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第 02 讲 整式与因式分解
目 录
.............................................2
题型01 列代数式.............................................................................................................................................................................2
题型02 判断单项式系数、次数...........................................................................................................................................3
题型03 判断多项式项、项数、次数................................................................................................................................4
题型04 判断同类项.......................................................................................................................................................................5
题型05 合并同类项.......................................................................................................................................................................6
题型06 添（去）括号..................................................................................................................................................................7
题型07 整式的加减.......................................................................................................................................................................8
题型08 幂的基本运算...............................................................................................................................................................10
题型09 幂的混合运算...............................................................................................................................................................11
题型10 整式的乘法.....................................................................................................................................................................12
题型11 整式的除法.....................................................................................................................................................................13
题型12 利用乘法公式计算....................................................................................................................................................14
题型13 整式的化简求值..........................................................................................................................................................15
题型14 判断因式分解...............................................................................................................................................................20
题型15 选用合适的方法因式分解...................................................................................................................................21
...............22
...............31
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题型 01 列代数式
1．（2023·浙江杭州·一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉
共需（ ）
A．(a+b)元 B．(3a+2b)元 C．5(a+b)元 D．(2a+3b)元
【答案】D
【提示】用买2千克苹果的钱数加上3千克香蕉的钱数即可．
【详解】解：∵买2千克苹果需要2a元，买3千克香蕉需要3b元，
∴买2千克苹果和3千克香蕉共需（2a＋3b）元．
故选D．
【点睛】此题考查列代数式，理解题意，明确数量关系是解决问题的关键．
2．（2023·河北唐山·二模）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位
置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（ ）
A．ba B．a+b C．10a+b D．10b+a
【答案】D
【提示】列代数式的定义是把题目中与数量有关的词语，用含有数字字母和运算符号的式子表示出来，就
是列代数式，根据意思代入即可．
【详解】解：∵十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位
数，
∴新的两位数的十位数字为b，个位数字为a，这个新的两位数用代数式表示为10b+a，
故选：D．
【点睛】本题考查列代数式的定义，实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转换．
3．（2023·安徽合肥·一模）随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每
片a元下降到每片b元，已知第一次下降了10％，第二次下降了20％，则a与b满足的数量关系是
（ ）
A．b=a(1−10％−20％) B．b=a(1−10％)(1−20％)
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C．a=b(1+10％+20％) D．a=b(1+10％)(1+20％)
【答案】B
【提示】根据题意用含a的代数式表示出第一次降价后的价格和第二次降价后的价格，令第二次降价后的
价格为b，进而可得答案．
【详解】解：由题意知，第一次降价后的价格为a(1−10％)，第二次降价后的价格为
a(1−10％)(1−20％)，
∴b=a(1−10％)(1−20％)，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了列代数式．解题的关键在于表示降价后的价格．
题型 02 判断单项式系数、次数
1．（2022·江苏南京·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A． 3πxy的系数是3 B．3πxy的次数是3
2 2 2
C． − x y2 的系数是− D．− x y2 的次数是2
3 3 3
【答案】C
【提示】提示各选项中的单项式的系数或者次数，即可得出正确选项．
【详解】A．π是数字，3πxy的系数是3π，不符题意；
B． 3πxy的次数是2，x，y指数都为1，不符题意；
2 2
C．− x y2 的系数是− ，符合题意；
3 3
2
D． − x y2 的次数是3 ，x，y指数分别为1和2，不符题意．
3
故选C．
【点睛】本题考查了单项式的系数：单项式的系数是单项式字母前的数字因数，单项式的次数是单项式所
有字母指数的和，正确理解和运用该知识是解题的关键．
2．（2023·河北承德·二模）下列各式中，运算结果为六次单项式的是（ ）
A．m2+m4 B．(m2) 4 C．m3 ⋅m3 D．(mn) 6
【答案】C
【提示】根据单项式的次数，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解．
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【详解】解：A．＋m2+m4为多项式，次数为4，故该选项不符合题意；
B．(m2) 4 =m8，次数为8，故该选项不符合题意；
C．m3 ⋅m3=m6，次数为6，且为单项式，故该选项符合题意；
D．(mn) 6 =m6n6，次数为12，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了单项式的次数，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，积的乘
方，同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
题型 03 判断多项式项、项数、次数
1．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．3x−2的项是3x，2 B．2x2y+x y2−x是二次三项式
C．3x2y与−4 yx2是同类项 D．单项式−3πx2y的系数是−3
【答案】C
【提示】根据单项式与多项式的特点及性质即可求解．
【详解】A.3x−2的项是3x，-2，故A错误；
B.2x2y+x y2−x是三次三项式，故B错误；
C.3x2y与−4 yx2是同类项，故C正确；
D.单项式−3πx2y的系数是−3π，故D错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查单项式与多项式的定义，解题的关键是熟知单项式与多项式的特点及性质．
2．（2022·河北·一模）下列关于4a+2的叙述，错误的是（ ）
A．4a+2的次数是1 B．4a+2表示a的4倍与2的和
C．4a+2是多项式 D．4a+2可因式分解为4(a+1)
【答案】D
【提示】根据多项式的项、次数及多项式的因式分解的条件即可得出答案．
【详解】解：A.4a+2的次数是1，故答案正确；
B .4a+2表示a的4倍与2的和，故答案正确；
C. 4a+2是多项式，故答案正确；
D. 4a+2进行因式分解为：2(2a+1)，故答案错误；
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故选D．
【点睛】本题考查了多项式项、次数及多项式的因式分解，熟知多项式的项和次数，多项式可因式分解的
条件是解题的关键．
3．（2023·广东茂名·一模）多项式2x3+3x2−1的二次项系数是 ．
【答案】3
【提示】由多项式知道二次项为3x2，从而得到二次项系数．
【详解】解：多项式2x3+3x2−1的二次项为：3x2，系数为：3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查多项式的项，单项式的系数，牢记相关知识点并能灵活应用是解题关键．
题型 04 判断同类项
1．（2023·江苏南京·一模）下列各组代数式中是同类项的是（ ）
A．5和3a B．2a2b和−ab2 C．3ab3和−3b3a D．abc和a2b2c2
【答案】C
【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解．
【详解】解：A．5和3a所含字母不同，不是同类项，选项不符合题意；
B．2a2b和−ab2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项不符合题意；
C．3ab3和−3b3a所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，选项符合题意；
D．abc和a2b2c2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．
2．（2023·广西柳州·二模）下列单项式中，与3ab2是同类项的是（ ）
A．3a2b B．4ab2 C．3a2b2 D．3ab
【答案】B
【提示】同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即
可．
【详解】解：A．3a2b与3ab2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符
合题意；
B．4ab2与3ab2所含的字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意；
C．3a2b2与3ab2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
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D．3ab与3ab2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
题型 05 合并同类项
1．（2023·江西上饶·一模）下列计算正确的是( )
A．3ab+2ab=5ab B．5 y2−2y2=3
C．7a+a=7a2 D．m2n−2mn2=−mn2
【答案】A
【提示】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字
母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字
母的指数不变．即可得出答案．
【详解】解：A、3ab+2ab=5ab，故选项正确，符合题意；
B、5 y2−2y2=3 y2，故选项错误，不符合题意；
C、7a+a=8a，故选项错误，不符合题意；
D、m2n和2mn2不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字
母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．
2．（2023·内蒙古乌兰察布·校考二模）若等式2a2 ⋅a+（ ）=3a3成立，则括号中填写单项式可以是
（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．a4
【答案】C
【提示】根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解．
【详解】解：∵3a3-2a2 ⋅a=3a3-2a3=a3，
∴等式2a2 ⋅a+（ a3 ）=3a3成立，
故选C．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关键．
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题型 06 添（去）括号
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）去括号：(y2−x2 )−(x2−y2 )=（ ）
A．y2−x2−x2−y2 B．y2+x2+x2−y2
C．y2−x2+x2−y2 D．y2−x2−x2+ y2
【答案】D
【提示】根据去括号法则（括号的前面是负号时，去括号后括号内各项负号改变）解决此题．
【详解】解：(y2−x2)−(x2−y2)
= y2−x2−x2+ y2
故选：D．
【点睛】本题主要考查去括号法则，熟练掌握去括号法则是解决本题的关键．
2．（2023·浙江宁波·一模）−[a−(b+c)]去括号后应为（ ）
A．−a−b+c B．−a+b−c C．−a−b−c D．−a+b+c
【答案】D
【提示】根据去括号法则进行去括号即可求解．
【详解】解：−[a−(b+c)]
=−(a−b−c)
=−a+b+c，
故选：D
【点睛】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题的关键．括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算
式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，法则的依据实际是乘法分配律．
1
3．（2023·河北张家口·三模）与−1− 结果相同的是（ ）
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
A．+ −1+ B．+ −1− C．− −1+ D．− −1−
2 2 2 2
【答案】B
【提示】分别将选项中的进行化简即可得到答案．
( 1) 1
【详解】解：A. + −1+ =−1+ ，故不符合；
2 2
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( 1) 1
B. + −1− =−1− ，故符合；
2 2
( 1) 1
C. − −1+ =1− ，故不符合；
2 2
( 1) 1
D. − −1− =1+ ，故不符合；
2 2
故选：B．
【点睛】本题考查去括号的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．
4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在多项式a−b−c−x−y−z中任意加括号，加括号后仍只有减法运
算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如
(a−b)−(c−x−y−z)=a−b−c+x+ y+z，a−b−(c−x−y)−z=a−b−c+x+ y−z，…．在所有可
能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（ ）
A．8种 B．16种 C．24种 D．32种
【答案】B
【提示】根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，根据题意，画
出示意图，即可求解．
【详解】解：依题意，根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，
共有16种不同结果，
故选：B．
【点睛】本题考查了去括号法则，列举法求所有可能结果，理解题意是解题的关键．
题型 07 整式的加减
1．（2023·河北保定·校考模拟预测）化简2a−b−2(a+b)的结果为（ ）
A．−2b B．−3b C．b D．4a+b
【答案】B
【提示】根据去括号，合并同类项计算即可得到答案．
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【详解】解：2a−b−2(a+b)
=2a−b−2a−2b
=−3b，
故选：B．
【点睛】本题考查整式运算，涉及去括号、合并同类项等，熟记整式运算法则是解决问题的关键．
2．（2023·江苏盐城·校考一模）墨迹覆盖了等式“
−(x2+1)=3x”中的多项式，则覆盖的多项式
为（ ）
A．x+2 B．−x2−1+3x C．3x−x2+1 D．3x+x2+1
【答案】D
【提示】根据整式的加减运算法则即可求解．
【详解】解：设被覆盖的多项式为A，
则A−(x2+1)=3x，
∴A=3x+x2+1，
∴覆盖的多项式为3x+x2+1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式减多项式，掌握相关的法则是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·二模）化简：3(a2+2ab)−2(ab−a2)
【答案】5a2+4ab
【提示】先去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：3(a2+2ab)−2(ab−a2)
=3a2+6ab−2ab+2a2
=5a2+4ab．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号，合并同类项法则，准确计算．
题型 08 幂的基本运算
1．（2023·湖南湘西·校考二模）下列运算正确的是（ ）
A．a2 ⋅a3=a5 B．(a3) 2 =a5
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a6
C．(ab) 2=ab2 D． =a3 (a≠0)
a2
【答案】A
【提示】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、a2 ⋅a3=a5，故本选项正确，符合题意；
B、(a3) 2 =a6，故本选项错误，不符合题意；
C、(ab) 2=a2b2，故本选项错误，不符合题意；
a6
D、 =a4 (a≠0)，故本选项错误，不符合题意；
a2
故选：A
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解
题的关键．
2．（2023·湖北襄阳·一模）电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位，其中
1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B，某视频文件的大小约为1GB,1GB等于( )
A．230B B．830B C．8×1010B D．2×1030B
【答案】A
【提示】根据题意及幂的运算法则即可求解．
【详解】依题意得1GB=210MB=210×210KB=210×210×210B=230B
故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
3．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）计算(2a4) 3 的结果是（ ）
A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7
【答案】B
【提示】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可．
【详解】解：(2a4) 3 =(2) 3(a4) 3 =8a12.
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
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4．（2023·吉林松原·校联考三模）66是63的（ ）
A．2倍 B．36倍 C．3倍 D．216倍
【答案】D
【提示】把问题转化为同底数幂的除法计算即可．
【详解】∵66÷63=63=216，
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2023·吉林四平·校联考三模）计算：(a−b) 3 ⋅(b−a) 4= ．（结果用幂的形式表示）
【答案】(a−b) 7 /−(b−a) 7
【提示】本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案．
【详解】(a−b) 3 ⋅(b−a) 4=(a−b) 3 ⋅(a−b) 4=(a−b) 7
故答案为：(a−b) 7
【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂
相等是解决这个问题的关键．
题型 09 幂的混合运算
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算−a2 ⋅(a2) 3 的结果是（ ）
A．a8 B．－a8 C．a7 D．－a7
【答案】B
【提示】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：-a2•（a2）3=-a2•a6=-a8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8 B．4 C．2√2 D．√2
【答案】C
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【提示】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n=(3m÷9n) 2 即可解答．
【详解】∵32m−4n=32(m−2n)=(3m−2n) 2 =(3m÷9n) 2 ，
(4) 2
依题意得： =2，x>0．
x
4
∴ =√2，
x
∴x=2√2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变
形．
题型 10 整式的乘法
1
1．（2022·天津·模拟预测）计算： x y2 ⋅(−4x2y)= ．
2
【答案】−2x3y3
【提示】根据单项式乘以单项式法则计算，即可求解．
1
【详解】解： x y2 ⋅(−4x2y)=−2x3y3 ．
2
故答案为：−2x3 y3
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·校考一模）已知ab2=−3，则−ab(a2b5−ab3−b)= ．
【答案】33
【提示】利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知的代数式值代入即可
【详解】原式=−a3b6+a2b4+ab2
=−(ab2) 3 +(ab2) 2 +ab2
又∵ab2=−3
∴原式=−(ab2) 3 +(ab2) 2 +ab2
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=−(−3) 3+(−3) 2+(−3)
=27+9−3
=33
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及代数式的求值，掌握相关法则及概念是关键
3．（2023·浙江舟山·校联考一模）如果(x+m)(x−5)=x2−3x+k，那么k、m的值分别是（ ）．
A．k=10，m=2 B．k=10，m=−2
C．k=−10，m=2 D．k=−10，m=−2
【答案】C
【提示】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出k、m的值即可．
【详解】解：(x+m)(x−5)=x2−(5−m)x−5m，
∴x2−(5−m)x−5m=x2−3x+k，
∴5−m=3,−5m=k，
解得：m=2,k=−10；
故选C．
【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键．
题型 11 整式的除法
1．（2023·天津·模拟预测）计算：12x2y÷(−6xy)= ．
【答案】−2x
【提示】运用单项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式=−2x，
故答案为：−2x．
【点睛】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）计算：
（1）（x2y3）4+（﹣x）8（y6）2；
（2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．
【答案】（1）2x8y12；（2）y﹣3x．
【提示】（1）原式先计算乘方运算，再合并同类项；
（2）原式先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式求出结果即可．
【详解】解：（1）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y12；
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（2）原式＝（9x2y3﹣27x3y2）÷9x2y2 ＝ 9x2y3÷9x2y2﹣27x3y2÷9x2y2 ＝ y﹣3x．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn和积的乘方（ab）m＝ambm，多项式
除以单项式的运算法则是解题关键．
3．（2023·甘肃陇南·校考一模）计算(ab2) 4 ÷(ab) 2的结果是（ ）
A．a2b2 B．a2b3 C．a2b6 D．a3b3
【答案】C
【提示】先计算积的乘方去括号，然后根据单项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：(ab2) 4 ÷(ab) 2
=a4b8÷a2b2
=a2b6
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
4（2023·陕西西安·校考模拟预测）计算(12x3−18x2−6x)÷(−6x)的结果为（ ）
A．−2x2+3x B．−2x2−3x C．−2x2−3x−1 D．−2x2+3x+1
【答案】D
【提示】根据多项式除以单项式的运算法则计算．
【详解】解：(12x3−18x2−6x)÷(−6x)=−2x2+3x+1，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键．
题型 12 利用乘法公式计算
1．（2023·湖北荆门·一模）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
【答案】C
【提示】根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【详解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
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或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有C选项符合，
故选C．
【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，
首末两倍中间放”．
2．（2023·天津河北·三模）计算(√19+1)(√19−1)的结果等于 ．
【答案】18
【提示】根据平方差公式即可求解．
【详解】解：(√19+1)(√19−1)=(√19) 2 −12=19−1=18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·校考二模）化简：(2x+1) 2−(4x+1)(x+1)
【答案】−x
【提示】利用乘法公式化简，再合并同类项即可．
【详解】(2x+1) 2−(4x+1)(x+1)
=4x2+4x+1−(4x2+4x+x+1)
=4x2+4x+1−4x2−4x−x−1
=−x．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解本题的关键．
4．（2023·甘肃兰州·二模）化简：（2x﹣3）（2x＋3）﹣（2x﹣1）2
【答案】4x﹣10
【提示】用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：(2x−3)(2x+3)−(2x−1) 2
=(4x2−9)−(4x2−4x+1)
=4x2−9−4x2+4x−1
=4x−10．
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【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式，平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，完全平方公式：
(a±b) 2=a2±2ab+b2，熟记公式是解题关键．
题型 13 整式的化简求值
1．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，
则m2+mn+2m的值为（ ）
A．0 B．－10 C．3 D．10
【答案】A
【提示】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代
入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴m2+mn+2m=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数
关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
2．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）已知x2−y2=69，x+ y=3，则x−y= ．
【答案】23
【提示】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可．
【详解】解：∵x2﹣y2＝69，x+y＝3，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝69，
解得：x﹣y＝23．
故答案为：23．
【点睛】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键．
3．（2023·陕西·模拟预测）已知m2+n2+10=6m−2n，则m−n= ．
【答案】4
【提示】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得m,n的值，进而代入代数式即
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可求解．
【详解】解：∵ m2+n2+10=6m−2n，
∴m2+n2+10−6m+2n=0，
即(m−3) 2+(n+1) 2=0，
∴m=3,n=−1，
∴m−n=3−(−1)=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·三模）如果√x−4+(y+6) 2=0，那么2x−y的平方根为 ．
【答案】±√14/√14或−√14/−√14或√14
【提示】根据算术平方根和平方的非负性，求出x、y的值，然后进行计算即可．
【详解】解：∵√x−4+(y+6) 2=0，
又∵√x−4≥0，(y+6) 2≥0，
∴√x−4=0，(y+6) 2=0，
∴x−4=0，y+6=0，
∴x=4，y=−6，
∴2x−y=2×4−(−6)=8+6=14，
∴2x−y的平方根为：±√14．
故答案为：±√14．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方式的非负性、代数式求值，解题的关键是利用非负性求出x、y的
值．
5．（2023·河北秦皇岛·校联考三模）已知A=x2−2xy，B= y2+3xy，当x=−2，y=−3时，求2A−B
的值．
【答案】-43
【提示】方法1 ：根据x，y的值，先求出A，B的值，再代入所求的代数式；方法2 ：先化简2A−B，
然后再代入x，y的值．
【详解】解：【方法1】
当x=−2，y=−3时，
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A=x2−2xy=(−2) 2−2×(−2)×(−3)=−8，
B= y2+3xy=(−3) 2+3×(−2)×(−3)=27，
2A−B=2×(−8)−27=−43．
【方法2】
当A=x2−2xy，B= y2+3xy时，
2A−B=2(x2−2xy)−(y2+3xy)
=2x2−4xy−y2−3xy
=2x2−7xy−y2
当x=−2，y=−3时，
2A−B=2×(−2) 2−7×(−2)×(−3)−(−3) 2=−43．
【关键点拨】求代数式的值时，为了避免重复、多次的有理数混合运算出现，一般先把整式运算做完，即
完成合并同类项的工作后再代入求值．在上述方法中，虽然两种方法的步骤都很多，但是方法二要优于方
法一，因为在方法二中先做了化简的工作，化简是针对字母进行运算，没有有理数运算中的符号问题，避
免运算出错．所以，在求代数式的值时要养成先化简再求值的好习惯．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算的四则运算法则是解题的关键．
6．（2023·湖南岳阳·一模）已知x2+2x−2=0，求代数式x(x+2)+(x+1) 2的值．
【答案】５
【提示】先根据x2+2x−2=0，得出x2+2x=2，将x(x+2)+(x+1) 2变形为2(x2+2x)+1，最后代入求
值即可．
【详解】解：∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2，
∴x(x+2)+(x+1) 2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1
=2(x2+2x)+1
=2×2+1
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=5
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将x(x+2)+(x+1) 2变形为
2(x2+2x)+1，是解题的关键．
1
7．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+ 的值．
x2
【答案】7
1
【提示】先将等式两边同时除以x，并整理可得x+ =3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．
x
【详解】解：∵x2﹣3x+1＝0，
1
∴x﹣3+ =0，
x
1
∴x+ =3，
x
1 1
∴x2+ =（x+ ）2﹣2＝32﹣2＝7．
x2 x
【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．
8．（2023·河北衡水·校联考一模）已知多项A=3x2−x+1，B=kx2−(2x2+x−2)．
(1)当x=−1时，求A的值；
(2)小华认为无论k取何值，A−B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A−B的值是
常数．你认为谁的说法正确？请说明理由．
【答案】(1)5
(2)小明说法对，理由见解析
【提示】（1）把x=−1，代入A=3x2−x+1计算出结果即可；
（2）直接计算A−B的值，根据结果确定谁的说法正确．
【详解】（1）解：把x=−1，代入A=3x2−x+1得：
A=3x2−x+1=3×(−1) 2−(−1)+1=5，
故A的值为5；
（2）解：小明说法对；
A−B=3x2−x+1−kx2+2x2+x−2=(5−k)x2−1
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当5−k=0，即k=5时，A−B=−1，
故小明说法对．
【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式加减的无关型问题，解题得的关键是熟练掌握运算法则，
正确化简即可．
9．（2023·吉林松原·校联考三模）先化简，再求值：(x+2)(3x−2)−2x(x+2)，其中x=√3−1．
【答案】x2−4；−2√3
【提示】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．
【详解】解：原式=3x2−2x+6x−4−2x2−4x
=x2−4；
当x=√3−1时，
原式=(√3−1) 2 −4
=3+1-2√3−4
=-2√3．
【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型 14 判断因式分解
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x(2x+1)=2x2+x B．1−a2=(1+a)(1−a)
C．(x+1)(x−1)=x2−1 D．a2−2a+3=(a−1) 2+2
【答案】B
【提示】根据因式分解的定义解答即可．
【详解】解：A．x(2x+1)=2x2+x不是将多项式化成整式乘积的形式，故A选项不符合题意；
B．1−a2=(1+a)(1−a)是将多项式化成整式乘积的形式，故B选项符合题意；
C．(x+1)(x−1)=x2−1不是将多项式化成整式乘积的形式，故C选项不符合题意；
D．a2−2a+3=(a−1) 2+2不是将多项式化成整式乘积的形式，故D选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的
形式，这种变形叫做分解因式．
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2．（2023·甘肃平凉·校考三模）下列因式分解错误的是( )
A．x2－y2＝(x+ y)(x－y) B．x2+6x+9＝(x+3) 2
C．x2+xy＝x(x+ y) D．x2+ y2＝(x+ y) 2
【答案】D
【提示】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【详解】A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
3．（2023·河北·模拟预测）对于下列两个自左向右的变形：甲：6x2y=2x⋅3xy，乙：
x2−2x+1=x(x−2)+1其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解
【答案】B
【提示】利用因式分解的定义判定即可．
【详解】解：甲：6x2y=2x⋅3xy，因为6x2y不是多项式，故甲不是因式分解，
乙：x2−2x+1=x(x−2)+1，结果不是乘积式，故乙不是因式分解，
所以甲、乙均不是因式分解，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解，理解定义
是解题的关键．
题型 15 选用合适的方法因式分解
1．（2023·辽宁沈阳·三模）分解因式：x y2−x= ．
【答案】x(y+1)(y−1)
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【提示】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】x y2−x
=x(y2−1)
=x(y+1)(y−1)
故答案为：x(y+1)(y−1)．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
2．（2023·广东清远·二模）因式分解：a2+4a+4= ．
【答案】(a+2) 2
【提示】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：a2+4a+4= (a+2) 2．
故答案为：(a+2) 2．
【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（2023·江苏徐州·一模）把下面各式分解因式：
(1)3x2−27 y2
(2)(a+b)−2a(a+b)+a2(a+b)
【答案】(1)3(x+3 y)(x−3 y)；
(2)(a+b)(1−a) 2
【提示】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；
（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．
【详解】（1）解：原式=3(x2−9 y2)
=3(x+3 y)(x−3 y)；
（2）解：原式=(a+b)(1−2a+a2)
=(a+b)(1−a) 2．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，即把一个多项式化成几个整式积的形式；掌握因式分解的提公因式
法、公式法是解决本题的关键．
4．（2022·山东淄博·一模）分解因式：2x2−4x−6．
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【答案】2(x−3)(x+1)
【提示】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可
【详解】解：2x2−4x−6
=2(x2−2x−3)
=2(x−3)(x+1)
故答案为：2(x−3)(x+1)；
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，能够熟练运用十字相乘法是解题的关键
1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
b 1
A．3 B．a C． D．
x2y
a 2
【答案】C
【提示】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
b
C、 不是单项式，故本选项符合题意；
a
1
D、
x2y是单项式，故本选项不符合题意；
2
故选：C．
【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
2．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于a9的是（ ）
A．a3+a6 B．a3 ⋅a6 C．a10−a D．a18÷a2
【答案】B
【提示】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．
【详解】A．a3+a6，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；
B．a3 ⋅a6=a3+6=a9，符合题意；
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C．a10−a，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．a18÷a2=a18−2=a16，不符合题意，
故选B
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择
其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
1
5 6 7 8 9 11
0
1 1 1
12 14 16 18
3 5 7
2 2 2
19 21 23 25
0 2 4
2 2 3
26 28 30
7 9 1
A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7
C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【提示】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．
【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：
左上角的数字为a−1，故选项A错误，不符合题意；
左下角的数字为a+6，故选项B错误，不符合题意；
右下角的数字为a+7，故选项C错误，不符合题意；
把方框中4个位置的数相加，即：a−1+a+a+6+a+7=4a+12=4(a+3)，结果是4的倍数，故选项D
正确；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
4．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）下列运算正确的是（ ）
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A．(a2b3) 2 =a4b6 B．3ab−2ab=1 C．(−a) 3 ⋅a=a4 D．(a+b) 2=a2+b2
【答案】A
【提示】根据幂的运算法则，乘法公式处理．
【详解】A. (a2b3) 2 =a4b6，正确，符合题意；
B. 3ab−2ab=ab，原计算错误，本选项不合题意；
C. (−a) 3 ⋅a=−a4，原计算错误，本选项不合题意；
D. (a+b) 2=a2+b2+2ab，原计算错误，本选项不合题意；
【点睛】本题考查幂的运算法则，整式的运算，完全平方公式，掌握相关法则是解题的关键．
5．（2023·新疆·中考真题）计算4a⋅3a2b÷2ab的结果是（ ）
A．6a B．6ab C．6a2 D．6a2b2
【答案】C
【提示】先计算单项式乘以单项式，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：4a⋅3a2b÷2ab
=12a3b÷2ab
=6a2，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
6．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b，分别以a,b,c为边作三个正方
形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S ，均重叠部分
1
的面积为S ，则（ ）
2
A．S >S B．S a>b。
∴a2+b2=c2，
∴c2−a2=b2，
∵S =(c2−a2 )−b(c−a)=b2−b(c−a)=b(a+b−c)，
1
S =b[b−(c−a)]=b(a+b−c)，
2
∴S =S ．
1 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出S 和S 是解题关键．
1 2
7．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C
类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C
类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【提示】计算出长为(3a+b)，宽为(2a+2b)的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可
看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为(3a+b)，宽为(2a+2b)的大长方形的面积为：
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(3a+b)(2a+2b)=6a2+2b2+8ab；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解(3a+b)(2a+2b)结果中ab项的系
数即为需要C类卡片的张数．
8．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式
正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【答案】A
【提示】根据立方差公式即可求解．
【详解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，
将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故选：A．
【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．
9．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3= ．
【答案】−2
【提示】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0，从而得到
a2+3a=4，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程x2+3x−4=0的两根，
∴a+b=−3,a2+3a−4=0，
∴a2+3a=4，
∴a2+4a+b−3
=a2+3a+a+b−3
=4+(−3)−3
=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义
和根与系数的关系是解题的关键．
10．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷2n= ．
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【答案】16
【提示】先将已知3m−n−4=0变形为3m−n=4，再将8m÷2n变形为23m−n，然后整体代入即可．
【详解】解：∵3m−n−4=0
∴3m−n=4
∴8m÷2n=(23) m ÷2n=23m÷2n=23m−n=24=16
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的
关键．
11．（2023·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ．
【答案】±2
【提示】根据(a±b) 2=a2±2ab+b2，计算求解即可．
【详解】解：∵y2−my+1是完全平方式，
∴−m=±2，
解得m=±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：(a±b) 2=a2±2ab+b2．
12．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,2)，则k2−b2=
．
【答案】−6
【提示】把点(1,3)和(−1,2)代入y=kx+b，可得¿，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,2)，
∴¿，即¿，
∴k2−b2=(k+b)(k−b)=3×(−2)=−6；
故答案为：−6
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因
式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
13．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式mx2−16m分解因式的结果是 ．
【答案】m(x+4)(x−4)
【提示】先提取公因式m，然后发现还能利用平方差公式继续分解，即可得到结果．
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【详解】解：mx2−16m=m(x2−16)=m(x+4)(x−4)
故答案为：m(x+4)(x−4)．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键，注意要分解彻底．
14．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式
6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=2(3a−b)−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：
若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是 ．
【答案】14
【提示】先根据x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代数式变形为
(2a+b) 2+2(2a+b)−1，把2a+b=3整体代入即可求值．
【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，
∴2a+b=3，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b−1
=(2a+b) 2+2(2a+b)−1
=32+2×3−1
=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式
变形是解题的关键．
15．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：(2x+ y) 2−(2x+ y)(2x−y)−2y(x+ y)，其中
(1) 2023
x= ，y=22022．
2
【答案】2xy，1
【提示】根据(a±b) 2=a2±2ab+b2，(a+b)(a−b)=a2−b2，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运
算，代值计算即可．
【详解】解：原式=4x2+4xy+ y2−(4x2−y2)−2xy−2y2
=4x2+4xy+ y2−4x2+ y2−2xy−2y2
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=2xy．
(1) 2023
当x= ，y=22022时，
2
原式=2×
(1) 2023
×22022
2
=1．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法
则是解题的关键．
16．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某
同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S ,S ．
1 2
(1)请用含a的式子分别表示S ,S ；当a=2时，求S +S 的值；
1 2 1 2
(2)比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
【答案】(1)S =a2+3a+2，S =5a+1，当a=2时，S +S =23
1 2 1 2
(2)S >S ，理由见解析
1 2
【提示】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S ,S ，S +S ，将a=2代入用=a2a表示
1 2 1 2
S +S 的等式中求值即可；
1 2
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S =a2，S =a，S =1，
甲 乙 丙
∴S =S +3S +2S =a2+3a+2，S =5S +S =5a+1，
1 甲 乙 丙 2 乙 丙
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∴S +S =(a2+3a+2)+(5a+1)=a2+8a+3，
1 2
∴当a=2时，S +S =22+8×2+3=23；
1 2
（2）S >S ，理由如下：
1 2
∵S =a2+3a+2，S =5a+1
1 2
∴S −S =(a2+3a+2)−(5a+1)=a2−2a+1=(a−1) 2
1 2
∵a>1，
∴S −S =(a−1) 2>0，
1 2
∴S >S ．
1 2
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解
题的关键．
1．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数
字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7−1=6，3−1=2，∴7311是“天真数”；四位数
8421，∵8−1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位
数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P(M)=3(a+b)+c+d，Q(M)=a−5，若
P(M)
能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
Q(M)
【答案】 6200 9313
【提示】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到c+d=(a+b)−8，进而
P(M) 4(a+b)−8 P(M)
= ，若M最大，只需千位数字a取最大，即a=9，再根据 能被10整除求得b=3，
Q(M) a−5 Q(M)
进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，a−d=6，b−c=2，6≤a≤9，2≤b≤9，则c+d=(a+b)−8，
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∴P(M)=3(a+b)+c+d=4(a+b)−8，
P(M) 4(a+b)−8
∴ = ，
Q(M) a−5
若M最大，只需千位数字a取最大，即a=9，
P(M) 4(9+b)−8
∴ = =7+b，
Q(M) 9−5
P(M)
∵ 能被10整除，
Q(M)
∴b=3，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的
关键．
2．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，已知①
和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b，且a>b．
（1）若a，b是整数，则PQ的长是 ；
S
（2）若代数式a2−2ab−b2的值为零，则 四边形ABCD 的值是 ．
S
矩形PQMN
【答案】 a−b 3+2√2
【提示】（1）根据图象表示出PQ即可；
（2）根据a2−2ab−b2=0分解因式可得(a−b+√2b)(a−b−√2b)=0，继而求得a=b+√2b，根据这
5 5
四个矩形的面积都是5，可得EP= ,EN= ，再进行变形化简即可求解．
a b
【详解】（1）∵①和②能够重合，③和④能够重合，AE=a,DE=b，
∴PQ=a−b，
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故答案为：a−b；
（2）∵a2−2ab−b2=0，
∴a2−2ab+b2−2b2=(a−b) 2−2b2=(a−b+√2b)(a−b−√2b)=0，
∴a−b+√2b=0或a−b−√2b=0，即a=b−√2b（负舍）或a=b+√2b
∵这四个矩形的面积都是5，
5 5
∴EP= ,EN= ，
a b
(5 5) 5(a+b)
(a+b)⋅ + (a+b)⋅
S b a ab (a+b) 2
∴ 四边形ABCD= = = ，
S
矩形PQMN (a−b)
(5
−
5)
(a−b)⋅
5(a−b) (a−b) 2
b a ab
a2+b2+2ab a2+b2+a2−b2 a2
= = = ，
a2+b2−2ab a2+b2−a2+b2 b2
(b+√2b) 2
= =3+2√2．
b2
【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．
3．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
b c
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝− ，xx＝
1 2 1 2 a 1 2 a
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
n m
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 + 的值．
m n
1 1
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 − 的值．
s t
3 1
【答案】(1) ；−
2 2
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13
(2)−
2
(3)√17或−√17
【提示】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
3 1 n m
（2）根据根与系数的关系先求出m+n= ，mn=− ，然后将 + 进行变形求解即可；
2 2 m n
3 1 1 1
（3）根据根与系数的关系先求出s+t= ，st=− ，然后求出s-t的值，然后将 − 进行变形求解即可．
2 2 s t
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，
1 2
b −3 3 c 1
∴x +x =− =− = ，x ⋅x = =− ．
1 2 a 2 2 1 2 a 2
3 1
故答案为： ；− ．
2 2
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
b −3 3 c 1
∴m+n=− =− = ，mn= =− ，
a 2 2 a 2
n m m2+n2
∴ + =
m n mn
(m+n) 2−2mn
=
mn
(3) 2 ( 1)
−2× −
2 2
=
1
−
2
13
=−
2
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
b −3 3 c 1
∴s+t=− =− = ，st= =− ，
a 2 2 a 2
∵(t−s) 2=(t+s) 2−4st
(3) 2 ( 1)
= −4× −
2 2
9
= +2
4
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17
=
4
√17 √17
∴t−s= 或t−s=− ，
2 2
√17
√17 1 1 t−s 2
当t−s= 时， − = = =−√17，
2 s t st 1
−
2
√17
−
√17 1 1 t−s 2
当t−s=− 时， − = = =√17，
2 s t st 1
−
2
1 1
综上提示可知， − 的值为√17或−√17．
s t
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系
√17 √17
求出t−s= 或t−s=− ，是解答本题的关键．
2 2
4．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a−3ab−4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=(2a−3ab)−(4−6b)=a(2−3b)−2(2−3b)=(2−3b)(a−2)
解法二：原式=(2a−4)−(3ab−6b)=2(a−2)−3b(a−2)=(a−2)(2−3b)
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等
的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和
b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，
再求值．
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【答案】(1)(x+a)(x−a+1)
(2)(a−b)(a−b+x)
(3)(a2+b2)(a−b) 2，9
【提示】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到a2+b2=9，
(a−b) 2=1，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：x2−a2+x+a
=(x2−a2)+(x+a)
=(x+a)(x−a)+(x+a)
=(x+a)(x−a+1)；
（2）解：ax+a2−2ab−bx+b2
=(a2−2ab+b2)+(ax−bx)
=(a−b) 2+x(a−b)
=(a−b)(a−b+x)；
（3）解：a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=(a4+2a2b2+b4)−(2a3b+2ab3)
=(a2+b2) 2 −2ab(a2+b2)
=(a2+b2)(a2−2ab+b2)
=(a2+b2)(a−b) 2，
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∴根据题意得a2+b2=9，(a−b) 2=1，
∴原式=9．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分
组再运用公式法分解因式是解题关键．
5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+√b，a+2√b，a+3√b的正方形面积分别记为S ，S ，S ，S ．
1 2 3 4
则S −S =(a+√b) 2 −a2
2 1
=[(a+√b)+a]⋅[(a+√b)−a]
=(2a+√b)⋅√b
=b+2a√b
例如：当a=1，b=3时，S −S =3+2√3
2 1
根据以上材料解答下列问题：
(1)当a=1，b=3时，S −S =______，S −S =______；
3 2 4 3
(2)当a=1，b=3时，把边长为a+n√b的正方形面积记作S ，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，
n+1
你能猜出S −S 等于多少吗？并证明你的猜想；
n+1 n
(3)当a=1，b=3时，令t =S −S ，t =S −S ，t =S −S ，…，t =S −S ，且T=t +t +t +⋯+t ，
1 2 1 2 3 2 3 4 3 n n+1 n 1 2 3 50
求T的值．
【答案】(1)9+2√3，15+2√3
(2)猜想结论：S −S =6n−3+2√3，证明见解析
n+1 n
(3)7500+100√3
【提示】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：S −S =(a+2√b) 2 −(a+√b) 2
3 2
=a2+4a√b+4b−(a2+2a√b+b)
=a2+4a√b+4b−a2−2a√b−b
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=2a√b+3b
当a=1，b=3时，
原式=2√3+9；
S −S =(a+3√b) 2 −(a+2√b) 2
4 3
=a2+6a√b+9b−(a2+4a√b+4b)
=a2+6a√b+9b−a2−4a√b−4b
=2a√b+5b
当a=1，b=3时，
原式=2√3+15；
（2）猜想结论：S −S =6n−3+2√3
n+1 n
证明：S −S =(1+n√3) 2 −[1+(n−1)√3] 2
n+1 n
=[2+(2n−1)√3]×√3
=3(2n−1)+2√3
=6n−3+2√3；
（3）T=t +t +t +⋯+t
1 2 3 50
=S −S +S −S +S −S +⋯+S −S
2 1 3 2 4 3 51 50
=S −S
51 1
=(1+50√3) 2 −1
=7500+100√3．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
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