专题02整式与因式分解（讲义）（解析版）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_一轮复习资料_讲义

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 02 整式与因式分解的核心知识点精讲 1．能用幂的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算． 2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算． 3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解． 4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值． 5．会列代数式表示简单的数量关系;能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,会求代数式的值，并能 根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律． 考点1：代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 考点2：整式的相关概念 考点3：整式加减运算 1.实质：合并同类项 2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 3. 去括号 （1）a+(b+c)=a+b+c ； （2）a-(b+c)=a-b-c 考点4：幂运算 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) （2）幂的乘方运算 (a m ) n amn 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 = (m,n都为正整数) （3）积的乘方运算 ( abm ) n anbmn 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即 = （m,n为正整数） （4）幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 考点5：整式乘法运算 （1）单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式． （2）单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． （3）多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． （4）乘法公式 (ab)(ab)a2 b2 ①平方差公式： ab2 a2 2abb2 (ab)2  a2 2abb2 完全平方公式： ② （5）除法运算 ①单项式的除法：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式． ②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 考点6：因式分解 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【题型1：代数式及其求值】 【典例1】（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（ ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【解析】解：∵a2﹣4a﹣12＝0， ∴a2﹣4a＝12， ∴2a2﹣8a﹣8 ＝2（a2﹣4a）﹣8 ＝2×12﹣8 ＝24﹣8 ＝16， 故选：D． 1．（2023•雅安）若m2+2m﹣1＝0，则2m2+4m﹣3的值是（ ） A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．﹣3 【答案】A 【解析】解：2m2+4m﹣3＝2（m2+2m﹣1）﹣1＝0﹣1＝﹣1． 故选：A． 2．（2023•常德）若a2+3a﹣4＝0，则2a2+6a﹣3＝（ ） A．5 B．1 C．﹣1 D．0 【答案】A 【解析】解：∵a2+3a﹣4＝0， ∴a2+3a＝4， ∴2a2+6a﹣3 ＝2（a2+3a）﹣3 ＝2×4﹣3 ＝5， 故选：A． 3．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ） A．5 B．7 C．10 D．﹣13 【答案】B 【解析】解：∵x2+3x﹣5＝0， ∴x2+3x＝5， ∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7． 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故选：B． 【题型2：整式的相关概念及加减】 【典例2】（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ） A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c 【答案】B 【解析】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2， 故选：B． 1．（2021•河池）下列各式中，与2a2b为同类项的是（ ） A．﹣2a2b B．﹣2ab C．2ab2 D．2a2 【答案】A 【解析】解：2a2b中含有两个字母：a、b，且a的指数是2，b的指数是1，观察选项，与2a2b是同类 项的是﹣2a2b． 故选：A． 2．（2022•泰州）下列计算正确的是（ ） A．3ab+2ab＝5ab B．5y2﹣2y2＝3 C．7a+a＝7a2 D．m2n﹣2mn2＝﹣mn2 【答案】A 【解析】解：A、原式＝5ab，符合题意； B、原式＝3y2，不符合题意； C、原式＝8a，不符合题意； D、原式不能合并，不符合题意． 故选：A． 3．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 y 2 ﹣ x y + 3 ． 【答案】y2﹣xy+3． 【解析】解：由题意得，这个多项式为： （2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8） ＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8 ＝y2﹣xy+3． 故答案为：y2﹣xy+3． 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【题型3：幂运算】 【典例3】（2023•株洲）计算：（3a）2＝（ ） A．5a B．3a2 C．6a2 D．9a2 【答案】D 【解析】解：∵（3a）2＝32×a2＝9a2， 故选：D． 1．（2023•丹东）下列运算正确的是（ ） A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3 【答案】A 【解析】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此选项符合题意； B．（y3）2＝y6，故此选项不合题意； C．x2•x2＝x4，故此选项不合题意； D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意． 故选：A． 2．（2023•陕西）计算： ＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：原式＝﹣ x6y3， 故选：C． 3．（2023•温州）化简a4•（﹣a）3的结果是（ ） A．a12 B．﹣a12 C．a7 D．﹣a7 【答案】D 【解析】解：a4•（﹣a）3＝﹣a7． 故选：D． 【题型4：整式的乘除及化简求值】 【典例4】（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1． 【解析】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b） ＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ＝2a2+6ab． 当a＝2，b＝﹣1时， 原式＝2×22+6×2×（﹣1） ＝8﹣12 ＝﹣4． 1．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣ ． 【答案】4﹣6a，原式＝6． 【解析】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2 ＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2 ＝4﹣6a， 当a＝﹣ 时，原式＝4﹣6×（﹣ ） ＝4+2 ＝6． 2．（2023•常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝ ． 【答案】x2﹣1，1． 【解析】解：原式＝x2+2x+1﹣2x﹣2 ＝x2﹣1， 当x＝ 时，原式＝2﹣1＝1． 3．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0． 【解析】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9 ＝2x2﹣6x﹣7， ∵x2﹣3x+1＝0， ∴x2﹣3x＝﹣1， ∴2x2﹣6x＝﹣2， ∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9． 【题型5：因式分解】 【典例5】（2023•北京）分解因式：x2y﹣y3＝ y （ x + y ）（ x ﹣ y ） ． 【解析】解：x2y﹣y3 ＝y（x2﹣y2） 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ＝y（x+y）（x﹣y）． 故答案为：y（x+y）（x﹣y）． 1．（2023•盐城）因式分解：x2﹣xy＝ x （ x ﹣ y ） ． 【答案】x（x﹣y） 【解析】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）． 故答案为：x（x﹣y）． 2．（2023•陕西）分解因式：3x2﹣12＝ 3 （ x ﹣ 2 ）（ x + 2 ） ． 【答案】3（x+2）（x﹣2）． 【解析】解：原式＝3（x2﹣4） ＝3（x+2）（x﹣2）． 故答案为：3（x+2）（x﹣2）． 3．（2023•怀化）分解因式：2x2﹣4x+2＝ 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ． 【答案】2（x﹣1）2 【解析】解：2x2﹣4x+2， ＝2（x2﹣2x+1）， ＝2（x﹣1）2． 1．单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3，则m﹣n＝（ ） A．﹣4 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】解：∵单项式mxy3与xn+2y3的和是5xy3， ∴单项式mxy3与xn+2y3是同类项， ∴n+2＝1，m+1＝5， 解得n＝﹣1，m＝4， ∴m﹣n＝4﹣（﹣1）＝5， 故选：D． 2．下列计算正确的是（ ） A．2ab+3ab＝5ab B．7y2﹣2y2＝5 C．4a+2a＝6a2 D．3m2n﹣2mn2＝mn2 【答案】A 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】解：A．2ab+3ab＝5ab，故本选项符合题意； B．7y2﹣2y2＝5y2，故本选项不符合题意； C．4a+2a＝6a，故本选项不符合题意； D．3m2n与﹣2mn2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．如图是由连续的奇数1，3，5，7，……排成的数阵，用如图所示的T字框框住其中的四个数，设竖列 中间的数为x，则这四个数的和为（ ） A．3x+1 B．3x+2 C．4x+1 D．4x+2 【答案】B 【解析】解：设竖列中间的数为x， 则上面的数为：x﹣10， 下面的数为：x+10， 其右侧的数为：x+2， 则这四个数的和为：x﹣10+x+10+x+2＝3x+2， 故选：B． 4．某商品标价为m元，商店以标价7折的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（ ） A．0.3m元 B．1.7m元 C．7m元 D．0.7m元 【答案】D 【解析】解：商店以标价7折的价格开展促销，售价为0.7m元； 故选：D． 5．如图是一组有规律的图案，它们由边长相等的等边三角形组成，第1个图案有4个三角形，第2个图案 有7个三角形，第 3个图案有10个三角形，…，照此规律，摆成第 6个图案需要的三角形个数是 （ ） A．19个 B．22个 C．25个 D．26个 【答案】A 【解析】解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1， 第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1， 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1， …， 按此规律摆下去， 第n个图案有（3n+1）个三角形． 第6个图案有（3×6+1）＝19个三角形． 故选：A． 6．若代数2x2+3x的值为5，则代数式4x2+6x﹣9的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解析】解：∵2x2+3x的值为5， ∴2x2+3x＝5， ∴原式＝2（2x2+3x）﹣9 ＝2×5﹣9 ＝10﹣9 ＝1． 故选：A． 7．下列计算正确的是（ ） A．（a3）2＝a8 B．a2•a3＝a6 C．（2ab2）3＝8a3b6 D． 【答案】C 【解析】解：（a3）2＝a6，则A不符合题意； a2•a3＝a5，则B不符合题意； （2ab2）3＝8a3b6，则C符合题意； 3a2÷4a2＝ ，则D不符合题意； 故选：C． 8．多项式3x2﹣2x+5的各项分别是（ ） A．3x2，﹣2x，5 B．x2，x，5 C．3x2，2x，5 D．3，2，5 【答案】A 【解析】解：多项式3x2﹣2x+5的各项分别是3x2，﹣2x，5， 故选：A． 9．下列各整式中是三次单项式的是（ ） A．5a3b B．32a2b C．﹣a2b3 D．9a2+b3 【答案】B 【解析】解：5a3b的次数是3+1＝4，则A不符合题意； 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 32a2b的次数是2+1＝3，则B符合题意； ﹣a2b3的次数是2+3＝5，则C不符合题意； 9a2+b3不是多项式，则D不符合题意； 故选：B． 10．如果二次三项式x2+ax﹣2可分解为（x﹣2）（x+b），那么a+b的值为（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0 【答案】D 【解析】【详解】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b， ∴x2+ax﹣2＝x2+（b﹣2）x﹣2b， ∴a＝b﹣2，﹣2＝﹣2b， ∴a＝﹣1，b＝1， ∴a+b＝0， 故选：D． 11．将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解 释的代数恒等式是（ ） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy 【答案】D 【解析】解：根据图形可得：大正方形的面积为（x+y）2，阴影部分小正方形的面积为（x﹣y）2，一个 小长方形的面积为xy， 则大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积， 即（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， 故选：D． 12．（﹣x3）2的运算结果是（ ） A．﹣x5 B．﹣x6 C．x6 D．x9 【答案】C 【解析】解：（﹣x3）2＝x6． 故选：C． 13．单项式﹣ 的系数和次数分别是（ ） A．﹣ ，4 B．﹣ ，5 C． D． 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】C 【解析】解：单项式﹣ 的系数是﹣ ，次数是4， 故选：C． 14．若M和N都是三次多项式，则M+N一定是（ ） A．次数低于三次的整式 B．六次多项式 C．三次多项式 D．次数不高于三次的整式 【答案】D 【解析】解：∵M和N都是三次多项式， ∴M+N一定是次数不高于三次的整式， 故选：D． 15．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（ ） A．10 B．20 C．±10 D．±20 【答案】C 【解析】解：由于（x±5）2＝x2±10x+25 ∴m＝±10 故选：C． 16．要使多项式2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2化简后不含x的二次项，则m的值是（ ） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣6 【答案】D 【解析】解：2x2﹣2（7+3x﹣2x2）+mx2 ＝2x2﹣14﹣6x+4x2+mx2 ＝（6+m）x2﹣6x﹣14． ∵化简后不含x的二次项． ∴6+m＝0． ∴m＝﹣6． 故选：D． 17．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝2023． 【答案】a﹣4，2019． 【解析】解：原式＝a2﹣4+a﹣a2 ＝a﹣4， 当a＝2023时， 原式＝2023﹣4 ＝2019． 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 18．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S ，S ． 1 2 （1）填空：S ﹣S ＝ 2 m ﹣ 1 （用含m的代数式表示）； 1 2 （2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和． ①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）； ②设该正方形的面积为S ，试探究：S 与2（S +S ）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不 3 3 1 2 是常数，请说明理由． 【答案】（1）2m﹣1； （2）①2m+7； ②S 与 2（S +S ）的差是常数19． 3 1 2 【解析】解：（1）S ﹣S 1 2 ＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2） ＝（m2+m+7m+7）﹣（m2+2m+4m+8） ＝m2+m+7m+7﹣m2﹣2m﹣4m﹣8 ＝2m﹣1， 故答案为：2m﹣1； （2）①根据题意得： 4x＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2）， 解得：x＝2m+7， 答：x的值为 2m+7； ②∵S +S 1 2 ＝（m+7）（m+1）+（m+4）（m+2） ＝（m2+m+7m+7）+（m2+2m+4m+8） ＝m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8 ＝2m2+14m+15， ∴S ﹣2（S +S ） 3 1 2 ＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15） ＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30 ＝19， 答：S 与 2（S +S ）的差是常数19． 3 1 2 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1．已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形 按如图所示放置在大长方形中，小明经过推理得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道 a、 b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（ ） A．a B．b C．m D．n 【答案】D 【解析】解：由图和已知可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a． 阴影部分的周长为：2（AB+AC）+2（GE+EF） ＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b） ＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b ＝4n． ∴求图中阴影部分的周长之和，只需知道n一个量即可． 故选：D． 2．已知8m＝a，16n＝b，其中m，n为正整数，则23m+12n＝（ ） A．ab2 B．a+b2 C．ab3 D．a+b3 【答案】C 【解析】解：∵8＝23，16＝24， ∴（23）m＝23m＝a，（24）n＝24n＝b， ∴23m+12n＝23m×212n＝23m×（24n）3＝ab3， 故选：C． 3．比较344，433，522的大小正确的是（ ） A．344＜433＜522 B．522＜433＜344 C．522＜344＜433 D．433＜344＜522 【答案】B 【解析】解：344＝（34）11＝8111； 433，＝（43）11＝6411； 522的＝（52）11＝2511； ∵2511＜6411＜8111， 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴522＜433＜344． 故选：B． 4．若（a+2b）•_____＝a2﹣4b2，则横线内应填的代数式是（ ） A．﹣a﹣2b B．a+2b C．a﹣2b D．2b﹣a 【答案】C 【解析】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）， ∴括号内应填的代数式是a﹣2b． 故选：C． 5．同号两实数a，b满足a2+b2＝4﹣2ab，若a﹣b为整数，则ab的值为（ ） A．1或 B．1或 C．2或 D．2或 【答案】A 【解析】解：∵a2+b2＝4﹣2ab， ∴（a+b）2＝4， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣4ab≥0， ∴ab≤1， ∵ab＞0， ∴0＜ab≤1． ∴0≤4﹣4ab＜4． ∵a﹣b为整数， ∴4﹣4ab为平方数． ∴4﹣4ab＝1或0， 解得ab＝ 或1； 故选：A． 6．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13世纪）所著的《详解九章 算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”设（a+b）n的展开式中各项系数的和为a ，若21010＝x，则a +a +a +…+a 的值为 n 1 2 3 2020 （ ） 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．2x2 B．2x2﹣2 C．2020x﹣2 D．2020x 【答案】B 【解析】解：观察所给数据可得，a ＝2，a ＝1+2+1＝4＝22，a ＝1+3+3+1＝8＝23，a ＝1+4+6+4+1＝ 1 2 3 4 16＝24，…，a ＝22020， 2020 ∵21010＝x， ∴a ＝22020＝x2， 2020 ∵a +a ＝2+4＝6＝2（22﹣1）， 1 2 a +a +a ＝2+4+8＝14＝2（23﹣1）， 1 2 3 …， ∴a +a +a +…+a 1 2 3 2020 ＝2（22020﹣1） ＝2（x2﹣1） ＝2x2﹣2． 故选：B． 7．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（ ） A．135 B．170 C．209 D．252 【答案】C 【解析】解：根据表格可得规律： 第n个表格中， 左上数字为n， 左下数字为n+1， 右上数字为2（n+1）， 右下数字为2（n+1）（n+1）+n， ∴20＝2（n+1）， 解得n＝9， 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴a＝9，b＝10，x＝10×20+9＝209． 故选：C． 8．定义运算“★”：a★b＝ ，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等 的实数根，则t的取值范围是 t ＞﹣ ． 【答案】t＞﹣ ． 【解析】解：由新定义的运算可得关于x的方程为： （1）当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾， 所以a≤b时不成立； （2）当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3时， 所以a＞b时成立， 则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t， 化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0， 解得：t＞﹣ ， 故答案为：t＞﹣ ． 9．计算：已知：a+b＝3，ab＝1，则a2+b2＝ 7 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2＝9﹣2＝7． 故答案为：7 10．如图，边长分别为a、b的两个正方形并排放在一起，当a+b＝8，ab＝10时，阴影部分的面积为 1 7 ． 【答案】17． 【解析】解：根据题意得：S阴影部分 ＝a2+b2﹣ a2﹣ b（a+b） 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ＝a2+b2﹣ a2﹣ ab﹣ b2 ＝ （a2+b2﹣ab） ＝ [（a+b）2﹣3ab]， 把a+b＝8，ab＝10代入得：S阴影部分 ＝17． 故图中阴影部分的面积为17． 故答案为：17． 11．因式分解：2x2﹣4x+2＝ 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ． 【答案】2（x﹣1）2． 【解析】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2 故答案为2（x﹣1）2． 12．已知xy＝2，x+y＝3，则x2y+xy2＝ 6 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵xy＝2，x+y＝3， ∴x2y+xy2 ＝xy（x+y） ＝2×3 ＝6， 故答案为：6． 13．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和 S +S ＝51，则图中阴影部分面积为 ． 1 2 【答案】 ． 【解析】解：设AC＝m，CF＝n， ∵AB＝9， ∴m+n＝9， 又∵S +S ＝51， 1 2 ∴m2+n2＝51， 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴92＝51+2mn， ∴mn＝15， ∴S阴影部分 ＝ mn＝ ， 即：阴影部分的面积为 ． 故答案为： ． 14．若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为 6 ． 【答案】6． 【解析】解：a2﹣b2﹣2b+5 ＝（a+b）（a﹣b）﹣2b+5， ∵a﹣b＝1， ∴原式＝a+b﹣2b+5 ＝a﹣b+5 ＝1+5 ＝6． 故答案为：6． 15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了 （a+b）n（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出（x+1）2022的展开式中含x2021项的系数是 202 2 ． 【答案】2022． 【解析】解：∵（a+b）1展开式中的第二项系数为1， （a+b）2展开式中的第二项系数为2， 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （a+b）3展开式中的第二项系数为3， （a+b）4展开式中的第二项系数为4， ∴（a+b）n展开式中的第二项系数为n， 由图中规律可知： 含x2021的项是（x+1）2022的展开式中的第二项， ∴（x+1）2022的展开式中的第二项系数为2022， 故答案为：2022． 16．观察下列一组数： a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，a ＝ ，…， 1 2 3 4 5 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数a ＝ （用含n的式子表示） n 【解析】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1， 观察分子的，1＝ ×1×2，3＝ ×2×3，6＝ ×3×4，10＝ ×4×5，15＝ ×5×6，…，可知规律为 ， ∴a ＝ ＝ ； n 故答案为 ； 17．先化简，再求值：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1），其中a＝﹣1． 【解析】解：（2a+1）（2a﹣1）﹣4a（a﹣1） ＝4a2﹣1﹣4a2+4a ＝4a﹣1， 当a＝﹣1时，原式＝﹣4﹣1＝﹣5． 18．已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求nm+mn的值． 【解析】解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7， ∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22， 由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0， 解得：m＝2，n＝﹣1， 则原式＝1﹣2＝﹣1． 19．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造 法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的 展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1， 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝ a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等． （1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式． （2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． 【解析】解：（1）如图， 则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1． ＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5． ＝（2﹣1）5， ＝1． 20．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图 1， 可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝26，求a2+b2+c2的值； （3）小明同学用2张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了 一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？ （4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片 拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，求9x+10y+6． 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2； 正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． （2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝92﹣26×2＝81﹣52＝29． （3）长方形的面积＝2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）． 所以长方形的边长为2a+3b和a+b， 所以较长的一边长为2a+3b． （ 4 ） ∵ 长 方 形 的 面 积 ＝ xa2+yb2+zab ＝ （ 25a+7b ） （ 2a+5b ） ＝ 50a2+14ab+125ab+35b2 ＝ 50a2+139ab+35b2， ∴x＝50，y＝35，z＝139． ∴9x+10y+6＝450+350+6＝806． 21．阅读理解： 若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b， 则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 迁移应用： （1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值； （2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 k＞0），长方形AEFG的面积是 ，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面 积． 【答案】（1）﹣3；（2） ． 【解析】解：（1）设a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，则： a+b＝﹣2，a2+b2＝10． ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴10+2ab＝（﹣2）2． ∴ab＝﹣3． ∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3． （2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1， ∴AE﹣AG＝1． ∵长方形AEFG的面积是 ， ∴AE•AG＝ ． ∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2， ∴AE2+AG2＝1+ ＝ ． ∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2， ∴（AE+AG）2＝ ， ∴AE+AG＝ ． ∴S阴影部分 ＝S正方形GFIH ﹣S正方形AGJK ＝AE2﹣AG2 ＝（AE+AG）（AE﹣AG） ＝ ×1 ＝ ． 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 22．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后 按图②的方式拼成一个正方形． （1）图②中阴影部分的正方形的边长等于 m ﹣ n ； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积： 方法一： （ m ﹣ n ） 2 ； 方法二： （ m + n ） 2 ﹣ 4 m n ； （3）根据（2）写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系及推理过程． 【答案】（1）m﹣n； （2）（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，推理过程见解答． 【解析】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝m﹣n， 故答案为：m﹣n； （2）方法①（m﹣n）2； 方法②（m+n）2﹣4mn； 故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （3）这三个代数式之间的等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， 由（2）得图②中阴影部分的面积为：（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn， 所以：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， 因此这三个代数式之间的等量关系是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． 1．（2023•西藏）下列计算正确的是（ ） A．2a2b﹣3a2b＝﹣a2b B．a3•a4＝a12 C．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3 D．（a+b）2＝a2+b2 【答案】A 【解析】解：A、2a2b﹣3a2b＝﹣a2b，故此选项符合题意； B、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意； C、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故此选项不符合题意； D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不符合题意； 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故选：A． 2．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的 代数恒等式： 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：D． 3．（2022•永州）若单项式3xmy与﹣2x6y是同类项，则m＝ 6 ． 【答案】6． 【解析】解：∵3xmy与﹣2x6y是同类项， ∴m＝6． 故答案为：6． 4.（2020•黔西南州）若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝ 8 ． 【答案】8 【解析】解：∵7axb2与﹣a3by的和为单项式， ∴7axb2与﹣a3by是同类项， ∴x＝3，y＝2， ∴yx＝23＝8． 故答案为：8． 5．（2023•丽水）分解因式：x2﹣9＝ （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ． 【答案】（x+3）（x﹣3）． 【解析】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）． 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 6．（2023•淄博）分解因式：2a2﹣8b2＝ 2 （ a ﹣ 2 b ）（ a + 2 b ） ． 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】2（a+2b）（a﹣2b） 【解析】解：2a2﹣8b2， ＝2（a2﹣4b2）， ＝2（a+2b）（a﹣2b）． 故答案为：2（a+2b）（a﹣2b）． 7．（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知 3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1 的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是 关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 1 4 ． 【答案】14． 【解析】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解， ∴2a+b＝3， ∴b＝3﹣2a， ∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1 ＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1 ＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1 ＝14． 解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14， 故答案为：14． 8．（2023•长春）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a），其中 ． 【答案】3a+1， +1． 【解析】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2 ＝（a2﹣a2）+（2a+a）+1 ＝3a+1． 当a＝ 时，3a+1＝3× +1＝ +1． 9．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝ ． 【答案】24． 【解析】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2 ＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2） ＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2 ＝2a2﹣6ab， 当a＝﹣3， 时，原式＝ ＝24． 10.（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S ，S ． 1 2 表2 表3 （1）请用含a的式子分别表示S ，S ，当a＝2时，求S +S 的值； 1 2 1 2 （2）比较S 与S 的大小，并说明理由． 1 2 【答案】（1）S ＝a2+3a+2，S ＝5a+1，当a＝2时，S +S ＝23； 1 2 1 2 （2）S ＞S ，理由见解析． 1 2 【解析】解：（1）由图可知S ＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S ＝（5a+1）×1＝5a+1， 1 2 当a＝2时，S +S ＝4+6+2+10+1＝23； 1 2 （2）S ＞S ， 1 2 理由：∵S ﹣S ＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2， 1 2 又∵a＞1， ∴（a﹣1）2＞0， ∴S ＞S ． 1 2 【26淘宝店铺：向阳百分百】