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专题 02 整式及其因式分解
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）整式的相关概念
（1）单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫
单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个
多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．
（3）整式：单项式和多项式统称为整式．
（4）同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
（5）代数式及求值
①概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式
子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；
②列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；
③代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
④代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
（二）整式运算
（1）整式加减
①合并同类项：①字母和字母的指数不变；②同类项的系数相加减作为新的系数．
②添（去）括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项符号不变；括号前面是“－”，把
括号去掉，括号里各项加号变减号，减号变 加号 ．
（2）幂的运算法则
①同底数幂相乘：am·an＝am＋n（m，n都是整数，a≠0）．
②幂的乘方：（am）n＝amn（m，n都是整数，a≠0）．
③积的乘方：（ab）n＝an·bn（n是整数，a≠0，b≠0）．
④同底数幂相除：am÷an＝am－n（m，n都是整数，a≠0）．（3）整式乘除
①单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
②单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.
③多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
④单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
⑤多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．
（4）乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
完全平方公式的变式：a2+b2=(a±b)2 2ab ab=[(a+b)2－（a2+b2）]÷2
（三）因式分解
（1）提公因式法：mambmc m(a+b+c).
（2）公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);
②完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b ) 2；a2-2ab+b2= (a-b ) 2
（3）分组分解法：通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分组
方式一般分为“1+3”式分组和“2+2”式分组。
（4）十字相乘法：x2+（p+q）x+pq= (x+p)(x+q )
因式分解的一般步骤：
一“提”（取公因式），二“套”（公式），三“分”（分组），四“查”（检查）
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
（2）如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；
（3）如果项数较多或无法直接分解时，要分组分解．
（4）分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有
相同因式需写成幂的形式.
易错知识辨析：
（1）注意因式分解与整式乘法的区别；
（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
模块三 考点一遍过
考点1求代数式的值
典例1：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号 表示， n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−m+1)（ ，n、m为正整数）；
Cm Cm= n≥m
n n m(m−1)⋅⋅⋅15×4 8×7×6
例如：C2= ，C3= ，则C4+C5=（ ）
5 2×1 8 3×2×1 9 9
A． B． C． D．
C6 C4 C5 C6
9 10 10 10
【变式1】已知(x+2)(x−2)−2x=1，则2x2−4x+3的值为（ ）
A．13 B．8 C．－3 D．5
【变式2】若一元二次方程2x2−4x−1=0的两根为m，n，则3m2−4m+n2的值为 ．
19
【变式3】已知实数m满足m2−3m+1=0，则代数式m2+
的值等于 ．
m2+2
考点2：整式的有关概念
典例2：已知整式 ，其中 为自然数， 为正整数，
M:a xn+a xn−1+⋯+a x+a n,a ,⋯,a a
n n−1 1 0 n−1 0 n
且n+a +a +⋯+a +a =5．下列说法：
n n−1 1 0
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1】下列整式中，是二次单项式的是（ ）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．−3x
【变式2】按规律排列的单项式：x，−x3，x5，−x7，x9，…，则第20个单项式是 ．
【变式3】观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
考点3：幂的运算
典例3：下列计算正确的是（ ）
A． B．
x2 ⋅x3=x6 (x−1) 2=x2−1
C．
(x y2) 2 =x2y4
D．(
−
1) −2
=−4
2
【变式1】下列计算正确的是（ ）
A．
a2+a3=a5
B．
a8÷a4=a2
C．
a2 ⋅a3=a6
D．
(3a2) 3 =27a6
1 1
【变式2】若x，y均为实数，43x=2021，47y=2021，则43xy ⋅47xy=
❑
x+y； + =
x y
．【变式3】计算
23×44×
(1) 5的结果是 ．
8
考点4：整式的乘除运算
典例4：设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干
张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．
若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式1】下列运算正确的是（ ）
1 2 1
A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B．(a− ) =a2−
2 4
C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9
【变式2】如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个正方
形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个
小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格所有线段的和为 ．(用含n的
代数式表示)
【变式3】1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人
们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， 展开的多项式中各项系数之和为
(a+b) 7．
考点5：乘法公式
典例5：已知 ，则 的值是（ ）
2a2−a−3=0 (2a+3)(2a−3)+(2a−1) 2
A．6 B．−5 C．−3 D．4
【变式1】已知 ，且 ，则(1 1) 2 ( 1 1 )的值是（ ）
a>b>0 a2+b2=3ab + ÷ −
a b a2 b2
√5 √5
A．√5 B．−√5 C． D．−
5 5
【变式2】计算：
(√3+√2)(√3−√2) 2=
．
【变式3】若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
m n x2−5x+2=0 m+(n−2) 2
考点6：乘法公式的几何背景
典例6：我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒
等式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a−b) 2=a2−2ab+b2
① ②
(a+b)(a−b)=a2−b2 (a−b) 2=(a+b) 2−4ab
③ ④其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全
等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，
．若小正方形面积为5， ，则大正方形面积为（ ）
n(m>n) (m+n) 2=21
A．12 B．13 C．14 D．15
【变式2】现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙
纸片 块．
【变式3】如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又
剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
考点7：整式的混合运算典例7：已知 3x2−2x−3=0 ，求 (x−1) 2+x ( x+ 2)的值．
3
【变式1】先化简，再求值：
，其中 ．
(2x+ y) 2+(x+2y) 2−x(x+ y)−2(x+2y)(2x+ y) x=√2+1, y=√2−1
【变式2】先化简，再求值：
1
x(y−4x)+(2x+ y)(2x−y)，其中x= ，y=2．
2
【变式3】先化简，再求值： ，其中 ， ．
[(2a+b) 2−(2a+b)(2a−b)]÷2b a=2 b=−1
考点8：因式分解——提公因式、公式法
典例8：若k为任意整数，则 的值总能（ ）
(2k+3) 2−4k2
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【变式1】下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2
【变式2】多项式2a2b3+8a4b2因式分解为（ ）
A． B．
a2b2(2b+8a2) 2ab2(ab+4a3)
C． D．
2a2b2(b+4a2) 2a2b(b2+4a2b)
【变式3】下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
−x2+4x=−x(x+4) x2+xy+x=x(x+ y)
C． D．
x(x−y)+ y(y−x)=(x−y) 2 x2−4x+4=(x+2)(x−2)
【变式4】若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
【变式5】长和宽分别为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
【变式6】若多项式4x2−mxy+9 y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
【变式7】因式分解：(x+2)(x+4)+1= ．
考点9：因式分解——十字相乘
典例9：以下因式分解正确的是（ ）
A． B．
ax2−a=a(x2−1) m3+m=m(m2+1)C． D．
x2+2x−3=x(x+2)−3 x2+2x−3=(x−3)(x+1)
【变式1】下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)
C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)
【变式2】分解因式：2x3﹣6x2+4x= ．
【变式3】分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
考点10：因式分解的应用
b c
典例10：已知实数a,b,c,m,n满足3m+n= ,mn= ．
a a
(1)求证：b2−12ac为非负数；
(2)若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数？说明你的理由．
【变式1】如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B
的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=A×B的过程，
称为“合分解”．
例如∵609=21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234=18×13，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B．A的各个数位数字之和与B的各个
数位数字之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为
P(M)
Q(M)．令G(M)= ，当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的M．
Q(M)
【变式2】我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且
m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳
m
分解．并规定：f (x)= ．
n
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18−1>9−2>6−3，所以3×6是18的最佳分解，
3 1
所以f (18)= = ．
6 2
（1）填空：f (6)=________；f (9)=_________；
（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位
上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f (t)的最大值；（3）填空：
① ；
f (22×3×5×7)=_____________
② ；
f (23×3×5×7)=_____________
③ ；
f (24×3×5×7)=_____________
④ ．
f (25×3×5×7)=_____________
【变式3】由多项式乘法： ，将该式从右到左使用，即可得到
“十字相乘法”进行因式分解的公式：
示例：分解因式：
（1）尝试：分解因式： ___ ___)；
（2）应用：请用上述方法解方程： .
