 ( 是虚数单位)，则 ____．
例6．（2022·全国·高三专题练习）求 的展开式中含 的项．
【技能提升训练】
一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理）） 的展开式中 项的系数为（ ）
A． B． C．24 D．
2．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中 项的系数为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知 ，二项式 的展开式中
所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（ ）
A．66 B．36 C．30 D．6
4．（2022·全国·高三专题练习（理）） 的展开式中的中间项为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习） 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
6．（2022·全国·高三专题练习）已知 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的
二项式系数和为( )
A．512 B．210
C．211 D．212
7．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（ ）
A．1 B．20
C．21 D．31
8．（2022·全国·高三专题练习）若在(x＋1)4(ax－1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为（ ）
A．－4 B．C．4 D．
9．（2022·全国·高三专题练习（理）） 的展开式中 的系数为（ ）A． B． C．24 D．36
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习（理））已知 ，且 恰能被14整除，
则 的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．13
11．（2021·全国·高三专题练习）今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过 天后是（ ）
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
12．（2021·全国·高三专题练习（理））在QBasic等程序语言中，通常用 表示 除以 后得到的余
数，例如 ， ．则 等于（ ）
A．1 B．3 C．9 D．7
13．（2021·河南驻马店·高三阶段练习（理））若 ，且
, 则实数 的值为
A．1或3 B．-3 C．1 D．1或 -3
二、多选题
14．（2022·江苏·高三专题练习）已知 的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确
的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为
15．（2022·全国·模拟预测）下列关于多项式 的展开式的结论中，正确的是（ ）
A．各项系数之和为 B．各项系数的绝对值之和为
C．不存在 项 D．常数项为
16．（2022·全国·高三专题练习）设 ，下列结论正确的是（
）A．
B．
C． 中最大的是
D．当 时， 除以2000的余数是117．（2021·广东·高三阶段练习）已知 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（
）
A．7 B．8
C．9 D．10
19．（2022·全国·高三专题练习）在 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共3项
20．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，下列命题中，正确的是（
）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为 ；
B．展开式中所有奇次项系数的和为 ；
C．展开式中所有偶次项系数的和为 ；
D． .
21．（2022·全国·高三专题练习）若(1＋mx)8＝a＋ax＋ax2＋…＋ax8且a＋a＋…＋a＝255，则实数m
0 1 2 8 1 2 8
的值为（ ）
A．1 B．－1
C．－3 D．3
三、填空题
22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知二项式 的展开式中所有项的二项式系数之和为 ，则该展开式中的常数项是_______．(用数字作答)
23．（2022·浙江·高三专题练习）若二项式 的展开式中第 项与第 项的系数相同，则其
常数项是___________.24．（2022·天津南开·高三期末）二项式 的展开式中，常数项是________.
25．（2022·全国·高三专题练习）若 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式的常数项
为___________.
26．（2022·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数是___________．
27．（2022·全国·高三专题练习（理））若在 的展开式中第 项的二项式系数最大，则
的展开式中，常数项是___________.
28．（2022·全国·高三专题练习）若 的展开式中，含 的项是第四项，则展开式中的二
项式系数和为______．
29．（2021·全国·高三开学考试（理）） 的展开式中各项系数之和为 ，则该展开式中
的系数为___________.
30．（2021·江苏·盐城中学一模）若 ，则 __________．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知（x-3y）n的展开式中，第5项的二项式系数与第12项的二项式系数
相等，则展开式共有___________项.
32．（2021·福建·上杭一中模拟预测） 除以88的余数是______．
33．（2021·福建三明·模拟预测）设 且 ，若 能被5整除，则 等于___________.
34．（2021·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据 的处理，经过思考，
他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
四、解答题
35．（2022·全国·高三专题练习）在(2x－3y)10的展开式中，求：（1）二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
（4）奇数项系数和与偶数项系数和.36．（2022·全国·高三专题练习）设 ，求：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
37．（2022·全国·高三专题练习）已知(2x－1)5＝ax5＋ax4＋ax3＋ax2＋ax＋a.求下列各式的值：
0 1 2 3 4 5
（1）a＋a＋a＋…＋a；
0 1 2 5
（2）|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|；
0 1 2 5
（3）a＋a＋a.
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五、双空题
38．（2022·全国·高三专题练习）已知 的展开式的二项式系数之和为 ，则 __________； 的
系数为__________ 用数字作答
39．（2022·全国·高三专题练习）二项式 的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为
______________.40．（2022·全国·高三专题练习）在 的展开式中，第 项的二项式系数是___________，第项的系数是___________.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，
，则 ___________. ___________.
