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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第一章 数与式
1.2 代数式与整式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式 ☆☆ 数学中考中，有关代数式与整式部分，每年考查
2~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题、
考点2 整式及其运算 ☆☆☆ 解答题的形式考查。则5各考点在全国各省市真题
试卷中都有体现，是必考内容，有的省市把规律探
考点3 乘法公式 ☆☆ 索作为选择题或者填空题的压轴题出现，因式分解
是中考热点问题，所以复习时要认真对待，打牢基
考点4 因式分解 ☆☆☆ 础，掌握解题方法。
考点5 规律探索题 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
夯实基础
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考点1 代数式
1. 代数式概念
用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式
子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式.
（1）代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
（2）代数式中不含有=、<、>、≠ 等
（3）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
2.代数式的分类
代数式分为有理式和无理式。有理式分为整式和分式，其中整式分为单项式和多项式。
3.列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、
积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好
一般的代数式就不太难了.
【易错点提示】列式（或者说列代数式）注意：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；
④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；
⑤带单位时，适当加括号.
4.代数式的值
（1）一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式
的值.
（2）求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的
值。【方法总结】求代数式的一般方法
1.直接代入法:用数值代替代数式中的对应字母,然后计算结果
2.化简求值法:先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算
3. 整体代入法:当给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值时,一般是把所要求
的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算。
考点2 整式及其运算
1. 整式的有关概念
（1）整式：单项式和多项式统称为整式．
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（2）单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系
数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．
【注意】单项式的系数包括它前面的符号
（3）多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字
母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
（4）同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
2. 整式的运算
（一）幂的运算
am ⋅an =am+n
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即 . （m, n都是
正整数）.
（2）幂的乘方：
1）幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
2）法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （m，n都是正整数）．
（3）积的乘方：
1）积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．
2）法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （n是正整
数）．
（4）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
(m,n都是正整数,且m>n);
(a≠0).
【方法技巧】
（1）幂的乘方： （m，n，p都是正整数）．
例如： ．这一性质由乘方运算降为乘法运算（指数相乘）．
（2）注意逆用幂的乘方法则，例如： ．
逆用积的乘方法则有 ，即指数相同的幂相乘，可将底数相乘，相同的指数作为共同
的指数.
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（二）整式的加减
几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
（三）整式的乘法
（1）单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不
要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
（2）单项式乘多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，
不能漏乘；③注意确定积的符号．
（3）多项式乘多项式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并
同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
（四）整式的除法
（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式含有的字
母，则连同它的指数作为商的因式。
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
考点3 乘法公式
1．完全平方公式
（1）完全平方公式： ．
（2）完全平方公式有以下几个特征：
①左边是两个数的和的平方；
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②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符
号与左边的运算符号相同．
（3）完全平方公式的几何背景
①运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公
式做出几何解释．
②常见验证完全平方公式的几何图形
．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分
别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
【温馨提醒】应用完全平方公式时，要注意：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式。
2．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即：
（2）平方差公式的几何背景
①常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公
式）．
②运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做
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出几何解释．
【温馨提醒】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法
则简便。
考点4 因式分解
1. 定义：把一个多项式化成几个因式积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算。
2. 因式分解的基本方法
（1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
（2）公式法： ； ； 。
（3）分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
（4）十字相乘法：
3. 分解因式的一般步骤
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：
为两项时，考虑平方差公式；
为三项时，考虑完全平方公式（或者十字相乘法）；
为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.
【说明】中考考查因式分解问题，经常考查提取公因式法和公式法。对于十字相乘法、分组法能够
熟练掌握学会这些额外方法对解决复杂问题大有益处。
考点5 规律探索题
1.解决规律探索型问题的策略是：
通过对所给的一组（或一串）数字或式子或图形及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中
发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.
2.图形固定累加规律：
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(1)找关系：找后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数之间的关系，一般通过作差的形
式进行观察；
(2)找规律：若第一个图形所求元素个数为a，第二个图形所求元素个数比第一个图形所求元素个数
多b，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b，则第n个图形所求元素个数
为a＋b(n－1)；
(3)验证：代入序号验证所求代数式．
【易错点提示】解决代数式与整式问题注意几点
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除
以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语
言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不
写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书
写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
考点1 代数式
【例题1】（2024四川广安） 代数式 的意义可以是（ ）
A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商
【答案】C
【解析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运
算及其顺序．根据 中的运算关系解答即可．
【详解】代数式 的意义可以是 与x的积．故选C．
【对点变式练1】（2024湖南一模）某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为 x元的衣服以
(4 ) (4 )
x−7 元出售，则下列关于代数式 x−7 的含义的描述正确的是（ ）
5 5
A. 原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折
C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元
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【答案】A
【解析】根据代数式的实际意义进行解答即可，准确理解代数式的意义是解题的关键．
(4 )
将原价x元的衣服以 x−7 元出售就是把原价打8折后再减去7元．故选：A．
5
【对点变式练2】（2024长沙一模）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香
满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10
元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
【答案】C
【解答】设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．故选：C．
【例题2】（2024广州）如图，把 ， ， 三个电阻串联起来，线路 上的电流为 ，电压
为 ，则 ．当 ， ， ， 时， 的值为
______．
【答案】220
【解析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据
，将数值代入计算即可．
，
当 ， ， ， 时，
，
故答案为：220．
【对点变式练1】（2024沈阳一模）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为
．
【答案】2
【解析】先将原式去括号，然后合并同类项可得﹣a﹣b+5，再把前两项提取﹣1，然后把a+b的值代
入可得结果．
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2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
当a+b＝3时，原式＝﹣3+5＝2．
此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关
键．
【对点变式练2】（2024吉林四平一模）当 时，代数式 的值为16，则当 时，
这个代数式的值是（ ）
A．0 B．-16 C．32 D．8
【答案】A
【解析】由当 时，代数式 的值为16，可得 ，再把 代入代数式
即可得到答案．
当 时，代数式 的值为16，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
故选A．
【点拨】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，掌握“利用整体代入法求解代数式的值”
是解本题的关键．
考点2 整式及其运算
【例题3】（2024福建省）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
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【答案】B
【解析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，解题的关键是掌
握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项运算法则．
利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项计算后判断正误．
【详解】 ，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；故选：B．
【对点变式练1】（2024湖北孝感一模）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，
y＝－1．
【答案】 ，
【解析】根据整式的加减运算化简，然后将字母的值代入即可求解．
原式＝4xy－2xy+3xy
＝
＝5xy；
当x＝2，y＝－1时，
原式＝ ．
【点睛】本题考查了整式加减的化简求值，正确的计算是解题的关键．
【对点变式练2】（2024日照一模）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
【答案】B
【解析】分别根据同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则进行计算
可得结果．
A．a2•a3＝a2+3＝a5，所以A运算错误；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B运算正确；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C运算错误；
D．2ab与3a2b不是同类项，所以不能合并计算，所以D运算错误．
故选：B．
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此题主要是考查了同底数幂的乘法公式，积的乘方公式，完全平方公式，合并同类项法则，能够熟
练运用各种法则是解答此题的关键．
【对点变式练3】（2023毕节市一模）计算（2x2）3的结果，正确的是（ ）
A．8x5 B．6x5 C．6x6 D．8x6
【答案】D
【解析】（2x2）3＝8x6．故选：D．
【对点变式练4】（2024淮安一模）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
【答案】C
【解答】a2•a3＝a5．故选：C．
考点3 乘法公式
【例题4】（2024上海市）计算 ______．
【答案】
【解析】根据平方差公式进行计算即可．
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【对点变式练1】（2024湖州一模）计算：（a+1）（a﹣1）＝ ．
【答案】a2﹣1．
【解析】直接利用平方差公式进行计算即可．
（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案为：a2﹣1．
本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟记平方差公式．
【对点变式练2】（2024枣庄一模）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿
图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一
个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
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A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【答案】C
【解析】中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．故选：C．
考点4 因式分解
【例题5】（2024甘肃临夏）因式分解： ______．
【答案】
【解析】本题考查因式分解，掌握公式法分解因式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式即可．
．
故答案为： ．
【对点变式练1】（2024广西一模）分解因式：a2+5a＝ ．
【答案】a（a+5）．
【解析】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出结论．
∵a2+5a公有因式为a，
∴原式＝a（a+5），
故答案为：a（a+5）．
本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
【对点变式练2】（2024辽宁一模）分解因式：2m2﹣18＝ ．
【答案】2（m+3）（m﹣3）．
【解析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
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【对点变式练3】（2024济宁一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【答案】C
【解析】本题考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相关知识．
A.（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，
B.a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，
C.5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，
D.a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．
故答案为：C．
本题考查因式分解，提公因式等相关知识．解题的关键是能够熟悉因式分解的定义，熟练运用因式
分解中的提公因式，十字相乘等方法．
考点5 规律探索题
【例题6】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如
“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为 ，点B
的坐标为 ，点C在第一象限， ．将 沿x轴正方向作无滑动滚动，使它
的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为 ，点C的对应点为 ， 与 的
交点为 ，称点 为第一个“花朵”的花心，点 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，
滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为______．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形，等腰直角的性质，点的坐标规律探索．连接 ，求得
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， ， ， 分 别 得 到 ， ，
， ，推导得到 ， 滚动一次得到 ，
滚动四次得到 ， 滚动七次得到 ，由此得到 滚动2024次后停止滚动，
则 ，据此求解即可．
【详解】解：连接 ，
由题意得 ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
，
同理 ，
，
，
滚动一次得到 ， 滚动四次得到 ， 滚动七次得到 ，
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∴ 滚动2024次后停止滚动，则 时， ，
故答案为： ．
【对点变式练1】（2024西藏一模）按一定规律排列的一组数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣
，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】A
【解析】原数据可转化为： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…，
∴ ＝（﹣1）1+1× ，
﹣ ＝（﹣1）2+1× ，
＝（﹣1）3+1× ，
..．
∴第n个数为：（﹣1）n+1 ，
∴第10个数为：（﹣1）10+1× ＝﹣ ．
故选：A．
【对点变式练2】（2024广州一模）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1个图形需要6
根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼
成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
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A．252 B．253 C．336 D．337
【答案】B
【解析】由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，故选：B．
【对点变式练3】（2024湖北孝感一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正
半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A
1
（0，2）变换到点A（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A变换到点A（6，0），
2 2 3
得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A变换到点A（10，4 ），得到等腰直角三角形④；第
3 4
四次滚动后点A变换到点A（10+12 ，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个
4 5
等腰直角三角形的面积是_____．
【答案】22020
【解析】根据A（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A（6，
1 2
0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
∵点A（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积= =2，
1
∵A（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为 = ，
2
∴第2个等腰直角三角形的面积= =4= ，
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∵A（10， ），∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
4
∴第3个等腰直角三角形的面积= =8= ，…
则第2020个等腰直角三角形的面积是 ；故答案为： ．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
考点1. 代数式
1. （2024山东烟台）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为________．
【答案】 ##
【解析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为 0，二次根式的被开方数为非负数，进行求
解即可．
由题意，得： ，
解得： ．
2. （2024四川广安）若 ，则 ______．
【答案】7
【解析】本题考查了求代数式的值．对已知等式变形得到 ，再整体代入计算求解即可．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3. （2024广州）若 ，则 ______．
【答案】11
【解析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．
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由 ，得 ，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案．
，
，
．
4. （2024广西）如果 ， ，那么 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
【答案】D
【解析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
∵ ， ，
∴
；故选D．
考点2. 整式及其运算
1. （2024贵州省）计算 的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为
系数，字母和字母的指数不变即可得．
，故选：A．
2. （2024四川德阳）若一个多项式加上 ，结果是 ，则这个多项式为
______．
【答案】
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【解析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上 ，结果是
”，进行列出式子： ，再去括号合并同类项即可．
依题意这个多项式为
．
3. （2024甘肃临夏）下列各式运算结果为 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．
根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题．
A、 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不符合题意；故选：B．
4. （2024河南省）计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方
运算法则可得答案．
【详解】 ，故选D
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5. （2024湖北省） 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断．
，故选：D．
的
6. （2024天津市）计算 结果为______．
【答案】
【解析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键．
．
7. （2024河北省）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法
依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
A． ， 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B． ，故此选项不符合题意；
C． ，故此选项符合题意；
D． ，故此选项不符合题意．故选：C．
8. （2024河北省）若a，b是正整数，且满足 ，则a与b的关
系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
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由题意得： ，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，故选：A．
9. （2024吉林省）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，6
【解析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，
最后代入求值即可．
原式
，
当 时，
原式
．
10. （2024 甘肃威武）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ，
【解析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并
同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
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，
当 ， 时，原式 ．
11. （2024福建省）已知实数 满足 ．
（1）求证： 为非负数；
（2）若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析； （2） 不可能都为整数，理由见解析．
【解析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、
创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出 ，进而计算 ，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性
质结合已知条件分析即可．
【小问1详解】
解：因为 ，
所以 ．
则
．
因为 是实数，所以 ，
所以 为非负数．
【小问2详解】
不可能都为整数．
理由如下：若 都为整数，其可能情况有：① 都为奇数；② 为整数，且其中至少有一
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个为偶数．
①当 都为奇数时，则 必为偶数．
又 ，所以 ．
因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾．
②当 为整数，且其中至少有一个为偶数时，则 必为偶数．
又因为 ，所以 ．
因为 为奇数，所以 必为偶数，这与 为奇数矛盾．
综上所述， 不可能都为整数．
考点3. 乘法公式
1. （2024深圳）下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以
单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解．
A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项符合题意；
C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；故选：B．
2. （2024四川成都市）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的
乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可．
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A． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
B． 和 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
C． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
D． ，原计算正确，故该选项符合题意；故选：D．
考点4. 因式分解
1. （2024吉林省）因式分解：a2﹣3a=_______．
【答案】a（a﹣3）
【解析】直接把公因式a提出来即可．
a2﹣3a=a（a﹣3）．
2.（2024福建省）因式分解：x2+x=_____．
【答案】
【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提
取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
直接提取公因式x即可．
3. （2024甘肃威武）因式分解： ________．
【答案】
【解析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
．
4. （2024江苏盐城）分解因式：x2+2x+1=_______
【答案】 ##
【解析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个
数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解．
x2+2x+1=（x+1）2
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构是解题的关键．（1）三项式；
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（2）其中两项能化为两个数（整式）平方和的形式；（3）另一项为这两个数（整式）的积的2倍
（或积的2倍的相反数）．
5. （2024江苏扬州）分解因式： _____．
【答案】
【解析】先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式 ．
6.（2024山东威海） 因式分解： ________．
【答案】
【解析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全
平方公式分解因式即可．
．
7. （2024四川达州）分解因式：3x2﹣18x+27=________．
【答案】3（x﹣3）2
【解析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
3x2-18x+27，
=3（x2-6x+9），
=3（x-3）2．
8.（2024黑龙江齐齐哈尔）分解因式：
【答案】
【解析】先提公因式 ，进而根据平方差公式因式分解，即可求解．
原式
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考点5. 规律探索题
1. （2024江苏扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，
5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前
2024个数中，奇数的个数为（ ）
A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350
【答案】D
【解析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答．
本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键．
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于 ，
即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有 个．故选：D
2. （2024山东烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今
有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一
个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后
一天仅织了一尺布， 天完工，问一共织了多少布？
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
【答案】C
【解析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和
即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，第一天织布 尺，第 天织布 尺，
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∴一共织布 （尺），故选： ．
3. （2024重庆市A）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物
的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第 1种如图①有4个氢原子，第2种
如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构
模型中氢原子的个数是（ ）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
【答案】B
【解析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．
【详解】解：由图可得，
第1种如图①有4个氢原子，即
第2种如图②有6个氢原子，即
第3种如图③有8个氢原子，即
，
第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是： ；故选：B．
4. （2024重庆市B）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案
中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图
案中，菱形的个数是（ ）
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
【答案】C
【解析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找
到相应的规律，进行求解即可．
【详解】第①个图案中有 个菱形，
第②个图案中有 个菱形，
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第③个图案中有 个菱形，
第④个图案中有 个菱形，
∴第 个图案中有 个菱形，
∴第⑧个图案中菱形的个数为 ，故选：C．
5. （2024青海省）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有________个火
柴棒．
【答案】15
【解析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，
由此可得第（n）个图形有 根火柴棒，即可．
根据题意得：第（1）个图形有 根火柴棒，
第（2）个图形有 根火柴棒，
第（3）个图形有 根火柴棒，
……
第（n）个图形有 根火柴棒，
∴第（7）个图案中有 根火柴棒，故答案为：15
6. （2024四川德阳）将一组数 ，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个
数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有 个数，
则第八行左起第1个数是 ，故选：C．
7. （2024四川德阳）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别
填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探
究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数
字即可）．
【答案】1##8
【解析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至
8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数
字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之
差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1
或者8．
【详解】 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其
中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈
中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入．
位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8．
8. （2024四川成都市）在综合实践活动中，数学兴趣小组对 这 个自然数中，任取两数之和
大于 的取法种数 进行了探究．发现：当 时，只有 一种取法，即 ；当 时，
有 和 两种取法，即 ；当 时，可得 ；……．若 ，则 的值为______；
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若 ，则 的值为______．
【答案】 ①9 ②144
【解析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不
同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．
【详解】当 时，只有 一种取法，则 ；
当 时，有 和 两种取法，则 ；
当 时，有 ， ， ， 四种取法，则 ；
故当 时，有 ， ， ， ， ， 六种取法，则 ；
当 时，有 ， ， ， ， ， ， ， ， 九种取法，
则 ；
依次类推，
当n为偶数时， ，
故当 时，
9. （2024江西省）观察a， ， ， ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为
______．
【答案】
【解析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少
即可．
∵a， ， ， ，…，
∴第n个单项式的系数是1；
∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，
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∴第n个式子是 ．
∴第100个式子是 ．
10. （2024云南省）按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ， ，第 个代数式
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解
题的关键．
∵按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ， ，
∴第 个代数式是 ，故选： ．
11. （2024四川眉山）已知 （ 且 ）， ，
则 的值为______．
【答案】
【解析】此题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算得到每三个为一个循环，分别为
， ， ，进一步即可求出 ．
【详解】 ，
，
，
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，
，
，
……，
由上可得，每三个为一个循环，
，
．
12. （2024重庆市B）已知整式 ，其中 为自然数，
为正整数，且 ．下列说法：
①满足条件的整式 中有5个单项式；
②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；
③满足条件的整式 共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得 ，再分类讨论
得到答案即可．
∵ 为自然数， 为正整数，且 ，
∴ ，
当 时，则 ，
∴ ， ，
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满足条件的整式有 ，
当 时，则 ，
∴ ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ，
当 时，则 ，
∴ ， ， ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ， ， ；
当 时，则 ，
∴ ， ， ， ，
满足条件的整式有： ， ， ， ；
当 时， ，
满足条件的整式有： ；
∴满足条件的单项式有： ， ， ， ， ，故①符合题意；
不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式 共有 个．故③符合题意；故选D
13. （2024黑龙江大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个
正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以
所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若
干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次
操作后图形中所有正方形的面积和为______．
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【答案】48
【解析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题
意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：图①中，∵ ，
根据勾股定理得， ，
∴图①中所有正方形面积和为： ，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
，
⋯
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为 ，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为
14. （2024黑龙江绥化）如图，已知 ， ， ， ，
， ， ， …，依此规律，则点 的坐标为______．
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【答案】
【解析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可
知 个点坐标的纵坐标为一个循环， 的坐标为 ，据此可求得 的坐标．
【详解】∵ ， ， ， ， ， ，
， …，，
∴可知 个点坐标的纵坐标为一个循环， 的坐标为 ，
∵ ，
∴ 的坐标为 ．
∴ 的坐标为 ．
15. （2024武汉市）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现它关
于点 中心对称．若点 ， ， ，……， ，
都在函数图象上，这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，则
的值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
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【答案】D
【 解 析 】 本 题 是 坐 标 规 律 题 ， 求 函 数 值 ， 中 心 对 称 的 性 质 ， 根 据 题 意 得 出
，进而转化为求 ，根据题意可得 ， ，
即可求解．
∵这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 即 ，
∵ ，
当 时， ，即 ，
∵ 关于点 中心对称的点为 ，
即当 时， ，
∴ ，故选：D．
16. （2024四川广安）已知，直线 与 轴相交于点 ，以 为边作等边三角形
，点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，以
为边作等边三角形 （点 在点 的上方），以同样的方式依次作等边三角形 ，
等边三角形 ，则点 的横坐标为______．
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【答案】
【解析】
直线直线 可知，点 坐标为 ，可得 ，由于 是等边三角形，
可得点 ，把 代入直线解析式即可求得 的横坐标，可得 ，由于
是等边三角形，可得点 ；同理， ，发现规律即可得解，准确发
现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l： 与x轴负半轴交于点 ，
∴点 坐标为 ，
∴ ，
过 ， ，作 轴交x轴于点M， 轴交 于点D，交x轴于点N，
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∵ 为等边三角形，
∴ ∴ ，
∴ ∴ ，
当 时， ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，解得： ，
∴ ；
而 ，
同理可得： 的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，
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特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
考点1. 代数式
1．下列说法中，不能表示代数式“5x”意义的是（ ）
A．x的5倍 B．5个x相乘C．5个x相加D．5的x倍
【答案】B
【解析】本题考查了代数式的意义，代数式“5x”意义是5与x相乘，根据乘法的意义即可判断．
代数式“5x”意义是5与x相乘，故选项A、C、D正确，
而5个x相乘表示x⋅x⋅x⋅x⋅x=x5，故选项B不能表示代数式“5x”的意义．故选：B．
2. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起
来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很
多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
(1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为 的正方形，用含字母a，
b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：_________；
(2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：_____________；
(3)若 ， ，求图2中阴影部分的面积．
【答案】(1)① ；② ；；(2) ；(3) ．
【分析】（1）①根据题意，求得阴影部分正方形的边长，即可求解；②求得大正方形的面积和四个
小长方形的面积，即可求解；
（2）由（1）即可得出恒等式；
（3）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积得到阴影部分的面积，将 ， 代入，
即可求解．
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解：①由题意可得，阴影部分正方形的边长为 ，则面积为 ，
故答案为：
②大正方形的面积为 ，
四个长方形的面积为： ，
则阴影部分的面积为 ；
故答案为： ；
（2）由（1）可得： ，
故答案为：
（3）阴影部分的面积为：
将 ， 代入可得：
原式
．
【点拨】此题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是通过不同方式求解出阴影部分的面积．
3. 已知 是八次单项式，求代数式3a+3b-12的值．
【答案】24
【解析】根据八次单项式的定义得到a+b﹣4=8，则a+b=12，将其整体代入所求的代数式进行求值．
由题意得：a+b﹣4=8，则a+b=12，
所以3a+3b﹣12=3（a+b）﹣12=24．
4. 若x−2y=1，则代数式3x−6 y+4的值为（ ）
A．7 B．1 C．−5 D．13
【答案】A
【解析】本题主要考查了求代数式的值．根据题意可得3x−6 y+4=3(x−2y)+4，整体代入即可
求解．
3x−6 y+4=3(x−2y)+4=3×1+4=7，故选A．
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5. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”
可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于
x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
【答案】14
【解析】∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
解法二：原式＝（2a+b）2+2（2a+b）﹣1＝32+2×3﹣1＝14
6. 若多项式 是关于x、y的三次三项式；单项式 与单项式 的次数相
同，求代数式 的值．
【答案】100
【解析】根据单项式和多项式的次数的定义可知2a+2=1，b-1=2，求出a和b的值，将代数式化简后
代入a和b的值计算即可．
∵ 是关于x、y的三次三项式，
∴2a+2=1，解得：a= ，
∵ 与 的次数相同，
∴b-1=2，解得：b=3，
=100．
【点拨】本题主要考查了单项式和多项式的次数的定义，代数式的值，掌握“单项的次数是每个字
母的指数和，多项式的次数是次数最高项的次数”是解题的关键．
考点2 整式及其运算
1．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．
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如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼
一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的
形状可得答案．
∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．
故选：C．
本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则
是解题的关键．
考点3 乘法公式
1．已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 ．
【答案】8
【解析】∵a+b＝4，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝4×2
＝8， 故答案为：8．
考点4 因式分解
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【答案】A
【解析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
A选项，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故该选项符合题意；
B选项，a2+ab+a＝a（a+b+1），故该选项不符合题意；
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C选项，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故该选项不符合题意；
D选项，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故该选项不符合题意．
故选：A．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
2．分解因式：4a2﹣1＝（ ）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
【答案】A
【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故选：A．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
3. 把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
【答案】B
【解析】把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式
法分解因式即可．
原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y
=（4x2﹣y2）﹣（2x+y）
=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）
=（2x+y）（2x﹣y﹣1）．
4. 分解因式： ___．
【答案】
【解析】直接提取公因式 即可
．
故答案为: .
5．分解因式：x2﹣9y2＝ ．
【答案】（x﹣3y）（x+3y）
【解析】原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
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故答案为：（x﹣3y）（x+3y）
6．把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是 ．
【答案】n（m+3）2．
【解析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
原式＝n（m2+6m+9）
＝n（m+3）2．
7.分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝
【答案】y（x﹣y）2
【解析】∵x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2．
故答案为：y（x﹣y）2．
8.先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；
也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．
以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ．
【答案】见解析。
【解析】a3﹣b3+a2b﹣ab2
=（a3+a2b）﹣（b3+ab2）
=a2（a+b）﹣b2（b+a）
=（a+b）（a2﹣b2）
=（a+b）2（a﹣b）．
9．x5﹣1＝ ．
【答案】(x﹣1)( x4+ x3+ x2+ x+1)
【解析】利用填项、分组、提出公因式法分解因式得出答案．
x5﹣1
＝x5﹣x4+x4﹣1
＝（x5﹣x4）+（x4﹣1）
＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x2﹣1）
＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x+1）（x﹣1）
=（x﹣1）[x4+（x2+1）（x+1）]
=（x﹣1）[x4+（x3+ x2+x+1）]
=（x﹣1）(x4+x3+ x2+x+1）
10. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
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解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提
公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化
简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解
为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将 因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由
四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长
分别是a和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将
因式分解，再求值．
【答案】（1）
（2）
（3） ，9
【解析】【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式
即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
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（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到 ，
，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
，
∴根据题意得 ， ，
∴原式 ．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，
正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
考点5 规律探索
1．相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子
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来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10、15、……，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表
示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．若三角数为5050，则n的值为 ．
【答案】100
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字规律，总结数字规律是解题的关键．根据第1个三角
1×(1+1) 2×(2+1) 3×(3+1)
点数和为1= ，第2个三角点数和为3= ，第3个三角点数和为6= ，第4
2 2 2
4×(4+1) 5×(5+1)
个三角点数和为10= ，第5个三角点数和为15= ，总结得到第n个三角形数和为
2 2
n(n+1)
，从而列出一元二次方程求解即可．
2
1×(1+1)
【详解】解：第1个三角点数和为1= ，
2
2×(2+1)
第2个三角点数和为3= ，
2
3×(3+1)
第3个三角点数和为6= ，
2
4×(4+1)
第4个三角点数和为10= ，
2
5×(5+1)
第5个三角点数和为15= ，
2
⋯⋯
n(n+1)
∴第n个三角形数和为 ，
2
n(n+1)
=5050，
2
解得n=100或n=−101（舍去），
故答案为100．
2．如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，
50节链条总长度为 cm．
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【答案】91
【解析】由题意得：
1节链条的长度＝2.8cm，
2节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）]cm，
3节链条的总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]cm，
..．
∴50节链条总长度＝[2.8+（2.8﹣1）×49]＝91（cm），
故答案为：91．
3．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这
个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和
为 ．
【答案】128
【解析】根据图示可得出一般规律，利用规律计算即可．
∵（a+b）0＝1，系数之和是20＝1；
（a+b）1＝a+b，系数之和是21＝2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，系数之和是22；
……
（a+b）n，展开各项系数之和是2n．
∴（a+b）7展开各项的系数之和为27＝128．
故答案为：128．
本题考查了完全平方公式的延伸应用，属于规律性探究题型，从特殊到一般规律的推出是数学探究
的常用方法．
4．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB 为
1 1 1 1
边作正方形OBBC，再以正方形OBBC 的对角线OB 为边作正方形OBBC……以此类推，则正方形
1 2 2 1 2 2 2 2 3 3
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OB B C 的顶点B 的坐标是________．
2020 2021 2021 2021
【答案】（-21011，-21011）
【分析】首先先求出B、B、B、B、B、B、B、B、B、B 的坐标，找出这些坐标之间的规律，然
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
后根据规律计算出点B 的坐标．
2021
【详解】∵正方形OABC 的边长为2，∴OB=2 ，点B 的坐标为（2，2）
1 1 1 1 1
∴OB=2 × =4 ∴B（0，4），同理可知B（-4，4），B（-8，0），B（-8，-8），B
2 2 3 4 5 6
（0，-16），B（16，-16），B（32，0），B（32，32），B （0，64）．
7 8 9 10
由规律可以发现，点B 在第一象限角平分线上、B 在y轴正半轴上、B 在第二象限角平分线上、B
1 2 3 4
在x轴负半轴上、B 在第三象限角平分线上、B 在y轴负半轴上、B 在第四象限角平分线上、B 在x
5 6 7 8
轴正半轴上、B 在第一象限角平分线上、B 在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与
9 10
第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的 倍，∵2021÷8=252⋯⋯5，
∴B 和B 都在第三象限角平分线上，且OB =2× =2×21010× =21011×
2021 5 2021
∴点B 到x轴和y轴的距离都为21011× ÷ =21011．
2021
∴B （-21011，-21011）故答案为：（-21011，-21011）．
2021
【点睛】此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，
再确定规律即可．
5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移
动，每移动一个单位，得到点A（0，1），A（1，1），A（1，0），A（2，0），…那么点A 的
1 2 3 4 2020
坐标为________________．
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【答案】(1010,0)
【解析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A 的坐标，然后根据变化规律写出即可．
n
观察图形，除A、A、A 外，每隔4次则循环出现在正方形的四个顶点处，故：
1 2 3
且(2020-3)÷4=504余1，故A 位于正方形的左下角处。
2020
由图可知，点A（2，0），点A（4，0），点A （6，1），…故A 的坐标为(2n，0).
4 8 12 4n
所以，点A 的坐标为 (1010，0)，故答案为：(1010,0).
2020
【点睛】本题考查了找规律中的周期问题，周期问题中余1则和周期中的第1个数相同，余2则和
周期中的第2个数相同，……，整除则和周期中的最后一个数相同.
6．已知，△OAA ，△AAA ，△AAA ，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A ，
1 2 3 4 5 6 7 8 2
A，A，…都在x轴正半轴上，且AA＝AA＝AA＝…＝1，则点A 的坐标是 ．
3 5 2 3 5 6 8 9 2023
【答案】（2023， ）．
【解析】根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A 横坐标为1，点A 横坐标为2，点A
1 2 3
横坐标为3，点A 横坐标为4，…因此点A 横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出
4 2023
点A 在第一象限，求出点A 的纵坐标为 ，得出答案．
2023 2023
如图，过点A，A，A，A ，A ，……A 3分别作x轴的垂线，
1 4 7 10 13 202
∵△AAO是边长为2正三角形，
1 2
∴OB＝BA＝1，AB＝ ＝ ，
2 1
∴点A 横坐标为1，
1
由题意可得，点A 横坐标为2，点A 横坐标为3，点A 横坐标为4，…
2 3 4
因此点A 横坐标为2023，
2023
∵2023÷3＝674……1，而674是偶数，
∴点A 在第一象限，
2023
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∴点A 的纵坐标为 ，
2023
即点A （2023， ），
2023
故答案为：（2023， ）．
考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解题的
关键．
7. 如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C C C C ⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C´C ，
1 1 2 3 4 5 1 2
C´C ，C ´C ，C´C ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环．当OA=1时，点C 的坐标是( )
2 3 3 4 4 5 1 2023
A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．(2022，0)
【答案】A
【解析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出C 在第三象限，与C ，C ，C ，…符合同
2023 3 7 11
一规律，探究出C ，C ，C ，...的规律即可．
3 7 11
由图得C (0，1)，C (1，0)，C (−1，−2)，C (−4，0)，C (0，5)，
1 2 3 4 5
C (5，0)，C (−1，−6)，…
6 7
点C的位置每4个一循环，
2023=505×4+3，
∴C 在第三象限，与C ，C ，C ，…
2023 3 7 11
符合规律(−1，−n+1)，
∴C 坐标为(−1，−2022)．
2023
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故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
52
