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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第一章 数与式
1.2 代数式与整式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式 ☆☆ 数学中考中，有关代数式与整式部分，每年考查
2~3道题,分值为3~9分，通常以选择题、填空题、
考点2 整式及其运算 ☆☆☆ 解答题的形式考查。则5各考点在全国各省市真题
试卷中都有体现，是必考内容，有的省市把规律探
考点3 乘法公式 ☆☆ 索作为选择题或者填空题的压轴题出现，因式分解
是中考热点问题，所以复习时要认真对待，打牢基
考点4 因式分解 ☆☆☆ 础，掌握解题方法。
考点5 规律探索题 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
夯实基础
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考点1 代数式
1. 代数式概念
用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式
子叫做代数式。单独的一个____或一个_____也是代数式.
（1）代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有_______。
（2）代数式中不含有=、<、>、≠ 等
（3）对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
2.代数式的分类
代数式分为_____和_______。有理式分为整式和_____，其中整式分为单项式和_______。
3.列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的_____关系，其次应抓住题中的一些_____词语，如和、差、
积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好
一般的代数式就不太难了.
【易错点提示】列式（或者说列代数式）注意：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；
④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；
⑤带单位时，适当加括号.
4.代数式的值
（1）一般地，用数值_____代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数
式的值.
（2）求代数式的值分两步：第一步，_____；第二步，_____.要充分利用“______”思想求代数式
的值。【方法总结】求代数式的一般方法
1.直接代入法:用数值代替代数式中的对应字母,然后计算结果
2.化简求值法:先化简代数式,再代入字母的值,然后进行计算
3. 整体代入法:当给出代数式中所含几个字母之间的关系,不直接给出字母的值时,一般是把所要求
的代数式通过恒等变形,转化成为用已知关系表示的形式,再代入计算。
考点2 整式及其运算
1. 整式的有关概念
（1）整式：_______和_______统称为整式．
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（2）单项式：单项式是指由数字或字母的_______组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的
系数；单项式中所有字母指数的______叫做单项式的次数．
【注意】单项式的系数包括它前面的符号
（3）多项式：几个单项式的______叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不
含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
（4）同类项：多项式中所含______相同并且相同字母的_____也相同的项叫做同类项.
2. 整式的运算
（一）幂的运算
am ⋅an =am+n
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数______，指数_____.即 . （m, n
都是正整数）.
（2）幂的乘方：
1）幂的乘方是指几个相同的幂______。
2）法则：幂的乘方，底数不变，指数_______，即 （m，n都是正整数）．
（3）积的乘方：
1）积的乘方是指底数是______形式的乘方．
2）法则：积的乘方等于把积的_______分别乘方，再把所得的幂相乘 （n是正整
数）．
（4）同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数_______，指数________.
(m,n都是正整数,且m>n);
(a≠0).
【方法技巧】
（1）幂的乘方： （m，n，p都是正整数）．
例如： ．这一性质由乘方运算降为乘法运算（指数相乘）．
（2）注意逆用幂的乘方法则，例如： ．
逆用积的乘方法则有 ，即指数相同的幂相乘，可将底数相乘，相同的指数作为共同
的指数.
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（二）整式的加减
几个整式相加减，如有括号就先去______，然后再合并________。
（三）整式的乘法
（1）单项式乘单项式
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有
的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不
要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
（2）单项式乘多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，
不能漏乘；③注意确定积的符号．
（3）多项式乘多项式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并
同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
（四）整式的除法
（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式含有的字
母，则连同它的指数作为商的因式。
（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
考点3 乘法公式
1．完全平方公式
（1）完全平方公式：____________
（2）完全平方公式有以下几个特征：
①左边是两个数的和的平方；
②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，其符
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号与左边的运算符号相同．
（3）完全平方公式的几何背景
①运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公
式做出几何解释．
②常见验证完全平方公式的几何图形
．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分
别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
【温馨提醒】应用完全平方公式时，要注意：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式。
2．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即：________
（2）平方差公式的几何背景
①常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公
式）．
②运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做
出几何解释．
【温馨提醒】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
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②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法
则简便。
考点4 因式分解
1. 定义：把一个_____化成几个因式积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是_____运算。
2. 因式分解的基本方法
（1）_______法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
（2）______法： ； ； 。
（3）______法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
（4）_______法：
3. 分解因式的一般步骤
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：
为两项时，考虑平方差公式；
为三项时，考虑完全平方公式（或者十字相乘法）；
为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.
以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.
【说明】中考考查因式分解问题，经常考查提取公因式法和公式法。对于十字相乘法、分组法能够
熟练掌握学会这些额外方法对解决复杂问题大有益处。
考点5 规律探索题
1.解决规律探索型问题的策略是：
通过对所给的一组（或一串）数字或式子或图形及结论，进行全面细致地_____、分析、比较，从中
发现其变化规律，并由此猜想出______的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.
2.图形固定累加规律：
(1)找关系：找后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数之间的关系，一般通过作差的形
式进行观察；
(2)找规律：若第一个图形所求元素个数为a，第二个图形所求元素个数比第一个图形所求元素个数
多b，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b，则第n个图形所求元素个数
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为a＋b(n－1)；
(3)验证：代入序号验证所求代数式．
【易错点提示】解决代数式与整式问题注意几点
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除
以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语
言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不
写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书
写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
考点1 代数式
【例题1】（2024四川广安） 代数式 的意义可以是（ ）
A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商
【对点变式练1】（2024湖南一模）某商店举办促销活动．促销的方法是将原价为 x元的衣服以
(4 )元出售，则下列关于代数式(4 )的含义的描述正确的是（ ）
x−7 x−7
5 5
A. 原价打8折后再减去7元 B．原价减去7元后再打8折
C．原价减去7元后再打2折 D．原价打2折后再减去7元
【对点变式练2】（2024长沙一模）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香
满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10
元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
【例题2】（2024广州）如图，把 ， ， 三个电阻串联起来，线路 上的电流为 ，电压
为 ，则 ．当 ， ， ， 时， 的值为
______．
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【对点变式练1】（2024沈阳一模）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为
．
【对点变式练2】（2024吉林四平一模）当 时，代数式 的值为16，则当 时，
这个代数式的值是（ ）
A．0 B．-16 C．32 D．8
考点2 整式及其运算
【例题3】（2024福建省）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【对点变式练1】（2024湖北孝感一模）先化简，再求值：4xy－2xy－（－3xy），其中x＝2，
y＝－1．
【对点变式练2】（2024日照一模）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2
【对点变式练3】（2023毕节市一模）计算（2x2）3的结果，正确的是（ ）
A．8x5 B．6x5 C．6x6 D．8x6
【对点变式练4】（2024淮安一模）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
考点3 乘法公式
【例题4】（2024上海市）计算 ______．
【对点变式练1】（2024湖州一模）计算：（a+1）（a﹣1）＝ ．
【对点变式练2】（2024枣庄一模）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿
图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一
个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
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考点4 因式分解
【例题5】（2024甘肃临夏）因式分解： ______．
【对点变式练1】（2024广西一模）分解因式：a2+5a＝ ．
【对点变式练2】（2024辽宁一模）分解因式：2m2﹣18＝ ．
【对点变式练3】（2024济宁一模）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
考点5 规律探索题
【例题6】（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如
“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为 ，点B
的坐标为 ，点C在第一象限， ．将 沿x轴正方向作无滑动滚动，使它
的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为 ，点C的对应点为 ， 与 的
交点为 ，称点 为第一个“花朵”的花心，点 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，
滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为______．
【对点变式练1】（2024西藏一模）按一定规律排列的一组数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣
，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【对点变式练2】（2024广州一模）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第 1个图形需要6
根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼
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成的第n个图形需要2022根小木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【对点变式练3】（2024湖北孝感一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正
半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A
1
（0，2）变换到点A（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A变换到点A（6，0），
2 2 3
得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A变换到点A（10，4 ），得到等腰直角三角形④；第
3 4
四次滚动后点A变换到点A（10+12 ，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个
4 5
等腰直角三角形的面积是_____．
考点1. 代数式
1. （2024山东烟台）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为________．
2. （2024四川广安）若 ，则 ______．
3. （2024广州）若 ，则 ______．
4. （2024广西）如果 ， ，那么 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
考点2. 整式及其运算
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1. （2024贵州省）计算 的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川德阳）若一个多项式加上 ，结果是 ，则这个多项式为
______．
3. （2024甘肃临夏）下列各式运算结果为 的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024河南省）计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
5. （2024湖北省） 的值是（ ）
A. B. C. D.
的
6. （2024天津市）计算 结果为______．
7. （2024河北省）下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. （2024河北省）若a，b是正整数，且满足 ，则a与b的关
系正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. （2024吉林省）先化简，再求值： ，其中 ．
10. （2024 甘肃威武）先化简，再求值： ，其中 ，
．
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11. （2024福建省）已知实数 满足 ．
（1）求证： 为非负数；
（2）若 均为奇数， 是否可以都为整数？说明你的理由．
考点3. 乘法公式
1. （2024深圳）下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024四川成都市）下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
考点4. 因式分解
1. （2024吉林省）因式分解：a2﹣3a=_______．
2.（2024福建省）因式分解：x2+x=_____．
3. （2024甘肃威武）因式分解： ________．
4. （2024江苏盐城）分解因式：x2+2x+1=_______
5. （2024江苏扬州）分解因式： _____．
6.（2024山东威海） 因式分解： ________．
7. （2024四川达州）分解因式：3x2﹣18x+27=________．
8.（2024黑龙江齐齐哈尔）分解因式：
考点5. 规律探索题
1. （2024江苏扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，
5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前
2024个数中，奇数的个数为（ ）
A. 676 B. 674 C. 1348 D. 1350
2. （2024山东烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今
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有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一
个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后
一天仅织了一尺布， 天完工，问一共织了多少布？
A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺
3. （2024重庆市A）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物
的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第 1种如图①有4个氢原子，第2种
如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构
模型中氢原子的个数是（ ）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
4. （2024重庆市B）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案
中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图
案中，菱形的个数是（ ）
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
5. （2024青海省）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有________个火
柴棒．
6. （2024四川德阳）将一组数 ，按以下方式进行排列：
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则第八行左起第1个数是（ ）
A. B. C. D.
7. （2024四川德阳）数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别
填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探
究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数
字即可）．
8. （2024四川成都市）在综合实践活动中，数学兴趣小组对 这 个自然数中，任取两数之和
大于 的取法种数 进行了探究．发现：当 时，只有 一种取法，即 ；当 时，
有 和 两种取法，即 ；当 时，可得 ；……．若 ，则 的值为______；
若 ，则 的值为______．
9. （2024江西省）观察a， ， ， ，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为
______．
10. （2024云南省）按一定规律排列的代数式： ， ， ， ， ， ，第 个代数式
是（ ）
A. B. C. D.
11. （2024四川眉山）已知 （ 且 ）， ，
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则 的值为______．
12. （2024重庆市B）已知整式 ，其中 为自然数，
为正整数，且 ．下列说法：
①满足条件的整式 中有5个单项式；
②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式 有且只有3个；
③满足条件的整式 共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
13. （2024黑龙江大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个
正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以
所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若
干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次
操作后图形中所有正方形的面积和为______．
14. （2024黑龙江绥化）如图，已知 ， ， ， ，
， ， ， …，依此规律，则点 的坐标为______．
15. （2024武汉市）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现它关
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于点 中心对称．若点 ， ， ，……， ，
都在函数图象上，这 个点的横坐标从 开始依次增加 ，则
的值是（ ）
A. B. C. 0 D. 1
16. （2024四川广安）已知，直线 与 轴相交于点 ，以 为边作等边三角形
，点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，以
为边作等边三角形 （点 在点 的上方），以同样的方式依次作等边三角形 ，
等边三角形 ，则点 的横坐标为______．
考点1. 代数式
1．下列说法中，不能表示代数式“5x”意义的是（ ）
A．x的5倍 B．5个x相乘C．5个x相加D．5的x倍
2. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起
来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很
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多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
(1)如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为 的正方形，用含字母a，
b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：________；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：_________；
(2)根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：_____________；
(3)若 ， ，求图2中阴影部分的面积．
3. 已知 是八次单项式，求代数式3a+3b-12的值．
4. 若x−2y=1，则代数式3x−6 y+4的值为（ ）
A．7 B．1 C．−5 D．13
5. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”
可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于
x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 ．
6. 若多项式 是关于x、y的三次三项式；单项式 与单项式 的次数相
同，求代数式 的值．
考点2 整式及其运算
1．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．
如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼
一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点3 乘法公式
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1．已知a+b＝4，a﹣b＝2，则a2﹣b2的值为 ．
考点4 因式分解
1．下列因式分解正确的是（ ）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
2．分解因式：4a2﹣1＝（ ）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
3. 把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
4. 分解因式： ___．
5．分解因式：x2﹣9y2＝ ．
6．把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是 ．
7.分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝
8.先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；
也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．
以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ．
9．x5﹣1＝ ．
10. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提
公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化
简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解
为止）
【类比】
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（1）请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将 因式分解；
【应用】
（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由
四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长
分别是a和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将
因式分解，再求值．
考点5 规律探索
1．相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子
来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10、15、……，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表
示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．若三角数为5050，则n的值为 ．
2．如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，
50节链条总长度为 cm．
3．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这
个数表称为“杨辉三角”．
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观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和
为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB 为
1 1 1 1
边作正方形OBBC，再以正方形OBBC 的对角线OB 为边作正方形OBBC……以此类推，则正方形
1 2 2 1 2 2 2 2 3 3
OB B C 的顶点B 的坐标是________．
2020 2021 2021 2021
5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移
动，每移动一个单位，得到点A（0，1），A（1，1），A（1，0），A（2，0），…那么点A 的
1 2 3 4 2020
坐标为________________．
6．已知，△OAA ，△AAA ，△AAA ，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放．点A ，
1 2 3 4 5 6 7 8 2
A，A，…都在x轴正半轴上，且AA＝AA＝AA＝…＝1，则点A 的坐标是 ．
3 5 2 3 5 6 8 9 2023
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7. 如图，四边形 是正方形，曲线 叫作“正方形的渐开线”，其中 ，
OABC C C C C C ⋯ C´C
1 1 2 3 4 5 1 2
， ， ，…的圆心依次按O，A，B， 循环．当 时，点 的坐标是( )
C´C C ´C C´C C OA=1 C
2 3 3 4 4 5 1 2023
A．(−1，−2022) B．(−2023，1) C．(−1，−2023) D．(2022，0)
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